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VALUACIÓN DE
ACTIVOS E INVERSIONES
Alejandro Diosdado Rodríguez
Administración de Riesgos Financieros
Ernst & Young (México)
[email protected]
Temario
1.
Entorno de la Inversiones
2.
Valuación de Activos No Financieros
3.
Valuación de Activos Financieros (Bonos)
4.
Estructura Intertemporal de Tasas de Interés
5.
Instrumentos Financieros Derivados
Page 2
Valuación de Activos e Inversiones
El Entorno de las Inversiones
Conjunto de Activos
Financieros
Conjunto de Activos
Reales
Tierras
Inmuebles
Equipos
Tecnología
Otros
Préstamos
Bonos
Acciones
 Usados para crear bienes y servicios
(Tangibles e Intangibles)
 Rendimientos Variables
 Lado Activo del Balance
Page 3
 Derechos “generados” para reclamar
activos reales.
 Rendimientos Fijos y Variables
 Lado Activo y Pasivo del Balance
Valuación de Activos e Inversiones
Activos – Valuación, Rendimiento y Riesgo
Tanto los activos reales, como los activos
financieros que soportan dichos activos reales,
representan cierto riesgo para la empresa y para
los inversionistas.
Dependiendo el tipo de inversionista, existen
diversos niveles de aceptación de riesgo y
rendimiento requerido (desde aversión absoluta
hasta indiferencia completa al mismo).
Page 4
Valuación de Activos e Inversiones
Valuación de un Activo
Proceso que relaciona el riesgo y el rendimiento de
un activo para determinar su valor razonable.
Influyen en el valor del activo tres factores principales:
Flujos de efectivo
► Momento en que ocurren los flujos
► Rendimiento requerido (en función del riesgo)
►
Page 5
Valuación de Activos e Inversiones
Modelo Básico de Valuación
►
►
El valor de cualquier activo es el valor presente de
todos los flujos de efectivo futuros que se espera
proporcione durante el periodo de tiempo relevante.
Es decir, el valor del activo se determina al
descontar los flujos de efectivo esperados usando
un rendimiento requerido acorde con el riesgo del
activo.
FEn
FE1
FE2
Po 

 ... 
2
(1  k ) (1  k )
(1  k ) n
Page 6
Valuación de Activos e Inversiones
Valuación de Activos
No Financieros
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (1)
Método de Flujos de efectivo descontados después de
impuestos. Este método liga el valor de una propiedad a la
tasa de impuesto marginal de un inversionista
Un inversionista está considerando comprar un edificio de oficinas, y como
parte de su análisis, debe calcular la Utilidad Neta de Operación (NOI por
sus siglas en inglés).
La información disponible del edificio es la siguiente:
Ingresos Brutos potenciales por Renta
Tasa estimada de pérdidas por vacancy & collection
Seguro
Impuestos
Mantenimiento y mejoras
$250,000
5%
$10,000
$8,000
$22,000
NOI = $250,000 – (250,000 * 0.05) - $10,000 - $8,000 - $22,000 = $197,500
Page 8
Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (2)
Valor del Inmueble (Perpetuidad)
Una vez calculado el NOI, y asumiendo una tasa de incremento en las rentas
(market rate) de 10%, podemos calcular el valor del Bien Raíz como una
perpetuidad:
Valor del Inmueble: NOI / market rate
Valor del Inmueble: $197,500 / 0.10 = $1’975,000
Page 9
Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (3)
Cálculo de los flujos de efectivo después de Impuestos,
Valor Presente Neto (NPV) y rendimiento.
Continuando con el ejemplo anterior, podemos asumir que un inversionista
adquiere el inmueble en $1,850,000, otorgando un 20% en efectivo y el
resto con un préstamo hipotecario a 30 años a una tasa anual de 10%.
La inversión inicial por el inmueble es de $370,000 ($1’850,000 * 20%)
El primer pago anual del préstamo son de $156,997 ($148,000 por
intereses + 8,997 por pago a capital)
La tasa impositiva del inversionista es del 28%
La depreciación anual estimada es de $45,000
Page 10
Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (4)
Cálculo de los utilidad neta después de impuestos
Como primer punto, debemos calcular el Ingreso Neto después de Impuestos:
Utilidad Neta Operativa (NOI)
- Depreciación
- Intereses
= Utilidad Neta Antes de Impuestos
- Impuestos (NI * Tasa impositiva)
= Utilidad Neta después de Impuestos (UNDI)
$ 197,500
- $ 45,000
- $ 148,000
= $ 4,500
- $ 1,260
=$ 3,240
El objetivo de este método, es conocer el flujo de efectivo real que tendría
un inversionista en el futuro.
Sin embargo, la UNDI contiene elementos que no son flujos de efectivo
como la depreciación y a su vez también falta por considerar el pago que
realiza como abono a capital del préstamo hipotecario.
Page 11
Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (5)
Flujo de Efectivo (Free Cash Flow)
Utilidad Neta después de Impuestos
+ Depreciación
- Pago de Capital
= Flujo de Efectivo después de Impuestos:
$ 3,240
+ $ 45,000
- $ 8,997
$ 39,243
Bajo esta metodología, es posible conocer para los años
subsecuentes, los flujos futuros de efectivo necesarios para calcular
tanto el Valor Presente Neto de una Inversión (VPN) y la tasa interna
de rendimiento del proyecto (TIR)
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Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (6)
Cálculo del Valor Presente Neto
Supongamos que el inversionista planea vender el edificio dentro de
tres años en $1’950,000. Dentro de 3 años, el saldo remanente del
préstamo hipotecario es de $1,450,000. Asumiendo que el costo de
capital es de 10% y los flujos de efectivo después de impuestos son los
siguientes:
Año 1
Año2
Año 3
Utilidad Neta Operativa (NOI)
- Depreciación
- Intereses
= Utilidad Antes de Impuestos
- Impuestos (NI * Tasa impositiva)
Utilidad Neta Después de Impuestos
Depreciación
Pago de Capital
FCF
$197,500
-$45,000
-$148,000
$4,500
-$1,260
$3,240
$45,000
$8,997
$39,243
$197,500
-$45,000
-$147,100
$5,400
-$1,512
$3,888
$45,000
$9,897
$38,991
Utilidad x Venta
Total Año 3
Page 13
Valuación de Activos e Inversiones
$197,500
-$45,000
-$146,111
$6,389
-$1,789
$4,600
$45,000
$10,887
$38,714
$500,000
$538,714
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (7)
Cálculo del Valor Presente Neto (VPN) y TIR:
El Valor Presente de los flujos de efectivo es:
$39 , 243 38, 991 538, 721

