1 Números racionales ACTIVIDADES INICIALES 1.I. 1.II. Completa la tabla del texto añadiendo una fila que indique cuál sería la fracción exacta de cada tamaño. 4 4 3 4 1 2 1 4 Longitud de la caja 356 mm 330 mm 300 mm 267 mm Fracción real 1 330 165 = 356 178 300 150 = 356 178 267 356 Qué lugar ocupa el violín Está entre 1.III. Tamaño 7 en la escala de los tamaños? 8 4 3 y . 4 4 ¿Quién fue el fabricante de violines más reconocido de la historia? Antonio Stradivarius (1644 – 1737), lutier (fabricante de violines) italiano. ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.1. Actividad resuelta 1.2. Un embalse está a dos tercios de su capacidad total. Si contiene 816 hm , ¿cuál es esa capacidad? 3 Sea x la capacidad total del embalse: 1.3. Calcula los 2 816 ⋅ 3 x= 816 ⇒ x= ⇒ x= 1224hm3 3 2 12 de un total de 225 unidades. ¿Por qué resulta una cantidad mayor? 5 12 225 ⋅ 12 ⋅ 225 = = 540 5 5 La cantidad resultante es superior debido a que el numerador de la fracción es mayor que el denominador. 1.4. Los 7 de una cantidad son 147. ¿Cuál es esa cantidad? 3 Si x es la cantidad: 18 Unidad 1 |Números racionales 7 147 ⋅ 3 ⋅ x= 147 ⇒ x= ⇒ x= 63. 3 7 1.5. 1.6. 7 de la población de aves en unas islas son gaviotas argénteas y se estima que el total 11 de aves es de 1331. ¿Cuántas de ellas pertenecen a la mencionada especie? Los El número de gaviotas argénteas será: 7 1331⋅ 7 ⋅ 1331 = = 847. 11 11 De los usuarios de un polideportivo, 2 practican fútbol, y los 133 restantes, otros deportes. 9 ¿Cuántas personas practican fútbol? En el resto de deportes, se han matriculado los 7 de los alumnos. Si x es el total de alumnos: 9 7 133 ⋅ 9 ⋅ x= 133 ⇒ x= ⇒ x= 171 9 7 En número de alumnos que practican fútbol será: 171 – 133 = 38. 1.7. Actividad resuelta. 1.8. Calcula los valores de a, b y c para que se verifique: 2 a 10 c = = = 11 33 b −22 a 2 66 = ⇒ 2 ⋅ 33 = 11⋅ a ⇒ a = ⇒a= 6 11 33 11 2 10 110 = ⇒ 11⋅ 10 = 2 ⋅ b ⇒ b = ⇒ b = 55 11 b 2 c −44 2 = ⇒ ( −22 ) ⋅ 2 = ⇒c = −4 11⋅ c ⇒ c = 11 −22 11 1.9. Ordena de mayor a menor estos números racionales: 3 11 7 15 , , y 4 12 8 16 3 36 11 44 7 42 15 45 15 11 7 3 = ; = ; = ; = ⇒ > > > 4 48 12 48 8 48 16 48 16 12 8 4 1.10. Una memoria externa se ha dividido en ocho áreas de igual capacidad. Después de grabar unos archivos quedan 13 libres del total de la memoria. ¿Cuántas áreas ocupan los archivos? 16 La parte de la memoria que ha sido ocupada es 1 − Como cada área ocupa 13 3 =. 16 16 1 2 del total de la memoria, el número de áreas ocupadas por los = 8 16 archivos grabados es 1,5. Números racionales | Unidad 1 19 1.11. Actividad resuelta. 1.12. (TIC) Opera y simplifica las expresiones: a) 1 6 2 1 2−5⋅ − ⋅ + ⋅ (−6) 5 20 3 3 b) 3 5 3 2 + ⋅3 − ⋅5 + 5 10 15 a) 1 6 2 1 1 1 2 − 5⋅ − ⋅ + ⋅ ( −6) = 2 − 5 ⋅ − − 2 = 2 − 5 ⋅ 0 − 2 = 2 − 2 = 0 5 20 3 3 5 5 b) 3 5 3 3 1 1 10 + 3 6 − 1 25 + 1 13 5 26 169 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 + ⋅3 − ⋅5 + = 2 + ⋅3 − ⋅5 + = 5 10 15 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 1.13. (TIC) Calcula y simplifica: a) 1 1 2 + : 2 + 1: 2 + 3 3 b) 2 6 9 1 3 − 5 ⋅ (−2) + 3 ⋅ 12 : 5 − 3 ⋅ 10 1 6 +1 7 7 7 7⋅7 49 3= 3 = 3= 3= = 3 = 1 1 3 14 + 3 17 3 ⋅ 17 51 2+ 2+ 2+ 1 6 +1 7 7 7 2+ 3 3 2+ a) b) 2 6 3 − ⋅ ( −2) + ⋅ 5 3 12 = 9 1 −3⋅ 5 10 6 1 18 + 5 23 + 23 ⋅ 10 23 ⋅ 2 46 5 = 3 15= 15 = = = 9 3 18 − 3 15 15 ⋅ 15 15 ⋅ 3 45 − 5 10 10 10 1.14. Actividad resuelta. 1.15. En una clase, un tercio de los alumnos eligen fútbol como deporte, las 2 partes eligen 5 1 parte natación y los ocho restantes eligen baloncesto. Halla el total de alumnos 5 de la clase y cuántos eligen cada deporte. atletismo, Entre los alumnos que eligen fútbol, atletismo y natación, suman que solo 1 2 1 5 + 6 + 3 14 += + = , por lo 3 5 5 15 15 1 se corresponde con los 8 alumnos de baloncesto. 15 1 x = 8 ⇒ x = 8 ⋅ 15 ⇒ x =120 alumnos: 40 15 de fútbol, 48 de atletismo, 24 de natación y 8 de baloncesto. Si llamamos x al número total de alumnos de la clase: 20 Unidad 1 |Números racionales 2 1 de su tiempo libre diario a leer novelas de miedo, y de lo que resta, a 5 4 practicar deporte. Quitando estas dos actividades, todavía le quedan otras dos horas y cuarto de tiempo libre. 1.16. Patricia dedica los a) ¿Cuál es el total de su tiempo libre? b) ¿Cuánto tiempo le dedica a la lectura de novelas de miedo? c) ¿Y a practicar deporte? 9 cuadrados representan 135 minutos y cada cuadrado representa 135 = 15 minutos. 9 a) El tiempo total es = 20 ⋅ 15 300 = minutos 5 horas . b) En leer = 8 ⋅ 15 120 = minutos 2 horas c) En deporte = 3 ⋅ 15 45 minutos = 3 de hora 4 1.17. Actividad interactiva. 