Soluciones de las Ecuaciones de Yang

Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 41, No.2, Abril 2009
Soluciones de las Ecuaciones de Yang-Mills en un Espacio
Tiempo Curvo Esféricamente Simétrico
J. A. Sánchez-Monroy a , C. J. Quimbay a
a Departamento
de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá D. C., Colombia.
Recibido 23 de Oct. 2007; Aceptado 6 de Mar. 2009; Publicado en lı́nea 30 de Abr. 2009
Resumen
En este trabajo construimos las soluciones estáticas exactas y esféricamente simétricas de las ecuaciones
de Yang-Mills para un grupo SU(N) en un espacio-tiempo curvo (3+1) dimensional. Inicialmente presentamos, dentro del formalismo de la geometrı́a diferencial, los ingredientes matemáticos esenciales relacionados con las ecuaciones de Yang-Mills en espacios curvos. Aplicamos las soluciones obtenidas primero
para los casos de una métrica de anti de Sitter y una métrica de Schwarzschild, y luego para el caso de
considerar simultáneamente estas dos métricas. Encontramos que para los tres casos se obtiene soluciones
confinantes, similar a lo que sucede en el contexto del problema de confinamiento de quarks, cuando se
solucionan las ecuaciones de Yang-Mills de un grupo SU(N) en un espacio-tiempo plano.
Palabras Clave:Ecuaciones de Yang-Mills, espacio-tiempo curvo, soluciones estáticas exactas y confinantes, soluciones esféricamente simétricas, constante cosmológica.
Abstract
In this work we build the exact static and spherical symmetric solutions for the SU (N ) Yang-Mills equations in a (3 + 1)-dimensional curved space-time. Initially we present, in the framework of the differential
geometry, the mathematical basic concepts related with the Yang-Mills equations in curved spaces. We
apply first the obtained solution to the anti-de Sitter and Schwarzschild metric cases, and later to the case
of considering these two metrics simultaneously. We find that for the three cases there exist confining
solutions, as happens in the context of the quark confinement problem, when the SU (N ) Yang-Mills
equations are solved in a flat space-time.
Keywords: Yang-Mills equations, space-time curved, exact static and confining solutions, spherically
symmetric solutions, cosmological constant.
c
2009.
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1. Introducción
Aunque en la literatura se puede encontrar un alto
número de soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills,
aún no se conocen todas las posibles soluciones y tampoco las implicaciones fı́sicas de las mismas [1]. Con
el propósito de contribuir a determinar otras posibles
soluciones y su rango de aplicabilidad, en este traba-
jo construimos las soluciones estáticas y esféricamente
simétricas de las ecuaciones de Yang-Mills de un grupo
SU (N ), para un espacio-tiempo curvo, y aplicamos las
soluciones obtenidas en tres casos especı́ficos. Para realizar esto, seguimos como guı́a de trabajo la aproximación semiclásica expuesta en [2], con la cual se estudia el problema del confinamiento de quarks de una
forma satisfactoria. Esta aproximación permite describir
Soluciones de las Ecuaciones de Yang-Mills en un Espacio Tiempo Curvo Esféricamente Simétrico
En este trabajo lo fijaremos a través de la condición
div(A) = 0, es decir
con gran precisión los espectros de energı́a del quarkonium [3], a través de la solución de la ecuación de Dirac
en presencia de los campos de Yang-Mills del grupo
SU (3), los cuales representan a los campos gluonicos.
Usando esta aproximación, se ha podido mostrar [4]
cómo la concentración de gluones es muy grande a escalas del orden de 1 fm, lo cual implica que el campo gluonico forma un condensado bosónico y, por consiguiente, este campo puede ser visto como un campo
clásico a esta escala de distancias [5]. Por todo lo anterior, la dinámica de la interacción fuerte a distancias del
orden del tamaño de los nucleones se puede describir
satisfactoriamente con las ecuaciones de Yang-Mills del
grupo SU(3) [5].
1
√
div(A) = √ ∂µ ( gg µν Aν ) = 0.
g
(5)
3. Soluciones en un espacio-tiempo curvo
Las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema
de ecuaciones diferenciales parciales acopladas nolineales. En esta sección obtenemos algunas soluciones
exactas, estáticas y esféricamente simétricas de estas
ecuaciones en un espacio-tiempo curvo. Seguimos el
esquema de trabajo planteado en la literatura [3,4,5],
con el cual ha sido posible obtener las soluciones confinantes en coordenadas esféricas de las ecuaciones de
Yang-Mills del grupo SU (3).