 $ 472, 649
2 
3
1 . 10
1. 10
1 . 10
EL VPN es el valor presente de los flujos menos la Inversión Inicial:
$472,649  $370,000  $102,649
Al presentar un VPN positivo, el proyecto de inversión es viable
y puede ser aceptado.
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Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo Valuación de “Real Estate”… (8)
Cálculo de la TIR:
Resumiendo, los flujos de efectivo de la inversión son los siguientes:
Año 0  - $370,000  CF0
Año 1  $ 39,243  CF1
Año 2  $ 38,991  CF3
Año 3  $538,721  CF3
TIR  20.18%
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Valuación de Activos e Inversiones
Resumen de Variables y supuestos de la Valuación
►
Determinación del NOI (Renta, Tasa de
desocupación, seguro, impuestos y
mantenimiento).
►
Tasa de Crecimiento de las Rentas.
►
Tasa de Préstamo Hipotecario.
►
Depreciación Anual.
►
Costo de Capital.
►
Valor del Inmueble a la fecha de venta.
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Valuación de Activos e Inversiones
Valuación de Activos
Financieros
Activos Financieros
Permiten la transferencia de fondos de los individuos con
superávit hacia quienes demandan recursos para invertir en
Activos Reales. Existen 3 clases de activos financieros:
►
►
►
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Renta Fija (Fixed Income): el rendimiento de estos
activos está parcialmente relacionado con la evolución
económica del emisor (Bonos, Préstamos).
Renta Variable: el retorno depende totalmente de la
performance del emisor (Acciones).
Derivados: su rendimiento depende de la evolución del
precio de otro activo (Forwards, Swaps, Opciones).
Valuación de Activos e Inversiones
Bonos: Componentes
Valor Nominal (Par Value, Face Value)
Tipo de Cupón
►
Cupón cero
►
Cupón fijo (mensual, trimestral, semestral)
►
Cupón variable (mensual, trimestral, semestral)
Tiempo al vencimiento (Maturity)
Opciones Adheridas (Call, Put)
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Valuación de Activos e Inversiones
Riesgos en un Bono
Riesgo de tasa de interés:
interés El precio de un bono típico cambiará en
dirección contraria a cambios en la tasa de interés. Si el inversionista
tiene que vender el bono antes de la fecha de vencimiento, un
incremento en las tasas de interés significa la realización de una pérdida
de capital.
Riesgo de reinversión: Una disminución de la tasas de interés a las
que se planea reinvertir el flujo de dinero (cash flow) que recibe el
inversionista provocará una pérdida de ingresos.
Riesgo de llamada:
►
►
El flujo de dinero de un bono “llamable” no se conoce con
certeza.
Como el emisor llamará cuando las tasas caen, el
inversionista está expuesto al riesgo de reinversión.
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Valuación de Activos e Inversiones
Riesgos en un Bono
Riesgo de crédito: Riesgo de que el emisor no pueda pagar el principal
y los intereses, ya sea parcialmente o en su totalidad (riesgo de
default). También se consideran las pérdidas potenciales debido a la
disminución de la calidad crediticia del emisor (riesgo de migración).
Riesgo de inflación: Disminución del poder de compra de los flujos de
efectivo de debido a la inflación.
Riesgo de tipo de cambio: Cuando el bono se encuentra en una
moneda diferente a la de curso legal y los flujos dependen del tipo de
cambio.
Riesgo de liquidez: Tiene que ver con la facilidad a la cual la emisión
puede ser vendida lo más cerca posible de su precio.
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Valuación de Activos e Inversiones
Valuación de un Bono
Valuación de Flujos de Dinero
El precio de cualquier instrumento financiero es igual al valor presente
de todos los flujos esperados futuros, por lo que necesitamos estimar:
►
►
los flujos esperados
la tasa de rendimiento (yield) apropiada
Para un bono “no llamable”, la estimación de flujos es
►
►
Pago de cupones periódicos hasta la fecha de madurez
El par value al vencimiento.
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Valuación de Activos e Inversiones
Valuación de un Bono (Flujos)
Valor Futuro
$C1
$C2
$Ci
$C
N
0
t1
t2
ti
tN=T
Valor Presente
Si la tasa de interés se mantiene constante (Tasa Fija) hasta la
madurez T:
N
N
VP   Ci e
i 1
N
VF   Ci e
i 1
 r ti
Ci