1.18. Actividad resuelta. 1.19. Clasifica las expresiones decimales siguientes en exactas, periódicas puras y periódicas mixtas. En su caso, indica el período. a) 2,4545 c) 0,1234512345… b) 3,454545… d) 43,43535353… a) Decimal exacto b) Decimal periódico puro 3,454545 … = 3,45 c) Decimal periódico puro 0,123451234512345 … = 0,12345 d) Decimal periódico mixto 43,43535353 … = 43,435 1.20. Calcula las expresiones decimales de las siguientes fracciones e indica su tipo. a) 13 25 c) 4 9 b) 6 7 d) 5 48 a) 13 = 0,52 25 c) 4 = 0,4 9 periódico puro b) 6 periódico puro = 0,857142 7 d) 5 = 0,10416 48 periódico mixto decimal exacto Números racionales | Unidad 1 21 1.21. Convierte en fracciones estos decimales. a) 0,85 c) 0,085858585… b) 0,85858585... d) 8,5858585... a) 0,85 = c) 0,085858585= … b) 0,85858585... = d) 8,5858585 = … 85 17 = 100 20 85 99 85 17 = 990 198 858 − 8 850 = 99 99 1.22. Actividad resuelta. 1.23. Dibuja en una misma recta los enteros: 4, –4, 3, –2, 5 1.24. ¿Cuáles son los números racionales señalados? A= − 2; B = 4; C = 1.25. Dibuja en una misma recta los números racionales 3 2 4 4 y − . 5 5 Para dibujar el número negativo, se dibuja el positivo y se pincha el compás en el 0 y con apertura hasta el número. 1.26. Dibuja en una misma recta los números racionales 5 9 y . 3 4 Nos fijamos en que fracción 1.27. Actividad interactiva. 22 Unidad 1 |Números racionales entonces dibujamos la 2 comenzando en el 1. 3 Para dibujar 9 1 comenzando por 2, ya que = 2 + . 4 4 5 2 = 1+ 3 3 9 4 hacemos como en el caso anterior, EJERCICIOS Fracciones. Números racionales 1.28. Escribe la fracción que corresponde a cada una de estas expresiones: a) Alba ha resuelto bien 4 de 5 ejercicios. b) El 15 % de los habitantes son inmigrantes. c) La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba. d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo. a) 4 5 b) 15 100 c) 1 ⋅ 96 8 d) 8 10 1.29. Escribe, si existe: a) Un número racional que no sea entero. b) Un número racional que sea entero. c) Un número entero que no sea racional. d) Un número decimal que no sea racional. a) 8 7 b) 36 4 c) Es imposible: todos los números enteros son racionales. d) 1,320332033320… 1.30. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Todos los números racionales son enteros. b) Todos los números enteros son racionales. c) Algunos números enteros son racionales. d) Algunos números racionales son enteros. a) No. Por ejemplo b) Sí, ya que cualquier entero se puede escribir como una fracción cuyo numerador es su valor y cuyo denominador es la unidad. c) En realidad, todos los enteros son racionales tal y como se expone en el apartado b). d) Sí, precisamente todos los enteros. 2 es racional y no es entero. 3 Números racionales | Unidad 1 23 1.31. ¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia? Son números racionales y, por tanto, se pueden expresar en forma de fracción. El primero es decimal exacto, tiene una cantidad finita de cifras decimales, y el segundo es decimal . periódico puro, 3,14 1.32. Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad. b) Un número racional es una fracción. c) Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria. d) Todos los números enteros son racionales. a) Falso: b) Falso: un número racional es un conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí. c) Falso: los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar en forma fraccionaria. Por ejemplo, 0,12349873412… d) Verdadero 9 representa una cantidad mayor que 1. 5 1.33. Calcula el valor de x para que sean equivalentes las fracciones siguientes. a) x 9 y 26 13 a) 26 ⋅ 9 = 13 ⋅ x ⇒ x = 26 ⋅ 9 ⇒ x = 18 13 b) 54 ⋅ 7 = 42 ⋅ x ⇒ x = 54 ⋅ 7 ⇒x= 9 42 c) b) 42 7 y 54 x c) 50 ⋅ 2 100 ⇒x= No es entero. No hay ninguna fracción con numerador 2 que 7 7 7 . sea equivalente a 10 50 ⋅ 2 = 7 ⋅ x ⇒ x = 1.34. Halla cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas. 24 7 2 y 50 x a) 19 8 c) 16 11 b) 12 13 d) 8 15 a) 19 38 57 190 95 = = = = 8 16 24 80 40 c) 16 32 48 80 160 = = = = 11 22 33 55 110 b) 12 24 36 120 60 = = = = 13 26 39 130 65 d) 8 16 24 40 80 = = = = 15 30 45 75 150 Unidad 1 |Números racionales 1.35. Simplifica las siguientes fracciones. a) 30 45 b) 28 35 c) 150 200 d) 360 300 a) 30 2 = 45 3 b) 28 4 = 35 5 c) 150 3 = 200 4 d) 360 6 = 300 5 1.36. Simplifica las siguientes fracciones hasta su equivalente irreducible. a) 16 25 c) 44 200 b) 22 121 d) 322 230 a) 16 es irreducible. 