Apuntes sobre Equilibrio Estático

Instituto de Física - Facultad de Ingeniería, 2013
Apuntes sobre Equilibrio Estático
para el curso de Física 1
Este texto es un complemento de apoyo para el curso de Física 1, sobre las
condiciones de equilibrio estático. Sintentiza las secciones 3-5-3, 12-4, 14-1 y 14-2 del
libro Resnick-Halliday-Crane, 4ta ed.
Producto vectorial
El producto vectorial es una operación entre dos vectores que da como resultado otro vector. La notación
indica que el vector es el producto vectorial de los vectores y .
Su módulo es
, siendo el ángulo entre y . La dirección de es tal que resulta
perpendicular tanto a como a , y por lo tanto es normal al plano que forman estos. El sentido de es,
por convención, el que se sigue de la regla de la mano derecha. En caso de que y son paralelos (
o
), su producto vectorial es nulo:
.
A partir de su definición se pueden deducir
varias propiedades importantes del producto
vectorial. Por ejemplo, al cambiar el orden de
los factores del producto, el resultado se
invierte:
.
Además es una operación lineal: si a es un
escalar, se cumple
.
Aplicación física: Torque (Momento de Fuerza)
Consideremos una fuerza
aplicada en un punto P. El punto P es identificado por su vector posición, que
va desde el origen del sistema de referencia hasta el punto: el vector
respecto al punto O de la fuerza F (aplicada en P) mediante
. Definimos el torque con
El valor del torque producido por una fuerza depende del punto con respecto al cual éste se calcula,
puesto que hay que tomar en cuenta el vector de posición.
El torque producido por un conjunto de fuerzas es la suma (vectorial) de los torques debido a cada una de
ellas. Ya sabemos que el efecto de aplicar una fuerza a un cuerpo es cambiar su velocidad. Veremos más
adelante que el torque es el responsable de cambiar el estado de rotación de un cuerpo.
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Ejemplo: hallar el torque con respecto al punto A que se ejerce al tirar de la cuerda.
El torque ejercido por el peso
Vamos a justificar por qué en la primera parte del curso hemos ubicado el punto de aplicación del peso de
los objetos extensos (no puntuales), como bloques, pelotas, etc. en su centro geométrico (en cuerpos
homogéneos el centro geométrico coincide con su centro de masa).
El peso total de un objeto extenso es la suma de los pesos de todas las partículas que lo forman y dicha
fuerza está aplicada en un punto, el centro de gravedad del cuerpo.
El torque total producido por el peso de cada partícula del sistema es la suma de todos los torques
individuales (calculados con respecto al mismo punto):
Puesto que la masa es una cantidad escalar, podemos agruparla con el vector de posición en cada uno de
los sumandos. Además, como el vector aceleración de la gravedad aparece en todos los términos (y
suponemos que no varía con la posición, es decir, el campo gravitatorio es constante) se puede sacar
como factor común y realizar primero la suma:
Por último, podemos reconocer en la última relación el vector posición del centro de masa del sistema: la
cantidad entre paréntesis es
, donde M es la masa total del sistema. Por lo tanto, el torque ejercido
por el peso sobre el sistema se puede calcular como
Esta ecuación nos muestra que la suma de los torques de los pesos de cada partícula del objeto extendido,
en un campo gravitatorio constante, es equivalente al torque de una única fuerza: al torque del peso total
del objeto ubicado en el centro de masa del mismo. Además, nos dice que el centro de gravedad del
cuerpo coincide con su centro de masa. (Esto último sólo es válido en la hipótesis que el campo
gravitatorio sea constante.)
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Propiedad:
Si el torque de una suma de fuerzas es nulo con respecto a un punto, y además la
suma de todas las fuerzas es cero, entonces el torque es nulo con respecto a cualquier otro punto.
=0
Consideremos otro punto cualquiera del plano, P, cuyo vector posición con respecto a O es
El torque de la fuerza total
fuerza
.
con respecto al punto P, teniendo en cuenta que el punto de aplicación de la
con respecto a P es (
) se puede escribir de la siguiente manera:
Condiciones de Equilibrio Estático
Vimos para una partícula puntual que está en equilibrio estático si su velocidad instantánea es nula (esto
se define como equilibrio traslacional). En esta parte del curso estudiaremos objetos no puntuales que
además de trasladarse pueden girar.
Definimos equilibrio estático de rotación si
, donde es la velocidad angular instantánea.
Un objeto extendido está en equilibrio estático si está en equilibrio traslacional y rotacional.
En mecánica es condición necesaria y suficiente para que suceda el equilibrio estático que, estando el
cuerpo en reposo, tanto las fuerzas externas como los torques externos se cancelen. Se deben cumplir las
ecuaciones
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