estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de

Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles
ESTIMACIÓN DE MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA
EN SERIES DE RENDIMIENTOS BURSÁTILES
García Centeno, Mª del Carmen*; Calvo Martín, Meri Emilia**
* Universidad San Pablo CEU (Madrid); **Universidad Complutense de Madrid
RESUMEN
Las series temporales de alta frecuencia observadas en los mercados financieros y
cambiarios se caracterizan por ser asimétricas, leptocúrticas, agrupamiento de la
volatilidad, mostrar una elevada persistencia en volatilidad, correlaciones en los
cuadrados, efecto leverage, etc. Estas características son las que se conoce en la
literatura econométrica como hechos estilizados. Para recoger estas características de las
series temporales se han planteado modelos no lineales, entre los que se pueden destacar
básicamente dos tipos: por un lado, los modelos ARCH y GARCH y todas sus posibles
variantes y por otro lado, los modelos de volatilidad estocástica. Estos modelos se
diferencian entre sí en la forma de modelizar la volatilidad, así el primer tipo de
modelos se caracteriza porque la varianza condicional depende de las observaciones
pasadas de la serie (modelos ARCH) y de sus propios valores pasados (modelos
GARCH), mientras que en los modelos de volatilidad estocástica la volatilidad es
función de un proceso estocástico no observable.
En este trabajo, vamos a analizar los distintos resultados obtenidos de la estimación de
los dos tipos de modelos anteriormente propuestos, aplicados a series de rendimientos
de índices bursátiles.
XIII Jornadas de ASEPUMA
1
García Centeno, M. C.; Calvo Martín, M. E.
1. INTRODUCCIÓN
El estudio de la volatilidad en los mercados financieros y cambiarios ha ido
creciendo en las últimas décadas. Para estudiar la evolución dinámica de la
volatilidad en la literatura econométrica se han propuesto básicamente dos tipos de
modelos: los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (modelos
ARCH, propuestos por Engle (1982) y modelos GARCH, propuestos por Bollerslev
(1986)) y todas las variantes que a partir de ellos han ido surgiendo y los modelos de
volatilidad estocástica (modelos SV, propuestos por Taylor (1986)) y sus variantes.
De estos modelos, los más utilizados han sido los modelos de
heterocedasticidad condicional autorregresiva, ya que son más sencillos de estimar y
están ya implementados en la mayoría del software econométrico. Los modelos de
volatilidad estocástica son más complicados de estimar ya que se desconoce cual es
la función de verosimilitud.
En este trabajo vamos a utilizar el modelo de heterocedasticidad condicional
autorregresiva generalizado, modelo GARCH y el modelo de volatilidad estocástica
autorregresivo de primer orden, modelo ARSV para estimar la evolución de la
volatilidad de los rendimientos diarios de dos índices bursátiles: el CAC40 y el
DAX30. Los datos para realizar estas estimaciones han sido obtenidos de la base de
datos datastrem.
La finalidad que se persigue con la formulación y la estimación de estos
diferentes modelos es conseguir dependiendo de la forma de dependencia de la
varianza condicional de su pasado o de otras variables que en ella puedan influir, el
modelo más adecuado. Posteriormente estos modelos pueden ser utilizados en la
obtención de predicciones de la volatilidad, medición de riesgo, valoración de
opciones, etc. Sin embargo en este trabajo nos limitaremos sólo a la estimación de
los diferentes modelos y a la comparación de los diferentes resultados obtenidos.
2. ANÁLISIS DE DATOS
Las series temporales que vamos a utilizar son los rendimientos diarios de
dos índices bursátiles. Para el cálculo de estas series de rendimientos, hemos
utilizado los precios de cierre diarios de los días en los que existe mercado en el
periodo comprendido entre 9-07-1987 y el 30-07-2004 para el CAC40 y entre 302
XIII Jornadas de ASEPUMA
Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles
12-1987 y 30-07-2004 para el DAX30, es decir un total de 4552 y 4328
observaciones respectivamente para cada uno de los índices.