25 b) 22 2 = 121 11 c) 44 11 = 200 50 d) 322 7 = 230 5 1.37. Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a a) 90 120 d) 9 12 b) 3 4 e) 6 9 c) 72 98 a) 90 18 = ⇒ 120 ⋅ 18 = 90 ⋅ 24 ⇒ Es equivalente. 120 24 b) 3 18 = ⇒ 3 ⋅ 24 = 4 ⋅ 18 ⇒ Es equivalente. 4 24 c) 72 18 = ⇒ 72 ⋅ 24 ≠ 98 ⋅ 18 ⇒ No es equivalente. 98 24 d) 9 18 = ⇒ 9 ⋅ 24 = 12 ⋅ 18 ⇒ Es equivalente. 12 24 e) 6 18 = ⇒ 6 ⋅ 24 ≠ 9 ⋅ 18 ⇒ No es equivalente. 9 24 18 ? 24 Números racionales | Unidad 1 25 1.38. Estudia si son correctas las siguientes relaciones de orden. a) 8 6 > 5 5 c) 3 3 < 11 10 b) 7 4 > 16 9 d) 9 4 > 20 6 a) Verdadero c) Verdadero b) 7 63 4 64 = = ; ⇒ Falso 16 144 9 144 d) 9 27 4 40 = ;= ⇒ Falso 20 60 6 60 1.39. Compara los siguientes números racionales. 26 a) 8 9 y 9 4 e) 16 9 y 27 27 b) − f) 13 16 y 21 49 c) −9 4 y 12 29 g) −10 −10 y 28 16 d) −6 12 y 25 −15 h) 5 −6 y −18 32 a) 8 32 9 81 8 9 = ; = ⇒ < 9 36 4 36 9 4 b) − 3 1 < 40 36 c) − 9 4 < 12 29 d) −6 −6 18 12 60 12 = − ; = − ⇒ > 25 75 −15 75 25 −15 e) 16 9 > 27 27 f) 13 91 16 48 13 16 ; = = ⇒ > 21 147 49 147 21 49 g) −10 −10 > 28 16 h) −6 5 80 −6 54 5 = − = − ⇒ < ; −18 −18 32 288 32 288 3 1 y 40 36 Unidad 1 |Números racionales 1.40. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de fracciones. a) 19 , 36 32 , 36 9 , 36 b) −10 , 29 c) 43 , 27 43 , 18 d) 15 , 9 2 , 9 e) 29 , 5 29 , −36 29 , 15 f) 18 , 45 −3 , 45 −12 , 45 a) 7 9 19 24 32 < < < < 36 36 36 36 36 b) 37 13 −10 8 24 <− < < < −29 29 29 29 29 c) 43 43 43 43 43 < < < < 40 39 27 18 5 8 , 29 − 24 , 36 13 , 29 43 , 39 1 , 5 7 36 24 , 29 43 , 5 4 , 15 37 −29 43 40 6 10 − 29 48 7 45 1 18 2 20 4 24 6 54 15 150 1 2 4 6 15 = ⇒ < < < < ; ;= ;= ;= d) = 5 90 9 90 15 90 10 90 9 90 5 9 15 10 9 e) 29 29 29 29 <− < < −36 48 15 5 f) −12 −3 7 18 < < < 45 45 45 45 1.41. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. a) 19 , 9 −19 , 12 b) −2 , 3 4 , 15 c) 1 , −12 a) 19 19 −19 −19 19 > > > > −6 5 9 18 12 b) c) −5 , 8 19 , −6 8 , 25 9 , 16 19 , 5 9 , 10 −1 , 4 −19 18 −7 6 15 −36 −2 −100 4 −2 −7 40 8 48 9 135 −7 −175 9 8 4 = ⇒ > > > > ;= ;= ;= ;= 3 150 15 150 25 150 10 150 6 150 10 25 15 3 6 −12 −5 −90 9 −60 −1 15 −5 1 81 −1 −36 15 9 1 = = = = = ⇒ > > > > ; ; ; ; −12 144 8 −36 144 16 144 4 144 −36 144 16 −12 4 8 Números racionales | Unidad 1 27 9 x 25 , y representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la x 36 y fracción irreducible que lo representa. 1.42. Las fracciones x 9 = ⇒ 9 ⋅ 36 = x 2 ⇒ 324 = x 2 ⇒ x 2 = 182 ⇒ x = ±18 x 36 9 25 25 ⋅ 18 = ⇒ 9 y = 25 ⋅ 18 ⇒ y = ⇒ y = 50 18 y 3 9 −18 25 1 9 x 25 1 La fracción irreducible es: = = = . Y también = = = − x 36 y 2 −18 −50 36 2 Operaciones con números racionales 1.43. (TIC) Realiza las siguientes sumas y restas. 28 a) 5 3 10 11 + − − 4 8 6 12 d) 7 2 8 + + −4 30 45 5 b) 19 1 4 8 − − − 16 3 9 3 e) 5 1 3 − 2 − + 24 4 9 c) 7 1 3 5 − − − 12 18 4 9 f) 10 8 9 13 − − − 3 9 6 4 a) 5 3 10 11 30 + 9 − 40 − 22 23 + − − = = − 4 8 6 12 24 24 b) 19 1 4 8 171 48 64 384 171 − 48 + 64 − 384 197 − − − =− − = = − − 16 3 9 3 144 144 144 144 144 144 c) 7 1 3 5 21 2 27 20 21 − 2 − 27 + 20 12 1 − − − = − − − = = = 12 18 4 9 36 36 36 36 36 36 3 d) 7 2 8 21 4 144 360 191 + + −4 = + + − =− 30 45 5 90 90 90 90 90 e) 5 1 3 15 144 18 24 15 − 144 + 18 − 24 135 15 − 2 − + = − − + = − = − = 24 4 9 72 72 72 72 72 72 8 f) 83 10 8 9 13 120 32 54 117 120 − 32 − 54 − 117 − − − = − − = = − − 36 36 3 9 6 4 36 36 36 36 Unidad 1 |Números racionales 1.44. (TIC) Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones. a) 9 5 14 ⋅ ⋅− 6 4 25 c) −6 4 8 : :− 9 3 12 b) −3 12 10 ⋅− ⋅− 8 15 9 d) 2 21 4 :− : 7 6 9 a) 9 5 14 9 ⋅ 5 ⋅ 14 21 ⋅ ⋅− =− =− 6 4 25 6 ⋅ 4 ⋅ 25 20 b) −3 12 10 3 ⋅ 12 ⋅ 10 1 ⋅ − ⋅ − =− =− 8 15 9 8 ⋅ 15 ⋅ 9 3 c) −6 4 8 6 ⋅ 3 8 6 ⋅ 3 ⋅ 12 3 : : − = = − : − = 9 3 12 9 ⋅ 4 12 9 ⋅ 4 ⋅ 8 4 d) 2 21 4 2 ⋅ 6 4 2⋅6⋅9 9 : − : = − = − − : = 7 6 9 7 ⋅ 21 9 7 ⋅ 21⋅ 4 49 1.45. Calcula las siguientes potencias. 4 a) 3 5 b) 8 − 9 a) 81 3 = 5 625 b) 64 8 − = 81 9 7 6 d) 2 − 3 c) 343 7 = 6 216 d) 32 2 − − = 243 3 2 e) −9 5 f) 1 − 2 e) −9 =1 5 f) 1 1 − − = 2 2 3 c) 5 5 2 1 0 3 4 0 1 1.46. (TIC) Calcula las siguientes potencias de fracciones. −1 a) 1 9 b) −3 4 a) 1 9 b) 44 256 −3 = = 81 34 4 5 − 8 d) 6 7 c) 5 − 8 d) 72 49 6 = = 62 36 7 −4 −1 =9 −3 c) −4 −2 −3 83 512 = − 3 = 125 5 −2 Números racionales | Unidad 1 29 1.47. (TIC) Opera y simplifica. a) − 18 3 6 − 1− ⋅ 5 4 25 d) 1− b) 11 6 9 1 − − − 10 15 5 4 e) 7 4 1 5 − − : 2 6 3 9 c) 7 1 3 5 + ⋅ − 8 8 2 3 f) 8 5 − 3 3 a) − b) 11 6 9 − − − 10 15 5 c) 7 1 3 5 7 3 5 42 + 9 − 80 29 + ⋅ − =+ − = = − 8 8 2 3 8 16 3 48 48 d) 1− e) 7 4 1 5 7 4 9 315 − 60 + 54 309 103 − − : = − − = = = 2 6 3 9 2 6 15 90 90 30 f) 8 5 −1 8 5 −1 − 4 8 5 −5 8 4 12 − : − 1 = − : =4 = − : = + = 3 3 4 3 3 3 4 3 3 4 3 3 5 6 7 : 2 − 9 −1 : − 1 4 18 3 6 18 100 − 18 −360 − 100 + 18 442 221 − 1 − ⋅ − − = − = − = = 5 4 25 5 100 100 100 50 1 11 6 − 27 = − − 4 10 15 1 11 21 = − − − 4 10 15 1 66 + 84 + 15 165 11 == = = 4 60 60 4 5 7 5 18 − 7 5 11 45 21 7 : 2 − =− 1 : 1 : =− 1 = = =− 6 9 6 9 6 9 66 66 22 1.48. Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales. 2 a) 4 6 8 5 −3 − ⋅ − : 7 7 3 4 2 c) 1 2 4 3 1 + ⋅ − ⋅ 6 6 5 5 2 b) 2−3: 5 11 −7 + ⋅ 6 4 2 d) 2 1 8 9 : − ⋅ : ( −5 ) 3 2 12 3 a) 4 6 8 5 − ⋅ − 7 7 3 4 b) 2−3: c) 1 2 4 3 1 1 2 ⋅ 16 3 1 16 3 25 + 32 − 45 12 2 + ⋅ − ⋅ = + − = + − = = = 6 6 5 5 2 6 6 ⋅ 25 10 6 75 10 150 150 25 d) 2 1 8 9 4 72 4 4 2 20 + 6 26 : − ⋅ : ( −5 ) = − : ( −5 ) = − 2 : ( −5 ) = + = = 3 2 12 3 3 36 3 3 5 15 15 3 −3 4 48 10 24 − 96 + 35 −37 : + = = = − 42 42 2 7 21 12 3 5 11 −7 18 11 −343 18 3773 320 − 576 − 18865 19121 + ⋅ + ⋅ − = =− =2 − =2 − 6 4 2 5 4 8 5 32 160 160 2 30 Unidad 1 |Números racionales 1.49. (TIC) Opera y simplifica. a) 2 1 − 3 6 1 2⋅ 9 b) 1 c) 1+ 1 1− 1 2 4 −1 2 27 9 6= 3 := = 2 6 9 12 4 9 a) 2 1 − 3 = 6 1 2⋅ 9 b) 3 5 ⋅ 4 = 6 1 1 1+ − 2 3 1+ c) 3 5 ⋅ 4 6 1 1 1+ − 2 3 1+ 5 7 78 39 8= 13 := = 6+3−2 8 6 56 28 6 1+ 1 1 1 1 = = = 1 1 1+ 2 3 1+ 1+ 1 1 1− 2 2 1.50. (TIC) Realiza las siguientes operaciones. d) 4 3 2 3 6 ⋅ 1+ ⋅ − ⋅ 10 4 5 2 5 e) 15 3 9 7 8 − : ⋅ − 2 − 2 4 8 16 a) 7 1 2 6 3 − ⋅ − : 9 9 3 4 7 b) 1 11 4 3 3 − : − ⋅ 2 5 5 4 c) 8 2 4 7 4 + 2⋅ − ⋅ : 9 3 5 2 a) 7 1 2 6 3 7 1 2 42 7 1 8 − 42 7 −34 84 + 34 118 59 − ⋅ − : = − ⋅ − = = = − ⋅ = − = 9 9 3 4 7 9 9 3 12 9 9 12 9 108 108 108 54 b) 1 11 4 3 5 11 3 125 8 625 25 : = = 3 − : − ⋅ = : − = 2 8 5 64 8 5 5 4 2 5 5 c) 64 1260 + 64 1324 8 2 4 7 8 8 7 16 7 4 + 2⋅ − ⋅ : = 4 + 2⋅ − = = : = 4 + 2⋅ : = 4+ 9 3 5 2 9 15 2 45 2 315 315 315 d) 4 3 2 3 6 4 3 2 9 4 7 ⋅ 3 4 20 − 21 1 ⋅ 1+ ⋅ − ⋅ = ⋅ 1+ ⋅ − = ⋅ 1+ − ⋅ = − = 10 4 5 2 5 10 4 5 5 10 5 ⋅ 4 10 20 50 e) 15 3 9 8 7 1 3 7 7 1 21 7 1 35 − 8 − : ⋅ − 2 − = : ⋅ − − = : − = : − =− 2 4 8 35 16 2 4 8 16 4 32 16 4 32 3 3 2 3 2 2 2 Números racionales | Unidad 1 31 1.51. (TIC) Expresa como una única potencia: 2 a)* 4 3 7 7 8 ⋅ − : 8 8 7 b) 9 −2 4 ⋅ 4 9 a) 4 3 4 6 7 7 8 7 7 : ⋅ − = ⋅ − 8 8 7 8 8 b) 9 −2 4 ⋅ 4 9 c) 3 2 −2 : ⋅ 3 2 3 d) 4 2 5 −1 5 −4 ⋅ : 5 4 4 −6 4 :− 9 −4 −6 6 4 : − 9 −1 −5 d) 4 2 5 −1 5 −4 4 ⋅ : : 5 5 4 4 −1 7 7 : = 8 8 4 2 4 = ⋅ 9 9 3 4 =− 2 −6 3 6 2 −1 : ⋅ 2 3 −2 3 −5 2 −4 c) 4 : − 9 4 + 6 −( −1) −5 11 7 = 8 4 3 = 9 −6 4 : − 9 −5 4 = − 9 −18 + 5 3 6 3 3 4 −(6 +1) 3 −3 2 3 : ⋅ = = = 2 3 2 2 2 2 4 4 4 4 4 : = : ⋅ 5 5 5 5 (2 +1) −(4 −1) 0 4 4 4 : = 1 = = 5 5 5 1.52. (TIC) Opera y simplifica. −3 2 8 4 1 −7 1 9 ⋅ − : + ⋅ 2 − 5 6 6 2 4 5 a) 2 − 1 3 b) 3 5 1 2 −2 3 1 9 ⋅ − ⋅ : − 2 − 12 2 4 3 6 2 c) 11 3 1 3 1 − ⋅ 2 : − − 6 4 3 5 11 a) 2 −3 −3 8 4 1 −7 1 9 1 32 1 49 1 1 2 − : + ⋅ = − 1 + ⋅ − : + ⋅ 2 − = − + 5 6 6 2 4 5 3 30 6 4 4 5 3 + 2 = −27 + b) 16 1 246 −49 815 + 1 968 − 25 47 872 − : = = − 15 6 20 1 845 1 845 3 3 5 1 2 −2 3 1 9 5 1 36 1 3 5 1 3 ⋅ = − ⋅ : − − = − 3 : − − = − ⋅ : − 2 − 12 2 4 3 4 2 8 4 8 8 4 3 6 2 7 1 14 7 =− : − = = 4 2 4 2 2 c) 2 2 1 28 4 ⋅ 3 28 1 28 55 − 84 −29 = : − − = − = = = 165 165 6 3 55 36 55 3 55 32 2 11 3 1 3 1 11 3 1 33 − 5 11 − 9 1 28 − ⋅ 2 : − − = − : − = : − = 6 4 3 5 11 6 2 3 55 6 3 55 2 Unidad 1 |Números racionales 13 9 = − 4 Fracciones y decimales 1.53. Justifica si los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción. a) 4,08939393… c) 3,14 e) 82,7777… b) 8,0100100001… d) −6 f) 2,1919… Todos menos el del apartado b), porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas. 1.54. Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones e indica, en cada caso, si es decimal exacta, periódica pura o periódica mixta. a) 13 50 c) 35 27 e) 8 125 g) 97 42 b) 48 9 d) 25 36 f) 50 64 h) 70 9 a) 13 = 0,26 ⇒ decimal exacto 50 e) b) 48 = 5,3 ⇒ periódico puro 9 f) 8 = 0,064 ⇒ decimal exacto 125 50 = 0,78125 ⇒ decimal exacto 64 35 ⇒ periódico puro c) = 1,296 27 97 ⇒ periódico mixto g) = 2,30952380 42 25 d) = 0,694 ⇒ periódico mixto 36 h) 70 = 7,7 ⇒ periódico puro 9 1.55. Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales. a) 0,36 f) 10,5 b) 2,983 g) 1,2 c) 3,985 h) 5,34 d) 18,41 i) −8,1730 e) 8,0359 a) 4 36 0,36 = = 99 11 − 29 1477 2983 = 2,983 b)= 990 495 105 − 10 95 f)= 10,5 = 9 9 g) 1,2 = 12 6 = 10 5 c) 3,985 = 3985 797 = 1000 200 − 5 529 534 = 5,34 h) = 99 99 d) 18,41 = 1841 100 i) 81730 − 817 26971 = −8,1730 − = − 9900 3300 − 803 19889 80359 = = e) 8,0359 9900 2475 Números racionales | Unidad 1 33 1.56. Escribe los siguientes números racionales en forma de fracción. a) 12,160 b) 8,49 160 − 12 12 148 12 12,160 = = a) 999 999 b) 849 − 84 765 17 = = = 8,49 90 90 2 c) 30,805 d) c) 30,805 = 17,89 30 805 6161 = 1000 200 − 17 1772 1789 = 17,89 d)= 99 99 1.57. Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara los pares de fracciones. 28 25 c) 7 y 0,16 18 d) 5,36 y a) 1,318 y b) 17 y 2,5 9 a) 1318 659 28 560 28 1,318 = = ; = ⇒ 1,318 > 1000 500 25 500 25 b) 25 − 2 23 17 17 2,5 = = ; ⇒ < 2,5 9 9 9 9 c) = 16 = 32 ; 7 = 77 ⇒ 7 > 0,16 0,16 99 198 18 198 18 d) 5,36 = 111 20 536 111 555 111 ; = ⇒ 5,36 < 100 20 100 20 1.58. Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas. 34 6 5 c) 7 − 0,3 + 1,29 9 1 + 2,58 4 d) − 1,15 − 2 3,18 9 a) −0,45 + 1,2 − b) 18,4 − a) −0,45 + 1,2 − b) 18,4 − c) 7 = 7 − 3 + 129 − 1 = 77 − 33 + 128 = 172 − 0,3 + 1,29 9 9 9 99 99 99 99 99 d) − 1,15 − 2= 318 − 3 − 115 − 11 − 2= 315 − 104 − 2= 1575 − 572 − 110= 893 3,18 9 99 90 9 99 90 9 495 495 6 45 12 6 −45 + 120 − 120 45 9 = − + − = = − = − 5 100 10 5 100 100 20 184 1 258 − 25 92 1 233 3312 − 45 + 466 3733 1 + 2,58 = − + = − + = = 4 10 4 90 5 4 90 180 180 Unidad 1 |Números racionales 1.59. Calcula y simplifica: a) b) c) d) 0,42 ⋅ 3,1 − 10,8 + 1,52 7,16 − 1,7 + 3,8 ⋅ 7,2 19,85 − 13,2 ⋅ 4,5 + 8,16 − 4,96 2,84 ⋅ 5,1 − 0,503 a) 42 31 98 151 1302 1078 151 798 102 = 0,42 ⋅ 3,1 − 10,8 + 1,52 ⋅ − + = − + = − 100 10 9 99 1000 99 99 99 000 b) 716 16 38 65 179 16 247 179 263 4964 7,16 − 1,7 + 3,8 ⋅ 7,2 = − + ⋅ = − + = − = − 100 9 10 9 25 9 9 25 9 225 c) = 1787 − 132 ⋅ 45 + 808 = 1787 − 297 + 808 = − 31 069 19,85 − 13,2 ⋅ 4,5 + 8,16 90 10 10 99 90 5 99 990 d) − 4,96 = 284 ⋅ 46 − 503 − 492 = 3266 + 49 079 = 5 214 761 2,84 ⋅ 5,1 − 0,503 100 9 999 99 225 10 989 274 725 Representación de números racionales 1.60. (TIC) Descompón las siguientes fracciones en suma de un entero más una fracción menor que la unidad e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas sobre la recta. a) 29 8 c) 37 5 b) −13 4 d) − a) 29 5 = 3 + . Está entre 3 y 4. 8 8 b) −13 1 =−3 − . Está entre −4 y −3 . 4 4 c) 37 2 = 7 + . Está entre 7 y 8. 5 5 d) − 11 3 11 2 1 =−3 − =−4 + . Está entre −4 y −3 . 3 3 3 Números racionales | Unidad 1 35 1.61. (TIC) Representa en la recta numérica: a) 2 7 d) − 8 3 b) 3 5 e) 11 6 c) − 4 9 a) d) b) e) c) 1.62. Representa en la recta numérica los siguientes números, expresando previamente los decimales en forma fraccionaria. 17 ; 5 3,16; − 2,35; Ordénalos de menor a mayor. 316 − 31 285 19 == 3,16 = 90 90 6 < − 20 < 3,16 < 17 −2,35 9 5 36 Unidad 1 |Números racionales 235 − 2 233 = − 2,35 − = − 99 99 − 20 9 PROBLEMAS 1.63. Juan se gasta 18 euros en un diccionario de latín. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra si esta ha supuesto los tres octavos del total? 3 de una cantidad total y se quiere conocer dicho total, se debe multiplicar la 8 8 8 18 ⋅ 8 cantidad conocida por . Por tanto, Juan tenía al principio: 18 ⋅ = = 6 ⋅ 8 = 48 euros. 3 3 3 Cuando se conocen los 1.64. En un grupo de 4.º de ESO de 23 alumnos hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no ha nacido en España. ¿Qué fracción del total representan estos? Hay 23 − 7 = 16 chicos. 1 16 2 de los alumnos no han nacido en España. de = 8 23 23 1.65. *En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente construcción. La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4.º de ESO en cada uno de ellos es la que se observa en el cuadro siguiente. Matemáticas A Matemáticas B Instituto antiguo 120 60 Instituto nuevo 90 30 ¿En qué centro el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de matriculados en 4.º de ESO es mayor? En el instituto antiguo: En el instituto nuevo: 120 12 2 es la fracción de alumnos matriculados en la opción A. = = 180 18 3 90 9 3 = = 120 12 4 Hay que comparar las fracciones obtenidas. 2 8 = 3 12 ⇒ 3 > 2 3 9 4 3 = 4 12 Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo. Números racionales | Unidad 1 37 1.66. Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas. Aunque los efectos secundarios deberían ser nulos, se ha comprobado que en 15 de ellas produce un intenso dolor de cabeza. El tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de personas en el que se manifiesta este dolor es inferior a un 0,01 %. Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado? Produce dolor de cabeza en 15 que equivale a un porcentaje del 0,046875 %. 