1 Números racionales

1 Números racionales
ACTIVIDADES INICIALES
1.I.
1.II.
Completa la tabla del texto añadiendo una fila que indique cuál sería la fracción exacta de cada
tamaño.
4
4
3
4
1
2
1
4
Longitud de la caja
356 mm
330 mm
300 mm
267 mm
Fracción real
1
330 165
=
356 178
300 150
=
356 178
267
356
Qué lugar ocupa el violín
Está entre
1.III.
Tamaño
7
en la escala de los tamaños?
8
4
3
y .
4
4
¿Quién fue el fabricante de violines más reconocido de la historia?
Antonio Stradivarius (1644 – 1737), lutier (fabricante de violines) italiano.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.1.
Actividad resuelta
1.2.
Un embalse está a dos tercios de su capacidad total. Si contiene 816 hm , ¿cuál es esa
capacidad?
3
Sea x la capacidad total del embalse:
1.3.
Calcula los
2
816 ⋅ 3
x= 816 ⇒ x=
⇒ x= 1224hm3
3
2
12
de un total de 225 unidades. ¿Por qué resulta una cantidad mayor?
5
12
225 ⋅ 12
⋅ 225
=
= 540
5
5
La cantidad resultante es superior debido a que el numerador de la fracción es mayor que el
denominador.
1.4.
Los
7
de una cantidad son 147. ¿Cuál es esa cantidad?
3
Si x es la cantidad:
18
Unidad 1 |Números racionales
7
147 ⋅ 3
⋅ x= 147 ⇒ x=
⇒ x= 63.
3
7
1.5.
1.6.
7
de la población de aves en unas islas son gaviotas argénteas y se estima que el total
11
de aves es de 1331. ¿Cuántas de ellas pertenecen a la mencionada especie?
Los
El número de gaviotas argénteas será:
7
1331⋅ 7
⋅ 1331
=
= 847.
11
11
De los usuarios de un polideportivo,
2
practican fútbol, y los 133 restantes, otros deportes.
9
¿Cuántas personas practican fútbol?
En el resto de deportes, se han matriculado los
7
de los alumnos. Si x es el total de alumnos:
9
7
133 ⋅ 9
⋅ x= 133 ⇒ x=
⇒ x= 171
9
7
En número de alumnos que practican fútbol será: 171 – 133 = 38.
1.7.
Actividad resuelta.
1.8.
Calcula los valores de a, b y c para que se verifique:
2
a
10
c
= = =
11 33
b
−22
a
2
66
=
⇒ 2 ⋅ 33 = 11⋅ a ⇒ a =
⇒a= 6
11 33
11
2 10
110
=
⇒ 11⋅ 10 = 2 ⋅ b ⇒ b =
⇒ b = 55
11 b
2
c
−44
2
=
⇒ ( −22 ) ⋅ 2 =
⇒c =
−4
11⋅ c ⇒ c =
11 −22
11
1.9.
Ordena de mayor a menor estos números racionales:
3 11 7
15
,
,
y
4 12 8
16
3 36 11 44 7 42 15 45
15 11 7 3
=
;
=
; =
;
=
⇒
>
> >
4 48 12 48 8 48 16 48
16 12 8 4
1.10. Una memoria externa se ha dividido en ocho áreas de igual capacidad. Después de grabar
unos archivos quedan
13
libres del total de la memoria. ¿Cuántas áreas ocupan los archivos?
16
La parte de la memoria que ha sido ocupada es 1 −
Como cada área ocupa
13
3
=.
16 16
1
2
del total de la memoria, el número de áreas ocupadas por los
=
8 16
archivos grabados es 1,5.
Números racionales | Unidad 1
19
1.11. Actividad resuelta.
1.12. (TIC) Opera y simplifica las expresiones:
a)
 1 6 2 1
2−5⋅ −
⋅  + ⋅ (−6)
 5 20 3  3
b)
3 
5  
3 

2 + ⋅3 −
⋅5 +

5 
10  
15 

a)
1 6 2 1
 1 1
2 − 5⋅ −
⋅  + ⋅ ( −6) = 2 − 5 ⋅  −  − 2 = 2 − 5 ⋅ 0 − 2 = 2 − 2 = 0
 5 20 3  3
5 5
b)
3 
5  
3  
3 
1 
1  10 + 3 6 − 1 25 + 1 13 5 26 169

⋅
⋅
=
⋅ ⋅
=
2 +  ⋅3 −
 ⋅5 +
 = 2 +  ⋅3 −  ⋅5 +  =
5
10
15
5
2
5
5
2
5
5 2 5
5

 
 
 
 
 

1.13. (TIC) Calcula y simplifica:
a)
1 
1 


 2 +  : 2 + 1:  2 +  
3 
3 


b)
2 6  9
1 
 3 
 − 5  ⋅ (−2) + 3 ⋅ 12  :  5 − 3 ⋅ 10 



 
1
6 +1
7
7
7
7⋅7
49
3=
3 =
3=
3= =
3
=
1
1
3 14 + 3 17 3 ⋅ 17 51
2+
2+
2+
1
6 +1
7
7
7
2+
3
3
2+
a)
b)
2 6
 3
 −  ⋅ ( −2) + ⋅
5
3
12


=
9
1
−3⋅
5
10
6 1
18 + 5
23
+
23 ⋅ 10 23 ⋅ 2 46
5 =
3
15= 15
=
=
=
9 3
18 − 3 15 15 ⋅ 15 15 ⋅ 3 45
−
5 10
10
10
1.14. Actividad resuelta.
1.15. En una clase, un tercio de los alumnos eligen fútbol como deporte, las
2
partes eligen
5
1
parte natación y los ocho restantes eligen baloncesto. Halla el total de alumnos
5
de la clase y cuántos eligen cada deporte.
atletismo,
Entre los alumnos que eligen fútbol, atletismo y natación, suman
que solo
1 2 1 5 + 6 + 3 14
+=
+
=
, por lo
3 5 5
15
15
1
se corresponde con los 8 alumnos de baloncesto.
15
1
x = 8 ⇒ x = 8 ⋅ 15 ⇒ x =120 alumnos: 40
15
de fútbol, 48 de atletismo, 24 de natación y 8 de baloncesto.
Si llamamos x al número total de alumnos de la clase:
20
Unidad 1 |Números racionales
2
1
de su tiempo libre diario a leer novelas de miedo, y
de lo que resta, a
5
4
practicar deporte. Quitando estas dos actividades, todavía le quedan otras dos horas y cuarto
de tiempo libre.
1.16. Patricia dedica los
a)
¿Cuál es el total de su tiempo libre?
b)
¿Cuánto tiempo le dedica a la lectura de novelas de miedo?
c)
¿Y a practicar deporte?
9 cuadrados representan 135 minutos y cada cuadrado representa
135
= 15 minutos.
9
a)
El tiempo total es
=
20 ⋅ 15 300 =
minutos 5 horas .
b)
En leer
=
8 ⋅ 15 120 =
minutos 2 horas
c)
En deporte
=
3 ⋅ 15 45 minutos
=
3
de hora
4
1.17. Actividad interactiva.
1.18. Actividad resuelta.
1.19. Clasifica las expresiones decimales siguientes en exactas, periódicas puras y periódicas
mixtas. En su caso, indica el período.
a)
2,4545
c)
0,1234512345…
b)
3,454545…
d)
43,43535353…
a)
Decimal exacto
b)
Decimal periódico puro

