Simulación de sistemas de lentes. Modelos básico y avanzado

investigación educativa
Simulación de sistemas de lentes.
Modelos básico y avanzado
por Hugo Alberto Kofman
Resumen
Abstract
En este trabajo se describe un software de acceso libre,
que se ha desarrollado para estudiar la formación de
imágenes en sistemas de lentes. En el mismo resulta posible escoger entre dos modelos físico matemáticos: el
clásico de lentes delgadas y un modelo general de lentes
gruesas que compone una imagen a través de millones
de rayos de luz. Se explica la utilización del software en
una propuesta de aprendizaje colaborativo, se muestran
las características de cada modelo, se dan ejemplos de
tareas de aprendizaje para los alumnos, y se mencionan
algunos resultados obtenidos hasta el momento.
This paper describes a free software, which has been
developed to study the formation of images in lens
systems. The same is possible to choose between two
physical mathematical models: the classic thin lenses
and a general model of thick lenses that make up an
image through millions of light rays. Explains the use
of software in a collaborative learning proposal, show
the characteristics of each model, are examples of
learning tasks for students, and mention some results
obtained so far.
Palabras clave: Lentes delgadas, lentes gruesas, modelos, software, aprendizaje colaborativo.
Introducción
Las nuevas tecnologías permiten disponer de herramientas muy diversas para la enseñanza de la Física, las
cuales cuentan con enormes ventajas para ser integradas en una metodología de aprendizaje colaborativo. Esta
línea de la didáctica se orienta a potenciar la autogestión del aprendizaje por los propios alumnos, que colaboran
entre sí con ayuda del docente para alcanzar determinadas metas o resolver ciertos problemas. En el camino que
recorren para llegar a esos objetivos ocurren diversas interacciones entre las distintas partes que intervienen en el
proceso: alumno-alumno, alumno-tecnología, docente-alumno, las cuales resultan fundamentales para el logro de
los objetivos propuestos.
Los objetivos de este modelo de enseñanza y aprendizaje no se limitan sólo al nivel de los contenidos específicos,
sino que incluyen aspectos más amplios de la personalidad humana: autonomía, socialización, creatividad, etc. De ahí
El autor es docente de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional
del Litoral e integrante del proyecto de investigación «Integración del laboratorio
remoto al aprendizaje colaborativo en física» aprobado y subvencionado por la
Universidad Nacional del Litoral.
Dirección de contacto: [email protected]
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que los resultados de una experiencia concreta no puedan ser evaluados en forma simple a través de la metodología clásica de comparación de exámenes entre grupo
experimental y grupo control, porque se trata de
paradigmas diferentes, que como tales resultan imposibles de comparar a través del mismo rasero. Por tal razón,
la evaluación de una determinada propuesta didáctica se
suele realizar mediante métodos que combinan herramientas cualitativas con cuantitativas: aceptación por parte
de los alumnos, observación de clases, evaluación de las
interacciones en plataforma virtual, etc.
Las ventajas de estas herramientas cognitivas consisten en parte en la funcionalidad de las mismas, en
sus capacidades gráficas, en la facilidad para acceder a
ellas y en el hecho que pueden ser manipuladas por
manos inexpertas sin ningún tipo de peligros. Por ejemplo: un alumno puede hacer decenas de experimentos
virtuales sobre corriente eléctrica sin exponerse a riesgos ni a que se destruyan los instrumentos ante un
error cometido, o diseñar los sistemas de lentes que se
le ocurran sin estar limitado por los escasos elementos
con que cuenta normalmente en un laboratorio. Incluso
se pueden realizar experimentos reales a través de
Internet, mediante los laboratorios remotos con los cuales este grupo está trabajando en la actualidad.
Todas estas herramientas no deben ser consideradas como una alternativa excluyente de los experimentos reales de laboratorio, que en muchos casos resultan insustituibles, sino más bien como una
complementación de los mismos.
