Tema 4. Propiedades eléctricas de los materiales: conductores y

Tema 4. Propiedades eléctricas Tema 4. Propiedades eléctricas
de los materiales: conductores de los materiales: conductores
y dieléctricos
y dieléctricos
Objetivos:
●
●
●
●
●
Conocer las características de los conductores cargados en equilibrio:
campo eléctrico en el interior y en la superficie, potencial y distribución
de cargas.
Conocer las características de los fenómenos de influencia total entre
conductores.
Definir la capacidad de un condensador y saber calcular la capacidad
equivalente de asociaciones de condensadores en serie y en paralelo.
Entender los fenómenos de carga de un condensador y saber hallar la
energía almacenada en un condensador.
Saber discutir los efectos de un dieléctrico sobre la capacidad, carga,
energía, diferencia de potencial y campo eléctrico de un condensador.
Tema 4. Conductores y
dieléctricos
-
-
-
-
-
-
-
-
Influencia electrostática. Pantallas.
4.3 El condensador. Capacidad.
-
-
-
-
-
-
Circuito RC. Carga y descarga de un
condensador.
Energía almacenada por un condensador.
Densidad de energía.
Asociación de condensadores.
4.4 Dieléctricos. Polarización.
+
+- ++++
+
+
+
+
+ +
+ - + - +
++
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
4.2 Conductores en equilibrio.
Modelo de
conductor
-
●
-
4.1 Teoría de bandas de energía.
Introducción
- Electrones libres
I ones +
Modelo de conductor: red cristalina regular, compuesta de iones
positivos, rodeados por una “nube de electrones”, con gran
capacidad de movimiento.
(metales, ...)
Teoría de bandas de
energía
Introducción
●
Modelo de
dieléctrico
(aislante)

Átomo de hidrógeno:
0
Electrones ligados
-4
-6
-8
-10
-12
-14
Modelo de dieléctrico (aislante): amorfo o red cristalina regular,
los electrones se mantienen ligados a los núcleos de los átomos,
con posibilidades de movimiento muy limitadas.
μ e4
13,6 eV
=−
 4 πε0 2 2 ℏ n 2
n2
μ=
Mm
mM
-2
E (eV)
Àtomos con electrones
compartidos y configuración
electrónica estable
E n=−
Energía de los 10
primeros niveles
energéticos del átomo de
hidrógeno, con un
electrón en su estado
fundamental
El electrón-voltio (eV) es una unidad para medir energía, muy utilizada en física
atómica y nuclear. Se define como la energía que adquiere un electrón cuando se
acelera mediante una diferencia de potencial de 1 V.
1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J
4.1
Teoría de bandas de
energía
Átomo de hidrógeno:
E n=−
μ e4
13,6 eV
=−
 4 πε0 2 2 ℏ n 2
n2
0
Mm
μ=
mM
0
-2
E (eV)
-4
Energía de los 10
primeros niveles
energéticos del átomo de
hidrógeno, con un
electrón en su estado
fundamental
-6
-8
-10
-12
-14