3,454545 … = 3,45
c)
Decimal periódico puro

0,123451234512345 … = 0,12345
d)
Decimal periódico mixto

43,43535353 … = 43,435
1.20. Calcula las expresiones decimales de las siguientes fracciones e indica su tipo.
a)
13
25
c)
4
9
b)
6
7
d)
5
48
a)
13
= 0,52
25
c)

4
= 0,4
9
periódico puro
b)
6
 periódico puro
= 0,857142
7
d)

5
= 0,10416
48
periódico mixto
decimal exacto
Números racionales | Unidad 1
21
1.21.
Convierte en fracciones estos decimales.
a)
0,85
c)
0,085858585…
b)
0,85858585...
d)
8,5858585...
a)
0,85
=
c)
0,085858585=
…
b)
0,85858585... =
d)
8,5858585
=
…
85
17
=
100 20
85
99
85
17
=
990 198
858 − 8 850
=
99
99
1.22. Actividad resuelta.
1.23. Dibuja en una misma recta los enteros:
4, –4, 3, –2, 5
1.24. ¿Cuáles son los números racionales señalados?
A= − 2; B = 4; C =
1.25.
Dibuja en una misma recta los números racionales
3
2
4
4
y − .
5
5
Para dibujar el número negativo, se dibuja el positivo y se pincha el
compás en el 0 y con apertura hasta el número.
1.26. Dibuja en una misma recta los números racionales
5
9
y
.
3
4
Nos fijamos en que
fracción
1.27. Actividad interactiva.
22
Unidad 1 |Números racionales
entonces dibujamos la
2
comenzando en el 1.
3
Para dibujar
9
1
comenzando por 2, ya que = 2 + .
4
4
5
2
= 1+
3
3
9
4
hacemos como en el caso anterior,
EJERCICIOS
Fracciones. Números racionales
1.28. Escribe la fracción que corresponde a cada una de estas expresiones:
a)
Alba ha resuelto bien 4 de 5 ejercicios.
b)
El 15 % de los habitantes son inmigrantes.
c)
La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba.
d)
En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.
a)
4
5
b)
15
100
c)
1
⋅ 96
8
d)
8
10
1.29. Escribe, si existe:
a)
Un número racional que no sea entero.
b)
Un número racional que sea entero.
c)
Un número entero que no sea racional.
d)
Un número decimal que no sea racional.
a)
8
7
b)
36
4
c)
Es imposible: todos los números enteros son racionales.
d)
1,320332033320…
1.30. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a)
Todos los números racionales son enteros.
b)
Todos los números enteros son racionales.
c)
Algunos números enteros son racionales.
d)
Algunos números racionales son enteros.
a)
No. Por ejemplo
b)
Sí, ya que cualquier entero se puede escribir como una fracción cuyo numerador es su valor y
cuyo denominador es la unidad.
c)
En realidad, todos los enteros son racionales tal y como se expone en el apartado b).
d)
Sí, precisamente todos los enteros.
2
es racional y no es entero.
3
Números racionales | Unidad 1
23
1.31. ¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia?
Son números racionales y, por tanto, se pueden expresar en forma de fracción.
El primero es decimal exacto, tiene una cantidad finita de cifras decimales, y el segundo es decimal
.
periódico puro, 3,14
1.32. Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.
a)
Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad.
b)
Un número racional es una fracción.
c)
Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria.
d)
Todos los números enteros son racionales.
a)
Falso:
b)
Falso: un número racional es un conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí.
c)
Falso: los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar
en forma fraccionaria. Por ejemplo, 0,12349873412…
d)
Verdadero
9
representa una cantidad mayor que 1.
5
1.33. Calcula el valor de x para que sean equivalentes las fracciones siguientes.
a)
x
9
y
26
13
a)
26 ⋅ 9 = 13 ⋅ x ⇒ x =
26 ⋅ 9
⇒ x = 18
13
b)
54 ⋅ 7 = 42 ⋅ x ⇒ x =
54 ⋅ 7
⇒x= 9
42
c)
b)
42
7
y
54
x
c)
50 ⋅ 2
100
⇒x=
No es entero. No hay ninguna fracción con numerador 2 que
7
7
7
.
sea equivalente a
10
50 ⋅ 2 = 7 ⋅ x ⇒ x =
1.34. Halla cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas.
24
7
2
y
50
x
a)
19
8
c)
16
11
b)
12
13
d)
8
15
a)
19 38 57 190 95
= = =
=
8 16 24 80
40
c)
16 32 48 80 160
= = = =
11 22 33 55 110
b)
12 24 36 120 60
= = =
=
13 26 39 130 65
d)
8
16 24 40
80
= = = =
15 30 45 75 150
Unidad 1 |Números racionales
1.35. Simplifica las siguientes fracciones.
a)
30
45
b)
28
35
c)
150
200
d)
360
300
a)
30 2
=
45 3
b)
28 4
=
35 5
c)
150 3
=
200 4
d)
360 6
=
300 5
1.36. Simplifica las siguientes fracciones hasta su equivalente irreducible.
a)
16
25
c)
44
200
b)
22
121
d)
322
230
a)
16
es irreducible.
25
b)
22
2
=
121 11
c)
44
11
=
200 50
d)
322 7
=
230 5
1.37. Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a
a)
90
120
d)
9
12
b)
3
4
e)
6
9
c)
72
98
a)
90
18
=
⇒ 120 ⋅ 18 = 90 ⋅ 24 ⇒ Es equivalente.
120 24
b)
3 18
=
⇒ 3 ⋅ 24 = 4 ⋅ 18 ⇒ Es equivalente.
4 24
c)
72 18
=
⇒ 72 ⋅ 24 ≠ 98 ⋅ 18 ⇒ No es equivalente.
98 24
d)
9
18
=
⇒ 9 ⋅ 24 = 12 ⋅ 18 ⇒ Es equivalente.
12 24
e)
6 18
=
⇒ 6 ⋅ 24 ≠ 9 ⋅ 18 ⇒ No es equivalente.
9 24
18
?
24
Números racionales | Unidad 1
25
1.38. Estudia si son correctas las siguientes relaciones de orden.
a)
8 6
>
5 5
c)
3
3
<
11 10
b)
7
4
>
16 9
d)
9
4
>
20 6
a)
Verdadero
c)
Verdadero
b)
7
63 4
64
=
=
;
⇒ Falso
16 144 9 144
d)
9
27 4 40
=
;=
⇒ Falso
20 60 6 60
1.39. Compara los siguientes números racionales.
26
a)
8
9
y
9
4
e)
16
9
y
27
27
b)
−
f)
13
16
y
21 49
c)
−9
4
y
12
29
g)
−10
−10
y
28
16
d)
−6
12
y
25
−15
h)
5
−6
y
−18
32
a)
8 32 9 81
8 9
=
; =
⇒ <
9 36 4 36
9 4
b)
−
3
1
<
40 36
c)
−
9
4
<
12 29
d)
−6
−6
18 12
60
12
=
− ;
=
−
⇒
>
25
75 −15
75
25 −15
e)
16 9
>
27 27
f)
13
91 16
48
13 16
;
=
=
⇒
>
21 147 49 147
21 49
g)
−10 −10
>
28
16
h)
−6
5
80 −6
54
5
=
−
=
−
⇒
<
;
−18
−18 32
288 32
288
3
1
y
40
36
Unidad 1 |Números racionales
1.40. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de fracciones.
a)
19
,
36
32
,
36
9
,
36
b)
−10
,
29
c)
43
,
27
43
,
18
d)
15
,
9
2
,
9
e)
29
,
5
29
,
−36
29
,
15
f)
18
,
45
−3
,
45
−12
,
45
a)
7
9 19 24 32
<
<
<
<
36 36 36 36 36
b)
37
13 −10
8
24
<−
<
<
<
−29
29
29
29 29
c)
43 43 43 43 43
<
<
<
<
40 39 27 18
5
8
,
29
−
24
,
36
13
,
29
43
,
39
1
,
5
7
36
24
,
29
43
,
5
4
,
15
37
−29
43
40
6
10
−
29
48
7
45
1 18 2 20 4
24 6
54 15 150
1 2 4
6 15
=
⇒ < <
<
<
;
;=
;=
;=
d) =
5 90 9 90 15 90 10 90 9
90
5 9 15 10 9
e)
29
29 29 29
<−
<
<
−36
48 15
5
f)
−12 −3
7
18
<
<
<
45
45 45 45
1.41. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.
a)
19
,
9
−19
,
12
b)
−2
,
3
4
,
15
c)
1
,
−12
a)
19 19 −19 −19 19
>
>
>
>
−6
5
9
18
12
b)
c)
−5
,
8
19
,
−6
8
,
25
9
,
16
19
,
5
9
,
10
−1
,
4
−19
18
−7
6
15
−36
−2 −100 4
−2 −7
40 8
48 9 135 −7 −175
9
8
4
=
⇒
>
>
>
>
;=
;=
;=
;=
3
150 15 150 25 150 10 150 6
150
10 25 15
3
6
−12 −5 −90 9
−60
−1 15
−5
1
81 −1 −36 15
9
1
=
=
=
=
=
⇒
>
>
>
>
;
;
;
;
−12 144 8
−36
144 16 144 4 144 −36 144
16 −12 4
8
Números racionales | Unidad 1
27
9
x
25
,
y
representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la
x
36
y
fracción irreducible que lo representa.
1.42. Las fracciones
x
9
=
⇒ 9 ⋅ 36 = x 2 ⇒ 324 = x 2 ⇒ x 2 = 182 ⇒ x = ±18
x 36
9
25
25 ⋅ 18
=
⇒ 9 y = 25 ⋅ 18 ⇒ y =
⇒ y = 50
18
y
3
9
−18
25
1
9
x
25 1
La fracción irreducible es: = = =
. Y también = = = −
x 36
y
2
−18
−50
36
2
Operaciones con números racionales
1.43. (TIC) Realiza las siguientes sumas y restas.
28
a)
5 3 10 11
+ −
−
4 8 6 12
d)
7
2 8
+
+ −4
30 45 5
b)
19  1 4  8
− − −
16  3 9  3
e)
5 
1 3
− 2 − + 
24 
4 9
c)
7
1 3 5
−
− − 
12 18  4 9 
f)
 10 8  9 13
− − −

