Funciones de utilidad

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. 93, 1981, p^gs. 93 a 105
Funciones de utilidad
por E. PRIET4 y F. GRIADO
RES UMEN
En este trabajo examinamus en primer lugar dos prucedimientus usuales
para determinar utilidades en el sentidu de Neumann-Morgerstern, resaltandu la caherencia entre ellus, y presentamus dos procedimientus para
tratar de la incoherencia cuando ésta aparece en el decisur. En segundo
tugar, presentamus una lista de axiornas de cunducta raciunal, lus cuales
difieren básicamente de lus de Neumann-Murgenstern en utilizar un u ^ rden
parcial en vez de completo para las perspectivas aleaturias. Estus axiumas
implic:an la existencia de un cuno de funciones de utilidad yue caracteriza
el orden parcial.
Palahras cla^^e: utilidad, órdenes parciales, coherencia, determinación de
utilidades, duminancia estucástica.
1.
INTRt^DUCCItJN
Establecer bases normativas en Ciencias nu prupiamente nurmativas, sinu de ubser-
vación, como son las Ciencias Económicu-Suciales, presenta dif^icultades y pur ellu
hasta fecha reciente nu han sidu iniciadas.
Las principales referencias al estudiu de utilidades sun artículos u libros de Vun
Neumann y Morgenstern ( 1944), Friedman y Savage (1948), Mosteller y Nugee (1y51),
94
ESTADI5TIC A ESPAIVOL^ ^
Arruw ( 1y5^), Haussner ( 1954), Luce { 195y), Aumann ( 1^62), i)eGruut ( 1y63), Kannai
( 1y63), DeGruut y Marschak ( t^63), Becker y cul. (1^6d), Mac-Crimmun t lyó4), Pratt
(1965 ), Rivs ( l^fi?>, Sc hlaifer ( 196y), Fishburn ( 1 y70), Krantz y cul ,( x9? l), Lindley
( 1 y71), Luce y Krantz ( 1971), Hull et cul. ( 19?4), [ndow ( 19?5), Girón
( i9?5),. Cyert et cul. ( 1975>, Keeney y Raiffa (1976), Criado (19?8), Lindley y Noviek (1979).
Suele hablarse en este cannprca de Tearia de la Decisión de teorias desc•riptivus y
tec^rías nc^rmctti^•us.
En las primeras se trata de obtener de las cabservacic^nes relativas al cumportamiento
de lus decisures yue toman acciones las reglas yue siguen y entonces utilizar estas
reglas para la previsión de nuevas situaciunes.
En Id segunda teuria se trata funda^nentalmente de definir un «Comporiamientu
raciunal», mediante una serie de axiomas que se consideran plausibles. Estos axiomas
asc^ciadus al razunamientu matemático permiten cabtener ciertas leyes u normas de
ccampurtamientu en situaciones complejas y transfcarmar las preferencias del decisur en
estructura de utilidad numérica para ser usadas en un algoritmu de uptimización, es
decir, admitida la axiumática, la última consecuencia es maximizar la esperanza de
utilidad.
La comprubación experimental de dicha teoria podria hacerse:
i) Ubservandu hasta qué punto los decisures consideran realmente plausibles los
axiumas en los yue se basan las leyes que resultan como cunsecuencia de ellos.
r'i) Observandu hasta yué puntu las acciones de lus decisores están de acuerdo con
dichas leyes.
En Ic^ yue sigue tomaremos cvmo espaciv básico de premius un cunjuntc^:
, ^ = ^E^)^,, E^ ^ ,
.. . ,
E^m ,
. .., f^^/ ^ E)N+ I }
yue lu supondremos linealmente, ordenado mediante una relación de preferencia estricta, de acuerdu con lus subíndices del cunjunta -^^; donde t)„ representa al menos
preferido y 1)nr+, el más preferido.
Designarernc^s brevemente por
^.,
-
^ /^u, p ^, ..., pm, ..., p^+l
t)^,, H^, ..., E).,^, ..., E^N+i
una lotería que significa la cunsecuencia de un surteu yue asigna probabilidades p^,, p^,
..., p N+ i a lUS premivs E)^^ , El ^, ..., E) N+ i•
f=^.1NCIC)NES DE UTILIDAD
yS
La operación fundamental en este espacio que lu vamos a representar por ,'_/" (. ^) es
a operación de mixtur~a, que es una aplic;ación:
. í^ ( ^,^) x , `%" { . ^) -.. . ^ :%^ ( . :,a^)
(^, n) -^ ^P^ + (1 - P)n ^^ ^ P -< 1
tal que verifica las siguientes:
i)
ii )
rii )
l ^ + or^ _
p^^ + (1 - p }rl
PÍ ^!^ •+
= {1 - P }n + P=^
( I ^ ^! )Tl ^
+ (1 - i^ >rl
= P^^ + ( I - P^1 >^l
Agregand^ a estus axiomas los siguientes:
i^^)
^ ^}
E:n .' %^ {-^ri^) está defin ida pur la relación ?- , un prec^rden completo.