-6
-8
-12
-14
Si la energía que se aporta al átomo es mayor que la energía de
ligadura del electrón, éste podrá “liberarse” del átomo, y entonces se
dice que el átomo está ionizado. Por este motivo, a la energía de
ligadura se le denomina también energía de ionización.
Teoría de bandas de
energía
4.1
Átomo de hidrógeno:
Grupo
1
6d
6p
4f
5d
5p
4d
7s
6s
5s
4s
3s
Configuración electrónica del
átomo del H
2p
2s
3
Teoría de bandas de
energía
5f
6d
6p
4f
5d
3s
2p
2s
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
3
Li
4
Be
5
B
6
C
7
N
8
O
9
F
10
Ne
3
11
Na
12
Mg
13
Al
14
Si
15
P
16
S
17
Cl
18
Ar
4
19
K
20
Ca
21
Sc
22
Ti
23
V
24
Cr
25
Mn
26
Fe
27
Co
28
Ni
29
Cu
30
Zn
31
Ga
32
Ge
33
As
34
Se
35
Br
36
Kr
5
37
Rb
38
Sr
39
Y
40
Zr
41
Nb
42
Mo
43
Tc
44
Ru
45
Rh
46
Pd
47
Ag
48
Cd
49
In
50
Sn
51
Sb
52
Te
53
I
54
Xe
6
55
Cs
56
Ba
*
71
Lu
72
Hf
73
Ta
74
W
75
Re
76
Os
77
Ir
78
Pt
79
Au
80
Hg
81
Tl
82
Pb
83
Bi
84
Po
85
At
86
Rn
7
87
Fr
88
Ra
**
2
He
5p
103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
Lr
Rf Db Sg Bh Hs Mt Uun Uuu Uub Uut Uuq Uup Uuh Uus Uuo
*
57
La
58
Ce
59
Pr
60
Nd
61 62
Pm Sm
63
Eu
64
Gd
65
Tb
66
Dy
67
Ho
**
89
Ac
90
Th
91
Pa
92
U
93
Np
95 96
Am Cm
97
Bk
98
Cf
99 100 101 102
Es Fm Md No
7p
5f
6d
7s
6p
4f
5d
5p
4d
6s
69
Tm
70
Yb
7p
7s
“8 átomos”
Cu
6s
4p
3d
5s
4.1
Banda
de
conducción
4p
3d
3p
3s
2p
2s
4s
94
Pu
68
Er
Teoría de bandas de
energía
4.1
4p
3p
6
2
5s
3d
5
1
H
1s
4d
4
1
7p
4p
3p
2
4.1
Periodo
5f
3d
Fotón
12,09 eV
Fotón
Eγ
-10
La energía que posee el electrón en el átomo se denomina energía de
ligadura
Teoría de bandas de
energía
-4
4.1
Excitacióndesexcitación de
un electrón en el
átomo de
hidrógeno
Fotón
E γ-12,09 eV
-2
E (eV)

Teoría de bandas de
energía
4.1
4s
Configuración electrónica del
átomo del Cu
4s
Banda
de
valencia
1s
Configuración electrónica del
átomo del Cu
1s
Cu (29 e-): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1
Niveles energéticos de la última capa del
átomo de Cu aislado (izquierda), y de ocho
átomos de cobre formando una hipotética
estructura cristalina de “8 átomos” (derecha).
La separación entre los niveles energéticos es
meramente ilustrativa y no está dibujada a
escala.
Teoría de bandas de
energía
5f
7p
6d
4f
5d
5p
4d
“N átomos”
Cu
7s
6p
6s
4p
3d
5s
Teoría de bandas de
energía
4.1
Energía interna
Banda
de
conducción
k B T =E F /100
4p
3d
3p
3s
2p
2s
Configuración electrónica del
átomo del Cu
4s
k B =1 . 38 · 10−23 J/K
Banda
de
valencia
Función de distribución
de Fermi-Dirac
1s
Niveles energéticos de la última capa del
átomo de Cu aislado (izquierda), y de ocho
átomos de cobre formando una hipotética
estructura cristalina de “N átomos” (derecha).
La separación entre los niveles energéticos es
meramente ilustrativa y no está dibujada a
escala.
Teoría de bandas de
energía
k B T =E F /10
k B T =E F /2
Teoría de bandas de
energía
4.1
1C
BC
BV
Dieléctrico
(aislante)
●
BC
Eg ≅ 10 eV
Conductor en equilibrio electrostático: no
se tiene un movimiento neto de las cargas.
El campo eléctrico es cero en cualquier
punto del interior del conductor.

E
in t
4.2
4.1
BC
Eg ≅ 1 eV
BV
Semiconductor
BV
Conductor
Conductores en equilibrio
●
La carga en un conductor aislado reside
sobre su superficie.

