8 desigualdad de tchebycheff ley de los grandes números

8
DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
1
Sea X una variable aleatoria de ley desconocida con σ2 = 0,001. Si ε = 0,1,
emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para acotar inferiormente la probabilidad
P[ X − E( X ) < ε ]
Según la desigualdad de TCHEBYCHEFF:
Var( X )
0 ,001
0 ,001
P[ X − E( X ) < ε ] ≥ 1 −
=1−
=1−
= 1 − 0 ,1 = 0 ,9
2
2
ε
0 ,1
0 ,01
2
Sea X una variable aleatoria de ley desconocida con σ2 = 0,004. Si ε > 0,
emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para determinar ε de forma que
P[ X − E( X ) < ε ] ≥ 0 ,9
P[ X − E( X ) < ε ] ≥ 1 −
Var( X )
ε
2
= 1−
Siendo ε > 0 , ha de ser ε ≥ 0 ,2
0 ,004
ε
2
≥ 0 ,9 ⇒
0 ,004
ε
2
≤ 0 ,1 ⇒ ε 2 ≥
0 ,004
= 0 ,04
0 ,1
3
Se lanza n veces una moneda “bien equilibrada”. Si el número de caras se
representa por X, ésta es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial
B(n; p = 1/2).
Determinar el menor valor de n para que la desigualdad de TCHEBYCHEFF
implique
P( 0 ,4 <
X
< 0 ,6 ) > 0 ,90
n
Si X sigue una binomial B(n; p), entonces E[X] = np y Var[X] = np(1−p), luego para la
variable Y = X/n se tiene que

1
X  1
 E [Y ] = E  n  = n E [X ] = n np = p
 

Var [Y ] = E  X  = 1 Var [X ] = 1 np( 1 − p ) = 1 p( 1 − p )
 n  n2

n2
n
 
Aplicando el teorema de Thebycheff
P[ X − E( X ) < ε ] ≥ 1 −
Var( X )
ε2
a la variable Y se obtiene
X

p ⋅( 1 − p )
P − p < ε  ≥ 1 −
n ⋅ε 2
 n

8−EPR−DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Y LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
131
La expresión propuesta en el ejercicio equivale a
X

P  − 0 ,50 < 0 ,10  > 0 ,90
 n

En nuestro caso, p = 0 ,50 y ε = 0 ,1 . Entonces:
X

0 ,5 ⋅ 0 ,5
P  − 0 ,50 < 0 ,10  ≥ 1 −
> 0 ,90 ⇒ n > 250 .
n ⋅ ( 0 ,1 ) 2
 n

4
En una cadena de producción el número X de artículos manufacturados
defectuosos en una determinada hora se sabe que sigue una distribución de
POISSON con media E(X) = 100. Emplear la desigualdad de TCHEBYCHEFF para
determinar una cota inferior para la probabilidad de que en una hora determinada el
número de artículos defectuosos producidos esté comprendido entre 90 y 110. Ídem.
entre 80 y 120.
En una distribución de POISSON de parámetro λ, se tiene que E[X] = Var[X] = λ. En
Var( X )
nuestro caso λ = 100. Entonces, de P[ X − E( X ) < ε ] ≥ 1 −
se sigue que
2
ε
100
P( 90 < X < 110 ) = P[ X − 100 < 10 ] ≥ 1 − 2 = 1 − 1 = 0
10
100
1
P( 80 < X < 120 ) = P[ X − 100 < 20] ≥ 1 − 2 = 1 − = 0 ,75
20
4
La primera cota es bastante inútil, ya que toda probabilidad es positiva.
Podemos calcular el valor de las probabilidades pedidas.
Al tratarse de una v. a. discreta,
P( 90 < X < 110 ) = P( 90 < X ≤ 109 ) = Pλ ( 109 ) − Pλ ( 90 )
P( 80 < X < 120 ) = P( 80 < X ≤ 119 ) = Pλ ( 119 ) − Pλ ( 80 )
donde Pλ ( k ) es la función de distribución acumulativa de la distribución de POISSON
de media λ.
(Es decir, la cota es mejorable si se cuenta con información adicional acerca de
la distribución de X).
132
ESTADÍSTICA
J. Sánchez-Mª. S. Sánchez
5
Supongamos que una variable aleatoria X sigue una distribución normal
tipificada N(0; 1). Representemos por P3 la probabilidad de que X difiera de su
esperanza matemática E(X) en más de tres veces la desviación típica. Emplear la
desigualdad de TCHEBYCHEFF para determinar una cota superior de P3.
A continuación, empleando la tabla de la normal, comprobar que hay una cota
superior de P3 que es aproximadamente igual a un cuarentavo de la obtenida por la
desigualdad de TCHEBYCHEFF.
En general, P[ X − µ ≥ ε ] ≤
1
σ2
; si ε = kσ , entonces P[ X − µ ≥ kσ ] ≤ 2 .
2
ε
k
En nuestro caso, P3 = P[ X ≥ 3σ ] ≤
1
= 0 ,1111....
9
Como se sabe que X sigue una normal estándar, entonces:
P3 = P[ X ≥ 3] = 2 ⋅ P( X ≥ 3 ) = 2·[1 − P( X ≤ 3 )] = 2·[1 − Φ( 3 )] = 2·[1 − 0 ,9987 ] = 0 ,0026998 ,
0 ,111111...
≅ 42 ,73
0 ,002698...
(Es decir, la cota es mejorable si se cuenta con información adicional acerca de
la distribución de X).
Luego P3 < 0 ,0027 , siendo
6
Supongamos que una variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el
intervalo [1-1/√3, 1+1/√3]. Representemos por P3/2 la probabilidad de que X difiera de
su esperanza matemática E(X) en más de vez y media la desviación típica. Emplear la
desigualdad de TCHEBYCHEFF para determinar una cota superior de P3/2.
A continuación, calcular dicha probabilidad tomando en cuenta la distribución
uniforme.
(De nuevo la cota mejora al contar con información adicional acerca de la distribución
de X).
Si X es una v.a. uniformemente distibuida en el intervalo [a, b], su función de densidad
es constantemente igual a k =
1
en el intervalo [a, b] y a 0 fuera de dicho
b−a
intervalo. En nuestro caso:
8−EPR−DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Y LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
133
Su esperanza matemática y su varianza son:
a+b
E [X ] =
2
En nuestro caso,
Var [X ] =
( a − b )2
12