En este caso se presenta un software de simulación
de lentes y sistemas ópticos, que no sólo contempla el
clásico modelo de lentes delgadas, habitual como
«applet» en muchos sitios de Internet, sino que incluye
además un modelo basado en la aplicación directa de la
ley de Snell a cada una de las superficies esféricas
refringentes. Para eso se debe componer la imagen a través del seguimiento de miles o millones de rayos a través
del sistema óptico. De esta manera se obtienen imágenes
que son copias casi exactas de las que se obtendrían con
un sistema real de lentes, con todas sus aberraciones.
El software se ha denominado SimRI: «Simulación de
Rayos e Imágenes» y puede bajarse libremente de un
sitio de Internet (http://www.fiq.unl.edu.ar/galileo/),
obteniéndose la clave de acceso con sólo registrarse en
el sitio e indicar el o los software que se desea utilizar.
dad. La Física es una ciencia experimental que recurre a
la construcción de modelos para poder dar cuenta de
determinados fenómenos y realizar cálculos que puedan predecir ciertas situaciones. Pero esos modelos no
son más que una aproximación a la realidad, que como
tales contienen muchas simplificaciones. De ahí que
sus resultados no suelan ser «exactos».
Es común que en la enseñanza universitaria se enseñen solamente los sistemas de lentes delgadas,
mencionándose apenas las aberraciones que podrían
presentarse. De esta manera, los alumnos adquieren una
visión muy limitada y parcializada de la óptica geométrica,
lo cual puede justificarse por las dificultades matemáticas que implica el análisis de lentes gruesas, o con rayos
no paraxiales, las cuales además presentan índices de
refracción que varían con la longitud de onda.
Tal limitación puede ser superada en gran parte a
través de una simulación, la que se encarga de realizar
los cálculos y puede presentar los resultados para diversas situaciones experimentales. Con ese objetivo
se ha elaborado un software que contempla ambos
modelos: el de lentes delgadas y el de lentes gruesas.
Para tratar de que los alumnos tomen conciencia
que en cualquiera de los casos están trabajando con
modelos, se ha realizado un diseño de la pantalla inicial del software tal como se muestra en la Figura 1.
Los modelos incluidos en la simulación
Mucha gente, incluidos alumnos que han aprobado los cursos universitarios básicos, creen que la Física es una «ciencia exacta». Nada más lejos de la reali-
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Figura 1. Parte de la pantalla inicial del software.
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Es entonces el alumno quien escoge el modelo físico que va a utilizar, lo cual además le muestra que
para describir un fenómeno físico se puede utilizar más
de un modelo, y que hay algunos más avanzados que
otros.
Respecto al modelo de lentes delgadas no hay
mucho que explicitar. Se basa en la fórmula de Gauss
de las lentes delgadas con rayos paraxiales, y está
diseñado para mostrar la formación de imágenes mediante rayos. Calcula y muestra la posición de la imagen final, aclarando si es real o virtual, y el aumento
lateral. Se pueden formar sistemas con varias lentes,
convergentes o divergentes cuyas distancias focales
se establecen a voluntad.
En la Figura 2 se muestra el esquema de un microscopio elemental cuando forma la imagen en una posición cercana. Presenta la posibilidad de copiar las imágenes como archivos o al portapapeles de Windows
para ser pegadas en otros documentos, por ejemplo
de Word, Paint, etc. En la aplicación se muestran los
elementos sobre fondo negro, pero en el copiado se
puede pasar a fondo blanco, ya sea con o sin colores.
Tal función resulta útil para la elaboración de informes, apuntes, cuestionarios de examen, etc.
Si se observa con cierto detenimiento la Figura 1,
se puede percibir que los rayos de luz van perdiendo
intensidad a medida que avanzan en el sistema óptico.