Superficie
de Gauss
E =0 en el
interior
φ=∫ E⋅d S=0
Teorema de
Gauss
= 0
ρ = 0
V = c te
1
1exp{ −E F /k B T }
/E F
Energía de Fermi, EF
●
n  =
k B T =E F
Función de
distribución de
Fermi-Dirac
Conductores en equilibrio
U ∝k B T
Constante de Boltzmann
Aumenta T
4s
4.1
φ=
σ
E
∑ Qi
ε0
Qi =0
4.2
Conductores en equilibrio
●
4.2
Todo punto del conductor cargado en
equilibrio está al mismo potencial.
B

Conductores en equilibrio
●
 ℓ=0
V B −V A =−∫A E⋅d
El campo eléctrico es perpendicular a la
superficie del conductor.
E
E n
B
A
E
E t
E
Movimiento
de cargas
Conductores en equilibrio
●
Teorema de Coulomb: en los puntos
cercanos a la superficie del conductor:
4.2
E n=σ /ε 0
Cargas
en reposo
Ejemplo 4.1
Q
Q1
R1
a)
4.2
Una esfera conductora, de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo
conductor, de capacidad despreciable, a otra esfera de radio R2
(R2<R1), inicialmente descargada. Suponiendo que las esferas están
lo suficientemente alejadas entre sí para que los fenómenos de
influencia sean despreciables, calcula:
a) Cargas Q1 y Q2 de cada esfera; b) Potencial; c) Densidad superficial
de carga en cada esfera; d) ¿Qué ocurre si R2>>R1?

E d S
4.2
Ejemplo 4.1
4.2
R1
Q2
R2
4.2
Ejemplo 4.1
c)
Q=Q1 Q2
V=
Q1
4 πε 0 R1
σ1 =
=
Q2
4 πε 0 R2
⇒
Q 1=
QR1
R1 R2
, Q 2=
Q1
S1
=
QR1
4πR21  R1R2 
QR 2
d)
lim R
∞ Q 1 =lim R 2 ∞
lim R
∞ Q 2 =lim R 2 ∞
2
Q1
=
Q2
4 πε0 R1 4 πε0 R2
=
Q2
Q
Q
, σ 2=
=
4πR1  R1 R2 
S 2 4πR 2  R1R2 
R1 R2
b)
V =V 1=V 2 =
=
Q
4 πε0  R1 R2 
2
limR
2
∞ V =limR2 ∞



QR1
R1 R2


=0
QR2
=Q
R1 R2

Q
=0
4 πε0  R1 R2 
4.2
Influencia electrostática
●
Cuando situamos alguna carga eléctrica en las
proximidades de un conductor, dicha carga ejerce
un fenómeno de influencia electrostática sobre el
conductor.
E
E i =0
V QO=∫
q
O
Q
V O =V QO V qO=
11.
Sea
una
esfera
conductora, con centro en
O y radio R. Dicha esfera,
que
se
encuentra
conectada
a
tierra
(potencial
nulo)
está
sometida a la influencia de
una carga puntual q,
situada a una distancia d
de O (d>R). Calcula la
carga que aparece en la
esfera en función de q, R y
d.
q
Q
d
4.2
Las cargas internas al conductor hueco no
tienen influencia sobre el exterior del
conductor hueco conectado a tierra.
 
1 Q q
 =0
4 πε0 R d
σ
ext= 0

E =0
d
qR
Q=−
d
V =0
+Q
σ 
E =0
V =0
4.2
Pantallas
●
R
O
Pantallas
●
R
dq
1
1 Q
=
∫ dq= 4 πε R
4 πε0 r 4 πε0 R
0
Problema 11
4.2
Problema 11
4.2
Las cargas externas al conductor hueco no
tienen influencia sobre el interior del
conductor hueco conectado a tierra.
Pantallas
Dieléctrico
+Q
σ

