Material correspondiente al tema 2.

Universidad de Sonora
Departamento de Física
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2013
Temario
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Propiedades ondulatorias de las partículas.
Estructura atómica.
Mecánica cuántica.
Teoría cuántica del átomo de Hidrógeno.
Átomos de muchos electrones.
Moléculas.
Mecánica estadística.
Estado sólido.
Temario
2.
Estructura atómica.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
El modelo de Rutherford.
Orbitas electrónicas.
Espectro atómico.
El átomo de Bohr.
Niveles de energía.
El experimento de Franck-Hertz.
El principio de correspondencia.
1. El modelo de Rutherford
Joseph John Thomson
(1856-1940)
A finales del siglo XIX, la mayoría de los
científicos compartía la idea de que los
elementos químicos consistían de átomos, pero
lo que si no quedaba claro era cómo estaban
formados, ya para entonces se empezaba a
hablar
de
partículas
eléctricas
como
fundamentos de la materia.
En 1894, George Stoney propuso al electrón
como unidad atómica de carga eléctrica.
En un artículo de 1897, el físico inglés J. J.
Thomson propuso que los constituyentes de los
rayos catódicos eran partículas materiales
cargadas.
Entre ese año y 1903 desarrolló su modelo
atómico en el que los átomos consistían de
materia uniformemente cargada positivamente y
con electrones negativos incrustados en ella, el
llamado “modelo del budín de pasas”.
1. El modelo de Rutherford
Los estudios realizados por Thomson sobre los llamados rayos catódicos
terminó con un debate sobre su naturaleza: corpuscular u ondulatoria. Su
afirmación de que eran partículas subatómicas a las que llamó “corpusculos”
chocó con las ideas que se tenían con relación a un átomo indivisible y fue
duramente criticado por muchos de sus contemporáneos.
El descubrimiento del electrón constituyó un parteaguas en la física del
átomo y provocó desarrollos sorprendentes: el modelo de Rutherford y la
primera teoría satisfactoria de la emisión de luz por sistemas atómicos, el
modelo de Bohr.
Aunque el modelo de Thomson tuvo buen éxito en la explicación de la
dispersión alfa, y la relación lineal de la energía de los fotoelectrones y la
frecuencia de la radiación incidente, para 1913 había terminado su vigencia.
El tubo original
utilizado por J.J.
Thomson para medir
la relación cargamasa del electrón.
1. El modelo de Rutherford
En 1911, Ernest Rutherford presentó un
modelo que con el tiempo se convertiría en
referencia obligada en la historia del
desarrollo de la estructura atómica. Sin
embargo, en su época no fue recibido con
entusiasmo, entre otras razones, porque era
más un modelo para explicar la dispersión de
partículas alfa que uno atómico.
La clave para comprender los espectros de
líneas y el modelo correcto del átomo fueron
proporcionados, ambos, por Ernest Rutherford
y sus estudiantes Hans Geiger (1882-1945) y
Ernest Marsden (1889-1970) mediante una
serie de experimentos realizados entre 1909 y
1914. En estos experimentos se analizaba la
trayectoria de partículas alfa al ser lanzadas
contra una lámina delgada de oro, observando
que algunas se desviaban más de 90 grados.
Ernest Rutherford
(1871-1937)
1. El modelo de Rutherford
Rutherford lanzó entonces la hipótesis de que en el centro del átomo
debía haber un "núcleo" que contuviera casi toda la masa y toda la carga
positiva del átomo, y que de hecho los electrones debían determinar el
tamaño del átomo.
Este modelo planetario había sido sugerido en 1904 por un japonés,
Hantarō Nagaoka, aunque había pasado desapercibido ya que se le objetaba
que en ese caso los electrones tendrían que irradiar girando alrededor del
núcleo central y, en consecuencia, caer.
Los resultados de Rutherford demostraron que ese era sin dudar un
modelo adecuado para el átomo, puesto que permitía prever con exactitud la
tasa de difusión de las partículas alfa en función del ángulo de difusión y de
un orden de magnitud para las dimensiones del núcleo atómico.
Las últimas objeciones teóricas (sobre la irradiación del electrón) se
desvanecieron con los principios de la teoría cuántica, y la adaptación que
hizo Niels Bohr del modelo de Rutherford a la teoría de Max Planck, lo que
sirvió para demostrar la estabilidad del átomo de Rutherford.
