Tema 2. Modelado matemático. - Web del Profesor

TEORÍA DE CONTROL
Tema 2. Modelado Matemático
Introducción
Par el estudio de los sistemas de control es necesario conocer el comportamiento de los elementos que eventualmente
pueden formar parte de un sistema a controlar y del sistema de control. Este comportamiento se puede expresar en
forma de un modelo matemático.
Se conoce como modelo matemático a las expresiones que representan el comportamiento dinámico de un sistema.
El estudio dinámico consiste entonces en determinar analíticamente la respuesta (salida) cuando la entrada
experimenta una variación en el tiempo (excitación). Dicho de otra manera poder representar la respuesta transitoria
del sistema.
Los modelos matemáticos de los sistemas físicos son ecuaciones diferenciales, que pueden ser ordinarias para los
sistemas a parámetros concentrados o parciales para los sistemas distribuidos. Estas ecuaciones diferenciales
pueden ser lineales o no lineales según el rango de funcionamiento en el cual se quiere estudiare al sistema.
En este capítulo estudiaremos los modelos matemáticos, lineales y simplificados de algunos tipos de sistemas más
comunes. Quedan fuera del alcance de este capítulo los modelos matemáticos no lineales de los sistemas físicos, los
cuales son más precisos pero más complejos para la correcta comprensión del resto de la asignatura.
Sistemas Mecánicos
Un sistema mecánico está conformado por los elementos siguientes:
Elementos
Representación gráfica
Ecuación fundamental
F  Kx
Resorte
Amortiguador
F  CV  C
dx
dt
Fricción
F  BV  B
dx
dt
Masa
F  Ma  M
M
d 2x
dt 2
Donde:
F : Fuerza
a : Aceleración
B : Coeficiente de fricción
x : Desplazamiento
K : Constante del resorte
M : Masa
V : Velocidad
C : Constante del amortiguador
El modelo matemático se obtiene haciendo un diagrama de cuerpo libre sobre cada masa del sistema.
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TEORÍA DE CONTROL
Ejemplo 1:
F
M
El sistema posee en este caso una sola masa, se hace entonces un diagrama de
cuerpo libre en la masa:
El modelo matemático del sistema será:
F
M
F  Kx  C
Fa
Fr
M
d 2x
dx
M 2
dt
dt
O escrito ene. Orden común de una ecuación diferencial
ordinaria:
d2x
dx
C
 Kx  F
2
dt
dt
Esta ecuación es una relación del desplazamiento de la masa (salida) en función de la fuerza aplicada (entrada).
Para simplificar la escritura de la ecuación diferencial se puede utilizar el operador matemático de derivada:
D
d2
Que para una derivada de segundo orden es: D  2
dt
2
Con esta representación la ecuación de nuestro sistema mecánico se escribe:
MD2 x  CDx  Kx  F
Sistemas Mecánicos Rotativos
Un sistema mecánico rotativo está conformado por los elementos siguientes:
Elementos
Representación gráfica
Ecuación fundamental
T  G
Ejes
T  C  C
Cojinete
Masa o Volante de
inercia
I
Tren de engranes
Donde:
T  I  I
1 1 N 2


 2  2 N1
T11  T2 2
d
dt
d 2
dt 2
relación de velocidad
relación de trabajo
T : Torque o momento
 : Velocidad angular
 : Desplazamiento angular o deformación angular
 : Aceleración angular
G : Coeficiente de deformación de ejes
C : Coeficiente de fricción viscosa
N : Numero de dientes de engrane
I : Momento de inercia de masas
El modelo matemático se obtiene haciendo un diagrama de cuerpo libre sobre cada volante de inercia del sistema.
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d
dt
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TEORÍA DE CONTROL
Ejemplo 2:
Se hace el diagrama de cuerpo libre sobre el volante de inercia:
C
G2
G1
d 2
d 2 2
G1 1   2   G2 2  C
I
dt
dt 2
T
Y se escribe adicionalmente la ecuación que relaciona el momento
aplicado con al extremo del eje con el que momento que recibe el volante
de inercia:
I
T  G1 1   2 
2
I
1
Con estas dos ecuaciones se puede hallar una expresión entre el
momento aplicado al sistema (entrada) y el movimiento angular del
momento de inercia:
d 2 2
d
 C 2  G2 2  T
2
dt
dt
O escrito utilizando el operador matemático: ID  2  CD 2  G 2 2  T
También se puede definir una salida diferente por ejemplo el desplazamiento angular en el extremo del eje. En este caso
se combinan las dos ecuaciones de una forma diferente:
2
Se obtiene primero la expresión
 2  1 
T
G1
La cual se sustituye en la primera relación obtenida:



T 
T 
T 
ID 2 1    CD 1    G2 1    T
G1 
G1 
G1 




G
I 2
C
ID 21  CD1  G21 
DT
DT   2  1T
G1
G1

 G1
Sistemas Eléctricos
Un sistema eléctrico está conformado por los elementos siguientes:
Elementos
Representación gráfica
Ecuación fundamental
V  RI , Z R  R
Resistencia
V
Capacitor
1 t
1
Idt ; Z C 

C 0
CD
V L
Bobina
dI
, Z L  LD
dt
V  ZI
Elemento cualquiera
Z
En un nodo
I  0
En una malla
V  0
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ZT   Z i
Elementos en serie
Z
Elementos en paralelo
Z
ZT 
Z
1
1
Z
Zi
Donde:
V : Voltaje o diferencia de potencial
I : Intensidad
Z : Impedancia
R : Resistencia
C : Capacitancia
L : Inductancia
Ejemplo 3: Hallar
V  f I  y V  f V3 
R2
R1

Primera parte V  f I
Sabemos inicialmente que:
C2
V1
V  ZT I
Donde
V2
Z T  Z1  Z 2  Z 3  Z 4
Z1  R1 ;
Z3 
Z2 
1
1
R3
V
 C3 D  1
;
1
1
R2
 C2 D
;
V3
L3
C3
R3
V4
L4
Z 4  L4 D
L3 D
Luego




1
1
V   R1 

 L4 D  I
1 C D 1 C D 1


2
3
R2
R3
L3 D


Segunda parte V  f V3 
Hallamos primero I  f V3 
V
V3  Z 3 I  I  3
Z3
Luego
V  ZT
V3
Z3
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TEORÍA DE CONTROL
Analogía Electromecánica
Este es un método que permite resolver en forma relativamente más sencilla problemas mecánicos, como i se tratase
de sistemas eléctricos. En este caso hacemos:
V análogo a F, e I análogo a x
Elementos
Representación gráfica
Ecuación fundamental
ZR  K
Resorte
Amortiguador
Z A  CD
Fricción
Z F  BD
Z M  MD 2
Masa
M
F  Zx
Elemento cualquiera
Z
ZT   Z i
Elementos en serie
Z1
Z
Elementos en paralelo
Z1
ZT 
1
1
Zi
Z
El método sirve para sistemas con una sola fuerza y se resuelven los problemas haciendo primero el diagrama de
impedancias.
Diagrama de impedancias
Para realizar el diagrama de impedancias:
 Se coloca en la parte superior una línea horizontal que representa la coordenada donde está aplicada la
fuerza.
 Se coloca en la parte inferior una línea que representa la tierra, o referencia.
 Se colocan entre las dos anteriores líneas que representen las otras coordenadas existentes.
 Se colocan las impedancias correspondientes a cada elemento y se hace la conexión de este a las
coordenadas correspondientes. Nótese que cada elemento estará conectando siempre dos coordenadas. En
el caso de las masas estas siempre irán conectando la tierra y la coordenada donde se encuentran, mientras
que los otros elementos pueden conectar dos coordenadas diferentes a la tierra.
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Ejemplo 4:
F
F
La ecuación del sistema obtenida por
éste método será:
M

F  Z R  Z A  Z M x ;