Esto es así ya que el modelo contempla la menor intensidad del rayo reflectado de acuerdo al ángulo de incidencia y a los índices de refracción en cada superficie
de las lentes. También se puede advertir que los rayos
que llegan a la pantalla no convergen exactamente en
un mismo punto, sino que se dispersan en una cierta
zona. La imagen del punto en este caso será borrosa,
relacionado a la aberración esférica, que en el mismo
caso sería la de tipo «coma». Se puede también estudiar la imagen en la llamada superficie de Petzval, en la
cual se consigue la mayor nitidez.
El programa contempla la posibilidad de ingresar
tres índices de refracción de distintos colores para
cada lente, lo que permite estudiar la aberración
cromática.
Para la formación de imágenes de figuras u objetos
extensos, se repite el procedimiento correspondiente a
un punto para cada píxel de la figura objeto, superponiéndose en la pantalla todos los rayos emergentes del
sistema. Por ejemplo, para una pequeña figura cuadrada de 100 x 100 píxeles, tomando 50 rayos por cada
punto, se requieren medio millón de rayos de luz. Si el
sistema óptico está formado por dos lentes, teniendo
en cuenta dos refracciones en cada una, se deben calcular en total dos millones de refracciones. En caso de
usar luz policromática, se debe triplicar esta cifra, ya
que se utilizan los tres colores primarios (Kofman, 2006).
En la Figura 3, se esquematiza este procedimiento.
Figura 2. Esquema de un microscopio elemental.
El modelo de «lentes gruesas» incluye como caso
particular al de lentes delgadas y permite estudiar por
una parte la formación de la imagen de un punto a
través de un pincel de rayos, tal como se muestra en la
Figura 1, y por otra parte la formación de imágenes de
figuras extensas, lo cual es representado en ese esquema a través de la foto de un conocido científico,
indicándose en forma simbólica la imagen invertida de
la misma. Se incluye también una opción que permite
seguir el recorrido de rayos individuales a través del
sistema.
Figura 3. Trayectoria de uno de los rayos de luz
correspondiente a un píxel del objeto.
En la figura se puede observar también que el sistema cuenta con un diafragma de campo, cuya apertura puede regularse, observándose la fuerte incidencia
que tiene este parámetro en la nitidez de la imagen.
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Para destacar una vez más la limitación que tiene
cualquier modelo físico matemático, se podría mencionar que en éste no se ha tomado en cuenta que cuando
llega un rayo de luz a la superficie de una lente, además
de la refracción se produce una reflexión hacia atrás, y
ese rayo se vuelve a reflejar hacia adelante en la lente
anterior. De esa manera aparece una componente difusa de la luz que reduce la calidad de la imagen.
observándose un mejor enfoque en el área de un anillo,
y desenfoques en la zona central y exterior.
Observación de distintos tipos de aberraciones
El efecto de la aberración esférica de las lentes
provocada por la existencia de rayos no paraxiales se
puede observar en la Figura 4. Las tres imágenes se
obtuvieron con el mismo sistema de lentes pero con
distintas aperturas del diafragma de campo. Un
diafragma más pequeño permite obtener imágenes más
nítidas, aun en una pantalla no ubicada en la posición
de mejor enfoque. Esto permite entender por qué las
personas de cierta edad o que tienen hipermetropía,
logran leer de cerca entrecerrando los párpados. Efecto que también se logra aumentando fuertemente la
iluminación, lo cual produce una reducción automática del diámetro de la pupila.
Figura 5. Objeto (a la izquierda) e imágenes en forma
de cuadrícula en una pantalla plana ubicada en distintas
posiciones.
En la Figura 6 se puede observar, a la izquierda, la
imagen formada en una pantalla plana en posición
paraxial, correspondiente a un objeto extenso en colores: en este caso el logo del Grupo Galileo, al que pertenece el autor del trabajo. A la derecha se muestra la
imagen formada con el mismo sistema de lentes, sobre
la superficie de Petzval (Hecht, Zajac, 2001), en la que
se logra mayor nitidez a pesar de la gran abertura del
diafragma de campo.