(Sustituciá^n). Para cualquier ^,, n,^ E.''%'''{. `^) y p E[0, 1) es ^; > n e^ p^
+ (1 - p)y ?` Pq + {1 - P^•
^^i )
(Continuidad). Si ^; , r^ , ; E ,^;-/^ (r x^) son tales que ^, ^- r^ >- ; , entonces existen
dos númerus p, c^ E(0, 1} tales yue:
P^ + t I - ,^ ^^ >- ^^
r^ >- y.; + ( ^ - p ) ^
Cumo cunsecuencia de estus axiomas existe un uperador definido en ,%^(. ^) que
conserva el preorden, es decir, es ^el; lineal y está definidc^, salvo una transforrnación
lineal pusitiva.
2.
CURVAS Dl~: UTILIDAD
Acímitida la teuría de la utilidad, para pc)der aplicarla se hace precisd la determina-
ción de la curva de utilidad.
En este artículo nus prupunemus cumentar lvs dus mét^)dos existentes para su
^
determinac ión.
Prirn^r rriE^tvrl^^ (m^tudu del estadu fiju). Representamus por p; y(1 - p;) las
posibilidades de recibir los premius E^;.} ^ y 1^;_ ^, para las cuales el decisor considera la
indiferencia:
1^;1 - P^
E^r+^E^^-t
.r .f}; ^, rt(H^)
l ^ ( E^^
,+ i) + ( 1
^ _ ^^tr
- ^^)^^{f)^, ^)•
l^
ESTADISTICA ESPAÑ4LA
96
Al ir variando los H; ( l S i S N) lus p; tambi^n irán variando y designando
btevemente c^; = r^(E^;) tenemos establecido un sistema de N ecuaciones cun N incógnitas, el cual, dejando a un lado casos excepcianales, las utilidades están determinadas de
r^anera única por las s iguie ntes :
G
u^+ 1-- ^ . I S í^ N, donde G;
G„
,; =a
1 - p;
F., - n ;go
p;
Por la naturaleza de la sulución del sistema resulta qué es rnás cunveniente trabajar
con logaritmos que can probabilidades. 1'or cvnsiguiente, podemos efectuar la transformac ión
h; - log f; = log
1 - P^
Esta expresión transforma el intervalo (0, 1) en la recta real; por consiguiente, con
ir}dependencia del valor que pueda tomar la variable h; (que puede ser un númeru real
pósitivo o negativo) veremos que un cambio en h; pruduce cambios en la utilidad.
Además, el afinamiento entre cantidades pequeñas pruduce más inc^nsistencia yue el
afinamiento entre cantidades grandes, es por lo que creemos útil el empleo de esta
transformacián.
Al pedir[e al decisor que fije p; para la indiferencia
P^
1 r p^
f);+^
^ •El;
f^^-^
le debemos aclarar lo que estu cunlleva. Hay, al menos, dus furmas de hacerlu.
i) Puesto que dus funciones de utilidad sun «e5tratégicamente equivalentes» si una
de ellas se obtiene de la utra mediante una transfurmación lineal pusitiva, pcademus
pensar en una transfurmación que haga r^;_i = 0 y u;+^ = 1, cun lu cual, p; = r^;, es
decir, la consideración de la Ic^tería
P^
E^; + i
1
- pl ..^ •E^^r
E^, - ^
es equivalente a la cunsider<ación de una lutería cun el mej^^r y el peur cte lus estadus.
97
FUNCIONES DE UTILIDAD
ii }
Una segunda forma de pensar en ni es la de darse cuenta de que al considerar la
indiferencia:
f^ i
1- Il ;
^^ - u;-^
^.E^i
cli+^
f);+i E)r-^
- tI;_1
esta consideración ccanlleva ta aparición de dos utilidades marginales (incremento de
utilidad para cuando se pasa de un estado al siguiente), que representamos por:
©Ili_^ = lli ^ lli-1 y e^i
- lji+l - lli
1
Si estas dos utilidades marginales son iguales, entonces pi =---- y ta función
^^
es localmente tineal en ^1.