1. El modelo de Rutherford
La dispersión de una
partícula a por un
átomo de Thomson
Hans Geiger y Ernest Rutherford en
su Laboratorio en Manchester
Diagrama
esquemático del
Experimento de
Rutherford
1. El modelo de Rutherford
La pregunta es: ¿porqué debería uno obtener una dispersión a ángulos
grandes, tal como aparece en la dispersión de Rutherford?
El problema con el átomo de Thomson es que es “demasiado suave” ya
que la máxima fuerza experimentada es débil para producir una deflexión
grande, debido a la forma en que está distribuida la carga.
Rutherford concluyó que la dispersión a grandes ángulos obtenida
experimentalmente solamente podía ser resultado de una colisión de la
partícula con una carga masiva confinada en un espacio mucho menor que el
átomo entero.
Considerando que al “núcleo” como una partícula puntual, calculó la
distribución angular para las partículas dispersadas.
Su predicción de la dependencia de la probabilidad de dispersión como
función del ángulo, carga nuclear y energía cinética fue verificada
completamente en la serie de experimentos realizados por Geiger y
Marsden.
1. El modelo de Rutherford
Sin entrar en una derivación rigurosa de la dispersión de Rutherford,
vamos a hacer una descripción con algo de detalle de la misma.
En el esquema mostrado
se considera que el núcleo
es una carga puntual Q
ubicada en el origen O.
A una distancia r, la
partícula a (con una carga
qa) experimenta una fuerza
repulsiva
qa Q
ke 2
r
La partícula a, con una rapidez v, viaja a lo largo de una trayectoria
hiperbólica que inicialmente es paralela a la línea COA a una distancia b y
después continúa paralela a la línea OB, que hace un ángulo q con OA.
El ángulo de dispersión q se puede relacionar con el parámetro de
impacto b mediante consideraciones de mecánica clásica.
1. El modelo de Rutherford
Considerando que el núcleo permanece esencialmente en reposo, la
partícula sale con la misma rapidez v con que incidió.
Haciendo uso de ideas y
conceptos de mecánica
clásica, se encuentra una
relación entre el parámetro
de impacto b y el ángulo de
dispersión q, a saber
ke qa Q
q
b
cot
2
ma v
2
De hecho, no es posible escoger o conocer el parámetro de impacto para
una partícula a en particular, pero uno encuentra de la expresión anterior
que todas las partículas con un parámetro de impacto menor o igual que un
valor particular de b, serán dispersadas a un ángulo mayor o igual al ángulo q
dado por la relación mencionada, ya que aumentando q disminuye b.
1. El modelo de Rutherford
Lo anterior sugiere considerar partículas dentro de un área con radio
dado por el parámetro de impacto b, tal como se muestra
Para el área pb12
tenemos una dispersión
a ángulos mayores que
q1, mientras que para el
area pb22 (mayor que la
anterior) el ángulo de
dispersión q2 es menor
que q1.
El área anterior se conoce como sección eficaz s, la cual está dada por
s  p b2
La sección eficaz tiene unidades de superficie, sin embargo, en física de altas
energías, es usual el medirla en barn (b) que equivale a 10-28m2, y que
corresponde aproximadamente al área de la sección eficaz del núcleo de un
átomo de uranio.
1. El modelo de Rutherford
Si ahora consideramos una lámina delgada de espesor t que contiene n
átomos por unidad de volumen.
El número de núcleos por unidad de área es nt, por lo que un haz de
partículas a que incide sobre un área A se encuentra con ntA núcleos.
Con lo anterior, la sección eficaz total para las partículas a dispersadas a
un ángulo mayor que q, está dado por el producto de la sección eficaz s por
el número de núcleos que encontrará en la lámina, ntA, a saber
ntAs
Así que, la fracción f de partículas a incidentes que son dispersadas a
ángulos mayores que q, es la razón del número de partículas dispersadas a
un ángulo mayor que q y el número total de partículas, es decir
ntAs
f 
 nts
A
y considerando la expresión para s tenemos que
f  ntp b 2
1. El modelo de Rutherford
Recordando que el parámetro de impacto b está dado por
ke qa Q
q
b
cot
2
ma v
2
podemos escribir
 ke qa Q
q
f  ntp 
cot 
2
2
 ma v
2
Y si consideramos la expresión para ke, tenemos que la fracción f de
partículas a incidentes que son dispersadas a ángulos mayores que q resulta
ser
2
 qa Q 
2q
f  ntp 
cot
2 
4
p
m
v
2
0 a