Figura 4. Imágenes formadas con diferentes diafragmas de
campo. El diámetro del mismo aumenta de izquierda a derecha.
El efecto de la llamada «curvatura de campo» se
muestra en la Figura 5. A la izquierda se muestra un
objeto en forma de cuadrícula. En el centro se presenta
la imagen formada con un diafragma de campo relativamente grande, sobre una pantalla plana ubicada en la
posición de la imagen paraxial. Se observa un mejor
enfoque en la zona central, que corresponde a la que
está más cerca del vértice del paraboloide del campo
curvo. Lejos de esa área, hacia los bordes, el desenfoque resulta notable. La imagen de la derecha se ha formado ubicando la pantalla en una posición intermedia,
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Figura 6. Imágenes formadas en pantalla plana
(izquierda) y pantalla curva (derecha).
Las aberraciones de distorsión pueden observarse en la Figura 7. A la izquierda, se presenta la imagen
formada por una lente convergente con superficies de
gran curvatura, del mismo objeto de la figura 5, pudiéndose percibir el llamado «efecto tonel». Asimismo, a la derecha se observa la imagen virtual formada
en una lente divergente con superficies de gran cur-
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vatura, notándose el «efecto corsé» (Kofman, Zamarro, 2006).
gente se pueden obtener imágenes reales y virtuales,
explicitando las condiciones para cada una de ellas,
mientras que con una lente divergente se pueden obtener solamente imágenes virtuales. Analizar en cada
caso la cuestión del aumento lateral.
Problema 2 (Modelo de lentes delgadas)
Obtenga una combinación de lentes adosadas (una
convergente y una divergente) de manera que la misma pueda producir imágenes reales. Compruebe a través de la simulación que la potencia del sistema es
igual a la suma algebraica de las potencias de cada
una de las lentes.
Figura 7. Efectos «tonel» y «corsé» en lentes de
mucha curvatura.
Elementos para una propuesta didáctica
Si bien se pueden realizar actividades independientes con la simulación, tanto en un entorno de enseñanza presencial como virtual, lo más adecuado en
este caso es comenzar con un trabajo práctico experimental, y complementar luego con problemas a resolver con ayuda de la simulación. En la parte experimental es importante que los alumnos aprendan a diferenciar lentes convergentes de divergentes, e imágenes
reales de virtuales. Muchos que han estudiado o comprendido la teoría en forma deficiente, piensan que las
imágenes virtuales no se pueden ver. De modo que
esta primera parte experimental resulta muy importante para la ubicación conceptual del alumno.
También puede ser importante corroborar experimentalmente la ley de Gauss en un banco óptico, experimentar con lentes adosadas y también formar imágenes reales con objetos virtuales a través de una
lente divergente.
Toda esta actividad puede luego ser reforzada o
ampliada con las simulaciones, mediante el planteo de
un conjunto de situaciones problemáticas en forma
relativamente abierta, de modo que los alumnos puedan tomar el control de la actividad en forma colectiva, proponiendo ellos mismos las condiciones y datos que puedan resultar adecuados para dar respuesta a los problemas. Al respecto se presentan algunos
ejemplos de este tipo de tareas planteadas.
Problema 1 (Modelo de lentes delgadas)
Suponga un sistema óptico formado con una sola
lente delgada. Comprobar que si la lente es conver-
Problema 3 (Modelo de lentes delgadas)
Reproduzca en una simulación el experimento de
formación de una imagen real a través de una lente
divergente, a partir de un objeto virtual formado por
una lente convergente separada de la primera. Compruebe la posición y aumento lateral de la imagen final, comparando los resultados de la simulación con
los cálculos correspondientes.