ti
(1

R
)
i 1
r ( T ti )
N
  Ci (1  R )( T ti )
i 1
r es la tasa compuesta continua, y R la tasa simple efectiva.
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Valuación de Activos e Inversiones
Valuación de un Bono (Anualidad)
0
$C
$C
$C
1
2
i
$C+ $VN
N
Precio
C
1 
VN
P  1 

N 
y  1  y   1  y  N
N  M m
Y
y
m
R = tasa cupón (anual)
Y = rendimiento actual (anual)
m = frecuencia anual de pagos
R
C  VN 
m
Precio de un bono cupón-cero:
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Valuación de Activos e Inversiones
P
VN
1  y 
N
Valuación de Bonos Tasa Revisable
Tasas Forward
Si la tasas de interés NO se mantienen constante (Tasa
Revisable) hasta la madurez T:
N
VP   Ci e
i 1
 ri ti
N
Ci

ti
i 1 (1  Ri )
N
N
i 1
i 1
VF   Ci e fi ( T ti )   Ci (1  Fi )( T ti )  ¿?
R1 ,…, RN son conocidas hoy, pero F1 ,…, FN no lo son (tasas
forward).
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Valuación de Activos e Inversiones
Relación Precio – Yield
Precio
El precio cambia en
dirección contraria a
cambios en la yield
requerida.
Cuando la tasa cupón es
igual a la yield requerida,
el precio del bono será
igual al par value.
VN
Tasa Cupón
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Yield
Valuación de Activos e Inversiones
Bono a Premio y Bono a Descuento
Bono a premio
VN
Bono a la par
Bono a descuento
Madurez
Pull to par:
par:
Según se acerca el momento de la madurez, el precio del
bono converge a su valor nominal.
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Valuación de Activos e Inversiones
Yield To Maturity
El yield (o rendimiento) de cualquier inversión es la tasa de interés que
igualará el valor presente de los flujos al precio o costo de la inversión.
N
N
Ci
P
Cie  ti
i1
i1 (1y)

r ti
• P = precio de mercado
• y = yield compuesto simple
• r = yield compuesto continuo
el yield calculado con esta relación es la TIR (tasa interna de retorno)
Rendimiento al vencimiento (yield to maturity o YTM)
Page 28
Valuación de Activos e Inversiones
Yield curve
Curva de tasas de rendimientos (yield curve):
Grafica la relación entre el rendimiento a la madurez (TIR) de bonos de
la misma calidad crediticia, pero con diferente madurez.
yield
corto plazo
mediano plazo
largo plazo
Madurez
Para construirla se suelen utilizar los precios de bonos de gobierno onthe-run (los más recientemente emitidos), pues se asume que estos
carecen de riesgo de default.
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Valuación de Activos e Inversiones
Yield de un Portafolio
El yield de un portafolio NO es simplemente su promedio o
promedio ponderado de las YTM de los instrumentos que
lo conforman.
Se debe calcular determinando los flujos de efectivo del
portafolio y la tasa que igualará el valor presente de
dichos flujos al valor de mercado del portafolio.
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Valuación de Activos e Inversiones
Volatilidad en el Precio de los Bonos
Algunas de las medidas más utilizadas:
a) D*: Duración
b) PVBP: Price Value of a Basis Point = Dollar Value of an 01
c) Conv: Convexidad
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Valuación de Activos e Inversiones
Duración
YTM 