Los rendimientos de cada uno de los índices se define como la variación
porcentual del logaritmo del precio de cierre del índice para dos días consecutivos
de mercado. Así, el rendimiento diario para el día t, (yt) se calcula de la siguiente
forma: yt = 100 x (ln Pt-ln Pt-1), donde Pt representa el valor del índice del día t.
La representación gráfica relacionada con estos índices es:
(a)
(b)
d a to s C A C 4 0
r e n d im ie n to s C A C 4 0 ( R t)
6000
5
0
4000
-5
2000
-1 0
0
650
1 .0
(c)
1300
1950
A C F-A c f R t
2600
3250
3900
0
0 .5
0 .5
0 .0
0 .0
-0 . 5
-0 . 5
0
10
650
1 .0
(d)
P A C F-A c f R t
20
30
1300
1950
A C F - A c f R t^ 2
0
2600
3250
3900
P A C F - A c f R t^ 2
10
20
30
Gráfico 1.1 CAC40: (a): Evolución diaria del índice a precios de cierre; (b): Rendimientos
diarios del índice; (c): fac y facp de los rendimientos del índice; (d): fac y facp de
los rendimientos al cuadrado del índice.
(b)
(a)
10
d a to s D A X 3 0
6000
r e n d im ie n to s D A X C 3 0 ( R t)
5
0
4000
-5
2000
-1 0
0
1 .0
650
13 00
A C F-A c f R t
195 0
2600
3250
39 00
0
1.0
P A C F-A c f R t
(c)
650
1300
A C F - A c f R t^ 2
19 50
2600
3 250
39 00
P A C F - A c f R t^ 2
(d)
0 .5
0.5
0 .0
0.0
-0 . 5
-0 . 5
0
10
2 0
30
0
10
20
30
Gráfico 1.2 DAX30: (a): Evolución diaria del índice a precios de cierre; (b): Rendimientos
diarios del índice; (c): fac y facp de los rendimientos del índice; (d): fac y facp de
los rendimientos al cuadrado del índice.
Los principales momentos muestrales obtenidos de los rendimientos diarios
de estos índices están en las siguientes tablas:
XIII Jornadas de ASEPUMA
3
García Centeno, M. C.; Calvo Martín, M. E.
Contraste
normalidad
2238.9
1.0728
-0.76950
13.716
7.5970 -13.029
CAC40 0.0210
6068.2
1.4421
-0.39914 8.7464
7.5517 -13.707
DAX30 0.0233
Tabla 1: Momentos muestrales de los rendimientos diarios de los índices en el periodo muestral.
Media
Desviación
Asimetría
típica
K=1
CAC40
K=2
Máximo
Mínimo
K=3
K=4
K=10
K=20
K=50
K=100
-0.047
0.001
0.0005 0.017
0.042
0.005
0.201
0.152
0.180
0.119
0.066
0.022
Yt
0.0216
Yt 2
0.157
Yt
-0.022
-0.009 -0.022
0.019
-0.019
-0.013
0.034
-0.008
Yt 2
0.194
0.185
0.170
0.126
0.115
0.093
0.044
DAX30
-0.003
Curtosis
0.290
0.168
Tabla 2: Autocorrelaciones muestrales de los rendimientos de los índices en la muestra.
Las principales características que podemos destacar de los rendimientos de
estos índices son las siguientes:
1) La serie de rendimientos de los índices se mueve en torno a un nivel constante igual
a cero, que es bastante estable para toda la muestra. Sin embargo, la varianza de los
rendimientos no se mantiene constante sino que va cambiando a lo largo del
tiempo, como se puede apreciar en los gráficos 1.1 (b) y 1.2(b), observándose
periodos en los que la volatilidad es menor (que coinciden con periodos en los que
los rendimientos de los índices no sufren grandes cambios) y periodos en los que la
volatilidad es mayor (que coinciden con los periodos en los que la variación de los
rendimientos respecto de su media es mayor). Este comportamiento en los
rendimientos de los índices es lo que se conoce como agrupamiento de la
volatilidad o clustering de la volatilidad.