1. El modelo de Rutherford
La expresión anterior es válida para un ángulo arbitrario q; sin embargo,
en un experimento real, un detector mide partículas a dispersadas entre q y
q + dq, como se muestra.
De manera que la fracción de partículas
a dispersadas, en ese rango, se obtiene
diferenciando f, a saber df, el cual está dado
por
2
 qa Q 
q
2q
df  ntp 
cot csc dq
2 
2
2
 4p 0 ma v 
El signo menos significa que conforme
aumenta q, decrece f.
Si un total de Ni partículas a inciden sobre la lámina durante el
experimento, el número de partículas dispersadas en dq es Nidf, con lo que el
número de partículas detectadas (y por lo tanto, medidas) por unidad de área
N(q), debe ser
N df
N (q ) 
i
dS
1. El modelo de Rutherford
Por lo tanto, usando las expresiones para df y dS, tenemos
2
 qa Q 
q
2q
N i ntp 
cot
csc
dq
2 
4
p
m
v
2
2
0 a


N (q ) 
q
q
4p r 2 sin cos dq
2
2
Que, al ser simplificada, resulta ser la
ecuación para la dispersión de Rutherford
 qa Q 
N (q ) 

2 
2
4 q  8p 0 ma v 
r sin
2
N i nt
2
o en términos de la energía cinética K, el número atómico Z y la carga del
electrón e,
2
 Ze 2 
N (q ) 


2
4 q  8p 0 K 
r sin
2
N i nt
1. El modelo de Rutherford
Las predicciones de la ecuación anterior fueron corroboradas por los
experimentos, lo cual fortaleció la idea de Rutherford en su modelo de
átomo.
En la derivación de la ecuación, Rutherford asumió que el tamaño del
núcleo blanco era pequeño comparado con la distancia de máximo
acercamiento R al cual las partículas a empiezan a ser desviadas, lo anterior
permite encontrar un límite en el tamaño del núcleo.
Si uno considera una colisión con parámetro de impacto b = 0, puede
asumirse que la energía cinética con la que viaja inicialmente Ki, en el punto
de máximo acercamiento, se convierte en la energía potencial eléctrica en
dicho punto, por lo que
2
Ki 
1
2 Ze
4p 0 R
de donde, el máximo acercamiento está dado por
2 Ze 2
R
4p 0 K i
2. Orbitas electrónicas
Siguiendo el modelo de Rutherford, podemos hacer un símil con el
modelo planetario.
Para ello, considerando el movimiento del electrón alrededor del núcleo
producido por la interacción eléctrica se puede asumir una órbita
electrónica circular, tal como se muestra en la figura.
En este caso, la fuerza centrípeta
mv 2
Fcp 
r
corresponde a la fuerza eléctrica
1 e2
Fe 
4p 0 r 2
lo que lleva a escribir
mv 2
1 e2

r
4p 0 r 2
2. Orbitas electrónicas
De la expresión anterior encontramos que la rapidez v del electrón, como
función del radio r de la órbita, es
v
e
4p 0 mr
La energía total E del electrón en un
átomo de Hidrógeno es la suma de las
energías cinética y potencial, es decir
1 e2 
1 2 
E   mv    