 3 9 6 4
a)
5 3 10 11 30 + 9 − 40 − 22
23
+ −
−
=
=
−
4 8 6 12
24
24
b)
19  1 4  8 171  48
64  384 171 − 48 + 64 − 384
197
−  −  − =− 
−
=
=
−
−
16  3 9  3 144  144 144  144
144
144
c)
7
1  3 5  21 2  27 20  21 − 2 − 27 + 20 12 1
−
− −  =
−
−
−
=
=
=
12 18  4 9  36 36  36 36 
36
36 3
d)
7
2 8
21 4 144 360
191
+
+ −4 = +
+
−
=−
30 45 5
90 90 90
90
90
e)
5 
1 3  15  144 18 24  15 − 144 + 18 − 24
135
15
− 2 − +  = − 
−
+
=
−
=
−
=
24 
4 9  72  72 72 72 
72
72
8
f)
83
 10 8  9 13  120 32  54 117 120 − 32 − 54 − 117
− − −
=
−
−
=
=
−


−
36
36
 3 9  6 4  36 36  36 36
Unidad 1 |Números racionales
1.44. (TIC) Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a)
9 5  14 
⋅ ⋅−

6 4  25 
c)
−6 4  8 
: :−

9 3  12 
b)
−3  12   10 
⋅−
⋅−

8  15   9 
d)
2  21  4
:− :
7  6  9
a)
9 5  14 
9 ⋅ 5 ⋅ 14
21
⋅ ⋅−
=−
 =−
6 4  25 
6 ⋅ 4 ⋅ 25
20
b)
−3  12   10 
3 ⋅ 12 ⋅ 10
1
⋅  −  ⋅  −  =−
=−
8  15   9 
8 ⋅ 15 ⋅ 9
3
c)
−6 4  8   6 ⋅ 3   8  6 ⋅ 3 ⋅ 12 3
: : −  =
=
−
 : −  =
9 3  12   9 ⋅ 4   12  9 ⋅ 4 ⋅ 8
4
d)
2  21  4  2 ⋅ 6  4
2⋅6⋅9
9
: −  : =
−
=
−
−
: =
7  6  9  7 ⋅ 21  9
7 ⋅ 21⋅ 4
49
1.45. Calcula las siguientes potencias.
4
a)
3
 
5
b)
 8
− 
 9
a)
81
3
  =
5
625
 
b)
64
 8
−  =
81
 9
7
 
6
d)
 2
− 
 3
c)
343
7
  =
6
216
 
d)
32
 2
−
−  =
243
 3
2
e)
 −9 


 5 
f)
 1
− 
 2
e)
 −9 

 =1
 5 
f)
1
 1
−
−  =
2
 2
3
c)
5
5
2
1
0
3
4
0
1
1.46. (TIC) Calcula las siguientes potencias de fracciones.
−1
a)
 1
 