E

E =0
V =0
Conductor
V =0
4.2
4.3
El condensador
●
Influencia electrostática total: la influencia
electrostática entre dos conductores se
denomina total cuando todas las líneas de
campo de un conductor atraviesan el otro.
El condensador
●
4.3
Influencia electrostática total:
Superficie
de Gauss
-Q
+Q
+Q
-Q
+Q
-Q
El condensador
●
●
Sistema de dos conductores que se
ejercen una influencia total.
Almacenan carga eléctrica (y energía).
●
+Q
V1
V2
-Q
●
El condensador
C=
d
Diferencia de potencial
entre las armaduras
En los circuitos eléctricos, el condensador se
representa del siguiente modo:
C
-Q
Faradio: es la unidad SI de capacidad.
1F = 1C/ V
4.3
El condensador
Condensador cilíndrico
Condensador plano
S
Magnitud de la carga en
cualquiera de las armaduras
V2
●
+Q
ε0 S
d
4.3
Capacidad de un condensador:
Q
Q
C=
=
V 1−V 2 V 12
Armaduras
del condensador
V1
El condensador.
Capacidad
4.3
C=
2π ε 0 L
ln  r 2 /r 1
4.3
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
●
4.3
ε
El tiempo de carga de un
condensador no es
instantáneo.
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
●
C
R
El tiempo de carga de un
condensador no es
instantáneo.
V B−V A V D−V BV A−V D =0
ε
A
[ ]
dqt 
qt
R
dt
C
[ ][ ]
qt  dt
−
=dqt
C R
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
●
●
ε
A
El tiempo de carga de un
condensador no es
instantáneo.
Diferencia de potencial
en los bornes del
condensador:
R
4.3
B
[ ][ ]
−t/RC

