3.5 Función Escalón Unitario Con frecuencia, los modelos

3.5 Función escalón unitario
205
3.5 Función Escalón Unitario
Con frecuencia, los modelos matemáticos de sistemas mecánicos o eléctricos implican
funciones con discontinuidades, correspondientes a fuerzas externas que se activan o
desactivan de manera abrupta.
Una de tales funciones es la Función Escalón Unitario en t = a , su fórmula es
(1)
µ(t-5)
µ(t-a)
2
2
2
1
f(t)
µ(t-1)
f(t)
f(t)
0 0 < t < a
u (t − a) = 
t>a
1
1
0 1 2 3 4 5
t
0 2 4 6 8 10
t
a =1
a=5
1
t
a
a=a
Figura 3.5.1 Función escalón unitario
Únicamente manejamos la parte positiva del eje t , ya que es lo que nos interesa para el
tema de transformada de Laplace, podemos decir que u (t − a ) = 0 ∀ t < a
Cuando cualquier función es multiplicada por una función escalón, se dice que la función
escalón “apaga” a la función para cualquier valor antes de a , y la deja “encendida”,
después de a .
Por ejemplo para la función f (t ) = t , si queremos “apagarla”, es decir, hacerla cero antes
de 2 , entonces la multiplicamos por u (t − 2) , es decir, f (t )u (t − 2) , gráficamente esto se
muestra así
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Amalia C. Aguirre Parres
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206
5
4
3
3
t
2
5
4
2
µ ( t − 2)
f(t)
4
f(t)
f(t)
5
1
1
0
1
2
3
4
5
t
a)
3
2
t µ ( t − 2)
1
0 1
2
3
4
5
0 1
2
3
t
t
b)
c)
4
5
Figura 3.5.2 a) f (t ) = t , b) la función escalón u (t − 2) , c) f (t )u (t − 2)
En general, se dice que cualquier función f (t )u (t − a ) , está apagada para valores 0 ≤ t < a
y “encendida” para valores de t ≥ a , es decir
0≤t<a
 0
f (t )u (t − a) = 
t≥a
 f (t )
(2)
Es posible utilizar la función escalón para definir una función continua por tramos.
 g (t ) 0 ≤ t < a
Teniendo f (t ) = 
t≥a
 h(t )
(3)
La podemos expresar en términos de la función escalón, haciendo
f (t ) = g (t ) − g (t )u (t − a ) + h(t )u (t − a)
0≤t<a
 0

Teniendo f (t ) =  g (t ) a ≤ t < b
 0
b≤t<c

(4)
(5)
La podemos expresar en términos de la función escalón, haciendo
f (t ) = g (t ) [u (t − a ) − u (t − b) ] , o bien f (t ) = g (t )u (t − a) − g (t )u (t − b)
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(6)
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Con el siguiente ejemplo mostraremos lo anterior.
0 0 ≤ t < 2
Ejemplo 3.5.1 Expresar en términos de función escalón a f (t ) = 
t≥2
3
De tal manera que usando (2), sería f (t ) = 3u (t − 2) , la figura 3.5.3, la representa
gráficamente.
10
f(t)
8
6
3 µ ( t − 2)
4
2
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.5.3 Gráfica de f (t ) = 3u (t − 2)
t 0 ≤ t < 4
Ejemplo 3.5.2 Expresar en términos de la función escalón f (t ) = 
t≥4
0
Utilizando la expresión f (t ) = g (t ) − g (t )u (t − a) + h(t )u (t − a) ,
Tenemos que g (t ) = t , h(t ) = 0 y que a = 4 , por lo tanto f (t ) = t − tu (t − 4) + ( 0 ) u (t − 4)
O sea f (t ) = t − tu (t − 4) , gráficamente sería
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10
10
10
8
6
4
2
0
2
4
6
8
10
f(t)
8
f(t)
f(t)
8
6
6
4
4
2
2
0
2
t
4
6
8
10
t
f(t)=t
f(t)=tµ(t-4)
0 2 4
6
8 10
t
f(t)=t-tµ(t-4)
Figura 3.5.4 Gráfica de t , tu (t − 4) y t − tu (t − 4)
0 0 ≤ t <1

Ejemplo 3.5.3 Expresar en términos de la función escalón f (t ) = t 2 1 ≤ t < 3
0
3≤t

En términos de la función escalón quedaría, utilizando el esquema (5) y su expresión (6),
f (t ) = g (t ) [u (t − a ) − u (t − b) ] , observando que g (t ) = t 2 , a = 3 y b = 5
Entonces f (t ) = t 2 [u (t − 1) − u (t − 3) ] , o bien
f (t ) = t 2 u (t − 1) − t 2 u (t − 3)
(7)
La figura 3.5.4 representa gráficamente al ejemplo 3.5.3
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20
20
16
16
12
12
f(t)
f(t)
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8
4
8
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
t
f(t)= t
2
5
2
f(t)= t µ(t-1)
a)
b)
20
20
16
16
12
12
f(t)
f(t)
4
t
8
4
8
4
0
1
2
3
t
2
f(t)= t µ(t-3)
c)
4
5
0 1
2
3
4
5
t
2
2
f(t)= t µ(t-1)- t µ(t-3)
d)
Figura 3.5.4 Obtención de f (t ) = t 2 u (t − 1) − t 2 u (t − 3) , paso a paso
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