320 Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado. 1 3 de una baguette para hacer un bocadillo, y con los del resto ha 3 4 preparado unas rebanadas. Si ha sobrado un trozo de 4 centímetros, ¿cuánto medía la baguette? 1.67. Javier ha cortado 1− 1 2 = de la barra quedan después de hacer el bocadillo. 3 3 3 2 1 ⋅ = utiliza para las rebanadas. 4 3 2 1 1 6−2−3 1 , que equivale a 4 cm. Queda: 1 − = − = 3 2 6 6 Por tanto, la medida de la baguette era de: 6 · 4 = 24 cm. 1 2 de su asignación mensual en ir al cine y en comprar música. Después de 3 5 estos gastos le quedan todavía 24 euros. 1.68. Elena se gasta a) ¿Cuál es la asignación mensual de Elena? b) ¿Cuánto se gasta en ir al cine? ¿Y en comprar música? 1 2 15 − 5 − 6 4 1 −= − = 3 5 15 15 Por tanto, los 4 de la asignación son 24 euros. 15 a) La asignación total es b) Se gasta en el cine 15 ⋅ 24 = 90 euros. 4 1 ⋅ 90 = 30 euros. 3 Se gasta en comprar música 38 Unidad 1 |Números racionales 2 ⋅ 90 = 36 euros. 5 1.69. En un invernadero se siembran 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines. Se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientos y 6 de cada 11 de calabacines. a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente? b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan? c) Si se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de calabacines, ¿en cuál se ha dado una producción superior a la esperada? a) Hay que comparar las fracciones 1 2 6 . , y 60 25 11 1 55 2 264 6 1800 1 2 6 = ; = ; = ⇒ < < 60 3300 25 3300 11 3300 60 25 11 Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más resistentes. b) 59 ⋅ 500 = 491,67 ≈ 491 plantas de tomates 60 23 ⋅ 400 = 368 plantas de pimientos 25 5 ⋅ 350 = 159,09 ≈ 159 plantas de calabacines 11 c) En los calabacines 1.70. El consumo de un televisor encendido es de 45 W·h a la hora. Si se apaga con el mando a distancia, su consumo se reduce a 15 W·h a la hora mientras permanece en stand by. Si a lo largo de un día el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando: a) ¿Qué gasto total de energía se produce? b) ¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente? c) ¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se producirían en ese caso? a) 4 ⋅ 45 + 20 ⋅= 15 480 W ⋅ h se gastan en un día. b) 20 ⋅ = 15 300 W ⋅ h se podrían ahorrar. c) La fracción: 300 5 = 480 8 x 5 El porcentaje: = ⇒ x= 62,5 % 8 100 Números racionales | Unidad 1 39 AMPLIACIÓN 2 1 − 1 ? 3 1.71. El inverso del número P es el número Q si PQ = 1. ¿Cuál es el inverso de = P a) − 3 2 2+ b) 1 P −1 = − 1 3 −2 2 = − 3 La respuesta es b) −2 2+ 1 4 c) 1 1− 3 2 d) 2 9 1 3 2+ = − == 4 4 2 1 4 1.72. En un torneo mixto de tenis –cada chico juega contra una chica–, jugando con a) − 5 9 1 de los chicos está 3 2 de las chicas. ¿Qué fracción del total de participantes no está jugando? 5 7 11 1 15 b) c) 2 15 d) 5 8 Sea x el número de chicos e y el número de chicas: 1 2 6 x= y ⇒ x= y 3 5 5 2 3 x+ y 3 = 5 x+y 4 3 y+ y 7 5 5= +y 6 11 y 5 La respuesta es a) 7 11 1.73. ¿Cuál es el valor de 2 2011 − 22010 ? a) 22010 c) 21005 b) 2 d) Nada de lo anterior. 22011 − 22010 = 2 ⋅ 22010 − 22010 = 22010 ⋅ ( 2 − 1) = 22010 La respuesta es a) 22010 1.74. En el desarrollo decimal de a) 7 b) 5 1 , ¿qué cifra ocupa el lugar 2011 después de la coma? 7 c) 3 d) 1 1 , periódico puro. Como 2011= 335 ⋅ 6 + 1 será la primera cifra del periodo, es decir, el 1. = 0,142857 7 La respuesta es d) 1 40 Unidad 1 |Números racionales AUTOEVALUACIÓN 1.1. 1.2. 1.3. Para cada apartado, calcula cinco fracciones, incluyendo la irreducible, que representen el número racional dado. a) 75 40 c) 150 324 b) 56 64 d) 610 425 a) 75 15 30 45 60 150 = = = = = 40 8 16 24 32 80 b) 56 28 14 7 21 35 = = = = = 64 32 16 8 24 40 c) 150 75 25 50 100 300 = = = = = 324 162 54 108 216 648 d) 610 122 244 366 488 1220 = = = = = 425 85 170 255 340 850 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. a) 37 37 −37 37 , , , 15 −3 16 8 b) 8 3 −5 −12 , , , 20 16 8 10 a) 37 37 −37 37 > > > −3 8 15 16 b) −5 −12 32 15 −50 −96 8 3 ⇒ > > > , , , 80 80 80 80 20 16 8 10 Calcula la expresión decimal de cada una de las siguientes fracciones y di de qué tipo es. a) 35 24 c) 15 27 b) 1 25 d) 7 40 a) 35 = 1,4583 Decimal periódico mixto 24 b) 1 = 0,04 Decimal exacto 25 c) 15 = 0,5 Decimal periódico puro 27 d) 7 = 0,175 Decimal exacto 40 Números racionales | Unidad 1 41 1.4. Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes. a) 5,72 b) 8,340 c) 16,09 a) 572 143 = 100 25 5,72 = − 8 8332 8340 = 8,340 b) = 999 999 c) 1.5. 1609 − 160 1449 161 = = = 16,09 90 90 10 Calcula el resultado de las siguientes potencias. 5 a) 3 4 a) 35 243 3 = = 45 1024 4 b) 36 −6 = 49 7 c) 93 729 9 − = − = 83 512 8 d) 625 4 5 = = 256 5 4 b) −6 7 2 3 c) 9 − 8 c) 4 7 1 1 − − ⋅− 3 4 4 2 d) 2 3 7 2 − 1− ⋅ − 15 2 5 5 d) 4 5 −4 5 2 3 −4 1.6. 4 Opera y simplifica. 2 a) 17 1 5 − ⋅ +1 49 49 2 b) 13 1 3 − ⋅ 1+ 16 16 2 a) 17 1 5 34 − 5 + 98 127 −= ⋅ +1 = 49 49 2 98 98 b) 13 1 3 13 1 5 13 1 25 52 25 27 − ⋅ 1 + = − ⋅ = − ⋅ = − = 16 16 2 16 16 2 16 16 4 64 64 64 c) 4 7 1 4⋅7 1 7 3 + 112 115 1 1 = + = = − − ⋅− = − + 48 48 4 2 3 4 4 3 ⋅ 4 16 3 d) 2 3 7 2 2 21 2 2 21 4 2 17 − 1− ⋅ − = − 1− − = − 1− − − 1 − = = 15 2 5 5 15 10 5 15 10 10 15 10 2 2 2 = 42 2 2 2 7 4 21 25 5 − − = + = = 15 10 30 30 30 6 Unidad 1 |Números racionales 1.7. Haz las operaciones y simplifica. −2 a) 5 4 1 3 1 : − ⋅ − 1 3 4 2 b) 4 1 5 3 1 + − − ⋅2 − : 3 3 6 2 9 a) 384 5 1 3 1 4 5 1 16 5 1 : − −= := = : − ⋅ − 4 3 4 2 5 12 2 25 24 125 b) 4 1 5 3 1 4 1 5 27 4 1 5 23 4 1 115 397 + − − ⋅2 − : = + − ⋅2 − = = + − ⋅− = + + 3 3 6 2 9 3 9 6 2 3 9 6 2 3 9 12 36 2 −2 2 2 1.8. En un grupo de 50 atletas, las 3 partes han conseguido calificación de nivel superior en las 5 3 partes del resto han obtenido calificación de nivel normal. Los 5 demás fueron calificados como de nivel bajo. Halla el número de atletas que corresponde a cada nivel. pruebas realizadas y las En total, hay 25 cuadrados que se corresponden con 50 atletas. Por tanto, cada cuadrado se corresponde con 2 atletas. Superior: 15 ⋅ 2 = 30 atletas Medio: 6 ⋅ 2 = 12 atletas Bajo: 4 ⋅ 2 = 8 atletas Números racionales | Unidad 1 43 PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Construye y aprende > Las matemáticas de la música Las matemáticas aparecen continuamente en la música. Ya has visto que las fracciones se usan para indicar el tamaño de los violines, pero esa no va a ser su única aparición en este campo. Pitágoras y sus sucesores experimentaron con el monocordio, un instrumento de una sola cuerda, para determinar la relación entre las notas musicales más “agradables”. El monocordio permitía cambiar la longitud de la cuerda, de forma que al pulsar se obtuvieran distintos sonidos. Si se tomaba como unidad la longitud de la cuerda, esos sonidos “agradables” 3 2 1 , y . A partir de esta base se puede construir toda nuestra correspondían a las fracciones 4 3 2 escala musical. Curiosamente, al estudiar esas propiedades musicales aparecían los números 1, 2, 3 y 4, que para los pitagóricos tenían un significado especial. La tetractys, formada a partir de ellos, era uno de sus símbolos más importantes. Vamos a construir un monocordio para encontrar los sonidos que buscaba Pitágoras. Para ello necesitarás algunos materiales: Una tabla de madera de unos 40 centímetros de longitud Clavos Una cuerda de guitarra Una goma elástica 1.º Coloca dos clavos en la tabla. Para que los cálculos sean sencillos, ponlos a una distancia que 1 3 2 y sea múltiplo del denominador común de las fracciones que aparecerán , , por 2 4 3 ejemplo, a 24 cm. 1 1 1 1 1 , , , y en 6 2 3 4 5 los puntos donde cada fracción indique lo que representa la distancia desde ese punto hasta el clavo más próximo respecto de la distancia total entre ambos clavos. 2.º Pega una tira de papel y dibuja en ella una recta, marcando las fracciones 3.º Coloca la cuerda alrededor de los dos clavos de forma que quede tensa. 4.º La goma se introduce por un extremo de la tabla, y sirve para fijar el punto que queramos de la cuerda. Ahora puedes realizar las siguientes actividades. 1.1. Pulsa la cuerda sin colocar la goma, y escucha el sonido que produce. Ese sonido es el básico, a partir del cual estudiaremos los demás. Conviene asegurarse de que la cuerda está tensa, y de que los clavos estén bastante separados. 1.2. Coloca la goma en la fracción 1 y pulsa la cuerda. ¿Qué observas? 2 Se produce la misma nota, pero una octava más alta. 44 Unidad 1 |Números racionales 1.3. 1 1 1 1 Colócala en las otras fracciones que has marcado , , y y haz vibrar el lado más 6 3 4 5 largo de la cuerda. Obtendrás la quinta, la cuarta, la tercera mayor y la tercera menor, respectivamente. ¿Conoces estos términos? Si no es así, búscalos en internet. Si la nota base fuese DO, la cuarta y la quinta corresponderían a FA y SOL; en el piano, si DO es la primera tecla blanca, FA es la cuarta y SOL, la quinta. Empezando en cualquier nota, se puede obtener la cuarta, quinta, etc., contando el número adecuado de tonos y semitonos. Por ejemplo, a partir de una nota se obtiene la tercera mayor avanzando dos tonos y la tercera menor avanzando un tono y un semitono. En cada caso, la fracción más larga de cuerda se corresponde con la que determinó: (quinta) y 1.4. 