D  D  1 

m


*

1  n VN  C / Y 
1 
n 
n 1
1

Y
1

Y
 


1
 
*
D 

P
m
C
1 
VN
P  1 

n 
Y  1  Y   1  Y  n
YTM
R
n  M m
Y 
C  VN 
m
m
C
Y2
Page 32
Valuación de Activos e Inversiones
Duración y PVBP
La duración es solamente una aproximación lineal. Asume que la relación
precio-rendimiento es lineal.
D*  P
PVBP 
10000
1
YV 32 
3200  PVBP
100
YV 32 
32  D*  P
Precio
$115
Error
$100
$85
–D*$
$70
$55
$40
5.0%
6.0%
7.0%
8.0%
Precio Correcto
Page 33
9.0%
10.0%
Precio con D
Valuación de Activos e Inversiones
11.0%
12.0%
Rendimiento
(Y)
Teorema de Inmunización
Teorema de Inmunización:
Diseño de un portafolio que genere los fondos suficientes para satisfacer
una obligación (pasivo) en un horizonte determinado,
independientemente de cómo las tasas de interés cambian desde el
presente hasta el horizonte.
Si el horizonte de inversión H es exactamente igual a la duración del
portafolio D, entonces el retorno total de la inversión V no cambia, aún si
el yield r cambia en Δr:
V ( r  r, D )  V ( r, D )
Esto se debe a que el Riesgo de Reinversión y el Riesgo de Tasas se
cancelan exactamente para un Horizonte igual a la Duración.
Un portafolio con horizonte H=D estará inmunizado, su rendimiento total
será el yield de hoy r, y:
Page 34
Valuación de Activos e Inversiones
Teorema de Inmunización
$1,200,000
$1,000,000
$800,000
$600,000
$400,000
$200,000
$0
0
1
2
4.00%
3
8.00%
4
12.00%
5
6
D=H
Cuando las tasas bajan, la pérdida por reinversión de cupones es
compensada con un mayor precio del bono. Cuando las tasas suben,
la pérdida por valor del bono, se compensa por la reinversión de
cupones.
Page 35
Valuación de Activos e Inversiones
Convexidad
C
1 
VN
P  1 


Y  1  Y  n  1  Y  n

1  n VN  C / Y 
1 
n
n 1
1

Y
1

Y






D* 
P
n  n  1VN  C / Y 
2C 
1 
2Cn
1





n2
Y 3  1  Y  n  Y 2 1  Y  n 1
1

Y


Conv. 
P
C
Y2
Page 36
Valuación de Activos e Inversiones
Convexidad
Se define como el grado de curvatura de la relación preciorendimiento, alrededor de cierto nivel de tasas de interés.
$250.00
$200.00
$150.00
$100.00
$50.00
$0.00
0.0%
2.0%
4.0%
P correcto
Page 37
6.0%
8.0%
10.0% 12.0% 14.0% 16.0% 18.0% 20.0%
Nuevo Precio por D*
Valuación de Activos e Inversiones
Nuevo Precio por D*+C
Aproximación Numérica de la Duración y
Convexidad
YTM actual
y0
Precio o valor para un
yield y
P( y )
Denotamos:
y
P0  P( y0 )
Calculamos:
Cambio de yield
Precio actual
P  P( y0  y ) Precio para una disminución de
P  P( y0  y ) yield
Precio para un aumento de yield
P  P
D 
2  P0  y
*
Aproximamos:
Page 38
P  P  2 P0
Conv 
P0  ( y ) 2
Valuación de Activos e Inversiones
Duración y Convexidad de un Portafolio
La Duración de un portafolio con “n” activos será:
n
DP  w1D1  w2 D2  ...  wn Dn   wi Di
i 1
La Convexidad de un portafolio con “n” activos será:
n
Conv P  w1Conv1  w2Conv 2  ...  wn Conv n   wi Conv i
i 1
“w” se refiere a la proporción del activo “n” con respecto al total del
portafolio
Pi
wi 
P
Page 39
Por tanto:
w1  w2  ...  wn  1
Valuación de Activos e Inversiones
Estructura Intertemporal
de Tasas de Interés
Bonos del Gobierno
►El
►
►
Gobierno de México emite los siguientes bonos:
Cupón cero:
cero
► CETES:
Cupón fijo:
fijo
► BONOS-M:
►
Certificados de la Tesorería de la Federación (cupón cero)
madurez de 7 días a un año (han habido hasta 728 días)
Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal con Tasa de Interés Fija
madurez de 3 a 5 años (cupón semestral)
Cupón Flotante:
Flotante
► BREMS
► Bondes
► Bonos
IPAB
► Udibonos
Page 41
Valuación de Activos e Inversiones
Insumos para la construcción de curvas cero
Page 42
Valuación de Activos e Inversiones
Problemas de valorar usando la Yield Curve
Ejemplo:
Se tiene una bono cupón cero A, con tasa 7% y que vence en 6 meses, y un
bono con cupón semestral B, con tasa cupón 8% a la par, y que vence en 1
año.
¿Cómo valorar un bono con cupón semestral C, con tasa cupón 10.08%, y que
vence en 1 año?
Cetes (A)
Valor Nominal
Cupón
YTM
Frecuencia
DXV
Precio
# Títulos
B
C
100 100.00
0.00%
8.00
7
8.00
180
180
360
96.62 100.00
1.00
1.00
100.00
10.08
????
180
360
????
1.00
Si se asume que el YTM de C es también 8%, estaríamos subestimando el valor
real del bono.
Page 43
Valuación de Activos e Inversiones
Problemas de valorar usando la Yield Curve
►
►
►
►
Si descomponemos el bono B, obtenemos dos bonos cupón cero
(strips):
► Strip D : madura en 6 meses, y paga un valor nominal de $4
► Strip E : madura en un año, y paga un valor nominal de $104
¿Cuáles deberían ser los yield de los strip D y E?
El Strip D no es más que 0.04 unidades del Bono A, por lo que debería
tener el mismo yield de 7%.
Para evitar que exista arbitraje, el yield Y del Strip E debería satisfacer:
precio de Bono B =$100 
Page 44
$4
$104