x

F  K  CD  MD 2 x
ZM
ZA
ZR
F  Kx  CDx  MD2 x
Esquema
Diagrama de Impedancias
Sistemas Térmicos
Un sistema térmico está conformado por los elementos siguientes:
Elementos
Representación gráfica
T1
Ecuación fundamental
T2
Pared delgada
(no absorbe calor)
Q
Si
T1  T2 : Q 
T1  T2
Rt
Rt
T1
Pared gruesa
(con almacenamiento
de calor)
Tp
Q1
T
Q2
CT
Rt1
dT
dt
T1  T p
T p  T2
Q1 
; Q2 
Rt1
Rt 2
Q1  Q2  CT DT p
Q  C
T2
Rt2
Donde:
Q : Flujo de calor
R T : Resistencia térmica
T : Temperatura
CT : Capacitancia térmica (masa por calor específico)
Ejemplo 5: Termómetro de mercurio con pozo térmico de cobre.
El termómetro está formado de tres paredes que absorben calor, más un elemento
receptor que también absorbe calor:
 Hg: Mercurio THg, CHg
 V: Vidrio TV, CV
 C: Cobre TC, CC
Entre cada elemento se consideran resistencias térmicas:
 R1: resistencia térmica entre el ambiente y el cobre
 R2: resistencia térmica entre el cobre y el vidrio
 R3: resistencia térmica entre el vidrio y el mercurio
Se requiere en este caso relacionar THg  f TE 
C V
Q1
Q3
Hg
TE Q2
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Las ecuaciones fundamentales serán en este caso:
(1) Q1  Q2  C C DTC
(2) Q2  Q3  CV DTV
(3) Q3  C Hg DTHg
T  TC
(4) Q1  E
R1
(5)
Q2 
(6)
Q3 
TC  TV
R2
TV  THg
R3
Obtenemos entonces 6 ecuaciones con 7 variables ( TE , TC , TV , THg , Q1 , Q2 , Q3 )
Para obtener una expresión de THg  f TE  debemos entonces reducir nuestro sistema de ecuaciones a una ecuación
con dos variables:

T
TE  1
1
  
 CC D TC  V
R1  R1 R2
R2

THg  1

T
1
 f TV , TC  : (8)
 

 CV D TV  C
R2
R3  R2 R3


Con 4 y 5 en 1 obtenemos TE  f TV , TC  : (7)

Con 5 y 6 en 2 obtenemos THg

Con 6 en 3 obtenemos TV  f THg : (9) TV  R3 
 C Hg D THg
R
 3

 1
 



Con 9 en 7 obtenemos TC  f THg , TE : (10)

Con 9 y 10 en 8 obtenemos THg  f TE  :
 1
  1

1
 

 CV D  R3   C Hg D THg
R3  R2 R3
  R3

THg
TC 
R3
R2

 1

T

 C Hg D T Hg  E
R1
 R3

 1

1


 C C D 
 R1 R 2

 1

T
R3   C Hg D THg  E
R
R1

  3
 1

1
 
 CC D 
 R1 R2

TE  a1 D 3THg  a2 D 2THg  a3 DTHg  a4THg
Con:
a1  R1 R3C Hg CV CC

 R3C Hg CV R3C Hg CV R3C Hg CC
a2  R1 


 C Hg CC  CV CC 
R1
R2
R2


 R3C Hg C Hg CV R3C Hg C Hg CV CC CC
C 







 R3C Hg  C 
a3  R1 
2
R1
R1
R2
R2 R2 R3
R3 
R2
 R1 R2
 1

1
 2  1
a4  R1 
 R1 R2 R2

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Tema 2. Modelado Matemático
Sistemas Hidráulicos
Un sistema hidráulico está conformado por los elementos siguientes:
Elementos
Representación gráfica
Tanques
Qe
Ecuación fundamental
dP
; Qe  Qs  C h DP
dt
P  h
Q  C
h
Ch
P
Qs
h
Q
Pe
Ductos
Ps
Q
Rh
P
P  Ps
; Q e
Rh
Rh
Donde:
Q : Flujo o caudal
P : Presión
h : Nivel
Rh : Resistencia hidráulica (perdidas que se producen en tuberías y accesorios)
C h : Capacitancia hidráulica (volumen que es capaz de absorber)
Ejemplo 6: Hallar h2  f Qe 
Qe
Ch1
h1
P1
R1
h2
Ch2
R2
P2
Qs
Q
El sistema hidráulico está conformado por dos tanques conectados entre sí. Estos tienen una entrada de agua por el
primer tanque y una salida por el segundo. Las ecuaciones fundamentales del sistema, considerando presiones
manométricas ( Patm  0 ) serán:
P1  h1
(2) P2  h2
(1)
(6)
Qs 
P2
R2
(3) Qe  Q  C h1 DP1
(4) Q  Qs  Ch 2 DP2
(5)
Q
P1  P2
R1
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TEORÍA DE CONTROL
Tenemos por lo tanto 6 ecuaciones con 7 variables ( h1 , h2 , P1 , P2 , Qe , Q, Qs ).
Debemos entonces reducir el sistema a una ecuación que relacione h2  f Qe  :