2
  4p 0 r 
que, usando la expresión anterior para la
rapidez, se puede escribir como
1 e2
E
8p 0 r
Energía total
del átomo de
Hidrógeno
2. Orbitas electrónicas. Un ejemplo.
(a) Encuentre una expresión para la frecuencia de revolución del electrón en
el modelo clásico del átomo de Hidrógeno. (b) Considerando que la energía
del electrón en el estado base es -13.6eV, ¿cuál es la frecuencia que se
obtiene? ¿A qué tipo de radiación electromagnética corresponde?
2. Orbitas electrónicas
El análisis realizado hasta aquí es una aplicación directa de las Leyes de
Newton para el movimiento y de la Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica,
ambas pilares fundamentales de la Física Clásica, y es acorde con la
evidencia experimental de la estabilidad de los átomos.
Sin embargo, NO es acorde con la teoría electromagnética, otro pilar de la
Física Clásica, que predice que una carga acelerada radia energía en forma
de ondas electromagnéticas.
Lo anterior implica que
el electrón, al perder
energía, describiría una
trayectoria en forma de
espiral, que lo llevaría a
colapsar con el núcleo.
En 1900, la Física había
alc
alcanzado
un punto crucial en su desarrollo con la hipótesis de Planck sobre
el comportamiento cuántico de la radiación, por lo que considerar esto en el
estudio del átomo debía ser posible.
2. Orbitas electrónicas
La Física Clásica no proporciona un análisis significativo de la estructura
atómica, ya que se acerca a la naturaleza en términos de partículas "puras" y
ondas "puras".
En realidad las partículas y ondas tienen muchas propiedades en común;
aunque debido a lo pequeño de la constante de Planck la dualidad ondapartícula resulta imperceptible en el mundo macro.
La utilidad de la física clásica disminuye a medida que la escala de los
fenómenos bajo estudio disminuye, lo que implica que, para entender el
átomo, hay que tener en cuenta el comportamiento corpuscular de las ondas
y el comportamiento ondulatorio de las partículas.
Los problemas mencionados anteriormente, incluyendo la imposibilidad
de explicar los espectros de emisión, que presenta el modelo de Rutherford
fueron resueltos por Bohr, mediante la inclusión de las ideas de cuantización
planteadas por Planck y que le valieron el reconocimiento del propio
Rutherford.
3. Espectro atómico
Antes de analizar, en forma detallada, la propuesta de Bohr para el
modelo del átomo, revisemos el trabajo experimental sobre las líneas
espectrales que sirvieron para impulsar y confirmar la primera teoría
cuántica del átomo.
Para finales del
siglo XIX, se sabía
que los elementos
químicos emitían luz
con longitudes de
onda bien definidas al
quemarse o cuando
estos eran excitados
mediante descargas
eléctricas.
3. Espectro atómico
3. Espectro atómico
3. Espectro atómico. Serie de Balmer.
En 1885, J. J. Balmer encontró una fórmula empírica para las longitudes de
onda (en nm) del espectro visible del hidrógeno.
 k2 
  364.56  2
 nm
k 4
con k = 3, 4, 5, ...
Serie de Balmer
Johann Jakob Balmer
(1825-1898)
3. Espectro atómico. Fórmula de Rydberg
En la década de 1880, el físico sueco Johannes Rydberg trabajó en una
fórmula que describe la relación entre las longitudes de onda de las líneas
espectrales de los metales alcalinos.
Rydberg se dio cuenta de que las líneas
se presentan en series y encontró que
podía simplificar sus cálculos si utilizaba el
número de onda (igual a 1/) como su
unidad de medición.
Graficó los números de onda de líneas
sucesivas de cada serie contra los enteros
consecutivos que representan el orden de
las líneas de esa serie en particular.
Encontrando que las curvas resultantes
tienen una forma similar, buscó una función
que las pudiera generar a todas ellas, con
las constantes apropiadas.
Johannes Rydberg
(1854-1919)
3. Espectro atómico. Fórmula de Rydberg
El resultado obtenido fue presentado en 1888 y se resume en la llamada
Fórmula de Rydberg para las líneas espectrales, que podemos escribir como
 1 1 
 RH  2  2 

