( 764 ) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 106

Prueba Integral
Lapso 2 010 - 1
764 - 1/8
Universidad Nacional Abierta
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I ( 764 )
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 106 - 120 - 508
Área De Matemática
Fecha: 19 - 06 - 2 010
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 9.
OBJ 1 PTA 1
En el siguiente cuadro se indican el número promedio de accidentes por centenares de horas- hombre en 50
fábricas diferentes
Nº promedio de accidentes
Por cientos de horas-hombre
1,5 - 1,7
1,8 – 2,0
2,1 – 2,3
2,4 – 2,6
2,7 – 2,9
3,0 – 3,2
Nº de fábricas
3
12
14
9
7
5
a) Construir un histograma para los datos de la tabla.
b) Construir un cuadro donde se indiquen: límites de clase, puntos medios de clase, frecuencia relativa y
frecuencia acumulada.
~
c) Utilizar el cuadro elaborado en la parte b) para construir la ojiva (distribución empírica F )
Criterio de dominio: Para aprobar este objetivo debe responder correctamente las partes a), b) y c).
Solución:
Ver la selección de lecturas para las Unidades 1 y 3 del curso Probabilidad y Estadística I (cód 764), Págs. 61 –
63, Sección 10. Ejercicio resuelto Nº 7.
OBJ 2 PTA 2
Una caja contiene tres bolas: una roja (R), una azul (A) y una blanca (B). Considere el experimento de extraer
una bola de la caja y no devolverla, y luego extraer una segunda bola.
a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
b) ¿Cuál es el suceso de que la primera bola extraída sea amarilla?
c) ¿Cuál es el suceso que la misma bola sea extraída dos veces?
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente 2 de las 3 partes.
Solución:
a) Comenzaremos por mencionar que el espacio muestral Ω está conformado por pares ordenados, donde para
la primera componente existen tres posibilidades, mientras que para la segunda componente existen dos
posibilidades, en virtud de que luego de extraer la primera bola, la misma no es devuelta a la caja. Por lo
antes dicho, tenemos que el espacio muestral es el conjunto:
Ω = {(B, A), (B, R), (A, B), (A, R), (R, B), (R, A)}
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 010 - 1
764 - 2/8
b) El suceso: “la primera bola extraída es amarilla” al que se refiere el inciso b) es el siguiente:
X = {(A, B), (A, R)}
c) Por último, el suceso: “la misma bola es extraída dos veces” es:
Y = φ (conjunto vacío)
OBJ 3 PTA 3
En una carrera de caballos están inscritos 12 ejemplares C1, C2,…, C12. Si elegimos al azar 3 de los 12 caballos
inscritos:
a) ¿Cuál es el número de elecciones posibles de estos 3 caballos, suponiendo que nos interesa que su orden de
elección sea el mismo que los tres primeros caballos en el orden de llegada de la carrera?
b) ¿Cuál es el número de casos posibles para que los 3 caballos elegidos figuren entre los 3 primeros en el
orden de llegada de la carrera, sin que se tome en cuenta el orden de llegada?
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente ambas partes de la pregunta.
Solución:
a) Como en la elección de los 3 caballos, el orden de los mismos es importante, entonces el número de
elecciones posibles de estos 3 caballos viene dado por el número de variaciones de 12 elementos tomados 3
a 3, es decir:
V12,3 =
12!
12!
=
= 12.11.10 = 1320
(12 - 3)! 9!
es el número de casos posibles.
b) Como en este caso los 3 caballos elegidos deben figurar entre los 3 primeros en la carrera sin importar, el
número de casos posibles es:
C12
3 =
12!
12! 10.11.12
=
=
= 220
3!.(12 - 3)! 3!.9!
1.2.3
OBJ 4 PTA 4
Un sombrero contiene 20 pedazos de papel de color blanco numerados del 1 al 20; 10 de color rojo numerados
del 1 al 10; 40 de color amarillo numerados del 1 al 40 y 10 de color azul numerados del 1 al 10. Si se revuelven
vigorosamente estos 80 pedazos de papel de manera que cada uno tenga la misma probabilidad de ser extraído,
determine las probabilidades de tomar un pedazo que sea:
a) rojo o amarillo y numerado 1, 2, 3 o 4;
b) numerado 5, 15, 25 o 35;
c) blanco y con numeración mayor que 12 o amarillo y con numeración mayor que 26.
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente 2 de las 3 partes.
Solución:
El espacio muestral consta de los 80 pedazos de papel distribuidos en cuatro colores, por lo tanto:
#Ω = 80
Como cada pedazo de papel tiene la misma probabilidad de ser extraído, tenemos que la probabilidad del evento
E = {se extrae un pedazo de papel} es:
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
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Lapso 2 010 - 1
P(E) =
764 - 3/8
#E
1
=
#Ω 80
a) Consideremos los eventos: B1 = {El pedazo de papel es rojo y numerado 1, 2, 3 o 4} y
B2 = {El pedazo de papel es amarillo y numerado 1, 2, 3 o 4} ,
con #B1 = 4 y #B2 = 4.