1.035  Y  2
1  
2

Valuación de Activos e Inversiones
Problemas de valorar usando la Yield Curve
►
El yield del Strip E será entonces Y =8.0201%, y la forma correcta de
valorar el Bono C (tasa cupón 10.8%), será:
$5.04 $105.04

 $101.9662
precio de Bono C =
2
1.035 1.0401
Lo que equivale aun YTM de 7.9951%, en vez de 8%
►
La forma correcta de valorar un bono (o flujo de dinero en general) será
descontando con las tasas de rendimiento de bonos cupón cero.
Page 45
Valuación de Activos e Inversiones
Curva Cero
►
►
►
►
Tasa Spot o Tasa Cero (spot rate)
Es el rendimiento (yield) de un bono cupón cero de gobierno a una madurez
dada.
Curva Spot o Curva Cero (spot rate curve, zero curve)
Grafica la relación entre el rendimiento y la madurez de bonos cupón cero de
gobierno.
Como no existen en el mercado bonos cupón cero emitidos por el gobierno a
cualquier madurez dada, es necesario derivar los puntos de la Curva Cero a
partir de los instrumentos cotizados, y de consideraciones teóricas.
La curva obtenida de esta manera se denomina Curva Cero Teórica
(theoretical spot rate curve) y es la representación gráfica de la
Estructura Intertemporal de Tasas de Interés (term structure of interest
rate). Este proceso se logra, mediante un proceso de “Bootstrapping”
Page 46
Valuación de Activos e Inversiones
Curva cero futura (Tasa Forward Implícita)
►
Ejemplo: Supongamos que un inversionista con horizonte de
inversión de 1 año tiene dos alternativas:
► A1: comprar un bono cupón cero a un año
► A2: comprar un bono cupón cero a seis meses, y dentro de seis
meses reinvertir las ganancias en otro bono cupón cero a seis
meses.
y1= 5.50%
y0.5= 5.25%
0
Hoy
►
0.5
6 meses
E(f)= ???%
1
año
¿Para qué tasa esperada f dentro de 6 meses ambas alternativas
serían equivalentes?
2
f 
 0.055   0.0525  
1


1


1


 
 

2
2
2

 
 