Problema 4 (Modelo de lentes gruesas)
En el modelo ideal de lente delgada, un rayo que
se origina en el eje óptico y se refracta en la lente,
debe cortar el mismo eje a una distancia dada por la
fórmula de Gauss (1) cualquiera sea el ángulo que forme el rayo con el eje.
(1)
Comparar el comportamiento de una lente delgada
de poca curvatura (radio grande) con una lente gruesa de mucha curvatura (radio pequeño), en relación a
su comportamiento frente a rayos de luz
monocromática, paraxiales y no paraxiales. Para ello,
analizar las desviaciones del eje óptico en el plano
paraxial de los rayos emergentes, utilizando un punto
objeto en el mismo eje.
Problema 5 (Modelo de lentes gruesas)
Con un vidrio de índice de refracción 1.5 (suponga
igual valor para todos los colores), diseñar una lente
convergente delgada, simétrica, de 2 mm de espesor,
que tenga una potencia de 4 dioptrías. Obtener luego
con la simulación una tabla de valores de posiciones de
objeto e imagen, y analizar en qué medida responde a la
fórmula de Gauss (1). Tener en cuenta en los cálculos
que el software mide todas las distancias respecto a un
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sistema de coordenadas x,y,z. con centro en el vértice
izquierdo de la primera lente, y que la fórmula de Gauss
considera las distancias al centro de la lente.
Repetir luego estos cálculos para una lente que
solo difiera de la anterior en su espesor (2 cm) y analizar los resultados en forma comparativa.
Problema 6 (Modelo de lentes gruesas)
Analizar la siguiente recomendación de un oftalmólogo: «Si su hijo presenta dolor de cabeza al salir
de la escuela, tiene ojos irritados al hacer sus tareas
escolares o frunce el ceño en el momento de leer, probablemente se deba a una dificultad en la visión como
astigmatismo o miopía, que requiere ser corregida a
través del uso de lentes».
La acción de «fruncir el ceño» es equivalente a
reducir el tamaño del diafragma de campo de una lente. Realice una explicación del hecho valiéndose de
simulaciones.
Resultados obtenidos
El software SimRI lleva algo más de tres años de
circulación, y su licencia es permanentemente requerida por alumnos y docentes de casi todos los países
de habla hispana, usuarios que en algunos casos envían comentarios sobre su versatilidad y los resultados favorables que obtienen con el mismo. Nuestra
experiencia al respecto es muy positiva, en los casos
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en que hemos podido encontrar los espacios de tiempo para utilizarlo. Ocurre algunas veces que, como el
trabajo práctico de óptica geométrica es el último del
calendario académico, por las pérdidas de clases a raíz
de diversos motivos, no siempre nos ha resultado
posible aplicarlo y evaluar sistemáticamente sus resultados. Pero cuando eso nos resultó accesible, hemos observado que los alumnos incorporan la herramienta con mucha facilidad, y que su aplicación a la
resolución de los problemas planteados redunda en
un aprendizaje que amplía notoriamente la conceptualización del tema. El alto grado de aceptación del software por los alumnos, también es una muestra de la
potencialidad del mismo.
Referencias bibliográficas
KOFMAN, H. (2006). Simulaciones con mayor realismo
en óptica geométrica. XII Congreso Argentino de Ciencias de la Computación (CACIC 06). 17 – 21 DE
OCTUBRE DE 2006, POTRERO DE LOS FUNES,
SAN LUIS, ARGENTINA. Publicación en CD.
HECHT, E. y ZAJAC, A. (2001). Optics, 4th Ed.. Original edition, 1974: Hecht and Zajac. AddisonWesley ISBN: 0805385665.
KOFMAN, H. y ZAMARRO, J. (2006). Another view
of geometric optics: a simulation closer to reality.
VIII International Symposium on Computers in
Education. SIIE06. 24, 25 y 26 de Octubre de 2006
en León, España. Proceeding. Vol 1. Pags 256 a 263.
ISBN 84-9773-301-0 y 84-9773-303-7.
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