9
b)
 −3 


 4 
a)
 1
 
9
b)
44 256
 −3 
=
=
 
81
34
 4 
 5
− 
 8
d)
6
 
7
c)
 5
− 
 8
d)
72 49
6
=
=
 
62 36
7
−4
−1
=9
−3
c)
−4
−2
−3
83 512
=
− 3 =
125
5
−2
Números racionales | Unidad 1
29
1.47. (TIC) Opera y simplifica.
a)
−
18 
3 6 
−  1− ⋅

5 
4 25 
d)
1−
b)
11  6 9  1 
− 
− −
10  15 5  4 
e)
7 4 1 5
− − : 
2 6 3 9
c)
7 1 3 5
+ ⋅ −
8 8 2 3
f)
8 5
−
3 3
a)
−
b)
11  6 9 
− 
− −
10  15 5 
c)
7 1 3 5 7 3 5 42 + 9 − 80
29
+ ⋅ − =+
− =
=
−
8 8 2 3 8 16 3
48
48
d)
1−
e)
7  4 1 5  7  4 9  315 − 60 + 54 309 103
− − :  = − −
=
=
=
2  6 3 9  2  6 15 
90
90
30
f)
8 5  −1  8 5  −1 − 4  8 5  −5  8 4 12
− :  − 1 = − : 
=4
 = − :
= + =
3 3  4
3
 3 3  4  3 3  4  3 3
5
6
7

: 2 − 
9

 −1 
:
− 1
 4

18 
3 6 
18  100 − 18  −360 − 100 + 18
442
221
− 1 − ⋅
−
−
=
−
=
−
=
=
5 
4 25 
5  100 
100
100
50
1  11  6 − 27 
=
− 
−
4  10  15 
1  11  21 
=
− −  −
4  10  15 
1
66 + 84 + 15 165 11
==
=
=
4 
60
60
4
5 
7
5  18 − 7 
5 11
45 21 7
:  2 −  =−
1
:
1
:
=−
1
= =
 =−
6 
9
6  9 
6 9
66 66 22
1.48. Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales.
2
a)
4 6 8 5  −3 
− ⋅ − :

7 7 3 4  2 
c)
1 2 4
3 1
+ ⋅  − ⋅
6 6 5
5 2
b)
2−3:
5 11  −7 
+
⋅

6 4  2 
d)
2 1 8 9
: −
⋅ : ( −5 )
3 2 12 3
a)
4 6 8 5
− ⋅ −
7 7 3 4
b)
2−3:
c)
1 2  4  3 1 1 2 ⋅ 16 3
1 16 3
25 + 32 − 45 12
2
+ ⋅  − ⋅ = +
−
= +
−
=
=
=
6 6  5  5 2 6 6 ⋅ 25 10 6 75 10
150
150 25
d)
2 1 8 9
4 72
4
4 2 20 + 6 26
: −
⋅ : ( −5 ) = −
: ( −5 ) = − 2 : ( −5 ) = + =
=
3 2 12 3
3 36
3
3 5
15
15
3
 −3  4 48 10 24 − 96 + 35 −37
:
+
=
=
= −
42
42
 2  7 21 12
3
5 11  −7 
18 11  −343 
18 3773 320 − 576 − 18865
19121
+ ⋅
+ ⋅
−
=
=−
 =2 −
 =2 −
6 4  2 
5
4  8 
5
32
160
160
2
30
Unidad 1 |Números racionales
1.49. (TIC) Opera y simplifica.
a)
2 1
−
3 6
1
2⋅
9
b)
1
c)
1+
1
1−
1
2
4 −1
2 27 9
6= 3 :=
=
2
6 9 12 4
9
a)
2 1
−
3 =
6
1
2⋅
9
b)
3 5
⋅
4 =
6
1 1
1+ −
2 3
1+
c)
3 5
⋅
4 6
1 1
1+ −
2 3
1+
5
7 78 39
8= 13 :=
=
6+3−2
8 6 56 28
6
1+
1
1
1
1
= = =
1
1 1+ 2 3
1+
1+
1
1
1−
2
2
1.50. (TIC) Realiza las siguientes operaciones.
d)
4  3  2 3 6 
⋅ 1+ ⋅  − ⋅ 
10  4  5 2 5  
e)
15   3  9

 7 
8 −
 :  ⋅  − 2 −

2
4
8

  
 16 
a)
7 1 2 6 3
− ⋅ − : 
9 9 3 4 7
b)
1   11 4 3 

3 −  :  − ⋅ 
2

  5 5 4
c)
8 2 4 7
4 + 2⋅ − ⋅  :
9 3 5 2
a)
7 1  2 6 3  7 1  2 42  7 1  8 − 42  7  −34  84 + 34 118 59
− ⋅ − :  = − ⋅ −
=
=
 = − ⋅
 = −
=
9 9  3 4 7  9 9  3 12  9 9  12  9  108 
108
108 54
b)
1   11 4 3   5   11 3  125 8 625  25 

: =
= 
3 −  :  − ⋅ =
   : − =


2
8 5
64  8 

  5 5 4 2  5 5
c)
64 1260 + 64 1324
8 2 4 7
8 8  7
 16  7
4 + 2⋅ − ⋅  : = 4 + 2⋅ −
=
=
 : = 4 + 2⋅
: = 4+
9
3
5
2
9
15
2
45
2
315
315
315






d)
4  3  2 3 6   4  3  2 9   4   7 ⋅ 3   4  20 − 21
1
⋅ 1+ ⋅  − ⋅  =
⋅ 1+ ⋅  −  =
⋅ 1+  −
⋅
= −
 =
10  4  5 2 5   10  4  5 5   10   5 ⋅ 4   10  20 
50
e)
15   3  9
8

 7   1   3  7  7  1  21 7  1  35 
−
8 −
 :  ⋅  − 2 −  =   :  ⋅  −  −  = :  −
 = : −
=−
2  4  8
35

 16   2   4  8  16  4  32 16  4  32 
3
3
2
3
2
2
2
Números racionales | Unidad 1
31
1.51. (TIC) Expresa como una única potencia:
2
a)*
4
3
 7   7   8
⋅
−
  
  :
 8   8   7
b)
  9  −2  4  
  ⋅   
 4   9  
a)
4
3
4
6
 7   7   8  7   7 
:
⋅
−
=
⋅
−


 


  

 8   8   7  8   8 
b)
 9 −2  4  
  ⋅   
 4   9  
c)
 3   2 
 −2 
  :   ⋅  
 3 
 2   3 
d)
 4 2  5 −1   5 −4
  ⋅    :  
 5   4    4 
−6
 4
:− 
 9
−4
−6
6
 4
: − 
 9
−1
−5
d)
  4  2  5  −1    5  −4  4  
  ⋅    :   :   
 5  
 5   4    4 
−1
7
7
: =

