Formulas

DISEÑO DE EXPERIMENTOS (UN FACTOR)
Ui ∼ N (0; σ) i = 1, ..., I independientes
Modelo: Yi = µi + Ui = µ + αi + Ui
Muestra:
Yij ∼ N (µi ; σ 2 ) independientes; i = 1, ..., I; j = 1., ..., ni ;
ȳi. =
1 X
yij ;
ni
j
ȳ.. =
P
i ni
= n.
1X
ni ȳi.
n
i
1 X
yij , i = 1, ..., I
ni
j
r 1
IC1−α (µi ) = ȳi. ± tn−I;α/2 SR
ni
2
σ̂ 2 = SR
=
µ̂i = ȳi. =
1 XX
(yij − ȳi. )2
n−I
i
IC1−α (σ 2 ) =
j
2
2
(n − I)SR
(n − I)SR
;
χ2n−I;α/2 χ2n−I;1−α/2
Tabla ANOVA
Suma de cuadrados
P
SCE = i ni (ȳi. − ȳ.. )2
P P
SCR = i j (yij − ȳi. )2
P P
SCT = i j (yij − ȳ.. )2
g.l.
Varianza
I −1
SCE
I−1
n−I
F =
SCE/(I−1)
SCR/(n−I)
SCR
n−I
n−1
s
IC1−α (µi − µj ) =
2 =
SR
Estadı́stico
ȳi. − ȳj. ± tn−I;α/2 SR
1
1
+
ni nj
!
;
2
SR
P
=
− 1)s2i
n−I
i (ni
!
DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOS FACTORES SIN INTERACCIÓN)
Modelo y muestra:
Yij = µ + αi + βj + Uij
Uij ∼ N (0; σ) independientes; i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J
1 XX
yij
IJ
i
j
1X
= ȳi. − ȳ.. =
yij − ȳ..
J
j
1X
= ȳ.j − ȳ.. =
yij − ȳ..
I
i
XX
XX
1
1
2
(yij − ȳi. − ȳ.j + ȳ.. )2 =
ê2ij
= SR
=
(I − 1)(J − 1)
(I − 1)(J − 1)
µ̂ = ȳ.. =
α̂i
β̂j
σ̂ 2
i
j
i
Tabla ANOVA
Suma de cuadrados
P
SCE(α) = J i α̂i2
P
SCE(β) = I j β̂j2
P P
SCR = i j ê2ij
P P
SCT = i j (yij − ȳ.. )2
siendo:
F (α) =
g.l.
Varianza
Estadı́stico
I −1
F (α)
J −1
SCE(α)
I−1
SCE(β)
J−1
(I − 1)(J − 1)
SCR
(I−1)(J−1)
IJ − 1
SCE(α)/(I − 1)
;
SCR/(I − 1)(J − 1)
F (β) =
SCE(β)/(J − 1)
SCR/(I − 1)(J − 1)
!
1
1
ȳi. − ȳj. ± t(I−1)(J−1);α/2 SR
+
J
J
!
r
1 1
+
ȳ.i − ȳ.j ± t(I−1)(J−1);α/2 SR
I
I
r
IC1−α (αi − αj ) =
IC1−α (βi − βj ) =
F (β)
j
DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOS FACTORES CON INTERACCIÓN)
Modelo:
Yij = µ + αi + βj + (αβ)ij + Uij ; Uij ∼ N (0; σ) independientes; i = 1, ..., I; j = 1., ..., J
Muestra:
Yijk ∼ N (µ + αi + βj + (αβ)ij ; σ 2 ) independientes; i = 1, ..., I; j = 1., ..., J; k = 1, ..., K
1 XXX
yijk
IJK
i
j
k
1 XX
yijk − ȳ...
ȳi.. − ȳ... =
JK
j
k
1 XX
ȳ.j. − ȳ... =
yijk − ȳ...
IK
i
k
1 X
ȳij. − ȳi.. − ȳ.j. + ȳ... =
yijk − ȳi.. − ȳ.j. + ȳ...
K
k
XXX
XXX
1
1
2
SR
=
(yijk − ȳij. )2 =
ê2ij
IJ(K − 1)
IJ(K − 1)
µ̂ = ȳ... =
α̂i =
β̂j
=
ˆ
(αβ)
ij
=
σ̂ 2 =
i
j
i
k
j
k
Tabla anova
Suma de cuadrados
P
SCE(α) = JK i α̂i2
P
SCE(β) = IK j β̂j2
P P ˆ 2
SCE(αβ) = K i j (αβ)
ij
P P P 2
SCR = i j k êij
P P P
SCT = i j k (yijk − ȳ... )2
G.l.
Varianza
F
I −1
F (α)
(I − 1)(J − 1)
SCE(α)
I−1
SCE(β)
J−1
SCE(αβ)
(I−1)(J−1)
IJ(K − 1)
SCR
IJ(K−1)
J −1
F (β)
F (αβ)
IJK − 1
siendo los estadı́sticos:
F (α) =
SCE(α)/(I − 1)
;
SCR/IJ(K − 1)
IC1−α (αi − αj ) =
IC1−α (βi − βj ) =
F (β) =
SCE(β)/(J − 1)
;
SCR/IJ(K − 1)
r
1
1
+
JK
JK
r
1
1
+
IK
IK
ȳi. − ȳj. ± tIJ(K−1);α/2 SR
ȳ.i − ȳ.j ± tIJ(K−1);α/2 SR
F (αβ) =
!
!
SCE(αβ)/(I − 1)(J − 1)
SCR/IJ(K − 1)
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Modelo: Yx ∼ N (β0 + β1 x; σ 2 )
β̂1 =
cov
vx
cov
x̄ = ȳ − β̂1 x̄
vx
1 X
1 X
2
= SR
=
(yi − ŷi )2 =
(yi − β̂0 − β̂1 xi )2
n−2
n−2
β̂0 = ȳ −
σ̂ 2
i
i

