Problema 17

Problema realizado por Elena Abad
Enunciado
Pilar tenía escrito en su cuaderno los vértices de un paralelogramo, pero se le ha
caído un borrón de tinta y le ha tapado uno de los vértices.
a- Calcular las coordenadas del vértice C, sabiendo que A(2, 2), B(12, 8) y
D(6, 1)
b- Halla las ecuaciones de las diagonales.
c- Calcular el punto de corte de las diagonales.
d- Comprobar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus
respectivos puntos medios.
Bases teóricas
•
Los paralelogramos tienen los lados paralelos e iguales dos a dos: AB = DC ;
AD = BC
•
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
•
Ecuación general de la recta en el plano:
Ax +By +C = 0
•
Punto medio de un segmento:
 x + x 2 y1 + y
,
M =  1
2
 2




•
Para hallar el punto de intersección de dos rectas hay que resolver el sistema
de ecuaciones que forman.
•
Para que dos rectas en forma general sean paralelas los coeficientes de la x y
de la y tienen que ser proporcionales y los términos independientes
diferentes.
Resolución gráfica
1- Se dibujan los puntos A, B y D.
2- Se dibuja una recta que pase por los puntos A y D, y una paralela a esta que
pase por el punto B.
3- Se dibuja una recta que pase por los puntos A y B, y una paralela a esta que
pase por el punto D.
4- Donde se corte esas dos rectas halladas se encontrará el punto C.
B
C
A
D
1
O 1
Cálculo
Calcular las coordenadas del vértice C, sabiendo que A(2, 2), B(12, 8) y D(6, 1)
1- Se halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, y se pasa a la
forma general.
x−2 y−2
=
⇒ 6x − 12 = 10y − 20 ⇒ 6x − 10y + 8 = 0 ⇒ 3x − 5y + 4 = 0
12 − 2 8 − 2
2- Se sustituyen x e y por las coordenadas del punto D para hallar una recta
paralela a la que pasa por A y B y que pase por el punto D.
3(6) − 5(1) + K = 0
K = −13
3x − 5y − 13 = 0
3- Se halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y D, y se pasa a la
forma general.
x−2 y−2
=
⇒ − x + 2 = 4y − 8 ⇒ x + 4y − 10 = 0
6 − 2 1− 2
4- Se sustituyen x e y por las coordenadas del punto B para hallar una recta
paralela a la que pasa por A y D y que pase por el punto B.
12 + 4(8) + K = 0
K = −44
x + 4y − 44 = 0
5- Se halla el punto de intersección de las rectas que pasan por B y C y por D y
C y se encuentra el punto C.
3x − 5y − 13 = 0
x = 44 − 4y ⇒ x = 16
x + 4y − 44 = 0 
3(44 − 4y) − 5y − 13 = 0
132 − 12y − 5y − 13 = 0
17y = 119
y=7
Las coordenadas del punto C es: C= (16, 7)
Halla las ecuaciones de las diagonales.
6- Se hallan las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos A y C, y B y
D y se pasan a la forma general.
x−2 y−2
=
⇒ 5x − 10 = 14y − 28 ⇒ 5x − 14y + 18 = 0
16 − 2 7 − 2
x − 6 y −1
DB :
=
⇒ 7x − 42 = 6y − 6 ⇒ 7x − 6y − 36 = 0
12 − 6 8 − 1
AC :
Calcular el punto de corte de las diagonales.
7- Se resuelve el sistema de ecuaciones que forman y se encuentra el punto
donde se cortan.
5x − 14y + 18 = 0
9
7x − 36
⇒y=
y =
7x − 6y − 36 = 0 
6
2
 7x − 36 
5x − 14
 + 18 = 0
 6 
30x − 98x − 504 + 108 = 0
68x = 612
x=9
 9
P 9, 
 2
Comprobar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus
respectivos puntos medios.
8- Se halla el punto medio de cada una de las diagonales.
 2 + 16 2 + 7   9 
M AC = 
,
 =  9, 
2   2
 2
 6 + 12 1 + 8   9 
MDB = 
,
 =  9, 
2   2
 2
Se cortan en sus puntos medios