 
8
8
 4  2  4  
=
  ⋅   
 9   9  
  3 4
 =−


  2 
−6
  3  6  2  −1 
:   ⋅   
 2   3  
 −2 


 3 
−5
2
−4
c)
 4
: − 
 9
4 + 6 −( −1)
−5
11
7
=  
8
 4 3 
=
  
 9  
−6
 4
: − 
 9
−5
4
=
− 
9
−18 + 5
 3 6 3   3 4 −(6 +1)  3 −3  2 3
:   ⋅  =
=
 
  =
 
2
3
 2  2   2 
2
4
 4    4  4   4 
:   =
:
⋅
 
  
 5    5  5   5 
(2 +1) −(4 −1)
0
 4   4 
4
:   =
1
=
 
  =
 5    5 
5
1.52. (TIC) Opera y simplifica.
−3
2
8 4 1   −7 
1 
9 
⋅ − : 
 + ⋅  2 − 
5 6 6  2 
4 
5  
a)
2

 − 1
3

b)
3
 5 1  2  −2    3
1 9

⋅ 
 − ⋅    :  − 2  −
 12 2 
 4 3  6    2
c)
 11 3  1  3 1 
 − ⋅ 2 : −  − 
 6 4  3  5 11 
a)
2
−3
−3
8 4 1  −7 
1 
9   1 
32 1  49 1 1 
2 
− :
+ ⋅
=
 − 1 + ⋅ − :   + ⋅  2 −   = −  +
5 6 6  2 
4 
5    3 
30 6  4 4 5 
3 
+
2
=
−27 +
b)
16 1 246 −49 815 + 1 968 − 25
47 872
− :
=
=
−
15 6 20
1 845
1 845
3
3
 5 1  2 −2   3
1 9   5 1 36   1  3   5

  1 3
⋅  =  − ⋅  :  −  −  =  − 3  :  − −  =
 − ⋅    :  − 2  −
 12 2   4 3 4   2  8   4
  8 8
 4 3  6    2
 7   1  14 7
=−

 : −  = =
 4  2 4 2
2
c)
2
 2  1  28  4 ⋅ 3 28 1 28 55 − 84 −29
=  : − 
−
= −
=
=
=
165
165
 6  3  55  36 55 3 55
32
2
 11 3  1  3 1   11 3  1  33 − 5   11 − 9  1  28 
 − ⋅ 2  : −  − =  −  : − 
= 
 : −
=
 6 4  3  5 11   6 2  3  55   6  3  55 
2
Unidad 1 |Números racionales
13
9
=
− 
4
Fracciones y decimales
1.53. Justifica si los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción.
a)
4,08939393…
c)
3,14
e)
82,7777…
b)
8,0100100001…
d)
−6
f)
2,1919…
Todos menos el del apartado b), porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
1.54. Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones e indica, en cada caso, si es decimal
exacta, periódica pura o periódica mixta.
a)
13
50
c)
35
27
e)
8
125
g)
97
42
b)
48
9
d)
25
36
f)
50
64
h)
70
9
a)
13
= 0,26 ⇒ decimal exacto
50
e)
b)

48
= 5,3 ⇒ periódico puro
9
f)
8
= 0,064 ⇒ decimal exacto
125
50
= 0,78125 ⇒ decimal exacto
64
35
 ⇒ periódico puro
c) = 1,296
27
97
 ⇒ periódico mixto
g)
= 2,30952380
42

25
d) = 0,694 ⇒ periódico mixto
36
h)

70
= 7,7 ⇒ periódico puro
9
1.55. Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales.
a)

0,36
f)

10,5
b)

2,983
g)
1,2
c)
3,985
h)

5,34
d)
18,41
i)

−8,1730
e)

8,0359
a)
4
 36
0,36
=
=
99 11
− 29 1477
 2983
=
2,983
b)=
990
495
 105 − 10 95
f)=
10,5 =
9
9
g)
1,2
=
12 6
=
10 5
c)
3,985
=
3985 797
=
1000 200
− 5 529
 534
=
5,34
h) =
99
99
d)
18,41 =
1841
100
i)
81730 − 817
26971
=
−8,1730
−
=
−
9900
3300
− 803 19889
 80359
=
=
e) 8,0359
9900
2475
Números racionales | Unidad 1
33
1.56. Escribe los siguientes números racionales en forma de fracción.
a)

12,160
b)

8,49
160 − 12 12 148
 12
12,160
=
=
a)
999
999
b)
 849 − 84 765 17
=
= =
8,49
90
90
2
c)
30,805
d)
c)
30,805
=

17,89
30 805 6161
=
1000
200
− 17 1772
 1789
=
17,89
d)=
99
99
1.57. Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara los pares de fracciones.
28
25
c)
7

y 0,16
18
d)
5,36 y
a)
1,318 y
b)

17
y 2,5
9
a)
1318 659 28 560
28
1,318 =
=
;
=
⇒ 1,318 >
1000 500 25 500
25
b)
 25 − 2 23 17

17
2,5
=
=
;
⇒
< 2,5
9
9
9
9
c)
 = 16 = 32 ; 7 = 77 ⇒ 7 > 0,16

0,16
99 198 18 198
18
d)
5,36 =
111
20
536 111 555
111
;
=
⇒ 5,36 <
100 20 100
20
1.58. Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones
indicadas.
34
6
5
c)

7

− 0,3 + 1,29
9

1
+ 2,58
4
d)

 − 1,15 − 2
3,18
9
a)
−0,45 + 1,2 −
b)
18,4 −
a)
−0,45 + 1,2 −
b)
18,4 −
c)

7
 = 7 − 3 + 129 − 1 = 77 − 33 + 128 = 172
− 0,3 + 1,29
9
9 9
99
99 99 99
99
d)

 − 1,15 − 2= 318 − 3 − 115 − 11 − 2= 315 − 104 − 2= 1575 − 572 − 110= 893
3,18
9
99
90
9
99
90 9
495
495
6
45 12 6 −45 + 120 − 120
45
9
=
−
+
− =
=
−
=
−
5
100 10 5
100
100
20
 184 1 258 − 25 92 1 233 3312 − 45 + 466 3733
1
+ 2,58 =
− +
=
− +
=
=
4
10 4
90
5 4 90
180
180
Unidad 1 |Números racionales
1.59. Calcula y simplifica:
a)
b)
c)
d)


0,42 ⋅ 3,1 − 10,8 + 1,52


7,16 − 1,7 + 3,8 ⋅ 7,2 


19,85 − 13,2 ⋅ 4,5 + 8,16

 − 4,96

2,84 ⋅ 5,1 − 0,503

a)

42 31 98 151 1302 1078 151
798 102
=
0,42 ⋅ 3,1 − 10,8 + 1,52
⋅
−
+
= −
+
=
−
100 10 9
99 1000
99
99
99 000
b)


716  16 38 65  179  16 247  179 263
4964
7,16 − 1,7 + 3,8 ⋅ 7,2 =
− +
⋅
=
− +
=
−
= −