1  
1 

 +  1 +
 1 −
3 
3

E [X ] =
=1
2
2

1  
1 
 −  1 +

 1 −
3 
3 


=
Var [X ] =
12
k=
2
 2 
−

4 1
3

=
=
12
36 9
⇒
σ=
1
3
1
1
3
=
=
b−a 
2
1  
1 

 −  1 −
 1 +
3 
3

Entonces, de P[ X − E( X ) ≥ ε ] ≤
Var( X )
ε2
se sigue que
3 
4
σ2

P2 / 3 = P  X − 1 ≥ σ  ≤
= = 0 ,4444...
2
2  3 
9

 σ
2 
La cota obtenida es muy próxima al valor real:
3 
3 1



P2 / 3 = P  X − 1 ≥ σ  = P  X − 1 ≥ ⋅  = P  X − 1 ≥
2 
2 3



1

= 1 − P X − 1 <

2

1
=
2 
1
3
1
 1
= 1 − P − < X − 1 <  = 1 − P < X <  =
2
2
2
 2
= 1 − Área rectángulo = 1 − ( base ) ⋅ ( altura ) = 1 − 1·
134
ESTADÍSTICA
3
3
=1−
≅ 0 ,4226
2
2
J. Sánchez-Mª. S. Sánchez
7
Supongamos que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial
B(n = 10000; p = 1/2). (X podría ser el número de caras que aparecen al lanzar una
moneda equilibrada 10000 veces). Representemos por P3 la probabilidad de que X
difiera de su esperanza matemática E(X) en más de tres veces la desviación típica (lo
que equivale al suceso X ∈ ]−∞, 4850] ∪ [5150; +∞[). Emplear la desigualdad de
TCHEBYCHEFF para determinar una cota superior de P3.
(En el bloque siguiente, Aproximaciones de la binomial, Ej. 7, se obtiene, mediante una
aproximación por la normal, que P3 ≈ 0,0026 < 0,0030. Este resultado se puede emplear para
determinar si una moneda está bien equilibrada o no: lanzamos la moneda 10000 veces y
contamos el número de caras. Podríamos afirmar que la moneda “no es correcta” si el número
de caras es inferior a 4850 o superior a 5150)
1
2
Aquí, µ = n· p = 10000· = 5000 y σ =
11
np( 1 − p ) = 10000· · = 2500 = 50
22
En general,
Pk = P[ X − µ ≥ kσ ] ≤
En nuestro caso, P3 ≤
1
σ2
= 2
2
(kσ ) k
1
.
9
Desarrollando un poco más:
Pk = P[X − µ ≤ − kσ ] + P[X − µ ≥ + kσ ] ≤
1
k2
Pk = P[X ≤ µ − kσ ] + P[X ≥ µ + kσ ] = P[ X ≤ µ − kσ ] + [1 − P[ X < µ + kσ ]] ≤
Para k = 3 ,
kσ = 3·50 = 150 , µ − kσ = 5000 − 150 = 4850
1
.
k2
µ + kσ = 5000 + 150 = 5150
P3 = P[ X − 5000 ≥ 3·50 ] = 1 + P[X ≤ 4850 ] − P[X < 5150 ] ≤
1
= 0 ,1111...
9
8−EPR−DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Y LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
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