Por lo tanto, puesto que los eventos B1 y B2 son disjuntos la probabilidad pedida es:
P(B1) + P(B2) =
#B1
#B2
4
4
8
1
+
=
+
=
=
#Ω
#Ω
80
80
80
10
b) Definamos los eventos: C1 = {El pedazo de papel tiene el número 5}
C2 = {El pedazo de papel tiene el número 15}
C3 = {El pedazo de papel tiene el número 25}
C4 = {El pedazo de papel tiene el número 35} ,
con: #C1 = 4; ·#C2 = 2; #C3 = 1 y #C4 = 1.
Asi:
P(C1) + P(C2) + P(C3) + P(C4) =
4
2
1
1
8
1
=
=
+
+
+
80
80
80
80
80
10
c) Definamos los eventos: {El pedazo de papel es blanco y con numeración mayor que 12} y
{El pedazo de papel es amarillo y con numeración mayor que 26},
Siendo #D1 = 8 y #D2 = 14.
Por lo tanto:
P(D1) + P(D2) =
#D1
#D2
8
14
22
11
+
=
+
=
=
#Ω
#Ω
80
80
80
40
OBJ 5 PTA 5
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los
autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera
línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%,
respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Sugerencia: Considere el suceso "sufrir una avería" (Av) que puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3) y
use un diagrama de árbol para organizar sus cálculos.
Solución:
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3).
Según los datos suministrados, se tiene:
P(Av/L1)= 0.02
P(Av/L2)= 0.04
P(Av/L3)= 0.01
P(L1)=0,6
P(L2)=0,3
P(L3)=0,1
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
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Lapso 2 010 - 1
764 - 4/8
Así que:
P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3)
= 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01
= 0.012 + 0.012 + 0.001
= 0.025
OBJ 6 PTA 6
Sea c una constante y consideremos la función
⎧c
⎪
f ( y) = ⎨ 3
⎪⎩0
1≤ y ≤ 4
si
en cualquier otro punto
a) Determine el valor de c para que f sea una función de densidad.
(
)
b) Calcule P − 2 ≤ y ≤ 2
Criterio de dominio: Para lograr este objetivo debe responder correctamente las partes a) y b)
Solución:
a) Para que la función f(y) sea una función de densidad debe satisfacer que sea positiva y que
∫
+∞
−∞
f ( y ) dx = 1 . Encontremos el valor de a tal que f satisface estas condiciones
+∞
4
4
3
c
y
⎡4 1⎤
∫−∞ f ( y) dy = ∫1 3 dy = c. 3 1 = c ⎢⎣ 3 − 3 ⎥⎦ = c. 3 = c
Luego
+∞
∫ f ( y)dx = 1 ⇔ c = 1 .
−∞
Además si c = 1 la función f(y) resulta positiva. Por lo tanto el valor de c para que f(y) sea una densidad es c
= 1.
2
b)
P (− 2 < y < 2 ) =
2
2
1
1
∫ f ( y)dy = ∫1 3 dy = 3 ∫1 dy =
− 2
2 −1
≈ 0,1380
3
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 010 - 1
764 - 5/8
OBJ 7 PTA 7
Dada la función de densidad conjunta
⎧⎪ 24x (1- y ) ,
f ( x, y ) = ⎨
0
,
⎪⎩
0 < x < y <1
otro caso
a) Calcule las densidades marginales (es suficiente con calcular una).
b) Calcule las funciones de densidad condicionales (es suficiente con calcular una).
Criterio de dominio: Para lograr el objetivo debe responder correctamente a) y b).
Solución:
a) En virtud de las definiciones dadas en la página 96 de la guía instruccional tenemos que las densidades
marginales respecto de X e Y son respectivamente:
∞
1
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛
⎡ y2 ⎤
x2 ⎞⎤
gX(x) = ∫ f ( x, y ) dy = 24x ∫ (1- y ) dy = 24x ⎢ y =
24x
1x
⎢⎜
⎟⎥
⎥
⎟ ⎜
2 ⎠ ⎥⎦
2⎦x
⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝
⎣
-∞
x
1
⎡1
1
⎤
= 24x ⎢ + x 2 - x ⎥ = 12x ( x - 1) ,
⎣2 2
⎦
2
x ∈ (0, 1)
por lo tanto
⎧⎪ 12x ( x - 1)2 ,
gX(x) = ⎨
0
,
⎪⎩
∞
0 < x <1
x ≤ 0 o x ≥1
y
y
⎡ x2 ⎤
hY(y) = ∫ f ( x, y ) dx = 24 (1- y ) ∫ x dx = 24 (1- y ) ⎢ ⎥ = 12 (1- y ) y 2 , y ∈ (0, 1)
⎣ 2 ⎦0
-∞
0
por lo tanto
⎧⎪12 (1- y ) y 2
hY(y) = ⎨
0
⎪⎩
,
,
0 < y <1
en otro caso
b) De acuerdo con la definición dada en la página 97 de la guía instruccional y de los resultados obtenidos en la
parte a) tenemos que la densidad condicional de f dado X, es para todo x ∈ (0, 1):
fY
X
(y x)
f ( x, y )
24 x (1- y )
=
=
2
fX ( x )
12 x ( x - 1)
⎧ 2 (1- y )
,
⎪
2
x
1
(
)
⎪
= ⎨
⎪ 0
,
⎪
⎩
0 < y < 1
en otro caso
de manera análoga para todo y ∈ (0, 1) obtenemos que
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 010 - 1
fX
Y
(x y)
764 - 6/8
⎧
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪⎩
f ( x, y )
24 x (1- y )
=
=
fY ( x )
12 (1- y ) y 2
2x
y2
,
0 < x < y
0
,
en otro caso
OBJ 8 PTA 8
El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la función de densidad (y por tanto la función
de distribución) de una suma de variables aleatorias independientes, a partir del conocimiento de las funciones
de densidad individuales asociadas a cada variable.
Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si X e Y tienen función de densidad conjunta f, entonces Z =
X + Y tiene función de densidad dada por
∞
fZ(z) =
∞
∫ fx ( x ) f ( z - x ) dx = ∫∞ fx ( z - y ) f ( y ) dy
Y
Y
-∞
-
Dadas X e Y variables aleatorias independientes con distribución uniforme [9, 10] y [21, 22] respectivamente,
halle la función de densidad de la variable aleatoria Z = X + Y.
Solución:
Puesto que X e Y son variables aleatorias con distribución uniforme, tenemos que:
⎧1 , 9 ≤ x ≤ 10
fX ( x ) = ⎨
⎩0 , en otro caso
⎧1 , 21 ≤ y ≤ 22
,
fY ( y ) = ⎨
⎩0 , en otro caso
,
son las respectivas funciones de densidad de dichas variables.
Recordemos que la densidad de la variable suma Z = X + Y, viene dada por la convolución de fX ( x ) y fY ( y ) ,
esto es:
fZ ( z ) =
∞
∫ f ( x ) f ( z - x ) dx ,
X
Y
−∞
⎧ 9 ≤ x ≤ 10
⎧ 9 ≤ x ≤ 10
, de donde obtenemos que ⎨
.
⎩21 ≤ y ≤ 22
⎩21 ≤ z - x ≤ 22
para ⎨
Por lo tanto,
fZ ( z ) =
∞
∫− ∞ f ( x ) f ( z - x ) dx
X
Y
z - 21
=
∫9
dx = z - 30
,
30 ≤ z ≤ 31
dx =
,
31 < z ≤ 32
10
=
∫
32 - z
z - 22
Los límites de las integrales son determinados de las condiciones 9 ≤ x ≤ 10, y 21 ≤ z – x ≤ 22.
En resumen:
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2 010 - 1
fZ ( z )
⎧
⎪
= ⎨
⎪
⎩
764 - 7/8
z - 30
30 ≤ z ≤ 31
32 - z
31 ≤ z ≤ 32
0
en otro caso
La gráfica de fZ es la mostrada en la figura:
Elaborado por: Frankie Gutiérrez y Richard Rico
Validado por: Richard Rico
Área de Matemática
Prueba Integral
Lapso 2009-2
764 –1/8
OBJ 9 PTA 9
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional, con función de probabilidad conjunta dada por:
⎧1 7
⎪1 7
⎪
⎪1 7
pXY(x i , y j ) = ⎨
⎪3 7
⎪1 7
⎪
⎩ 0
x = 5, y = 0
x = 5, y = 3
x = 5, y = 4
.
x = 8, y = 0
x = 8, y = 4
en cualquier otro caso
Calcule la covarianza de X e Y.
Solución:
Por definición de covarianza tenemos:
Cov(X, Y) = E[(X – EX)(Y – EY)] = E[(X – μX)(Y – μY)] = E(XY) – EXEY ,
por lo tanto debemos calcular E(XY), EX y EY.
15
32
4
EX = 5P(X = 5) + 8P(X = 8) = 5. 3
7 + 8. 7 = 7 + 7
EY = 0P(Y = 0) + 3P(Y = 3) + 4P(Y = 4) = 0. 74 + 3. 71 + 4. 72 =
1
E(XY) = 5.0. 71 + 5.3. 71 + 5.4. 71 + 8.0. 3
7 + 8.4. 7 =
= 47
7
3 + 8 = 11
7
7
7
67 .
7
Sustituyendo los valores calculados para EX, EY y E(XY) en la definición de covarianza, obtenemos:
517
450
Cov(X, Y) = 67
7 - 7 = - 7
Nota:
Recuerde que: P(X = i) y P(Y = j) con i = 5, 8 y j = 0, 3 y 4, son las funciones de probabilidad marginal para las
variables aleatorias X e Y respectivamente.
FIN DEL MODELO
Elaborado por: Richard Rico.
Área de Matemática