Tangencias Eje Centro Radical

TANGENCIAS (Julio Catalán)
Los problemas de tangencia que pueden presentarse son innumerables y van desde los muy sencillos a
los más complejos, recurriéndose para su solución a procedimientos muy distintos: desde los geométricamente
determinados, a los aproximados, desde los vectoriales al calculo diferencial.
Como aplicación de los conceptos expuestos de potencia, eje radical y centro radical, se resolverán problemas
correspondientes a la determinación de circunferencias por la combinación de tres de las condiciones: pasar
por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otra circunferencia.
Preliminares:
“La recta que une los centros de las circunferencias tangentes (interiores o exteriores) pasa por el punto
de tangencia.”
Recíprocamente:
“Las circunferencias tangentes a otra dada en un punto, T, de la misma tienen su centro sobre la recta
que pasa por el centro de la dada y por el punto de tangencia, esta recta es pues, lugar geométrico de los
centros de todas las posibles circunferencias tangentes a la dada en aquel punto de tangencia.”
Tangentes trazadas desde un punto, perteneciente al eje radical.
En razón de que todos los puntos pertenecientes al eje radical tienen la misma potencia respecto de las
circunferencias, resulta:
1.-Si desde un punto P, perteneciente al eje radical de circunferencias secantes, se trazan las
tangentes a ellas, las longitudes de las tangentes son iguales.
2.-Si desde un punto exterior P, perteneciente al eje radical de circunferencias tangentes, se trazan
tangentes a ellas, las longitudes de las tangentes son iguales.
Tangentes trazadas desde un centro radical.
En razón de que el centro radical,C, tiene la misma potencia respecto de las circunferencias a las que
corresponde, resulta:
1.-Las longitudes de las tangentes trazadas desde C a las circunferencias, son iguales (también
lo son, a las circunferencias auxiliares utilizadas para la obtención del centro radical)
Problemas de tangencia, que se resuelven con la aplicación de las construcciones
de ejes y centros radicales.
En estos problemas la aplicación de los ejes y centros radicales permiten encontrar, primeramente, la
posición de los puntos de tangencia de las soluciones con lo que es posible determinar, luego, la situación
de los centros y consiguientemente el trazado de dichas soluciones
1º Caso: Circunferencias tangentes a otras dos, dado el punto de tangencia, T, sobre una de
ellas.
Las circunferencias solución, O1 , O2 , deberán tener la misma potencia que O’ O”respecto de un centro
radical C, que debe pertenecer, forzosamente al eje radical de las dadas.
Puesto que las soluciones deben ser tangentes a O” el eje radical correspondiente a dichas soluciones y a
O” será además tangente en O” en T .
En la intersección de ambos lugares se encuentra el punto P, a partir del cual y con la misma longitud PT,
quedan determinados los puntos de tangencia T1 y T2 y en consecuencia la posición de los centros solución.
(Lamina1.Fig.1)
2º Caso: Circunferencias tangentes a una recta, que pasan por dos puntos dados (del mismo
semiplano).
1
Los centros solución están sobre la mediatriz de AB. El punto P de r, pertenece al eje radical de las soluciones
y tiene la misma potencia (PT) respecto de una circunferencia cualquiera auxiliar, que pasa por AB, que
respecto de las soluciones. Una vez determinados los puntos tangencia, T1,T2, ( PT=PT1=PT2) se obtendrán,
de inmediato, las posicione-s de los centros O1 y O2 . (Lamina1.Fig.2)
3º Caso: Circunferencias tangentes a dos rectas concurrentes y que pasan por un punto.
Considerando que su centro debe hallarse sobre la bisectriz y determinado A' como el simétrico de A respecto
de la bisectriz, se resuelve el problema reduciéndolo al caso anterior-. (Lamina2.Fig.3)
4º Caso: Circunferencias tangentes a otra y a una recta, dado el punto de tangencia sobre la
recta.
Utilizando una circunferencia auxiliar cualquiera,Oaux , tangente a la recta en el punto dado y secante a
la circunferencia dada, se determina un punto P sobre la recta, de forma que P tenga la misma potencia
respecto de la circunferencia dada que de las soluciones. Para encontrar los puntos de tangencia T1, y T2
, basta trazar la circunferencia de centro P y radio PT, con lo que, inmediatamente, se hallan los centros
O1, y O2, la perpendicular por T a la recta dada y en la intersección de las rectas que unen el centro O,
dado, con los puntos de tangencia T1 , y T2 . (Lamina2.Fig.4)
5º Caso: Circunferencias tangentes a otra en un punto de ella, y a una rec-ta dada.