Page 47
Valuación de Activos e Inversiones

f  5.75%
Instrumentos Financieros
Derivados
Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)
►
Sea M un activo que paga según el resultado del
lanzamiento de una moneda:
p = 0.5
$2
p = 0.5
$0
M: $m = ¿?
►
¿Cuál debería ser el “precio correcto” $m del activo M
en el mercado?
Page 49
Valuación de Activos e Inversiones
Probabilidad Tradicional (Valor Esperado)
►
►
►
S es un activo con precio $2 hoy, y posibles valores de $1 o $5 mañana.
D es un contrato que paga $2 si sube el valor de S, y $0 si baja:
si S=$5
$2
p = 0.5
(p = 0.5)
$5
D: $d
S:
$2
$0
si S=$1
$1
p = 0.5
(p = 0.5)
M y D tienen los mismos posibles valores, con iguales probabilidades:
p = 0.5
M:
p = 0.5
$2
p = 0.5
$0
D: $d = ¿?
$1
p = 0.5
►
$2
$0
¿Cuál debería ser el “precio correcto” $d del contrato D en el mismo
mercado que el ejemplo anterior?
Page 50
Valuación de Activos e Inversiones
Probabilidad Neutral al Riesgo
►
Si $d = $m = $1 entonces: Vendo dos unidades del contrato D, compro
una unidad de S:
# Títulos
Vendo 2 unidades de D
-2
Compro una Unidad de S
1
Riqueza Inicial
-D2
$2
+S
-$2
$0
D Paga Valor de S Riqueza Final
Escenario 1
S=$5, p=0.5
-$4
$5
$1
Escenario 2
S=$1, p=0.5
$0
$1
$1
p=1
►
►
►
A diferencia de M, el valor futuro de D depende del valor de otro activo S.
Se dice que D es un derivado
derivado, con subyacente S.
Solo se puede evitar la oportunidad de hacer dinero sin riesgo (arbitraje
arbitraje) si
$d = $1.50 y este valor no depende de p, sino de q (probabilidad neutral
al riesgo)
Page 51
Valuación de Activos e Inversiones
Instrumentos Financieros Derivados
►
Instrumento Derivado se refiere a un título cuyos flujos futuros
dependen funcionalmente de del valor de otro título o variable de
mercado (subyacente
subyacente) .
El subyacente (underlying variable) puede ser un activo:
►
acción, índice accionario, bono, commodity (oro, plata, petróleo), etc.
►
… o una variable de mercado:
►
►
►
tasa de interés, tipo de cambio, índice de inflación, etc.
Se pueden utilizar con varios fines:
►
►
►
Page 52
cobertura de cierto riesgo,
especulación (apostar a cierto comportamiento futuro del mercado),
Derivado Implícito
Valuación de Activos e Inversiones
Clasificación de Instrumentos
Financieros Derivados
►
Los tipos de instrumentos derivados básicos son:
► Forwards
Forwards:
►
obligación de comprar/vender en el futuro a un precio
prefijado
► Futuros
Futuros:
►
como el Forward, pero estandarizado y con marca-mercado
► Opciones
Opciones:
►
derecho de comprar/vender en el futuro a un precio prefijado
► Swaps
Swaps:
►
Page 53
intercambio de dos flujos de dinero en el futuro
Valuación de Activos e Inversiones
Determinación de Precios Forward bajo la
probabilidad neutral al riesgo (libre de arbitraje)
S 0  Ft e  rT
Precio Forward sobre subyacentes que no
generan ingresos
F  S0e rT
S0e rT  Fe reT
Precio Forward sobre divisas
F  S0e( r  re )T
yt(T2)
yt(T1)
t
T1
1  yt (T2 )
T2 t
Page 54
T2
ft(T1,T2)
 1  yt (T1 )
T1 t
 1  f t (T1 , T2 ) 
Valuación de Activos e Inversiones
T2 T1
Precio
Forward sobre
tasas de
interés
Precio del Swap
►
Como para cualquier otro instrumento financiero, el cálculo
del precio se basa en el principio de no arbitraje:
VPfijo  VPflotante
►
Si no se cumple con la condición de no arbitraje, una parte
tendrá que compensar a la otra con un pago por adelantado
igual a la diferencia de los valores presentes.
Vswap  VPfijo  VPflotante
►
Por lo general el precio del swap se fijará de acuerdo a las
tasas de mercado vigentes en el momento.
Page 55
Valuación de Activos e Inversiones
Contratos de Opciones
►
►
►
Opción es un contrato que le da al tenedor (posición larga) el derecho,
pero no la obligación, de realizar una compra (Opción
Opción call)
call o una venta
(Opción
Opción put)
put en un momento futuro.
Por este derecho, el tenedor de la opción paga un precio o prima (option
option
premium).
premium
Terminología:
► Ejercicio
Ejercicio: acto de invocar el derecho de compra (call) o venta (put)
► Precio de ejercicio (strike price): precio prefijado al que el
comprador de la opción tiene derecho a comprar (call) o vender
(put) el subyacente
► Fecha de expiración:
expiración en la que vence el contrato
► Prima
Prima: valor de mercado del contrato
Page 56
Valuación de Activos e Inversiones
Option Payoffs
Max { ST–K , 0}
-Max { ST–K , 0} = Min { K–ST , 0}
Page 57
Max { K–ST , 0}
-Max {K–ST , 0} = Min {ST–K , 0}
Valuación de Activos e Inversiones
Clasificación de Opciones
►
Por sus condiciones de “Fecha de Ejercicio”, pueden
clasificarse en:
►
Opciones Europeas: Aquellas que solo se pueden ejercer en la
fecha del contrato “Fecha de Ejercicio”
►
Opciones Americanas: Opciones que permiten el ejercicio
anticipado, de manera espontánea.
►
Opciones Bermudas: Opciones que permiten el ejercicio
anticipado en fechas específicas.
Page 58
Valuación de Activos e Inversiones
Clasificación de Opciones
►
►
►
Por sus condiciones de “Payoff”, pueden clasificarse en:
No dependientes de la trayectoria del precio del
subyacente: Aquellas cuyo valor y ejercicio dependen
exclusivamente del precio o nivel del subyacente al final de la
trayectoria (incluyen todas las de tipo Europeo). Regularmente
existen fórmulas analíticas “cerradas” para determinar su
valor.
Dependientes de la trayectoria: Su valor depende no sólo
del valor del subyacente al vencimiento del contrato si no de uno
o más valores de éste durante la vida del contrato.
Regularmente requieren de un modelo o aproximación
numérica (árbol binomial o simulación) para determinar su
valor.
Page 59
Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplos de Opciones
NO DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
►
►
Plain Vanilla (call, put, swaption)
Exóticas
► Barrera Europea
► Binomial (cash “K”or nothing)
► Chooser
DEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
►
►
Americana, bermuda
Exóticas
► Barrera Americana
► Lookback
► Asiática
Page 60
Valuación de Activos e Inversiones
Opción de Compra (Call)
35
30
D e lta
25
  