100  9 10 9  25  9
9  25
9
225
c)

 = 1787 − 132 ⋅ 45 + 808 = 1787 − 297 + 808 = − 31 069
19,85 − 13,2 ⋅ 4,5 + 8,16
90
10 10 99
90
5
99
990
d)

 − 4,96
  = 284 ⋅ 46 −  503 − 492  = 3266 + 49 079 = 5 214 761
2,84 ⋅ 5,1 − 0,503

 100 9  999 99  225 10 989
274 725
Representación de números racionales
1.60. (TIC) Descompón las siguientes fracciones en suma de un entero más una fracción menor que
la unidad e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas sobre la recta.
a)
29
8
c)
37
5
b)
−13
4
d)
−
a)
29
5
= 3 + . Está entre 3 y 4.
8
8
b)
−13
1
=−3 − . Está entre −4 y −3 .
4
4
c)
37
2
= 7 + . Está entre 7 y 8.
5
5
d)
−
11
3
11
2
1
=−3 − =−4 + . Está entre −4 y −3 .
3
3
3
Números racionales | Unidad 1
35
1.61. (TIC) Representa en la recta numérica:
a)
2
7
d)
−
8
3
b)
3
5
e)
11
6
c)
−
4
9
a)
d)
b)
e)
c)
1.62. Representa en la recta numérica los siguientes números, expresando previamente los
decimales en forma fraccionaria.
17
;
5

3,16;

− 2,35;
Ordénalos de menor a mayor.
 316 − 31 285 19
==
3,16 =
90
90
6

 < − 20 < 3,16 < 17
−2,35
9
5
36
Unidad 1 |Números racionales
235 − 2
233
=
− 2,35
−
=
−
99
99
−
20
9
PROBLEMAS
1.63. Juan se gasta 18 euros en un diccionario de latín. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra si
esta ha supuesto los tres octavos del total?
3
de una cantidad total y se quiere conocer dicho total, se debe multiplicar la
8
8
8 18 ⋅ 8
cantidad conocida por . Por tanto, Juan tenía al principio: 18 ⋅ =
= 6 ⋅ 8 = 48 euros.
3
3
3
Cuando se conocen los
1.64. En un grupo de 4.º de ESO de 23 alumnos hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no
ha nacido en España. ¿Qué fracción del total representan estos?
Hay 23 − 7 =
16 chicos.
1
16
2
de los alumnos no han nacido en España.
de
=
8
23 23
1.65. *En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente
construcción. La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4.º de ESO en
cada uno de ellos es la que se observa en el cuadro siguiente.
Matemáticas A Matemáticas B
Instituto antiguo
120
60
Instituto nuevo
90
30
¿En qué centro el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de
matriculados en 4.º de ESO es mayor?
En el instituto antiguo:
En el instituto nuevo:
120 12 2
es la fracción de alumnos matriculados en la opción A.
= =
180 18 3
90
9
3
= =
120 12 4
Hay que comparar las fracciones obtenidas.
2
8 
=
3 12  ⇒ 3 > 2

3
9
4 3
=


4 12
Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo.
Números racionales | Unidad 1
37
1.66. Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas.
Aunque los efectos secundarios deberían ser nulos, se ha comprobado que en 15 de ellas
produce un intenso dolor de cabeza. El tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de
personas en el que se manifiesta este dolor es inferior a un 0,01 %.
Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado?
Produce dolor de cabeza en
15
que equivale a un porcentaje del 0,046875 %.
320
Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado.
1
3
de una baguette para hacer un bocadillo, y con los
del resto ha
3
4
preparado unas rebanadas. Si ha sobrado un trozo de 4 centímetros, ¿cuánto medía la
baguette?
1.67. Javier ha cortado
1−
1 2
= de la barra quedan después de hacer el bocadillo.
3 3
3 2 1
⋅ = utiliza para las rebanadas.
4 3 2
1 1 6−2−3 1
, que equivale a 4 cm.
Queda: 1 − =
−
=
3 2
6
6
Por tanto, la medida de la baguette era de: 6 · 4 = 24 cm.
1
2
de su asignación mensual en ir al cine y
en comprar música. Después de
3
5
estos gastos le quedan todavía 24 euros.
1.68. Elena se gasta
a)
¿Cuál es la asignación mensual de Elena?
b)
¿Cuánto se gasta en ir al cine? ¿Y en comprar música?
1 2 15 − 5 − 6
4
1 −=
−
=
3 5
15
15
Por tanto, los
4
de la asignación son 24 euros.
15
a)
La asignación total es
b)
Se gasta en el cine
15
⋅ 24 =
90 euros.
4
1
⋅ 90 =
30 euros.
3
Se gasta en comprar música
38
Unidad 1 |Números racionales
2
⋅ 90 =
36 euros.
5
1.69.
En un invernadero se siembran 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de
calabacines. Se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de
pimientos y 6 de cada 11 de calabacines.
a)
¿Cuál de las tres plantas es más resistente?
b)
¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan?
c) Si se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de calabacines, ¿en
cuál se ha dado una producción superior a la esperada?
a)
Hay que comparar las fracciones
1 2
6
.
,
y
60 25 11
1
55
2
264 6 1800
1
2
6
=
; =
; =
⇒
<
<
60 3300 25 3300 11 3300
60 25 11
Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más resistentes.
b)
59
⋅ 500
= 491,67 ≈ 491 plantas de tomates
60
23
⋅ 400 =
368 plantas de pimientos
25
5
⋅ 350
= 159,09 ≈ 159 plantas de calabacines
11
c)
En los calabacines
1.70. El consumo de un televisor encendido es de 45 W·h a la hora. Si se apaga con el mando a
distancia, su consumo se reduce a 15 W·h a la hora mientras permanece en stand by. Si a lo
largo de un día el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando:
a)
¿Qué gasto total de energía se produce?
b)
¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente?
c)
¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se producirían en ese caso?
a)
4 ⋅ 45 + 20 ⋅=
15 480 W ⋅ h se gastan en un día.
b)
20 ⋅ =
15 300 W ⋅ h se podrían ahorrar.
c)
La fracción:
300 5
=
480 8
x
5
El porcentaje: =
⇒ x= 62,5 %
8 100
Números racionales | Unidad 1
39
AMPLIACIÓN
2
1