2) En las series de rendimientos existen datos que en periodos de relativa calma toman
valores muy grandes, positivos o negativos. Estos son datos atípicos que coinciden
con algún acontecimiento puntual que ha afectado al comportamiento de las bolsas.
3) Las series de rendimientos no siguen una distribución normal, ya que no son
simétricas (los coeficientes de asimetría son negativos) y leptocúrticas, ya que su
coeficiente de curtosis es mayor que el de una distribución normal (como se puede
apreciar en la tabla 1), lo que implica unas colas más anchas que las de dicha
distribución y que la respuesta de la volatilidad ante shocks de diferente signo sea
asimétrica, este hecho es conocido en la literatura econométrica como efecto
leverage.
4
XIII Jornadas de ASEPUMA
Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles
Además el estadístico Jarque Bera calculado para contrastar la normalidad, rechaza
en todos los casos la hipótesis de normalidad.
4) En los gráficos de la función de autocorrelación simple (acf) y parcial (pacf)
observamos que existe una nula correlación entre los rendimientos de la serie, pero
sin embargo sí que existe correlación entre los rendimientos al cuadrado. Esta
correlación suele ser casi siempre positiva, con valores que no son muy grandes
pero estadísticamente significativos y que decrecen de forma lenta hacia cero. Esto
es debido al agrupamiento que se produce en la volatilidad (lo que indica la
presencia de heterocedasticidad condicionada en las series de rendimientos y la
necesidad de modelizar el comportamiento de la varianza condicional). Este
comportamiento de la series de rendimientos bursátiles muestra la existencia de
persistencia de la volatilidad.
Por lo tanto, podemos concluir diciendo que las series de rendimientos
analizadas, presentan las características que autores como Bollerslev, Engle y
Nelson(1994) entre otros, establecen como típicas de las series financieras: son
asimétricas y leptocúrticas; ausencia o escasa correlación en las series de
rendimientos; varianza cambiante a lo largo del tiempo, alternando periodos de poca
volatilidad seguidos de otros de alta volatilidad (agrupamiento de la volatilidad);
existe correlación en los cuadrados de los rendimientos de la serie y estas decrecen
de forma lenta hacia cero (persistencia de la volatilidad).
3. MODELIZACIÓN DE LA VOLATILIDAD
Las características que hemos visto que presentan los rendimientos de los
índices bursátiles, con carácter genérico, se pueden modelizar utilizando dos tipos
de modelos, los modelos ARCH, GARCH y sus posibles variantes y los modelos SV
y sus posibles variantes.
3.1. Modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva
La volatilidad en este tipo de modelos se define como una función
determinista de las innovaciones pasadas al cuadrado y de la varianza condicional
retardada. Es determinista en el sentido de que la ecuación de la media tiene un
término de perturbación y que su varianza sé modeliza condicionalmente según el
conjunto de información hasta el periodo t-1.
XIII Jornadas de ASEPUMA
5
García Centeno, M. C.; Calvo Martín, M. E.
Dado el comportamiento de las funciones de autocorrelación simple y parcial
de los cuadrados de los rendimientos de índices bursátiles vamos a proponer para las
series de rendimientos financieros un modelo GARCH(1,1).
El modelo GARCH(1,1) viene especificado por las siguientes ecuaciones:
Ecuación de la media :
yt = µ + σtε t
2
t
2
1 t −1
Ecuación de la varianza : σ = α 0 + α ε
ε t ~ i.i.d.(0,1)
+ β1σ 2t −1
donde α>0, α1,β1≥ 0 α1+β1<1, para que el proceso sea estacionario y no
degenere; yt representa a los rendimientos de los índices bursátiles; µ es la
constante; σt es la volatilidad y εt es la perturbación aleatoria que es independiente y
está idénticamente distribuida con media cero y varianza igual a uno. Nosotros
vamos a añadir el supuesto de normalidad.
3.2. Modelos de volatilidad estocástica
En los modelos de volatilidad estocástica, la varianza condicional se
modeliza como un componente no observado que sigue un proceso estocástico
latente (proceso que a veces no es conocido y otras veces se supone que la
volatilidad sigue un proceso autorregresivo de primer orden). Por lo tanto, en un
modelo de volatilidad estocástica la desviación de cada valor de yt respecto de su
media se captura con dos términos de perturbación, mientras que en los modelos
GARCH sólo con uno.
