Solución Unidad 8: Prueba de Hipótesis

Solución Unidad 8: Prueba de Hipótesis
1)
X = “Peso de bolsa de pochoclo”, X ∼ N(µ, σ)
X1, X2, …, X15 m. a. de X.
X = 53gr. y s = 5
Se quiere testar:
H0 : µ = 50 gr.
H1 : µ ≠ 50 gr.
Estadístico: t =
X − µ0
∼ t (n - 1)
s
n
Entonces:
53 − 50
= 2.32
5
15
t obs =
α = 0.05 ⇒ t1-α/2 (n-1) = t 0.975 (14) = 2.14
Luego:
| tobs | > t crit ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar H0.
Conclusión: se puede suponer que µ ≠ 50 gr. al nivel de significación de 0.05.
2)
X=”estatura de una mujer del grupo de 1er. año de cierta universidad”.
X1, X2, …, X50 m. a. de X ∼ N(µX, σ)
X = 165.2 cm.
sx =5 cm.
Se quiere testar:
H0 : µ = 162.5 cm.
H1 : µ ≠ 162.5 cm.
Estadístico: t =
X − µ0
∼ t (n - 1)
s
n
Entonces:
t obs =
165.2 − 162.5
=3
5
50
α = 0.05 ⇒ t1-α/2 (n-1) = t 0.975 (49) = 2.02
Luego:
| tobs | > t crit ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar H0.
Conclusión: se puede suponer que µ ≠ 162.5 cm. al nivel de significación de 0.05.
Otra forma de resolver en forma aproximada:
valor p = P(| t |>| t obs |) = 1 − P(| t |≤ 3.82) = 1 − P( −3.82 < t < 3.82)
≅ 1 − [2Φ (3.82) − 1] = 1 − [2 × 0.9999 − 1] = 0.0002
Conclusión: Como valor p es pequeño, se puede suponer que µ ≠ 162.5 cm.
1
3) Supuestos:
X=”Nota de un alumno con laboratorio”
Y=”Nota de un alumno sin laboratorio”.
X1, X2, …, X11 m. a. de X ∼ N(µX, σ)
Y1, Y2, …, Y17 m. a. de Y ∼ N(µY, σ)
X e Y vs. as. independientes, σ común.
X = 85 puntos
sp =
sx = 4.7 puntos
Y = 79 puntos
sy = 6.1 puntos
y calculamos
10 × 4.7 2 + 16 × 6.12
= 5.6
26
Hipótesis a testar:
H0 : µX = µY
H1 : µX > µY
Estadístico: t = X − Y − (µ x − µ y ) ∼ t (n +m - 2)
sp
1 1
+
n m
Entonces:
t obs =
85 − 79 − 0
1
1
5.6
+
17 17
= 2.77
α = 0.05 ⇒ t1-α (n+m-2) = t 0.95 (26) = 1.71
Luego:
tobs > t 0.95 (28) ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar H0.
Conclusión: se puede concluir, al nivel 0.05, que el curso de laboratorio aumenta la nota
promedio de los alumnos.
4)
X=”Número de caras”
”X1, X2, …, X20 ∼ B(p)
p̂ = X = 0.25
Hipótesis a testar:
H0 : p = 0.5
H1 : p ≠ 0.5
Estadístico: Z =
X − po
p 0 (1 − p 0 )
n
≈ N (0,1) por Teorema Central del Límite
2
Entonces:
Z obs =
0.25 − 0.5
0.5(1 − 0.5)
20
= −2.27
|zobs |= 2.27>zcritico=z0.975 = 1.96 ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar
Conclusión: no es razonable suponer que la moneda no es equilibrada.
5)
X=”Casas que se calefaccionan con petróleo”
X1, X2, …, X100 ∼ B(p), n es suficientemente grande
p̂ = X = 0.136
Hipótesis a testar:
H0 : p = 0.2
H1 : p ≠ 0.2
Estadístico: Z =
X − po
p 0 (1 − p 0 )
n
≈ N(0,1) por Teorema Central del Limite
Entonces:
0.136 − 0.2
= −5.06
0.2(1 − 0.2)
1000
|zobs |= 5.06>zcritico=z0.995 = 2.58 ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar
Zobs =
Conclusión: hay evidencia suficiente para dudar de la afirmación.