1

Con 5 en 3 obtenemos Qe  f P1 , P2  : (7) Qe  
 Ch1 D  P1  2
R
R1
 1

P
P1 
1
  Ch 2 D   P2
R1 
R1 

1
1 
Con 6 en 8 obtenemos P1  f P2  : (9) P1  R1   Ch 2 D 
  P2
R1 R2 

Con 5 en 4 obtenemos Qs  f P1 , P2  : (8) Qs  
1
 
1 
Con 9 en 7 obtenemos Qe  f P2  : (10) Qe  
 Ch1 D  R1   Ch 2 D    P2  2
R1
R
R1 R2 
 1
 
1
P

RC 
1
Qe   R1Ch1Ch 2 D 2 P2   Ch1  Ch 2  1 h1  DP2 
P2
R2 
R2



Con 2 en 10 obtenemos Qe  f h2  : Qe   R1Ch1Ch 2D h2   Ch1  Ch 2 
2

R1Ch1 

Dh2  h2
R2 
R2
Sistemas Neumáticos
Un sistema neumático está conformado por los elementos siguientes:
Elementos
Representación gráfica
Tanques
Cn
m e
Pe
Ductos
P
m
Rn
m s
Ps
Ecuación fundamental
 m  C
n
m 
dP
 e  m s  Cn DP
; m
dt
P
P  Ps
  e
; m
Rn
Rn
Donde:
m : Flujo másico
P : Presión
Rn : Resistencia neumática (perdidas que se producen en tuberías y accesorios)
C n : Capacitancia neumática ( V RT )
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Tema 2. Modelado Matemático
Ejemplo 7: Hallar
m 2  f P1 
El sistema consta de dos tanque de aire comprimido
interconectados entre sí. Existe una entrada de aire y
una salida en el tanque 2.
Las ecuaciones fundamentales del sistema, suponiendo
presiones manométricas, son:
(1)
(2)
(3)
(4)
Nota:
P1
C1
P2
m 1
C2
m 3
R1
P P
m 1  1 2
R1
P
m 3  2
R3
 m 1  C1DP1
m 1  m 2  m 3  C2 DP2
m 2
Patm
R3
R2
m 2 debe ser conocido (entrada), o en su defecto la presión de entrada debe ser conocida.
 1 , m 2 , m 3 ).
Tenemos por lo tanto 4 ecuaciones con 5 variables ( P1 , P2 , m
Debemos entonces reducir el sistema a una ecuación que relacione



m 2  f P1  :
 C 
P1  f P2  : (5) P2  1  1 D  P1
 R1 

P 1
1
 2  f P1 , P2  : (6) m 2  1     C2 D  P2
Con 1 y 2 en 4 obtenemos m
R1  R1 R3

Con 1 en 3 obtenemos
 C 
P1  1
1
  
 C2 D 1  1 D  P1
R1  R1 R3
 R1 
C

 2
CC
C
1 
m 2  1 2 D 2 P1   12  1  C2  DP1     P1
R1
R1 R3
 R1 R3 

 R1
Con 5 en 6 obtenemos
m 2  f P1  : m 2 
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TEORÍA DE CONTROL
Ejercicios
1. Sistema mecánico
Hallar:
x2  f F  y
x1  f F 
K1
C2
K2
F
M1
Por los dos métodos
x1
C1
x2
M2
2. Sistema termo-neumático
R1
P2
C2
m 1
Hallar:
R3
R2
Patm
P3
m 3
m 2
R4
C3
P4 = Cte
m 3  f TE , P4 
Nota: la ecuación de relación
entre los dos sistemas:
Pv  mRT
m 4
P  RT
P1
Donde se supone:
R  Constante
Gas
Vidrio
TE
Cobre
R3
3. Sistema termo-eléctrico
Hallar
C1
T  f VE , TE 
L3
Nota: la ecuación de relación de los dos
sistemas es:
QR  VI  I R  V
2
2
R
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VE
C3
L2
R
C2
TE
T
C
Aire
Aislante
Pared
Tema 2. Modelado Matemático
4. Sistema hidráulico
QE1
Ch3
Ch1
h1
R1
P1
R2
h2
Ch2
P2
R3
h3
QS
a
b
R4
QE2
Hallar QS  f QE1 , QE 2 
5. Sistema neumático con pistón
F
P3
Pistón
de área
C3
P2
m 1
C2
m
R1
P1
Patm
R3
m 2
R2
 
f F
Hallar m
Nota la ecuación que relaciona el sistema neumático con
el pistón es:
PF A
QE
Ch
P
6. Sistema Mecánico Hidráulico
 
Hallar y1  f QE
Nota: para la relación entre el sistema mecánico y el
hidráulico C h  Área del tanque
h
R
QS
M1
y2
C
K2
Utilizar el método de la silla (analogía electromecánica)
M2
K1
y1
K3
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