Estructuras de acero: Problemas Pilares

Estructuras de acero: Problemas
Pilares
Dimensionar un pilar de 4 m de altura mediante un perfil HEB, sabiendo que
ha de soportar una carga axial de compresión F de 400 kN y una carga horizontal P
de 20 kN, y que estos valores ya están mayorados.
Las vinculaciones del pilar pueden observarse en la figura.
El acero será S275.
F
P
y
z
z
y
Las acciones que actúan sobre la cabeza del soporte provocan que trabaje a
flexocompresión en el plano x-z, con un My.
Las solicitaciones para las que hay que dimensionar el soporte son las que se
prooducen en la sección del empotramiento, cuyo valor es igual a:
NEd = 400 kN
VEd = 20 kN
MEd,y = 20 ⋅ 4 = 80 kN ⋅ m
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
1
Predimensionamiento
La barra es empotrada libre en el plano del pórtico y empotrada-articulada en
el plano longitudinal.
La limitación de la esbeltez reducida es de 2,0 ( λ k < 2,00 ).
Las longitudes equivalentes de pandeo son:
L k,y = β ⋅ L = 2 ⋅ 400 = 800 cm
L k,z = β ⋅ L = 0,7 ⋅ 400 = 280 cm
Las restricciones de los radios de giro son:
iy >
iz >
L k,y
2⋅π
⋅
fy
E
=
8000
275
⋅
= 46,1 mm
2⋅π
210000
f y 2800
L k,z
275
⋅
=
⋅
= 16,1 mm
2⋅π E
2⋅π
210000
El perfil HEB 120 es el primero que cumple estas condiciones.
Por otro lado, teniendo en cuenta que todos los perfiles de la serie HEB en
acero S275 pertenecen a las clases 1 ó 2, dependiendo de si la solicitación es
flexión o compresión, hasta el HEB 7001, se puede emplear también como criterio de
predimensionamiento la restricción de flexión simple para este tipo de perfiles, aún
sabiendo que nos hallamos en flexión compuesta. Así,
MEd ≤ Wpl ⋅ f yd
MEd ≤ Wpl,y ⋅ f yd → Wpl,y ≥
Numéricamente: Wpl,y ≥
MEd
f yd
80 ⋅ 10 6
= 305455 mm 3
275
1,05
En el Anejo 1 se puede comprobar que el perfil HEB 160 es el primero que
cumple con esta restricción.
1
Tabla 8.2 en el documento «Estructuras de acero. Bases de cálculo».
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
2
Por tanto, teniendo en cuenta que la solicitación es flexocompresión, con
existencia de esfuerzo cortante, se elige un perfil superior. Así, se tantea con un
HEB 200.
Comprobaciones
•
Comprobación de resistencia (de la sección)
•
Comprobación de la barra a flexión y compresión, que incluye:
-
Comprobación a pandeo en el plano de flexión
-
Comprobación a pandeo transversal
Comprobación de resistencia
La sección del empotramiento está sometida a flexión y cortante2. Lo primero
que se ha de comprobar es si puede despreciarse la reducción del momento plástico
resistido por la sección debido al esfuerzo cortante.
Interacción momento-cortante
Si se cumple la condición VEd ≤ 0,5 ⋅ Vpl,Rd se puede despreciar el cortante.
Vpl,Rd = A V ⋅
f yd
3
En perfiles H cargados paralelamente al alma, la sección sometida a cortante
viene dada por la expresión:
A V = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r ) ⋅ t f
A V = 7810 − 2 ⋅ 200 ⋅ 15 + (9 + 2 ⋅ 18) ⋅ 15 = 2485 mm 2
Vpl,Rd
275
= AV ⋅
= 2485 ⋅ 1,05 = 375759 N
3
3
fyd
Como VEd = 20 kN , se cumple que VEd = 20 ≤ 0,5 ⋅ Vpl,Rd = 187,88 kN
Por tanto, no se va a tener en cuenta la interacción entre momento y cortante.
2
Apartado 4.6 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
3
Comprobación a flexión compuesta sin cortante3
El efecto del axil puede despreciarse en perfiles en doble te si no llega a la
mitad de la resistencia a tracción del alma.
El área del alma es:
A w = (h − 2 ⋅ t f − 2 ⋅ r ) ⋅ t w = (200 − 2 ⋅ 15 − 2 ⋅ 18 ) ⋅ 9 = 1206 mm 2
La resistencia a tracción del alma, en secciones de Clase 1 y 2, viene dada
por:
Npl,w = A w ⋅ f yd = 1206 ⋅
275
= 315857 N
1,05
Por tanto, no se puede despreciar el efecto del axil.