La métrica para un espacio-tiempo curvo y esféricamente simétrico está dada por
2. Preliminares
Trabajamos en una variedad Minkowskiana M en
la cual el elemento de lı́nea viene dado por ds2 =
gµν dxµ ⊗ dxν , donde las componentes de gµν toman
diferentes valores dependiendo de la elección de coordenadas. El operador estrella de Hodge ∗ es definido
como: Λp (M ) → Λn−p (M ), donde Λp (M ) es una
p-forma sobre la variedad diferencial M de dimensión
n. Si {dx1 , ..., dxn } es una base para Λp (M ) entonces
ds2 = gµν dxµ ⊗ dxν
= α2 (r)dt2 − β 2 (r)dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ).
(6)
Asumimos que A tiene la siguiente dependencia funcional:
∗(dxi1 ∧ ... ∧ dxip ) = γg i1 l1 ...g ip lp εl1 ...lp lp+1 ...ln
(1)
A = Aµ (r)dxµ
(7)
= At (r)dt + Ar (r)dr + Aθ (r)dθ + Aϕ (r)dϕ.
g
El operador diferencial exterior d
Donde γ = (n−p)!
p
es definido como: Λ (M ) → Λp+1 (M ). Esto significa
que
d = ∂µ dxµ .
(2)
Teniendo en cuenta la condición de fijar el gauge (5)
sobre A, podemos obtener que
2
r α(r)Ar (r)
∂r
+ α(r)β(r)Aθ (r)cotθ = 0, (8)
β(r)
dxlp+1 ∧ ... ∧ dxln .
(1/2)
Sea A = Aµ dxµ = Aaµ λa dxµ una conexión en
SU (N ), donde λa son los generadores de grupo gauge
SU (N ), con a = 1, 2, ..., N 2 − 1, y Aaµ los campos
no abelianos. Las ecuaciones de Yang-Mills del grupo
SU (N ) se pueden escribir usando el operador estrella
de Hodge como
d ∗ F = g(∗F ∧ A − A ∧ ∗F ) + gJ,
por tanto, Aθ = 0 y Ar = C r2β(r)
α(r) . Se puede asumir
sin problema que C = 0 en Ar , puesto que ésto no
afecta la forma de las soluciones de At y Aϕ . Tomamos
ahora At = f (r)Γ y Aϕ = g(r)∆, siendo ∆ y Γ combinaciones lineales de los generadores del grupo. Debido a que el diferencial exterior está dada por d =
∂t dt + ∂r dr + ∂θ dθ + ∂ϕ dϕ, en coordenadas esféricas,
entonces la curvatura para este caso es
(3)
a
donde F = dA + A ∧ A = Fµν
λa dxµ ∧ dxν es la curvatura y g es la constante de acoplamiento del grupo.
La densidad de corriente no abeliana J, para SU (N ),
está dada por
(4)
F = dA + gA ∧ A
= −∂r f (r)Γdt ∧ dr
+ ∂r g(r)∆dr ∧ dϕ + gf (r)g(r)[Γ, ∆]dt ∧ dϕ.
(9)
Ası́ como se hace en la cuantización funcional de
las teorı́as de Yang-Mills, es necesario fijar el gauge.
Aplicando el operador estrella de Hodge (3) sobre F y
usando las siguientes relaciones
J = jµa λa ∗ (dxµ ) = ∗j = ∗(jµa λa dxµ ).
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rev.col.fis,vol.41,No 2(2009)
r2 sinθ
dθ ∧ dϕ,
α(r)2 β(r)2
sinθ
dr ∧ dϕ,
∗ (dt ∧ dθ) =
α(r)2
−1
∗ (dt ∧ dϕ) =
dr ∧ dθ,
α(r)2 sinθ
−1
dt ∧ dθ,
∗ (dr ∧ dϕ) =
β(r)2 sinθ
sinθ
∗ (dr ∧ dθ) =
dt ∧ dϕ,
β(r)2
1
dt ∧ dr,
∗ (dθ ∧ dϕ) = 2
r sinθ
Vamos a aplicar las soluciones encontradas a tres casos especı́ficos. Primero consideramos un espacio de
anti de Sitter, donde la métrica está dada por
∗ (dt ∧ dr) = −
ds2 = (1 − Λr2 /3)dt2 − (1 − Λr2 /3)−1 dr2
− r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ).