L^ 2 u
Por c^tra parte, teniendo en cuenta que 1-.f, _
i
tendremos: Si p; >; 2, entonces es ^;^ <
1 y, por consiguiente, t^^u,_ ^< 0, es de-
cir, la función de utilidad es cóncava (diremos que el decisor tiene aversión al riesgo}.
Si ^i
< 1, entonces es _f^ >^ 1 y, por consiguiente, 1121r^_ ^ >; 0, es decir, la
^
función de utitidad es convexa (diremos que et decisor tiene aficiá ^ n al riesgo). En este
método se le pregunta al decisor que manifieste su necesidad de aversión (resp. afción)
al riesgo en cada uno de los N valores.
Vamos a estudiar la variación de las utilidades con las probabilidades.
d rl^+ i
dfi;
-«;(1 - 11;+ ^ ) para j ^
2.1
dh;
_ - u^; + ^ ( 1 -- ^l ; ) para j < i
h; = log.f; _ log .
- P;
Pi
Puesto que las utilidades varían entre n y!, las derivadas son todas negativas, lo que
s^gni^ca que un incremento en los logaritmos (decrecimiento en probabilidades) ir^plica
un decrecimiento en todas las utilidades.
9^
ESTADlSTlCA ES1'AÑUI.A
Por utra parte, puestu que !a f'unción de la utilidad cunserva el preurden y la función x( t -- x); 4 S x ^
1
1 alcanza su máximu para el valur x =-, tendrernos que
2
C^t^^ + t
1
S --- di , j
4
c^h;
L.,as ecuaciones 2.1
dt^^+ i
muestran que variando j y manteniendo f^ijo i ta función
.
.
crece cun j hasta un valar maxlmo cuancio j+ 1= i de valor u;( l - u^) y a
rath ;
pdrtir de é[ decrece; por cunsiguiente, un cambio en h; afect^i a tuclas las utilizades, y
en particular a la r^; .
La función de riesgu (con independencia del signc^) esiá definida por
r^r"( . )
r^'(•)
1
lu q ue nos cc^nduce a afirrna r y ue para valures de ^ próximos a 2 1 a a v e r s i ó n
( resp. atición) al riesgo es máxima y para lus valores de p próximos a 0 y a 1 la
aversión (resp, afición) al riesgo es
mínima, es decir, las utilidades sun bastante
sensibles (resp. insensibles) para variaci^nes de las prubabilidades entre estos valores.
La cunsideración de las N-luterias expresadas por la ecuacíón u; = p^rr^+! +(I -p^ ke;_ ! es suf<ciente para deteterminar las N utilidades {u ,, r^ z, ..., cr N} y si esto es todo
lo que se le pide al decisor, solamente nos resta maximizar la utilidad esperada. Sin
embargu, del cuncepto de cuherencia no hemos hechu uso de una manera plena, ya que
es lógicc^ que las utilidades n^ deben ser cuntempladas aisladas, sino relacivnadas con
utras, para ver si son consistentes entre sí.
A tal fin cunsideraremos luterías del tipo
I^ jik
()^
1^^jik
1)k
^, (l,
0< j < i < K^ N+ l
1~;s evidente que la cc^nsideración de las N-luterias expresada pur la ecuación rc; =
=^;rr;+_! +( I -- p;)r^;_!', al igual que las luterias expresadas por Irt ecuación rr; _^^;krr^ +
-^ ( I -/)^;k )r!k prc^clucen sesgus y ahura nuestru prublema es iratar de ^urregirlc>s. Hay,
al menus, tres furmas de hacerlu.
i)
Pedirle al decísur que revise alguna de sus probabiCidacies.