Payoff ($)
20
cu  cd
su  sd
15
Slope =
5
K
0
-5
-10
20
30
40
50
R un = S u - S d
-15
Stock Price ($)
Page 61
R is e = C u - C d
10
Valuación de Activos e Inversiones
60
70
Métodos Numércos (Árbol Binomial)
u
u
d
u
d
S3= u 3S0
d
u
S3= u2 dS0
S2= u2 S0
S1= uS0
S0
u
S2= ud S0
S1= dS0
d
u
d
S2= d2 S0
d
0
Page 62
1
S3= ud2 S0
2
Valuación de Activos e Inversiones
S3= d3 S0
3
Árbol Binomial de Precios de un Activo
P(H)=1/3
P(T)=2/3
u=1.2
d=0.7
Núm. de
trayectorias
Prob. por
trayectoria
Probabilidad
total: P(S3=x)
x=8.64
1
(1/3)3=1/27
1/27
x=5.04
3
(1/3)2(2/3)=2/27
6/27
x=2.94
3
(1/3)(2/3)2=4/27
12/27
1
(2/3)3=8/27
8/27
S3
S2
H
S1
S0
S2
T
S1
S2
x=1.71
TOTAL
Page 63
8
Valuación de Activos e Inversiones
P(Ω)=1
Modelo de Cox-Ross Rubinstein
►
El modelo de Cox-Ross Rubinstein, toma como base el modelo
binomial para simular precios de un activo y lo adapta para valorar
opciones de tipo Europeo y Americano.
►
El principal reto del modelo consiste en:
►
Determinar, a partir de la volatilidad ( ) y la tasa libre de riesgos (r):
u = Monto fijo al cual crece s
d = Monto fijo al cual decrece s
p = Probabilidad de que ocurra u
1-p = Probabilidad de que ocurra d
Page 64
Valuación de Activos e Inversiones
Ejemplo PUT – Europeo
S = 50
T=2yr ∆t = 0.40
K = 52,
r = 5%
σ = 30%
u  e
88.34353
0
73.07573
1.21088
60.44656
3.707454
50
7.085107
88.34353
0
73.07573
0
60.44656
2.498793
50
6.412333
41.35885
10.82913
60.44656
0
50
5.156553
41.35885
10.67695
34.21108
15.78894
41.35885
10.64115
34.21108
16.75925
28.29862
21.66243
  t
28.29862
23.70138
23.40797
27.56237
rt
d
p
ud
Page 65
106.8013
0
t
d 1 u  e
e
129.1154
0
19.36253
32.63747
Node Time:
0.0000
0.4000
Valuación de Activos e Inversiones
0.8000
1.2000
1.6000
2.0000
Ejemplo PUT – Americano
129.1154
0
S = 50
T=2yr ∆t = 0.40
K = 52,
r = 5%
σ = 30%
106.8013
0
88.34353
0
73.07573
1.21088
60.44656
3.824623
50
7.670889
ue
d  1 u  e 
e rt  d
p
ud
Page 66
73.07573
0
60.44656
2.498793
50
6.654124
41.35885
11.91813
 t
60.44656
0
50
5.156553
41.35885
11.17591
34.21108
17.78892
t
88.34353
0
41.35885
10.64115
34.21108
17.78892
28.29862
23.70138
28.29862
23.70138
23.40797
28.59203
19.36253
32.63747
Node Time:
0.0000
0.4000
0.8000
Valuación de Activos e Inversiones
1.2000
1.6000
2.0000
Alternativas Analíticas al Modelo Binomial
►
Para opciones Europeas y Opciones Exóticas NO
dependientes de la trayectoria del subyacente:
►
►
Para opciones Americanas (dependiente de la trayectoria)
►
►
Black – Scholes para valorar opciones europeas y otras
soluciones analíticas a la EDE de Black-Merton-Scholes
Barone-Adesi and Whaley Approximation
Opciones Dependientes de la trayectoria distintas a las
Opciones Americanas:
►
Page 67
Simulación MonteCarlo
Valuación de Activos e Inversiones
Modelo de Black – Scholes
Ecuación Diferencial Estocástica de Black-Merton-Scholes
dF dF  2 S 2 d 2 F
rS


 rF
2
dS dt
2 dS
dS   Sdt   SdW
Para resolver esta ecuación, es necesario una establecer una
condición de frontera, por ejemplo, en el caso de un CALL
Europeo:
F ( s, T )  MAX [ S (T )  K ,0]
Page 68
Valuación de Activos e Inversiones
Modelo de Black – Scholes
►
Para una Opción call:
payoff  max( ST  K ,0)
c  S0 N  d1   Ke  rT N  d 2 
►
1
N (d ) 
2
d
e