(15)
Debido a que en este caso la función α(r) es exactamente la inversa de la función β(r), entonces la solución de Coulomb f (r) no tiene deformaciones con respecto al caso del espacio-tiempo plano y por tanto para
este caso se tiene que f (r) = a1 /r + A1 . Por el contrario, la solución lineal g(r) si se deforma respecto a
la del caso del espacio-tiempo plano. La solución explı́cita depende de si Λ > 0 o Λ < 0, es decir
obtenemos, para r 6= 0, el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
∂r g(r)
g2
∂r
∆=
f (r)2 g(r)[Γ, [Γ, ∆]],
2
β(r)
α(r)2
2
r ∂r f (r)
g 2 f (r)g(r)2
2
∂r
sin
θ
Γ
=
[∆, [Γ, ∆]],
α(r)2 β(r)2
α(r)2
(10)

1/2  b1 tanh−1 rΛ1/2
+ B1 , si Λ > 0,
3 1/2 g(r) =
 b tan−1 r(−Λ)
+ B1 , si Λ < 0,
1
31/2
(16)
La función g(r), para los casos lı́mites |Λ| << 1 o
r << 1, tiene la forma g(r) ≃ b1 r + B1 , recobrando el comportamiento que se tiene para el caso de un
espacio-tiempo plano.
El segundo caso que consideramos es el del espaciotiempo curvo definido por la métrica de Schwarzschild,
dada por
el cual se puede desacoplar si se toma como valida
la condición [∆, [Γ, ∆]] = 0. Esta condición se satisface en el caso de que se cumpla la condición abeliana
[Γ, ∆] = 0, la cual es cierta de una forma no trivial si
y sólo si se alguna de las dos siguientes condiciones es
válida: (i) Si en la combinación de Γ y ∆, en términos
de los generadores del grupo, sólo aparecen los elementos que constituyen la subalgebra de Cartan del algebra de Lie del grupo SU (N ); (2) Si Γ = k∆, siendo
k una constante. Por lo tanto, satisfaciéndose la condición abeliana, el sistema de ecuaciones diferenciales se
desacopla y queda escrito como
∂r g(r)
∂r
= 0,
(11)
β(r)2
2
r ∂r f (r)
∂r
= 0.
(12)
α(r)2 β(r)2
ds2 = (1 − 2M/r)dt2 − (1 − 2M/r)−1 dr2
− r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ).
(17)
Para este caso, la solución de Coulomb tampoco tiene
deformaciones con respecto al caso del espacio-tiempo
plano. La función g(r) si se deforma y para r > 2M
tiene la forma
g(r) = b1 (r + 2M ln |r − 2M |) + B1 ,
(18)
la cual, en el caso lı́mite r >> M , se reduce a g(r) ≃
b1 r + B1 , recobrando la forma que se tiene para el caso
del espacio-tiempo plano.
Por último, el tercer caso que consideremos es una
combinación de los dos casos anteriores. La métrica que
define el espacio-tiempo curvo es
Estas ecuaciones diferenciales tienen como solución
Z
g(r) = b1 β(r)2 dr + B1 ,
(13)
Z
α(r)2 β(r)2
f (r) = a1
dr + A1 .
(14)
r2
ds2 = (1 − 2M/r − Λr2 /3)dt2
Observamos que para el caso particular de un espaciotiempo plano α = β = 1, obtenemos que g(r) =
b1 r + B1 y f (r) = −a1 /r + A1 , que corresponden a las
soluciones encontradas en [2,3,4,5], con las cuales se
logra explicar el problema de confinamiento de quarks.
− (1 − 2M/r − Λr2 /3)−1 dr2
2
2
2
(19)
2
− r (dθ + sin θdϕ ).
Para este caso, la solución que se deforma g(r) se debe
aproximar mediante potencias de Λ, es decir
530
Soluciones de las Ecuaciones de Yang-Mills en un Espacio Tiempo Curvo Esféricamente Simétrico
g(r) ≃
b1
r3 Λ
16M 4 Λ
(2M r2 Λ +
−
3
3
(−2M + r)
Referencias
+3r(1 + 4M 2 Λ)
[1] B. Kosyakov, Introduction to the classical theory of particles
and fields (Springer, 2007).
[2] Y. P. Goncharov, Phys. Lett. B 617, 67 (2005).
[3] Y. P. Goncharov, Mod. Phys. Lett. A 16, 557 (2001); Europhys.
Lett. 62, 684 (2003); Y. P. Goncharov and E. A. Choban, Mod.
Phys. Lett. A 18, 1661 (2003); arXiv:hep-th/0512099 v1 8 Dec
(2005); Phys. Lett. B 641, 237 (2006).
[4] Y. P. Goncharov and A. A. Bytsenko, Phys. Lett. B 602, 86
(2004).
[5] Y. P. Goncharov, Phys. Lett. B 617, 67 (2005).
[6] C. C. Barros Jr., Eur. Phys. J. C 45, 421 (2006).
3
+(6M + 32M Λ)Log[−2M + r])
+B1 .
Observamos que para las tres aplicaciones consideradas,
las soluciones obtenidas son funciones confinantes. Estas soluciones son de interés para el problema del confinamiento de quarks en espacio curvos, tema que ya ha
sido previamente abordado [6].
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