N moles de un gas perfecto diatómico, γ=7/5, se encuentra

N moles de un gas perfecto diatómico, γ=7/5, se encuentra inicialmente en el estado A
cuyas variables de estado son PA, VA y TA, y realiza los siguientes procesos:
A→B Expansión adiabática hasta VB=2VA
B→C Transformación isóbara VC=3VB
C→D Transformación isócora hasta PD=PA
D→A Transformación isóbara hasta regresar al estado inicial A
a) Dibujar el ciclo A→B →C →D→A y calcular los valores de presión, volumen y
temperatura en los estados B, C y D en función de los correspondientes valores del
estado A.
b) Calcular el trabajo realizado en cada uno de los cuatro procesos (en función de PA,
VA)
c) Calcular el calor intercambiado en el último proceso D→A indicando si es
absorbido o cedido por el gas (en función de PA, VA)
d) Indicar el qué sentido debería recorrerse el ciclo para que sea un motor térmico y
calcular su rendimiento.
Considerar 20,4=4/3
a) En el proceso adiabático A-B (se duplica el volumen) la relación entre las variables T
y V es T AV Aγ −1 = T BV Bγ −1 , de donde la temperatura de B es
⎛V
T B = T A ⎜⎜ A
⎝ VB
⎞
⎟⎟
⎠
γ −1
⎛1⎞
= TA ⎜ ⎟
⎝2⎠
0 ,4
⎛1⎞ 3
= TA ⎜ 4 ⎟ = TA .
⎜ ⎟ 4
⎝3⎠
Durante este proceso la relación entre las
variables P y V es PAV Aγ = PBV Bγ , y la presión de B es
⎛V
PB = PA ⎜⎜ A
⎝ VB
γ
⎞
⎛1⎞
⎟⎟ = PA ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎠
1,4
⎛ 1 ⎞ 3
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
= PA ⎜ 1,4 ⎟ = PA ⎜ 0 ,4 ⎟ = PA ⎜ 4 ⎟ = PA
⎜ 2· ⎟ 8
⎝2 ⎠
⎝ 2·2 ⎠
⎝ 3⎠
Durante el proceso B-C se mantiene constante la presión, y se triplica el volumen, por
tanto
PC = PB =
3
PA , VC = 3V B = 6V A .
8
isóbaro es
V B TB
=
VC TC
La relación entre las variables V, T en un proceso
, de donde la temperatura de C es TC = T B
VC
⎛3 ⎞ 9
= 3T A = 3⎜ T A ⎟ = T A
VB
⎝4
⎠ 4
En el proceso C-D se mantiene constante el volumen ( V D = VC = 6V A ) , y se alcanza la
presión inicial, por lo que PD = PA . La relación entre las variables T y P en el proceso
isócoro C-D es
PD T D
=
PC TC
, por lo que TD = TC
PD 9
P
= T A 3 A = 6T A
PC 4
P
8 A
El diagrama P-V es
P
PA
A
D
3/8 PA
B
C
V
VA
2VA
6VA
b) Como γ=7/5, los calores específicos a presión y volumen constante son c p =
cv =
5R
2
7R
2
y
respectivamente. El trabajo en la etapa adiabática A-B es igual a la variación de
energía interna cambiada de signo, esto es
W A− B = Nc v ( T A − T B ) = N
5 ⎛
3 ⎞ 5
5
R⎜ T A − T A ⎟ = NRT A = PAV A
2 ⎝
4
8
⎠ 8
.
3
2
3
8
En la etapa isóbara B-C, el trabajo es W B −C = PB ( VC − V B ) = PA ( 6V A − 2V A ) = PAV A o
bien
3 ⎞ 3
3
⎛9
W B −C = PB ( VC − V B ) = NR (TC − T B ) = NR⎜ T A − T A ⎟ = NRT A = PAV A
4
2
⎠ 2
⎝4
En el proceso isócoro C-D no se realiza trabajo, y en la etapa isóbara D-A el trabajo es
W D − A = PA ( V A − V D ) = PA ( V A − 6V A ) = −5 PAV A
5
8
3
2
El trabajo total en el ciclo es, W = PAV A + PAV A − 5 PAV A = −
23
PAV A ,
8
el signo negativo
indica que se recorre en sentido horario y por tanto funciona como máquina frigorífica
c) En la etapa D-A el calor intercambiado es
Q D − A = Nc p ( T A − T D ) = N
7R
7R
35
( T A − TD ) = N
( T A − 6T A ) = −
PAV A ,
2
2
2
que es cedido por el
gas
d) Para que funcione como motor térmico, es necesario que se recorra en sentido
horario y, en ese caso el trabajo realizado durante el ciclo es W =
23
PAV A .
8
El calor
absorbido en el ciclo, recorrido en sentido antihorario es el que cedía el gas cuando el
ciclo se recorría en sentido contrario, por tanto el rendimiento del motor es
η=
W
=
Q abs
23
8
35
2
PAV A
PAV A
=
23
140