n k 
1
donde RH = 1.096776x107 m-1 es la constante de Rydberg para el Hidrógeno.
Vale la pena mencionar que cada elemento químico tiene su propia
constante de Rydberg.
Con los valores apropiados para n y k se recuperan, no sólo la Serie de
Balmer, sino otras Series que aparecen fuera del visible y que fueron
descubiertas posteriormente, dichas series se incluyen en la tabla siguiente.
4. El átomo de Bohr
En abril de 1913, el físico danés Niels Bohr publicó el artículo “On the
constitution of atoms and molecules” (Phil.Mag, 26(1), 1913) que cambió al
mundo de la física.
Bohr no sólo proporcionó la primera teoría
exitosa de los espectros atómicos, sino que en el
proceso, rompió con algunas de las ideas que
habían sido desarrolladas por Maxwell, la más
importante de ellas relacionada con la pérdida
de energía por radiación que experimenta una
partícula cargada acelerada, como lo era el
electrón en el modelo de Rutherford.
Bohr estableció, como una primera idea, que
la teoría del electromagnetismo de Maxwell NO
era válida para sistemas de dimensiones
atómicas. Lo siguiente fue aplicar las ideas de
Planck sobre cuantización al movimiento de los
electrones, así como las ideas de Einstein sobre
el fotón.
Niels Henrik David Bohr
(1885 – 1962)
4. El átomo de Bohr
Las ideas básicas de Bohr, si se aplican a un átomo de Hidrógeno, son las
siguientes:
n=1
n=2
• El electrón se mueve en órbitas circulares,
alrededor del núcleo, debido a la fuerza de
atracción Coulombiana.
• Sólo ciertas órbitas son estables, debido a que
en estas los electrones no radían.
• El átomo emite radiación cuando el electrón
pasa de un estado estacionario inicial más
energético a un estado estacionario más bajo
energéticamente. Este salto NO puede
analizarse desde el punto de vista clásico.
n=3
La frecuencia f del fotón emitido en el salto es independiente de la
frecuencia del movimiento orbital del electrón y viene dada por
f 
E f  Ei
h
4. El átomo de Bohr
Las ideas básicas de Bohr, si se aplican a un átomo de Hidrógeno, son las
siguientes:
n=1
n=2
• El tamaño de las órbitas permitidas es
determinado por una condición cuántica
adicional impuesta sobre la cantidad de
momento angular orbital del electrón.
Las órbitas permitidas son aquellas para las cuales
el momento angular orbital del electrón alrededor
del núcleo es un múltiplo entero de h/2p.
me vr  n
n=3
Estos postulados son la base de la teoría atómica propuesta por Bohr y
que le permitieron resolver varios de los problemas presentados por el
modelo de Rutherford, pero sobretodo mostrar la forma de incorporar las
ideas de Planck a la teoría del átomo.
4. El átomo de Bohr
Considerando que el momento angular orbital de un electrón en el nésimo nivel energético sea
L  me vr  n
con n  1, 2,3, 4,...
nos lleva a restringir los valores posibles para los radios de las órbitas
estacionarias, ya que esta condición nos lleva a que la rapidez es
v
y recordando que
v
podemos escribir
n
me r
e
4p 0 mr
e
4p 0 mr

n
me r
4. El átomo de Bohr
De esta última relación podemos despejar el valor del radio de la órbita
permitida, encontrando que este es
4p 0 n 2
rn 
me e 2
2
Esta expresión para los radios de las órbitas
estacionarias del átomo de Bohr se puede
rescribir como
rn  n 2 a0
donde hemos usado el denominado radio
de Bohr a0 definido como
2
4p 0 2
11
a0 