^
FUNCIONES DE UTILI©AD
La experiencia nos enseña yue los decisores sc^n, generalmente, incc^nsecuentes,
pero intentan resolver sus incoherencias cuandu éstas han sidu captadas pur su atencicin
(Mac Crimmon, i965). Por consiguiente, mejor que pedir al decisur que revise alguna
de sus probabilidades, sugerimos ayudarle de la siguiente forma: el prc^ ^cedimiento
normal en las ciencias aplicadas no es el de corregir ningún error, sino el de admitir
estos errores y fjar valores estimados. A tal fn tendremos:
ri) Consideramos tod.as las loterías que tienen como premio E^i. Pstas loterias las
podemos suponer ordenadas mediante una relación de preferencia (de acuerdo cun el
siguiente esquema)
I
x'
i
i
I
I
...,
XP,
xa,
x^-,
I
I
I
xe,
Xb
x ^,
Empezamos preguniándole a1 decisor sus preferencias sobre la lotería
f^ a
x^
1 -Pa
x„
y xa, ( «a priori» determinaremos pQ), de tal manera que el decisor prefiera xQ. A
continuación sus preferencias sobre la loteña
Pb í ^ Ph
x'
x"
y xb, («a priori» determinaremos pb), de tal manera que el decisur prefiere xb, seguida'
mente sus preferencias sobre
1 - ^^^
P^^
X I
X f/
y asi sucesivamente, continuando este prucesc^ de cunvergencia llegaremos a una cc^nsecuencia X y tomaremos u; = c^ (z ).
iii )
Método de I^s mí nimos cuadradc^s.
Card, Rusinkiewicz y Phillips ( 1975) consideran tudas la5 p^^sibilidades ternas (i, ,j, k)
p< i <^j <^ < N+ 1. Entunces nuestrc^ prupósitu es encuntrar una función de
utilidad c^; que minimice con respecto a la «'s la expresic^n
2. 2
^ IUg[ (p ' U^k / 1 - j) ^k ) - 1 ug ( lt^ - !/ , ^lr k - 1^ f ) ^ 2
i j.k
ESTADISTICA ESNA1'^IUI.A
E^sie problema de mínimvs c uadrados hd sido discutido pur Spetzler (196^), pera
para prubabilidades.
Un prograrna rnediante computadoras ha sido escrito para llevar a cabo las preferencias del decisc^r y la minimización de la suma de cuadrados 2.2 y está disponible en el
CADA Monitor.
Se,^un^^, (Probabilidard fija^. En este procedimiento se trata de mantener fijas las
probabilidades subjetivas de cada mixtura, es decir, consideraremos loterias:
1
1
2
2
f1,
^)^
, f^; y t^^ E..^
y hemos de huscar un valor F^k para el cual se verifique que:
i i
i i ^ ^^3^
Fl;
E);
11^
!l^
E:xplurar la coherencia mediante este prucedimientc^ es más difícil que por el método
anteri^r. Por ejemplo, consideremos la luteria
-
y supongamos que el decisor la considera indiferente a Nm, entc^nces u,„
consideremos ahora las luterías
m
)
si el decisor considera estas loterías indiferentes a E^; y E^.i, respectivamente, tendremos:
1
3
^^; ! .._ y u^ _ 4
4
FUNCtONFS DE UTlLiDAD
^:ntunces es evidente, en virtuci de la axiumátic:a c1e Vun Neumann, yue
1
1
2
2
f^;
Et^
^ •f^
Análogamente sup^ngam^s que el decisur considera la incliferencia ±
2
2
Ei,
El,^,
^ •E^ k,
.
entonces cik = 3/^3, y la cunsec uencia cie la lutería
1
l
E^„
f^.i
viene condicionada p^r las consecuencias anteriores.
Cun estus cunciiciunamientus, explurar la c:uherencia es muy diticil. Pur cunsiguiente,
estamus ubtigados, siempre que sea pusible, a despejar estus cundicionamientc^s. Esta
razón es la que n^s ubliga a pensar que el primer prucedimientu de determinación de
curvas de utilidad está más cunseguidu que este últimu.
3.
RI^PRESENTACION DE PRI~^ U^ RDENES NO C^'OMPL1~^TOS
Cunsicíeremus nuevamente nuestru espaciu básico de premius :^egurus: ^^ {E^^,,
Ej,, ..., f1m, ..., HN+^} que supundremus linealmente urcienadu meciiante una relación de
preferencia estrieta de aeuerdu cun lc^s subíndices del cunjuntu . Una ciistribución de
prubabilidad subre estus premius segurus que la representamus pur
^
^^^• la,, ..., j^^,+I
fÍr^^
E)^,
.,., i^N+l
puede iclentiticarse a un vectur (^,,, ^,, ..., ^^N+^) ciel t^paeic^ 1RN+^. Aciemás, cumo lus
^^,(r - 0, I, ..., N+ 1) satisfacen las cundiciunes n; ? 0( tf; - 0, l, ..., N+ 1) Y^p; -l, estus puntus puecien cunsiderarse cumu puntus N+ 1-simplex. La uperación mixtura
en•'1"(, ^f) se currespuncie en el N+ 1-simplex cun la^^ uperaciunes de la estructura
algebraica de espaciu vecturial; rt1sultaciu también cunucic^u y debidu a Haussner (1954),
que afirma que tucíu espaciu de mixturd puede sumergirse en un esp^iciu vecturial. E n
ESTADISTICA ESPAÑOLA
nuestro caso, por suponer linealmente ordenados los elementos del conjunto. ^será el
Rnr+ ^ •
E1 resultado básico como consecuencia de la operación de mixtura y los axiomas: i ^^;
^^ y vi es el eono^cido como teorema de representación de Von Neumann, es decir, el de
abtener una función numérica que conserve el preorden y que se comporte linealmente
respecto de la operación de m^xtura.