− 1 ?
3

1.71. El inverso del número P es el número Q si PQ = 1. ¿Cuál es el inverso de =
P 
a)
−
3
2
2+
b)
1 
P −1 =
 − 1
3

−2
 2
=
− 
 3
La respuesta es b)
−2
2+
1
4
c)
1

 1− 
3

2
d)
2
9
1
 3
2+
=
 −  ==
4
4
 2
1
4
1.72. En un torneo mixto de tenis –cada chico juega contra una chica–,
jugando con
a)
−
5
9
1
de los chicos está
3
2
de las chicas. ¿Qué fracción del total de participantes no está jugando?
5
7
11
1
15
b)
c)
2
15
d)
5
8
Sea x el número de chicos e y el número de chicas:
1
2
6
x=
y ⇒ x=
y
3
5
5
2
3
x+ y
3 =
5
x+y
4
3
y+ y
7
5
5=
+y
6
11
y
5
La respuesta es a)
7
11
1.73. ¿Cuál es el valor de 2
2011
− 22010 ?
a)
22010
c)
21005
b)
2
d)
Nada de lo anterior.
22011 − 22010 =
2 ⋅ 22010 − 22010 =
22010 ⋅ ( 2 − 1) =
22010
La respuesta es a)
22010
1.74. En el desarrollo decimal de
a)
7
b)
5
1
, ¿qué cifra ocupa el lugar 2011 después de la coma?
7
c)
3
d)
1
1
 , periódico puro. Como 2011= 335 ⋅ 6 + 1 será la primera cifra del periodo, es decir, el 1.
= 0,142857
7
La respuesta es d) 1
40
Unidad 1 |Números racionales
AUTOEVALUACIÓN
1.1.
1.2.
1.3.
Para cada apartado, calcula cinco fracciones, incluyendo la irreducible, que representen el
número racional dado.
a)
75
40
c)
150
324
b)
56
64
d)
610
425
a)
75 15 30 45 60 150
= = = = =
40
8
16 24 32
80
b)
56 28 14 7 21 35
= = = = =
64 32 16 8 24 40
c)
150
75
25
50
100 300
=
= =
=
=
324 162 54 108 216 648
d)
610 122 244 366 488 1220
= = = = =
425
85
170 255 340
850
Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.
a)
37 37 −37 37
,
,
,
15 −3 16
8
b)
8
3 −5 −12
,
,
,
20 16 8
10
a)
37 37 −37 37
>
>
>
−3
8
15
16
b)
−5 −12
32 15 −50 −96
8
3
⇒
>
>
>
,
,
,
80 80 80
80
20 16
8
10
Calcula la expresión decimal de cada una de las siguientes fracciones y di de qué tipo es.
a)
35
24
c)
15
27
b)
1
25
d)
7
40
a)

35
= 1,4583 Decimal periódico mixto
24
b)
1
= 0,04 Decimal exacto
25
c)

15
= 0,5 Decimal periódico puro
27
d)
7
= 0,175 Decimal exacto
40
Números racionales | Unidad 1
41
1.4.
Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes.


a) 5,72
b) 8,340
c) 16,09
a)
572 143
=
100
25
5,72
=
− 8 8332
 8340
=
8,340
b) =
999
999
c)
1.5.
 1609 − 160 1449 161
=
= =
16,09
90
90
10
Calcula el resultado de las siguientes potencias.
5
a)
3
 
4
a)
35
243
3
=
=
 
45 1024
4
b)
36
 −6 

 =
49
 7 
c)
93 729
 9
−
=
−
=


83 512
 8
d)
625
4
5
=

=

256
5
4
b)
 −6 


 7 
2
3
c)
 9
− 
 8
c)
4  7
 1 1
 −  − ⋅− 
3  4
 4 2
d)
2   3 7 2 
− 1−  ⋅ − 
15   2 5 5  
d)
4
 
5
−4
5
2
3
−4
1.6.
4
Opera y simplifica.
2
a)
17
1 5
−
⋅ +1
49 49 2
b)
13 1 
3
−
⋅  1+ 
16 16 
2
a)
17 1 5
34 − 5 + 98 127
−=
⋅ +1
=
49 49 2
98
98
b)
13 1  3 
13 1  5 
13 1 25 52 25 27
−
⋅ 1 +  =
−
⋅  =
−
⋅
=
−
=
16 16  2 
16 16  2 
16 16 4
64 64 64
c)
4  7  1
4⋅7
1 7 3 + 112 115
 1 1
=
+ =
=
 −  − ⋅−  = −  +
48
48
 4 2  3  4   4  3 ⋅ 4 16 3
d)
2   3 7 2   2   21 2   2   21 4   2  17 
− 1−  ⋅ −  =
− 1− 
−  =
− 1− 
−
− 1 −
 =
=
15   2 5 5   15   10 5   15   10 10   15  10 
2
2
2
=
42
2
2
2  7  4 21 25 5
−  − =
+ =
=
15  10  30 30 30 6
Unidad 1 |Números racionales
1.7.
Haz las operaciones y simplifica.
−2
a)
5
 
4
1 3 1 
:  −  ⋅  − 1
3 4 2

b)
4  1
5 
3 1
+ −  − ⋅2 − : 
3  3
6 
2 9
a)
384
 5   1 3   1   4   5  1  16 5
1   :  −  −=
:=
=
  :  − ⋅ −