- - - ++ ++ C
●
C
D
i
C=qt /V C t 
i t=
d qt 
dt
4.3
Carga de un condensador:
C=qt /V C t 
D
●
Constante de tiempo: =RC
V =1−e−RC/RC =⋅0,63
ε
●
t  0 ⇒ V=0
t ∞ ⇒ V =
Tiempo transcurrido cuando el potencial
alcanza el 63% del valor máximo.
t
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
Constante de tiempo
4.3
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
●
V
ε
ε
El tiempo de descarga
tampoco es instantáneo.
R
0,63 ε
t  0 ⇒ V=0
t ∞ ⇒ V =
=RC
+
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
V
V t =1−e
+
Constante de tiempo
i
qt  dt
−
=dqt
C R
B
R
=V R t V C t 
=i tRV C t =
4.3
t
- - - ++ ++ C
4.3
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
●
4.3
B
El tiempo de descarga
tampoco es instantáneo.
V D−V B V B−V D=0
qt 
−i t  R=0
C
●
- - - ++ ++ C
R
●
D
C=qt /V C t 
qt 
dq t 
=−
R
C
dt
dqt  dt
=−
qt 
RC
−t/RC
+
C
D
V
ε
t 0 ⇒ V =
t  ∞ ⇒ V =0
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
4.3
Constante de tiempo
●
R
+
i
V t =e
d qt
i t=−
dt
4.3
B
El tiempo de descarga
tampoco es instantáneo.
Diferencia de potencial en
los bornes del
condensador:
dqt  dt
=−
qt 
RC
i
dq t 0
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
t
Circuito RC. Carga y
descarga de un condensador
4.3
Constante de tiempo
V
ε
Descarga de un condensador:
V t =e−t/RC
●
t 0 ⇒ V =
t  ∞ ⇒ V =0
Constante de tiempo: =RC
V =e−RC /RC=⋅0,37
●
0,37 ε
Tiempo transcurrido cuando el potencial
alcanza el 37% del valor máximo.
τ
Energía almacenada por
un condensador
dq
v=
4.3
q
C
du=dq v=dq
q
C
U
Q
U=∫0 du=∫0 dq
Densidad de energía
●
Energía de un condensador plano:
1 2
U=  E S d 
2
q
C
2
U=
2
1Q
2 C
1Q 1
1
U=
= QV = C V 2
2 C 2
2
●
Densidad de energía de un campo
electrostático:
1
1
ue =  E2 =  r 0 E 2
2
2
t
4.3
Asociación de
condensadores
●
Condensadores en serie.
●
+Q
1
-Q +Q
-Q
2
C1
+Q
C2
1
Ceq
-Q
n
3
+Q
1
C1
4.3
Condensadores en paralelo.
+Q1
-Q1
+Q2
-Q2
-Q
C1
n+1
Cn
=
Asociación de
condensadores
4.3
Ceq
A
+ C12 +  + C1n = ∑ C1i
B
C2
+Qn
≡
+Q
-Q
A
B
Ceq
-Qn
Cn
i
Ceq = C1 + C2 + + Cn = ∑Ci
i
4.3
Ejemplo 4-4
4.4. Entre los puntos A y B de la asociación de
condensadores de la figura se aplica una diferencia de
potencial V. El condensador 4 tenía una capacidad C vacío,
pero se rellena de dieléctrico de εr = 4 antes de aplicar la
diferencia de potencial V. Halla la capacidad C’ de este
condensador, la carga y la diferencia de potencial en cada
condensador.
(1) C
4C
B
(3)
Q1 = Q2 = Q1,2 /2 =VC/2 (2)
C
(4)
Q3,4 = Q3 = Q4
B
Ceq =C
V1 = V2 = Q1/C = VC /2C = V/C
(1) C
4C
C’
A
B
(3)
(2)
C
A
(4)
V3 = Q3 / 4C = V/4 = V4
B
C1,2=2C
C3,4=2C
B
A
Ceq =C
QT = VC
QT = Q3,4 =Q1,2
C3,4=2C
A
4.3
(4)
B
C1,2=2C
C
Ejemplo 4-4
C’
A
B
(3)
C´= 4C
4C
A
A
(2)
Ejemplo 4-4
(1) C
C’
4.3
QT = VC
4.3
Problema 6
6. Un condensador de
capacidad C1, cargado con
carga Q, se conecta con otro
de
capacidad
C2,
inicialmente descargado, tal
como se indica en la figura.
Calcula el valor de la carga
en cada condensador antes
y después de cerrar el
interruptor.
C1
Q
C2
0
4.3
Problema 6
C1
Q = Q1 + Q2
Q1 Q2
=
C1 C2
Q2 =
Q1 =
QC2
(C1 + C2 )
Problema 8
8. Se dispone de dos condensadores
de capacidad C1 y C2, tras conectarlos
en paralelo se aplica a la asociación
una diferencia de potencial V. Calcula
la
carga
que
adquiere
cada
condensador (Q1 y Q2) así como la
diferencia de potencial entre las placas
de cada uno de ellos (V1 y V2).
C2
Q1
4.3
Q2
C1
C1
C2
V
Q1
QC1
(C1 + C2)
C2
Q2
4.3
Problema 8
V1 = V2 = V
C2
4.3
Problema 9
Q1 = Q2 + Q3
Q2
C3 =
Q3
⇒ Q3 = C3V3 = 2CV2 / 3
V3
⇒ Q2 = C2V2 = CV2 / 3
B
Q3
Q1
C3=2C/3
V
V2 = V3
Q2
V2
C2=C/3
=C
A C1
C1 mayor carga
C2 =
A
C2=C/3
C1=C
B
C3=2C/3
V
Q2 = C2V2 = C2V
9. En la asociación de condensadores de la
figura, indica en qué condensador se
almacena:
a) la mayor carga, y
b) la menor carga,
al aplicar entre A y B una d.d.p. V.
(C1 = C; C2 = C/3; C3 = C(2/3)).
Problema 9
9. En la asociación de condensadores de la
figura, indica en qué condensador se
almacena:
a) la mayor carga, y
b) la menor carga,
al aplicar entre A y B una d.d.p. V.
(C1 = C; C2 = C/3; C3 = C(2/3)).
C1
Q1 = C1V1 = C1V
4.3
C2 menor carga
4.3
Problema 15
15. Sea un condensador (1)
de capacidad C sometido a
una diferencia de potencial
V1, y otros dos de igual
capacidad y descargados.
Tras
aislar
el
primer
condensador se asocia a los
otros dos tal como se
muestra en la figura. Calcula
las cargas que adquieren los
tres condensadores, Q1, Q2, y
Q3.
(1)
C
A
B
V1
C
A
B
Q1
C
Q2
C
Q3
4.3
Problema 15
1
A
(1) C
B
Problema 15
2
(3) C
(2) C
A
(1) C
Q=0
Q=0
Q=0
Q = CV1
Q=0
Q = CV1
4.3
Problema 15
A
(1) C
B
(3)C
(2) C
A
Q2 = Q3 = Q23
(1) C
B
1
Q2 = Q3 = Q23 = Q / 3 = V1C
3
2
Q1 = 2Q23 = V1C
3
Q1
(2 y 3) C23=C/2
Q23=Q2 =Q3
=Q23
4.3
Problema 7
b
a
Q = Q1 + Q23
Q1 Q23
=
C C/2
Q3
Q2
1
1 1 2
C
=
+
=
⇒ C23 =
C23 C2 C3 C
2
A
(1) C
B
Q1
(2 y 3) C23=C/2
Q23=Q2 =Q3
=Q23
4.3
Problema 7
C0 =
ε 0S
d
b
−1