El problema de estos modelos de volatilidad estocástica es que la función de
verosimilitud es desconocida y no es fácil de construir, por estas razones existen dos
formas para estimarla: los métodos que tratan de estimar la función de verosimilitud
de forma exacta y los métodos que tratan de aproximarla. En este caso vamos a
recurrir a máxima verosimilitud utilizando Monte Carlo, donde la función de
verosimilitud se evalúa utilizando muestreo de importancia. La razón por la que
hemos utilizado esta técnica es para poder estimar simultáneamente todos los
parámetros que aparecen tanto en la ecuación de la media, como de la varianza y del
proceso de volatilidad.
En este caso vamos a estimar un modelo de volatilidad estocástica
autorregresivo de primer orden, modelo ARSV(1), definido por las siguientes
ecuaciones:
6
XIII Jornadas de ASEPUMA
Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles
Ecuación de la media :
yt = µt + σtε t
2
t
ε t ~ N(0,1)
2
*
Ecuación de la varianza : σ = σ exp(h t )
donde h t = ln
σ 2t
y el proceso estocástico para ht es un autorregresivo de
σ*2
primer orden definido de la siguiente forma: ht = φht-1+ ηt. Por lo tanto el modelo
ARSV(1) quedaría especificado por las ecuaciones:
y t = µ t + (σ * exp(0.5h t )) ε t
h t = φ h t −1 + η t ,
| φ |< 1
ε t ~ N(0,1)
η t ~ N(0, σ 2η )
E( ε t η t ) = 0
[3.2.1]
donde yt son los rendimiento de los índices bursátiles; µt representa la media
de los rendimientos, la cual puede depender de una constante o de varios
regresores; σ 2t representa el proceso de volatilidad y se modeliza como una
exponencial para garantizar que la varianza sea positiva; σ * es un factor de escala
positivo; φ es un parámetro que está restringido a tomar valores comprendidos entre
cero y uno para garantizar la estacionariedad del proceso; σ η es un parámetro que
mide la variación en el proceso de volatilidad. Suponemos que las perturbaciones de
la ecuación de la media y de la varianza siguen una distribución normal y están
mutuamente incorrelacionadas y para todos los retardos.
Este modelo no es un modelo lineal, ya que la volatilidad está definida como
una exponencial, sin embargo se puede convertir en un modelo lineal expresándolo
en forma de espacio de los estados (sin embargo existe un problema adicional ya
que las perturbaciones de la ecuación de medida no son gaussianas). Para ello, la
función de verosimilitud se puede aproximar descomponiéndola en una parte
gaussiana (utilizando el filtro de kalman) y otra función cuyo valor esperado se
calcula mediante simulación.
Bajo el supuesto de que la media de los rendimientos de los índices
bursátiles no cambia, es decir no tiene un comportamiento dinámico, vamos a
expresar el modelo en forma de espacio de los estados siguiendo el modelo
propuesto por Sandmann y Koopman (1998). El objetivo de expresar el modelo en
forma de espacio de los estados es linealizarlo. Para ello necesitamos dos
ecuaciones: la ecuación de medida y la ecuación de transición. En este caso, vamos
a obtener la ecuación de medida a partir de la ecuación de la media elevando al
cuadrado y calculando el logaritmo, en ambos miembros de la ecuación. Esta
XIII Jornadas de ASEPUMA
7
García Centeno, M. C.; Calvo Martín, M. E.
ecuación relaciona variables observables con variables no observables(en nuestro
caso la volatilidad) del siguiente modo:
ln y 2t = ln σ *2 + h t + ln ε 2t
Esta ecuación nos indica que el logaritmo del rendimiento al cuadrado se
obtiene como suma de una constante y de dos procesos estocásticos independientes
entre sí, la volatilidad, ht, que es un proceso lineal estacionario y la perturbación
aleatoria que en este caso no sigue una distribución normal, ya que hemos supuesto
que las perturbaciones de la ecuación de la media, εt, siguen una distribución normal
con media cero y varianza uno, entonces el ln ε 2t se distribuye como una χ 12 con
media igual a (-1.27) y varianza (π2/2) como demostraron Abromowitz y Stegun
(1970).