Para las secciones de Clase 1 y 2 la comprobación es:
My,Ed
M
NEd
+
+ z,Ed ≤ 1
Npl,Rd Mpl,Rdy Mpl,Rdz
Como el momento Mz,Ed es nulo, la expresión anterior se simplifica, quedando:
My,Ed
NEd
+
≤1
Npl,Rd Mpl,Rdy
Npl,Rd = A ⋅ f yd = 7810 ⋅
275
= 2045476 N
1,05
Mpl,Rdy = Wpl,y ⋅ f yd = 642 ⋅ 10 3 ⋅
Por tanto,
275
= 1,68143 ⋅ 10 8 N ⋅ mm
1,05
400 ⋅ 10 3
80 ⋅ 10 6
+
= 0,671 < 1
2045476 1,68143 ⋅ 10 8
Comprobación a flexión y compresión4
La comprobación se llevará a cabo con las fórmulas siguientes:
•
3
4
En todas las piezas:
Apartado 4.7 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Apartado 5.5 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
4
c m,y ⋅ My,Ed + eN,y ⋅ NEd
c ⋅ Mz,Ed + eN,z ⋅ NEd
NEd
+
⋅
k
+ α z ⋅ k z ⋅ m,z
≤1
y
*
χ LT ⋅ Wy⋅ ⋅ f yd
Wz ⋅ f yd
χ y ⋅ A ⋅ f yd
Además
-
En piezas susceptibles de pandeo por torsión:
My,Ed + eN,y ⋅ NEd
c ⋅ Mz,Ed + eN,z ⋅ NEd
NEd
+
⋅
k
+ k z ⋅ m,z
≤1
yLT
*
χ LT ⋅ Wy⋅ ⋅ f yd
Wz ⋅ f yd
χ z ⋅ A ⋅ f yd
Como el momento Mz,Ed es nulo, las expresiones anteriores se simplifican,
quedando:
c m,y ⋅ My,Ed + eN,y ⋅ NEd
NEd
+ ky ⋅
≤1
*
χ LT ⋅ Wy⋅ ⋅ f yd
χ y ⋅ A ⋅ f yd
M + eN, y ⋅ NEd
NEd
+ k yLT ⋅ y,Ed
≤1
*
χ z ⋅ A ⋅ fyd
χLT ⋅ Wy ⋅ ⋅ fyd
Al ser un perfil de Clase 1, A*=A, Wy=Wpl,y, αy=0,6, eN,y=0 (tabla 6.12).
Comprobación a pandeo5
Como ya se ha indicado, las longitudes equivalentes de pandeo son:
L k,y = β ⋅ L = 2 ⋅ 400 = 800 cm
L k,z = β ⋅ L = 0,7 ⋅ 400 = 280 cm
Se van a calcular los coeficientes de reducción por pandeo de cada eje.
HEB 200 (A=78,1 cm2, Ιy=5696 cm4, Ιz=2003 cm4, ΙT=59,28 cm4) (Anejo 1)
Alrededor del eje y-y
Ncr =
5
π2 ⋅ E ⋅ Ι y
L2K,y
=
π 2 ⋅ 210000 ⋅ 5696 ⋅ 10 4
= 1844629 N
8000 2
Apartado 5.2.1 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
5
λy =
A ⋅ fy
7810 ⋅ 275
= 1,08
1844629
=
Ncr
Se determina la curva de pandeo que le correponde al perfil HEB 200
alrededor del eje y-y.
h 200
=
= 1, t = 15 mm < 100 mm
b 200
Al perfil HEB 200 le corresponde una curva de pandeo b (tabla 6.2).
(
) ( )
2
φ = 0,5 ⋅ ⎡1 + α ⋅ λ k − 0,2 + λ k ⎤
⎢⎣
⎥⎦
α=0,34 (tabla 6.3). Por tanto
[
]
φ = 0,5 ⋅ 1 + 0,34 ⋅ (1,08 − 0,2) + 1,08 2 = 1,23
χy =
1
( )
φ + φ − λy
2
2
=
1
1,23 + 1,23 2 − 1,08 2
= 0,55 < 1
Alrededor del eje z-z
Ncr =
λz =
π 2 ⋅ E ⋅ Ι z π 2 ⋅ 210000 ⋅ 2003 ⋅ 10 4
=
= 5295219 N
L2K,z
2800 2
A ⋅ fy
Ncr
=
7810 ⋅ 275
= 0,64
5295219
Al perfil HEB 200 le corresponde una curva de pandeo c alrededor del eje z-z
(tabla 6.2).
α=0,49 (tabla 6.3). Por tanto
[
]
φ = 0,5 ⋅ 1 + 0,49 ⋅ (0,64 − 0,2) + 0,64 2 = 0,81
χz =
1
( )
φ + φ2 − λ z
2
=
1
0,81 + 0,812 − 0,64 2
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
= 0,77 < 1
6
Determinación del coeficiente ky (tabla 6.13)
(
)
k y = 1 + λ y − 0,2 ⋅
NC,Rd = A * ⋅
NEd
, donde λ y >/ 1
χ y ⋅ NC,Rd
fy
γ M1
Por ser una sección de clase 1, A*=A.
