1.- En una granja hay 90 animales entre caballos y patos, si hay un

1.- En una granja hay 90 animales entre caballos y patos, si hay un total de 260 patas ¿cuántos caballos y patos hay?
x= caballos, y=patos
4x+2y=260
x+y=90
Resuelvo por el método de reducción:
multiplico la de abajo por (-2)=-2x-2y=-180 y sumo con la de arriba
(4x+2y=260)+(-2x-2y=-180)
2x=80
x=80/2
x=40
x+40=90
x=90-40
x=50
Hay 40 caballos y 50 patos
2.- Tres números están en progresión geométrica, cuya suma es 117 y su razón es 3. Hallar dichos números.
Primer número = x
Segundo número = x*3=3x
Tercer número =3x*3=9x
x+3x+9x=117
13x=117
X=117/3
x=9
Primer número = x=9
Segundo número = x*3=3x=3*9=27
Tercer número =3x*3=9x=9*9=81
3.- La diagonal de un cuadrado es √2, hallar la dimensión de su lado.
La diagonal de un cuadrado divide al mismo en dos triángulos rectángulos iguales, de los que esta diagonal es su hipotenusa.
Por el teorema de Pitágoras sabemos que
h²=a²+b²
(√2)²=a²+b², como es un cuadrado a=b
(√2)²=2a²
2=2a²
a²=2/2
a²=1
a=√1
a=1
Por tanto el valor del lado del cuadrado es 1
4.- La suma de dos números es 35 y la suma de sus cuadrados es 625. Hallar dichos números.
Llamamos a esos dos números x,y
x+y=35
x²+y²=625
Resuelvo por sustitución. Despejo x en la primera ecuación y sustituyo su valor en la segunda
x=35-y
(35-y)²+y²=625
35²-70y+y²+y²=625
1225-70y+2y²=625
2y²-70y+1225-625=0
2y²-70y+600=0 (simplifico dividiendo todo por 2)
y²-35y+300=0
y=
±√
∗
=
±√
=
±√
=
±
y tiene dos soluciones
y=
y=
= 20
= 15
Ahora que sabemos los valores de y, podemos calcular los valores de x
x=35-y=35-20=15
x=35-y=35-15=20.
Eso quiere decir que los número son 15 y 20
5.- Hallar la altura de un triángulo equilátero de 10cm de lado.
La altura de un triángulo equilátero, es un cateto de un triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa el lado del triángulo equilátero y el otro
cateto la mitad de su lado
10 cm
5cm
Aplicando el teorema de Pitágoras:
h²=a²+b²
10²=a²+5²
100=a²+25
a²=100-25
a²=75
a=√75
a=8,66 m
6.- Un rectángulo tiene 300 cm² de área y un cuadrado 144 cm². ¿Cuántos centímetros se debe aumentar al
cuadrado para que las áreas sean iguales?
El área de un cuadrado= al cuadrado de su lado
l²=144
l=√144=12 cm
Ahora calculamos lo que tendría que valer el lado para que su área fuera de 300 cm².
l²=300
l=√300=17,32 cm aprox.
Luego tendríamos que aumentar su lado en 17,32-12=5,32 cm aproximadamente.
7.- La suma de los cubos de dos números es 152 y la diferencia de sus cubos es 98. Hallar dichos números.
Llamamos a esos dos números x,y
x³+y³=152
x³-y³=98
Resuelvo por el método de reducción sumando ambas ecuaciones
(x³+y³=152)+(x³-y³=98)
2x³=250
x³=
= 125
x=√125
x=5
Ahora calculamos el valor de y
x³+y³=152
5³+y³=152
125+y³=152
y³=152-125
y³=27
y=√27
y=3