Para una Opción put:
payoff  max( K  ST ,0)
p  Ke  rT N   d 2   S0 N   d1 
►
donde:
2
 S0    
ln     r   T
2
K 
d1 
 T
Page 69
2
 S0    
ln     r   T
2
K 
d2 
 d1   T
 T
Valuación de Activos e Inversiones

x2
2
dx
Modelo de Black
►
Para una Opción call:
payoff  max(VT  K ,0)
c  z (0, T )  F0 N  d1   KN  d 2  
►
Para una Opción put:
payoff  max( K  VT ,0)
p  z (0, T )  KN  d 2   F0 N  d1  
►
donde:
 F0  
ln   
T
K
2
d1   
 T
2
Page 70
 F0  
ln   
T
K
2
d2   
 d1   T
 T
Valuación de Activos e Inversiones
2
Interpretación Gráfica de Black – Scholes
35
30
Delta    N (d1)
25
20
15
10
5
0
-5
-10
20
30
40
50
R un =
-15
S t o c k P ric e ( $ )
Page 71
Valuación de Activos e Inversiones
x
60
70
Supuestos del modelo de Black – Scholes
►
Los supuestos del modelo son:
►
►
►
►
►
►
Page 72
No existen oportunidades de arbitraje en el mercado
Los precios futuros del subyacente siguen una distribución logNormal
El intercambio (compra/venta) del subyacente se puede llevar a cabo
de manera continua (trading continuo).
No hay costos de transacción
La tasa instantánea libre de riesgo se mantiene constante a lo
largo de la vida de la opción.
La volatilidad es conocida y se mantiene constante a lo largo de
la vida de la opción.
Valuación de Activos e Inversiones
Simulación MonteCarlo
►
►
El método Monte Carlo permite encontrar soluciones
aproximadas de problemas matemáticos que involucran
variables aleatorias dependientes del tiempo.
Requiere de un procedimiento para calcular realizaciones
o trayectorias de variables aleatorias, dependientes del
tiempo mediante ensayos independientes. Por ejemplo un
Movimiento Browniano Geométrico.
dS t  rS t dt  S t dW t
►
Donde r es una tasa de interés constante, s es la
volatilidad instantánea y dW t ~ N (0, dt )
Page 73
Valuación de Activos e Inversiones
Movimiento Browniano Geométrico
Asumiendo un Movimiento Browniano Gemétrico
dS t  rS t dt  S t dWt
A partir de cálculo estocástico se obtiene la ecuación para simular
precios de un activo:
1 2

d (ln S t )   r   dt  dWt
2


1 2

d (ln S t )   r   dt  dWt
2


S t t

1 2
ˆ
 S t exp        t  
2


ˆ  r
Page 74
Valuación de Activos e Inversiones

t 

Simulación Montecarlo
Simulación Montecarlo
Trayectoria del Subyacente (MXP/USD)
12.50
Strike Price=K
12.00
11.50
11.00
10.50
10.00
9.50
9.00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Días simulados (dt)
►
Útil para valuar opciones dependientes de la trayectoria
(asiáticas y barreras americanas)
Page 75
Valuación de Activos e Inversiones
Problemas del Movimiento Browniano
Geométrico
Es siempre positivo
► Su media crece exponencialmente
► Apropiado para precios de acciones, divisas y
algunos commodities, pero no apropiado para
simular la evolución de tasas de interés.
►
Page 76
Valuación de Activos e Inversiones
Alternativas al Movimiento Browniano
Geométrico
Otros Modelos Estocásticos:
►
►
►
►
►
Vasicek
Cox-Ingersoll-Ross
Modelo de Dothan
Modelos Multifactoriales
Black-Derman-Toy (BDT)
Todos estos modelos cumplen con propiedades de equilibrio y
no arbitraje.
Page 77
Valuación de Activos e Inversiones
Bibliografía
►
►
►
►
Hull, John (2005). Options, Futures and other Derivatives
6ª. Ed. Prentice-Hall.
Fabozzi, Frank (2007). Bond Markets: Analysis and
Strategies 6ª. Ed. Prentice-Hall.
Sundaresan, Suresh (2002). Fixed Income Markets and
their Derivatives 2ª. Ed. South-Western Collage Pub.
Venegas Francisco (2007). Riesgos Financieros y
Económicos. 1ª Ed. Thomson
Page 78
Valuación de Activos e Inversiones
Hacia la Implementación del Nuevo
Régimen de Solvencia
“Valuación de Activos e Inversiones”
Gracias por su atención!
Alejandro Diosdado Rodríguez
Administración de Riesgos Financieros
Ernst & Young (México)
[email protected]