La posición del punto P sobre la recta dada se obtiene inmediata-mente trazando la tangente a la
circunferencia en el punto dado, T. El punto P tiene la misma potencia respecto de O que de las soluciones,
basta pues hacer centro en P y radio PT para encontrar sobre la recta los puntos T1 , T2 , de tangencia
de las circunferencias solución.
Los centros O1 y O2 , se encuentran respectivamente, en las perpendiculares a r por T1 y T2, y en la recta
que une O con T. (Lamina2.Fig.5)
6º Caso: Circunferencias con centro sobre una recta, r, que pasan por un punto, P, de ella y son
tangentes a otra circunferencia dada.
La tangente común a las soluciones es la perpendicular a r en P. El centro radical C se obtiene utilizando
una circunferencia auxiliar (con centro sobre la recta dada, pasando por P, y secante a la circunferencia
dada) luego, con centro en C se traslada la tangente CP para determinar los puntos de tangencia T1 y
T2 de las circunferencias solución. Los centros solución, sobre r, estarán en las intersecciones de las rectas
que unen O con T1 y T2. (Lamina3.Fig.6)
7º Caso: Circunferencias, con centro sobre una recta, que pasan por un punto dado y son
tangentes a otra circunferencia dada.
Reducimos el problema a uno ya conocido. Dibujando el simétrico de P, P’ ,nos limitaremos a encontrar
las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra dada -2º Caso-. (Lamina3.Fig.7)
8º y 9º Casos: Circunferencias tangentes a otra dada, que pasan por dos puntos (exterioresinteriores).
Se determina un punto P sobre la secantes, AB, común a las circunferencias solución, de forma que P tenga
la misma potencia respecto de la circunferencia dada O que de las soluciones, para ello se utiliza una
circunferencia auxiliar cualquiera que pase por los puntos A, B, con lo que el eje radical entre O y la auxiliar
corta a la recta que pasa por AB precisamente en P.Desde P son iguales las longitudes de tangente, PT
igual a PT1 = PT2 , que precisan la posición de los puntos de tangencia soluciones. (Lamina4.Fig.8 y Fig.9)
2
Lamina 1
O'
Oaux
O'
T1
O1
O"
C
T
O"
P
T2
T
Fig.1
PT tiene que ser
perpendicular a la
línea que une los
centros de las
circunferencias
solución O1 - O2, por
ser éste el eje radical
de dos circunferencias
tangentes exteriores.
O2
B
A
r
Fig.2
B
O2
Oaux
T
O1
A
r
T2
P por pertenecer a la tangente
común de las dos circunferencias
es un punto de su eje radical:
PT2 = PT1
P
T1
Lamina 2
r
r
A
A
O2
O1 Oaux
T
T1
P
T2
s
s
Fig.3
T2
O
O
O2
Oaux
T1
O1
T
T
Fig.4
P
O2
T
O
O1
r
T
O
r
T1
Fig.5
P
T2
Lamina 3
T2
O
C
O
r
T1
O2
Oaux
O2
r
P
P
Fig.6
O
P
T1
r
C
O
T
P
T2
r
O1
Oaux
O1
P'
Fig.7
¡ Ojo! Recordar que los puntos son un concepto,
no tienen dimensión, éste eje radical tiene un
ángulo muy cerrado y C puede variar según
nuestro trazado, influyendo más tarde en el
resultado.
Para comprobar que el centro solución es el
correcto, como la circunferencia tiene que pasar
por T2 y P. Hallamos la intersección de la mediatriz
de este segmento con r y vemos si coincide con
O2.
Lamina 4
P
Eje radical de la
circunferencia
dada y la auxiliar
A
A
O2
B
O
T1
T2
T
Oaux
B
O
O1
Eje radical de las
circunferencias
solución
Fig.8
A
A
T2
O2
O
O
Oaux
B
O1
B
T1
P
T
Fig.9
Gancho
T1
C
T2
C
O2
T
T
Oaux1
O1
Oaux2