6)
X=”Número de residentes con cáncer en área urbana”
Y=”Número de residentes sin cáncer en área rural”
X1, X2, …, X200 ∼ B(px)
Y1, Y2, …, Y150 ∼ B(py)
X e Y independientes
p̂ x = 0.1
p̂ y = 0.07
p̂ =
np X + mp Y 200 × 0.1 + 150 × 0.07
=
= 0.09
n+m
350
Hipótesis a testar:
H 0 : px = py
H 1 : px > py
Estadístico: Z =
Entonces:
Zobs =
p̂ x − p̂ y − 0
1 1 
p̂(1 − p̂) + 
n m
≈ N(0,1)
0.1 − 0.07
1 
 1
0.09 × (1 − 0.09) × 
+

 200 150 
= 0.97
3
α = 0.05 ⇒ z 0.95 = 1.64
Luego:
| zobs |= 3.39 > z 0.95 ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar H0.Se puede afirmar que el
cáncer prevalece en el área urbana.
7)
Y = 384.875
a) X = 583.5
sx = 370.82
Lote ordenado datos antes almacenamiento:
224 270 400 444 590 660 680
Lote ordenado datos después almacenamiento:
96
116 239 329 437 576 597
sy = 225.79
1400
689
~ n +1 9
~
~
pos X =
= = 4.5 ⇒ X = 517
Y = 383
2
2
~
pos X + 1 4 + 1
pos Q1 =
=
= 2.5 ⇒ Q1X = 335 Q3X = 670
2
2
Q1Y = 177.5 Q3Y = 586.5
[
]
Valores alejados: x(8) = 1400 es un valor alejado.
Gráfico 1: Niveles de residuos de ácido sórbico antes y después del almacenamiento.
1500
1000
500
0
Antes del almacenamiento
Después del almacenamiento
b) X1, X2, …, X8 m. a. de X ∼ N(µX, σ)
Y1, Y2, …, Y8 m. a. de Y ∼ N(µY, σ)
X e Y son vs. as. no independientes.
di : 108
174 161 115
sD = 210.16
d = 198.625
153
63
711
104
Se quiere testar:
H0 : µD = 0
H1 : µD ≠ 0
4
Estadístico: t =
d
∼ t (n - 1)
sD
n
Entonces:
t obs =
198.625
= 2.67
210.16
8
α = 0.05 ⇒ t1-α/2 (n-1) = t 0.975 (7) = 2.36
Luego:
tobs > t 0.975 (7) ⇒ Hay suficiente evidencia para rechazar H0.
Conclusión: al nivel α = 0.05, hay evidencia suficiente para decir que la duración del
almacenamiento influye en las concentraciones residuales de ácido sórbico.
8)
X=”Rendimiento de un automóvil con cubiertas radiales”
Y=”Rendimiento de un automóvil con cubiertas no radiales”
X1, X2, …, X12 m. a. de X ∼ N(µX, σ)
Y1, Y2, …, Y10 m. a. de Y ∼ N(µY, σ)
X e Y vs. as. independientes.
a) X = 15.75
b) sp= 1.06
s X = 1.11
Y = 15.64
s Y = 1.13
b)
c) t = X − Y − (µ x − µ y ) ∼ t (n +m - 2)
sp
1 1
+
n m
t obs = 0.24
d) Hipótesis a testar:
H0 : µX = µY
H1 : µX ≠ µY
tcrit=2.08>|tobs| por lo que no hay evidencia para rechazar H0.
e) Hipótesis a testar:
H0 : µX = µY
H1 : µX > µY
tcrit=1.72> tobs por lo que no hay evidencia para rechazar H0.
9)
(optativo)
10)
b) X1, X2, …, X6 m. a. de X ∼ N(µA, σ)
Y1, Y2, …, Y6 m. a. de Y ∼ N(µB, σ)
X e Y son vs. as. no independientes.
5
di :
-0,8
1,6
-0,5
0,2
d = −0.15
-1,6
0,2
sD =1.09
Se quiere testar:
H0 : µD = 0
H1 : µD ≠ 0
Estadístico: t =
d
∼ t (n - 1)
sD
n
Entonces:
t obs =
− 0.15
= −0.34
1.09
6
α = 0.10⇒ t1-α/2 (n-1) = t 0.95 (5) = 2.02
Luego:
| tobs |< t 0.95 (5) ⇒ No hay evidencia para rechazar H0 a un nivel α = 0.10
Conclusión: No hay diferencia entre material A y material B.
Ahora analicemos para
α = 0.20⇒ t1-α/2 (n-1) = t 0.90 (5) = 1.48
Luego:
| tobs |< t 0.90 (5) ⇒ No hay evidencia para rechazar H0 a un nivel α = 0.20
Conclusión: No hay diferencia entre material A y material B.
6