 4   3 4   2   5   12  2  25 24 125
b)
4  1 5 
3 1 4 1 5 
27  4 1 5  23  4 1 115 397
+ −  − ⋅2 − :  = + − ⋅2 −
=
 = + − ⋅−
= + +
3  3 6 
2 9 3 9 6 
2  3 9 6  2  3 9 12
36
2
−2
2
2
1.8.
En un grupo de 50 atletas, las
3
partes han conseguido calificación de nivel superior en las
5
3
partes del resto han obtenido calificación de nivel normal. Los
5
demás fueron calificados como de nivel bajo. Halla el número de atletas que corresponde a
cada nivel.
pruebas realizadas y las
En total, hay 25 cuadrados que se corresponden con 50 atletas. Por tanto,
cada cuadrado se corresponde con 2 atletas.
Superior: 15 ⋅ 2 =
30 atletas
Medio: 6 ⋅ 2 =
12 atletas
Bajo: 4 ⋅ 2 =
8 atletas
Números racionales | Unidad 1
43
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Construye y aprende > Las matemáticas de la música
Las matemáticas aparecen continuamente en la música. Ya has visto que las fracciones se usan para
indicar el tamaño de los violines, pero esa no va a ser su única aparición en este campo.
Pitágoras y sus sucesores experimentaron con el monocordio, un instrumento de una sola cuerda,
para determinar la relación entre las notas musicales más “agradables”.
El monocordio permitía cambiar la longitud de la cuerda, de forma que al pulsar se obtuvieran
distintos sonidos. Si se tomaba como unidad la longitud de la cuerda, esos sonidos “agradables”
3 2
1
,
y
. A partir de esta base se puede construir toda nuestra
correspondían a las fracciones
4 3
2
escala musical.
Curiosamente, al estudiar esas propiedades musicales aparecían los números 1, 2, 3 y 4, que para
los pitagóricos tenían un significado especial.
La tetractys, formada a partir de ellos, era uno de sus símbolos más importantes.
Vamos a construir un monocordio para encontrar los sonidos que buscaba Pitágoras. Para ello
necesitarás algunos materiales:
Una tabla de madera de unos 40 centímetros de longitud
Clavos
Una cuerda de guitarra
Una goma elástica
1.º Coloca dos clavos en la tabla. Para que los cálculos sean sencillos, ponlos a una distancia que
1
3 2
y
sea múltiplo del denominador común de las fracciones que aparecerán  ,
 , por
2
4 3
ejemplo, a 24 cm.
1 1 1 1
1
, ,
,
y
en
6
2 3 4 5
los puntos donde cada fracción indique lo que representa la distancia desde ese punto hasta el
clavo más próximo respecto de la distancia total entre ambos clavos.
2.º Pega una tira de papel y dibuja en ella una recta, marcando las fracciones
3.º Coloca la cuerda alrededor de los dos clavos de forma que quede tensa.
4.º La goma se introduce por un extremo de la tabla, y sirve para fijar el punto que queramos de la
cuerda.
Ahora puedes realizar las siguientes actividades.
1.1.
Pulsa la cuerda sin colocar la goma, y escucha el sonido que produce.
Ese sonido es el básico, a partir del cual estudiaremos los demás. Conviene asegurarse de que la
cuerda está tensa, y de que los clavos estén bastante separados.
1.2.
Coloca la goma en la fracción
1
y pulsa la cuerda. ¿Qué observas?
2
Se produce la misma nota, pero una octava más alta.
44
Unidad 1 |Números racionales
1.3.
1
1 1 1
Colócala en las otras fracciones que has marcado  ,
,
y  y haz vibrar el lado más
6
3 4 5
largo de la cuerda. Obtendrás la quinta, la cuarta, la tercera mayor y la tercera menor,
respectivamente. ¿Conoces estos términos? Si no es así, búscalos en internet.
Si la nota base fuese DO, la cuarta y la quinta corresponderían a FA y SOL; en el piano, si DO es la
primera tecla blanca, FA es la cuarta y SOL, la quinta. Empezando en cualquier nota, se puede
obtener la cuarta, quinta, etc., contando el número adecuado de tonos y semitonos. Por ejemplo, a
partir de una nota se obtiene la tercera mayor avanzando dos tonos y la tercera menor avanzando un
tono y un semitono.
En cada caso, la fracción más larga de cuerda se corresponde con la que determinó:
(quinta) y
1.4.
1
(octava).
2
¿Cuáles de las notas anteriores eran las que Pitágoras consideraba más agradables?
Pitágoras:
1.5.
2
3
(cuarta),
3
4
3
1
2
(cuarta),
(quinta) y
(octava)
2
4
3
Busca información sobre Pitágoras y los pitagóricos, y haz un breve resumen por escrito.
Exponed vuestros trabajos (el monocordio, los resultados obtenidos y el resumen).
Respuesta abierta. Se pueden repartir las tareas por grupos, y que cada uno las exponga al resto.
Números racionales | Unidad 1
45
Calcula e investiga > Fracciones musicales
La duración de las notas es muy importante a la hora de interpretar una pieza musical.
Tomando como unidad la duración de una negra, un tiempo, se pueden distinguir las siguientes
notas, de forma que cada una dura la mitad de la anterior: redonda, blanca, negra, corchea,
semicorchea, fusa y semifusa.
1.1.
1.2.
Si escribimos la duración de una negra como 1 t, ¿cuánto dura cada nota?
Redonda
Blanca
Negra
Corchea
Semicorchea
Fusa
Semifusa
4t
2t
1t
1
t
2
1
t
4
1
t
8
1
t
16
¿Cuántas semicorcheas hay en una blanca? ¿A cuántas redondas equivale una fusa?
Una blanca equivale a 8 semicorcheas. Una fusa equivale a
1.3.
1
de una redonda.
32
En música se utiliza un símbolo, el puntillo, que incrementa la duración de la nota un 50 %. ¿A
cuántas fusas equivaldrá una corchea con puntillo?
Una corchea con puntillo es igual a una corchea y una semicorchea, y equivale a 6 fusas.
1.4.
Si se coloca un doble puntillo, se aumenta la duración de la nota un puntillo y la mitad de un
puntillo. ¿Qué fracción representa en total ese aumento?
Se aumenta
1.5.
1 1 3
+ =.
2 4 4
Investiga acerca del origen de los nombres de las notas de la escala musical y haz un breve
resumen.
Respuesta abierta. Debería aparecer el nombre del monje Guido de Arezzo, el himno que le sirvió de
referencia y los cambios posteriores de nombre de las notas DO y SI.
46
Unidad 1 |Números racionales
Aprende a pensar > La comida que se tira
Cada día se tira a la basura una enorme cantidad de comida. En algunos casos son restos de
alimentos cocinados que no se han llegado a consumir. En otros son productos que se desechan
por estar a punto de superar la fecha de caducidad indicada, o porque tienen una apariencia menos
atractiva, cosa que ocurre frecuentemente con la fruta.
En estudios realizados en todo el mundo se obtuvieron resultados sorprendentes. Por ejemplo, unas
dos quintas partes de la comida que se produce en EE. UU. terminan en la basura. En España, cerca
de tres millones de toneladas de comida se desperdician cada año, lo que supone un coste de unos
250 euros al año por persona.
1.1.
En España hay unos 46 millones de habitantes. ¿Cuánto dinero supone al año la comida
desperdiciada? ¿Cuántos kilogramos de comida tira cada uno, en promedio?
Son 11 500 millones de euros cada año, y unos 65 kg por persona y año.
1.2.
La media de comida que tira cada habitante es del 18 % de lo que compra. Supongamos que
3
de esa cantidad se podrían haber consumido si se hubieran conservado
aproximadamente
5
1
del resto ni siquiera se llegó a sacar del embalaje. Lo demás serían
correctamente, y
3
residuos no comestibles: pieles, cáscaras, etc. ¿Qué fracción de la comida que compra una
familia representan?
18 2 2
6
· · =
. En este tipo
100 5 3 125
de operaciones suele haber muchos errores al realizar los cálculos. Para evitarlos, se pueden usar
varias estrategias: hacer un gráfico en árbol, realizar los cálculos tomando una cantidad inicial
arbitraria, etc.
La fracción de comida que representan los residuos no comestibles es
1.3.
En el libro Hungry Planet (Peter Menzel y Faith D’Aluisio) aparecen fotos y datos sobre el
consumo de alimentos semanal en familias de varios países. Entra en www.e-sm.net/4aesoz04
para ver esos datos, compáralos y coméntalos con tus compañeros. Debate tu opinión en
http://matematicas20.aprenderapensar.net/.
Respuesta abierta.
Números racionales | Unidad 1
47
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Fernando Alcaide, Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Vanesa Fernández, Juan Carlos Hervás, Miguel
Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, Inmaculada Fernández, Aurora Bellido
Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire
Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,
José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su
enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
Gestión de las direcciones electrónicas:
Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las
modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro.
Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de
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