1 (octava). 2 ¿Cuáles de las notas anteriores eran las que Pitágoras consideraba más agradables? Pitágoras: 1.5. 2 3 (cuarta), 3 4 3 1 2 (cuarta), (quinta) y (octava) 2 4 3 Busca información sobre Pitágoras y los pitagóricos, y haz un breve resumen por escrito. Exponed vuestros trabajos (el monocordio, los resultados obtenidos y el resumen). Respuesta abierta. Se pueden repartir las tareas por grupos, y que cada uno las exponga al resto. Números racionales | Unidad 1 45 Calcula e investiga > Fracciones musicales La duración de las notas es muy importante a la hora de interpretar una pieza musical. Tomando como unidad la duración de una negra, un tiempo, se pueden distinguir las siguientes notas, de forma que cada una dura la mitad de la anterior: redonda, blanca, negra, corchea, semicorchea, fusa y semifusa. 1.1. 1.2. Si escribimos la duración de una negra como 1 t, ¿cuánto dura cada nota? Redonda Blanca Negra Corchea Semicorchea Fusa Semifusa 4t 2t 1t 1 t 2 1 t 4 1 t 8 1 t 16 ¿Cuántas semicorcheas hay en una blanca? ¿A cuántas redondas equivale una fusa? Una blanca equivale a 8 semicorcheas. Una fusa equivale a 1.3. 1 de una redonda. 32 En música se utiliza un símbolo, el puntillo, que incrementa la duración de la nota un 50 %. ¿A cuántas fusas equivaldrá una corchea con puntillo? Una corchea con puntillo es igual a una corchea y una semicorchea, y equivale a 6 fusas. 1.4. Si se coloca un doble puntillo, se aumenta la duración de la nota un puntillo y la mitad de un puntillo. ¿Qué fracción representa en total ese aumento? Se aumenta 1.5. 1 1 3 + =. 2 4 4 Investiga acerca del origen de los nombres de las notas de la escala musical y haz un breve resumen. Respuesta abierta. Debería aparecer el nombre del monje Guido de Arezzo, el himno que le sirvió de referencia y los cambios posteriores de nombre de las notas DO y SI. 46 Unidad 1 |Números racionales Aprende a pensar > La comida que se tira Cada día se tira a la basura una enorme cantidad de comida. En algunos casos son restos de alimentos cocinados que no se han llegado a consumir. En otros son productos que se desechan por estar a punto de superar la fecha de caducidad indicada, o porque tienen una apariencia menos atractiva, cosa que ocurre frecuentemente con la fruta. En estudios realizados en todo el mundo se obtuvieron resultados sorprendentes. Por ejemplo, unas dos quintas partes de la comida que se produce en EE. UU. terminan en la basura. En España, cerca de tres millones de toneladas de comida se desperdician cada año, lo que supone un coste de unos 250 euros al año por persona. 1.1. En España hay unos 46 millones de habitantes. ¿Cuánto dinero supone al año la comida desperdiciada? ¿Cuántos kilogramos de comida tira cada uno, en promedio? Son 11 500 millones de euros cada año, y unos 65 kg por persona y año. 1.2. La media de comida que tira cada habitante es del 18 % de lo que compra. Supongamos que 3 de esa cantidad se podrían haber consumido si se hubieran conservado aproximadamente 5 1 del resto ni siquiera se llegó a sacar del embalaje. Lo demás serían correctamente, y 3 residuos no comestibles: pieles, cáscaras, etc. ¿Qué fracción de la comida que compra una familia representan? 18 2 2 6 · · = . En este tipo 100 5 3 125 de operaciones suele haber muchos errores al realizar los cálculos. Para evitarlos, se pueden usar varias estrategias: hacer un gráfico en árbol, realizar los cálculos tomando una cantidad inicial arbitraria, etc. La fracción de comida que representan los residuos no comestibles es 1.3. En el libro Hungry Planet (Peter Menzel y Faith D’Aluisio) aparecen fotos y datos sobre el consumo de alimentos semanal en familias de varios países. Entra en www.e-sm.net/4aesoz04 para ver esos datos, compáralos y coméntalos con tus compañeros. Debate tu opinión en http://matematicas20.aprenderapensar.net/. Respuesta abierta. Números racionales | Unidad 1 47 Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Fernando Alcaide, Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Vanesa Fernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, Inmaculada Fernández, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. 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