Nuestro problema ahora es el de caracterizar un preorden ( no completo) definido
sobre distribuciones de probabilidad definídas sobre el conjunto ^^.
A}^I(.^MAS DE C^MPC)RTAM IENTC) RACI(^NAL
i)
La relación ?- es reflexiva y transitiva.
ii)
(Sustitución} ^, r^ ,;; pertenecientes al N+ 1-simplex y pE [0,1) es ^;^ r^ c^ p^ +
+ (1 -- p}5 ?' pn + (I - p};.
iii} (Continuidad.) Si .^„ --^ ^, y si ^„ ?- n a partir de un cierto índice, entonces es
;?- rE y si ^}- y,^, entonces es ^^ ^,.
Como consecuencia de i, ii, iii, se obtiene la siguiente relación de sustitución para
loterías no comparables t/ p E[0, lj y^, n,^ pertenecíente al N+ 1-simplex es
^^ r! ^P^ +(1-^)^^Prl +(1-pX;•
Una función de utilidad es una aplicación
c^: . ^--^ ^Z tal q ue ri(E^^^,) < r^(4^^, ) < .. . < «(^^x+ ^)
Consideraremos las funciones de utilidad cc.^mu un vectur rr =(^^f,, c^,, ..., 1(m, ...,
•.., 1*N+ ^). Al conjunto de tc^das las funciunes de utilidad lc^ representaremos por UÉ.
Este conjunto es evidentemente un cuno con vértice en el urigen, convexo y abierto.
A partir de cada función de utilidad se puede definir un preorden en el N+ 1-simplex
de la siguiente manera: sea r^ E U^, definimos la relación ^-u en el N+ 1-simplex por:
^, }- u ^^ c^ ^U = T^l!
(Prc^ducto escalar).
A este criterio se le conuce con el nombre de criterio de utilidad esperada y
evidentemente satisface lus axiomas de Von Neumann.
lO3
FUNClONES [?E UTILIDAD
Como nuestra idea es estudíar criterios que no generen preórdenes cornpletus, una
generalización obvia, que correspande a la situación en que no se tiene un conocimiento
total de la función de utilidad, es el de considerar una sítuación iniermedia entre la
anterior, por un lado, y por atro, el desconocimiento absolut4 de la función de utilidad.
Este conocirrtiento pareial de la función de utilidad lógicamente !o representamos
mediante un cono que pudríamos liamar de incertidumbre, que represente los posibles
candidatos d ser funciones de utilidad. L+6gícamente, a este cono ie exigiremos que sea
convexo.
Sea C C U^ un cuno cc^^nvexo; a partir de este cono se puede def nir en el
N+ 1-simplex un preorden parcial que lo representaremos por ^ C y de^nidc> por:
^?- ^- r^
e^ t! ^, ^ t! r^ t^ u E C
Si esta relación satisface los axiomas i, ii, iii, entonces existe un
utilidades tal que
y} T`^ p^
t1 ^>
1! 1^
cono C de
d t! E C
Además, este cono es único, salvo una transformación lineal posiiiva.
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'SUMMARY
ln this paper we first examine and critisize the two usual procedures
for determining utilities in the Von Neumann-Morgerstern sense stressing
the importante of coherence and presenting two procedures for dealing with
incoherence when ihis has been disclosed to the decision maker. Secondly,
we present a list caf axioms of rational behaviour, which basically difer from
the Von Neumann-Morgenstern in that the ordering of risky prospects is
par,tial instead uf complete. This axiomatics implies the existence of a
convex cone of utility functions which characterizes the partial ordering.
Key w^^rí,^^s: Utility, partial order, coherence, assesment of utilities, stochastic dominance.
AMS, 1970, Subject classibcation: 90A I0.
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