5.291772

10
m
2
2
me e
me ke e
El radio de Bohr corresponde al radio del átomo de hidrógeno en su estado
base o de mínima energía, cuando n = 1.
4. El átomo de Bohr
Considerando que el radio de la n-ésima órbita permitida está dado por
rn  n 2 a0
podemos escribir la energía del sistema,
dada por
2
En  
como
1 e
8p 0 rn
1 e2 1
En  
8p 0 a0 n 2
Si usamos los valores numéricos para las
diferentes cantidades involucradas, tenemos
que
E
En 
con
n
1
2
1 e2
E1  
 13.6eV
8p 0 a0
5. Niveles de energía
.
6. El experimento de Franck-Hertz
Una vez establecida la existencia de niveles cuantizados de energía en
los átomos a partir de las observaciones de los espectros de líneas emitidos
por los diferentes elementos, hacía falta una confirmación más directa de
este comportamiento.
Esta confirmación llegó en 1914 con el experimento realizado por los
físicos alemanes J. Franck y G. Hertz, y en el cual emplearon átomos de
mercurio.
James Franck
(1882 – 1964)
Gustav Ludwig Hertz
(1887 – 1975)
6. El experimento de Franck-Hertz
El experimento de Franck-Hertz proporcionó una demostración
experimental clara de la existencia de niveles de energía cuantizados y
demostró que los niveles deducidos a partir del bombardeo con electrones
coincidían con los deducidos a partir de las líneas espectrales.
Franck y Hertz demostraron que los átomos sólo podían absorber (y
ser excitados por) cantidades específicas de energía, lo que les hizo
acreedores al Premio Nobel en 1925.
James Franck
(1882 – 1964)
Gustav Ludwig Hertz
(1887 – 1975)
6. El experimento de Franck-Hertz
En la figura se muestra un esquema del dispositivo empleado por FranckHertz en su experimento.
Los electrones emitidos por el filamento son acelerados en una región
relativamente larga (~ 1cm) mediante el potencial V entre el filamento y la
rejilla.
Estos electrones pueden llegar al colector y ser registrador por el
electrómetro si poseen la suficiente energía para superar el potencial
rretardador (~1.5V) existente
entre la rejilla y el colector, que
se encuentran separados una
distancia corta (~1mm).
Con electrones de baja
energía ocurren colisiones
perfectamente
elásticas,
y
como la masa de los átomos de
mercurio es muy grande, los
electrones llegan al colector
con una energía cercana a eV.
6. El experimento de Franck-Hertz
Incluso después de muchas colisiones, el electrón llega a la rejilla con
una energía cinética cercana al producto eV, y llegará al colector si el voltaje
de aceleración V es mayor que 1.5V; cuando V se incrementa ligeramente,
llegan más electrones al colector y la corriente medida en el electrómetro, I,
aumenta.
Conforme aumenta el voltaje V, la energía de los electrones aumenta
hasta un valor crítico en el que ocurren colisiones inelásticas en las cuales
electrones
pueden
los
transferir casi toda su energía
cinética al átomo, llevándolo al
primer estado excitado.
Los electrones que chocan
pierden energía y no pueden
alcanzar el colector, por lo que
la corriente tiene una caída
importante, la cual puede
relacionarse con el voltaje V.
6. El experimento de Franck-Hertz
En la figura se muestra una gráfica típica del Experimento de FranckHertz, en la que el voltaje del filamento se estableció en 6V y el tubo se
calentó a 185°C.
Si se miden con cuidado las
separaciones de máximos y
mínimos adyacentes se encuentra
que esta es de 4.9V±0.1V.
Con este valor se puede
calcular la longitud de onda
asociada
hc

 253.2294nm
E
Midiendo
cuidadosamente
encontraron que, en cuanto se
alcanzaba la diferencia de 4.9V, se
tenía una emisión con una longitud
de onda de 254nm (ultravioleta).
7. El principio de correspondencia.
El principio de correspondencia establece que “las predicciones de la
teoría cuántica deben corresponder a las predicciones de la física clásica en
la región de tamaños donde se sabe que la teoría clásica es válida”
Típicamente, se refiere a tamaños del orden de cm, gr y seg, lo que
corresponde a números cuánticos muy grandes.
Por ejemplo, para un átomo de Hidrógeno con un radio de 1cm se
tendría, a partir de
2
rn  n a0
usando los valores numéricos correspondientes
n  13750
De manera simbólica el principio de correspondencia se escribe como
 física   física 
lim 


n cuántica 
clásica

 

Universidad de Sonora
Departamento de Física
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2013