La otra ecuación necesaria para expresar el modelo en forma de espacio de
los estados es la ecuación de transición, cuya expresión es la siguiente:
h t= φht-1 + ηt
ηt ~ N(0, σ η2 )
Esta ecuación representa cual es la dinámica de la volatilidad a lo largo del
tiempo, la cual depende del valor de la volatilidad en el periodo anterior y de un
término de ruido, que suponemos que sigue una distribución normal con media cero
y varianza σ η2 . Las perturbaciones de la ecuación de medida y de transición
suponemos que son independientes.
3.2.1. Procedimiento de estimación de la función de verosimilitud utilizando Monte
Carlo
Una vez que se ha expresado el modelo en forma de espacio de los estados para
estimar los parámetros (φ, ση, σ*) de este modelo de volatilidad estocástica, hemos
seguido los siguientes pasos:
1) Para un vector de parámetros dados, se obtiene un modelo gaussiano
aproximado. De acuerdo con los resultados consultados, el valor del parámetro
φ está en torno a 0.9. Para dar un valor inicial al parámetro σ* tomamos como
referencia la varianza muestral de la serie de rendimientos de los índices.
2) El logaritmo de la verosimilitud gaussiana del modelo aproximado se calcula
utilizando el filtro de Kalman para generar el muestreo de importancia.
8
XIII Jornadas de ASEPUMA
Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles
3) Para realizar estas estimaciones nos ayudamos del programa implantado en Ox
por Doornik (1998). En el cual el número generador aleatorio se inicializa en
un valor fijo.
4) Se utiliza el método de maximización de BFGS.
5) Tras sucesivas iteraciones se obtienen los valores de los parámetros del modelo
de volatilidad estocástica.
4. RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN.
Los resultados obtenidos de la estimación de un modelo GARCH(1,1) para
los rendimientos de los dos índices bursátiles son los siguientes:
µ
(Estadístico t)
α0
(Estadístico t)
α1
(Estadístico t)
β1
(Estadístico t)
Log-likelihood
AIC
α1+β1
CAC 40
DAX30
0.0457739
(2.60)
0.0439794
(3.07)
0.0889455
(5.92)
0.886286
(49.5)
-7170.24408
3.22365495
0.975232
0.0512173
(2.72)
0.0462024
(2.19)
0.101099
(3.90)
0.877803
(33.9)
-7096.70689
3.28204617
0.978902
Tabla 3: Resultados de la estimación para los rendimientos de los índices de un GARCH(1,1).
Los gráficos residuos para esos modelos estimados son los siguientes:
DAX30
CAC40
Yt
10
Yt
5
Fitted
r:media= (scaled)
Fitted
5
r:Yt (scaled)
5
5
0
0
0
0
-5
-5
-10
-10
0
650
1300 1950 2600 3250 3900
-10
0
650
4
0
1300 1950 2600 3250 3900
650
1300 1950 2600 3250 3900
CondSD
1.0
CondSD
-5
-5
ACF-r:Yt
PACF-r:Yt
0
1.0
650
1300 1950 2600 3250 3900
ACF-r:Yt
PACF-r:Yt
4
0.5
0.5
3
3
0.0
0.0
2
2
-0.5
-0.5
1
1
0
650
1300 1950 2600 3250 3900
0
20
40
60
0
650
1300 1950 2600 3250 3900
0
10
20
30
Gráfico 2: Rendimientos; Residuos escalados; (CondSD)Desviación estándar condicional;
(ACF y PACF) Función de autocorrelación simple y parcial de los residuos.
XIII Jornadas de ASEPUMA
9
García Centeno, M. C.; Calvo Martín, M. E.