−1
 1

 1 1
1
εS
 = 0
C =  +  = 
+
ε
S
ε
S
d−b
0
 0

 C1 C2 
d − b− a 
 a
C1 =
d
4.3
Problema 15
3
Q1
7. Una lámina de cobre de
espesor b se introduce dentro
de las armaduras planas de
un condensador de superficie
S, tal como se indica en la
figura. ¿Cuál es la capacidad
del condensador antes y
despise de introducir la
lámina?
(3) C
(2) C
B
Q
V1
3
4.3
ε0S
a
C2 =
ε0S
d − b− a
S
a
d
Aplicación: puntero táctil
4.3
4.4
Dieléctricos
Condensador con dieléctrico
εr
V0
E0
V=
εr
A
B
Q
-Q
C0
A
B
Q
-Q
V
A
εr
V
V
B
Q
E=
VV
V0
εr
E0
εr
V0
C=ε r C 0
J. Gerpheide
*
Investigación y Ciencia. Septiembre de 1998.
4.4
Dieléctricos
Dieléctrica κ
2,24
Aire
1,00059
Baquelita
4,9
Mica
5,4
Neopreno
6,9
12
Papel
3,7
16
Parafina
2,1 – 2,5
10
Plexigás
3,4
40
Poliestireno
2,55
24
Porcelana
7
Vidrio (Pyrex)
5,6
Capacidad de un condensador plano lleno de
un dieléctrico de constante εr :
S
12
C=
3
εr ε0 S
24
d
=
εS
d
10 – 100
εr ε0 = ε : Permitividad del dieléctrico.
d
5,7
14
Dieléctricos
En general, las leyes de la electrostática
en presencia de un dieléctrico son las
mismas que hemos estudiado en el vacío,
sustituyendo la constante ε0 , por εr ε0 .
ε0  εr ε0
●
Dieléctrico, kV/mm
Aceite de transformador
●
Dieléctricos
Constante dieléctricas y resistencias a la
ruptura del dieléctrico de diversos
materiales.
Material
Constante
Resistencia del
●
4.4
4.4
Dieléctricos
ε0  εr ε0
E =
1
dq
∫ u
4 πε r 2 r
0V
V=

1
dq
u
∫
4 πεr ε 0 V r 2 r
1
dq
1
dq
 V=
∫
∫
4πε0 V r
4 πεr ε 0 r
=
Q interior
ε0
 =

Qinterior
εr ε0
4.4
4.4
Dieléctricos. Polarización
Polarización electrónica o inducida
Dieléctricos. Polarización

E
Polarización por orientación
E
H
H
4.4
H
+
O
-
+
O
-
H
E
-
+
Dieléctricos. Polarización
4.4
C=
σ
−σ0
σ0

1
σ'= σ 01− 
 εr 
−σ’
-σ
ε r1
σ’
Q
Q
Q
S
=
=
= ε0
d1 d2
VAB E1d1 + E2d2 d1σ + d2σ
+
ε r1 ε 0 ε r2 ε 0
ε r1 ε r2
B
A
E ind

Eind
Dieléctricos. Polarización
E0
σ0

dp
≠0
dv

dp
=0
dv
ε r2
C = ε0
−σ0
E1 =
d1
σ
ε r1ε 0
d2
E2 =
σ
ε r 2ε 0
S
di
∑
ε
i =1 ri
n
4.4