s
x̄2

1

+
n nvx
r
1
IC1−α (β1 ) =
β̂1 ± tn−2;α/2 SR
nvx
!
2
2
(n − 2)SR
(n − 2)SR
2
;
IC1−α (σ ) =
χ2n−2;α/2 χ2n−2;1−α/2
IC1−α (β0 ) = β̂0 ± tn−2;α/2 SR
Tabla anova
Suma de cuadrados
P
SCE = i (ŷi − ȳ)2
P
SCR = i (yi − ŷi )2
P
SCT = i (yi − ȳ)2
SCT = nvy ;
G.l.
Varianza
1
SCE
1
n−2
SCR
n−2
Estadı́stico
F =
SCE/1
SCR/(n−2)
n−1
SCR = nvy (1 − r2 ) ;
cov
donde r = √
vx vy

s
IC1−α (valor medio de Y ) = ŷ0 ± tn−2;α/2 SR

1 (x0 − x̄)2 
+
n
nvx

IC1−α (valor individual de Y ) = ŷ0 ± tn−2;α/2 SR

1 (x0 − x̄)2 
1+ +
n
nvx
s
REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Modelo: Y(x1 ,...xk ) ∼ N (β0 + β1 x1 + ... + βk xk ; σ 2 )
2
σ̂ 2 = SR
=
X
X
1
1
(yi − ŷi )2 =
(yi − β̂0 − β̂1 x1i − · · · − β̂k xki )2
n−k−1
n−k−1
i
i
IC1−α (βi ) = β̂i ± tn−k−1;α/2 (error tı́pico de β̂i ) , i = 0, . . . , k
(
H0 : βi ≤ 0 ⇒ R =
error tı́pico de β̂i
(
H0 : βi ≥ 0 ⇒ R =
)
β̂i
> tn−k−1;α
)
β̂i
error tı́pico de β̂i
< tn−k−1;1−α
Tabla anova
Suma de cuadrados
P
SCE = i (ŷi − ȳ)2
P
SCR = i (yi − ŷi )2
P
SCT = i (yi − ȳ)2
R2 =
G.l.
Varianza
k
SCE
k
n−k−1
SCR
n−k−1
SCE
SCT − SCR
=
;
SCT
SCT
Estadı́stico
F =
n−1
F =
R2 n − k − 1
1 − R2
k
SCE/k
SCR/(n−k−1)