En la estimación del modelo GARCH(1,1) para los rendimientos del CAC40
y DAX30, se puede apreciar que todos los parámetros son significativos, lo que
indica que los rendimientos de los índices bursátiles se ven afectados por el
comportamiento de la volatilidad en el periodo anterior. Además, se ha recogido con
esta estimación de forma adecuada la dependencia de los cuadrados ya que las
funciones de autocorrelación simple y parcial tienen prácticamente todos sus valores
en torno a cero, lo que implica que el agrupamiento de la volatilidad ya no es tan
acentuado. La persistencia de la volatilidad está medida por los valores estimados de
α1+β1, que en este caso son valores próximos a uno.
Los resultados de la estimación obtenidos con un modelo ARSV(1) para los
rendimientos de los índices bursátiles son:
CAC 40
DAX30
0.97933
0.98366
φ
(0.96479 0.98794) (0.97575
0.98902)
(Ext. Sup. Ext. Inf.)
0.023603
0.027551
σ*
(0.015677 0.035537) (0.020255 0.037476)
(Ext. Sup. Ext. Inf.)
1.2894
1.3264
ση
(1.0305
1.6135)
(0.98577
1.7847)
(Ext. Sup. Ext. Inf.)
Log-likelihood
-7107.84
-6926.3
3.434
6.659
Estadístico Q(12)
Tabla 4: Resultados de la estimación para los rendimientos de los índices de un ARSV(1)
DAX30
CAC40
Rendim. índice(Rt)
7.5
ar1
7.5
Rendim. índice(Rt)
ar1
700
1750
5.0
5.0
2.5
2.5
0.0
0.0
-2.5
-2.5
-5.0
-7.5
-5.0
-10.0
-7.5
-12.5
-10.0
0
350
700
1050
1400
1750
2100
2450
2800
3150
3500
3850
4200
0
350
1050
1400
2100
2450
2800
3150
3500
3850
4200
Gráfico 3: Estimación de la evolución de la volatilidad en la serie de rendimientos del
DAX30 y del CAC40.
Los resultados de la estimación nos muestran que los intervalos de la
estimación no son simétricos porque el modelo estimado no es lineal, además los
valores estimados del parámetro φ (que mide la persistencia de la volatilidad) son
10
XIII Jornadas de ASEPUMA
Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles
valores elevados pero no llegan a uno, lo que implica que el proceso es estacionario.
En el gráfico 3 se puede apreciar la evolución de la volatilidad en los rendimientos
de los índices bursátiles en el periodo muestral estudiado, siendo mayor la
volatilidad para ambos al comienzo y al final del periodo muestral que en los
periodos intermedios.
5. CONCLUSIONES
La modelización de la volatilidad no es única y para elegir el modelo que
mejor recoja la evolución dinámica de la volatilidad es necesario hacer un análisis
de las características que determinan el comportamiento de las series financieras que
sean objeto de estudio.
Los modelos de volatilidad estocástica, aunque son más complicados de
estimar que los modelos GARCH, permiten captar mejor, en muchos casos, la
evolución de la dinámica de la volatilidad a lo largo del tiempo.
En la utilización de estos modelos (por ejemplo, para hacer predicciones de
la volatilidad) es necesario tener en cuenta que los valores más recientes
proporcionan más información.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
ABRAMOWITZ, M. STEGUN, N.C.(1970). Handbook of Mathematical Functions.
Dover Publications, Inc. New York, pp.943.
•
BOLLERSLEV, T., ENGLE R.F. y NELSON D.B. (1994). “ARCH models”.
Handbook of Econometrics, Vol. IV. En R.F Engle y D.L. McFadden (eds.),
pp.2959-3038.
•
BROTO, C., RUÍZ, E. (2004). “Estimation methods for stochastic volatility models:
A survey. Journal of Economic Surveys, 18, pp.613-649.
•
SANDMANN G., KOOPMAN, S.J. (1998). “Estimation of stochastic volatility
models via Monte Carlo maximum likelihood”. Journal of Econometrics, 87.
pp.271-301.
•
TAYLOR, S. (1994). “Modeling stochatic volatility: a review and comparative
study”. Mathematical Finance, 4, pp.183-204.
XIII Jornadas de ASEPUMA
11