Así, k y = 1 + (1,00 − 0,2) ⋅
400 ⋅ 10 3
= 1,28
275
0,55 ⋅ 7810 ⋅
1,05
Determinación del coeficiente cm,y (tabla 6.14)
El diagrama de momentos flectores es triangular, por lo que Ψ=0, y
c m,y = 0,6 + 0,4 ⋅ ψ ≥ 0,4 → c m,y = 0,6
Comprobación a pandeo lateral6
χ LT =
1
2
≤1
2
φLT + φLT
− λ LT
(
) ( )
2
φLT = 0,5 ⋅ ⎡1 + α LT ⋅ λ LT − 0,2 + λ LT ⎤
⎢⎣
⎥⎦
Para el perfil HEB 200, como h/b=1, corresponde una curva de pandeo a y un
valor del coeficiente de imperfección αLT=0,21.
λ LT =
Wy ⋅ f y
Mcr
.
El momento crítico elástico de pandeo lateral Mcr se calcula mediante:
2
2
Mcr = MLTv
+ MLTw
MLTv = C1 ⋅
6
π
⋅ G ⋅ ΙT ⋅ E ⋅ ΙZ
LC
Apartado 5.3.1 del documento «Estructuras de acero. Cálculo plástico de secciones».
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
7
C1, para un soporte empotrado-libre, con una distribución de momentos
flectores triangular, se puede adoptar 1,88.
Al no disponerse de mayor información, se adopta como longitud de pandeo
lateral (distancia entre apoyos laterales que impidan el pandeo lateral) la altura del
pilar, por lo que se supone que no existen restricciones en puntos intermedios. Por
tanto,
MLTv = 1,88 ⋅
π
⋅ 81000 ⋅ 63,4 ⋅ 10 4 ⋅ 210000 ⋅ 2003 ⋅ 10 4 = 686254161 N⋅ mm
4000
MLTw = Wel,y
π2 ⋅ E
⋅ 2 ⋅ C1 ⋅ i2f ,z
LC
En un HEB 200, if,z=53,4 mm
π2 ⋅ 210000
⋅ 1,88 ⋅ 53,42 = 395835077 N·mm
4000 2
MLTw = 570·103 ⋅
2
2
Mcr = MLTv
+ MLTw
= 6862541612 + 395835077 2 = 792231142N·mm
λLT =
Wy ⋅ f y
Mcr
=
642·103 ⋅ 275
= 0,47
792231142
[
]
φLT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21⋅ (0,47 − 0,2) + 0,47 2 = 0,64
χLT =
1
0,64 + 0,64 2 − 0,47 2
= 0,93
Determinación del coeficiente cm,LT (tabla 6.14)
El diagrama de momentos flectores es triangular, por lo que Ψ=0, y
c m,LT = 0,6 + 0,4 ⋅ ψ ≥ 0,4 → c m,LT = 0,6
Determinación del coeficiente ky,LT (tabla 6.13)
⎫
⎧
0,1·λ z
NEd
; 0,6 + λ z ⎬
k y,LT = min⎨1 −
⋅
⎭
⎩ c m,LT − 0,25 χ z ⋅ NC,Rd
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
8
Así, k y,LT
⎧
⎫
⎪⎪
⎪⎪
0,1⋅ 0,64
400·103
⋅
= min⎨1 −
; 0,6 + 0,64⎬
⎪ 0,6 − 0,25 0,77 ⋅ 7810 ⋅ 275
⎪
⎪⎩
⎪⎭
1,05
k y,LT = min{0,95; 1,24} = 0,95
Comprobaciones:
De este modo, las dos condiciones a comprobar se escriben:
0,6 ⋅ 80 ⋅ 10 6 + 0 ⋅ 400 ⋅ 10 3
400 ⋅ 10 3
+ 1,28 ⋅
= 0,75 < 1
275
3 275
0,93 ⋅ 642 ⋅ 10 ⋅
0,55 ⋅ 7810 ⋅
1,05
1,05
80 ⋅ 10 6 + 0 ⋅ 400 ⋅ 10 3
400 ⋅ 10 3
+ 0,95 ⋅
= 0,74 < 1
275
3 275
0,93 ⋅ 642 ⋅ 10 ⋅
0,77 ⋅ 7810 ⋅
1,05
1,05
Por tanto, el perfil HEB 200 es admisible.
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
9
Anejo 1
Perfiles HEB
DIMENSIONES (mm)
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
h
b
tw
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
300
300
300
300
300
300
300
300
6,0
6,5
7,0
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
SECC.
A
tf
r
d
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
17,5
18,0
19,0
20,5
21,5
22,5
24,0
26,0
28,0
29,0
30,0
12
12
12
15
15
18
18
21
24
24
27
27
27
27
27
27
27
27
27
56
74
92
104
122
134
152
164
177
196
208
225
243
261
298
344
390
438
486
PESO
P
·10 2 (mm2 )
REFERIDO AL EJE y-y
Wy
iy
Iy
4
4
3
3
(N/m) ·10 (mm ) ·10 (mm )
26,0
34,0
43,0
54,3
65,3
78,1
91,0
106,0
118,4
131,4
149,1
161,3
170,9
180,6
197,8
218,0
238,6
254,1
270,0
200
262
331
418
502
601
701
816
912
1010
1148
1246
1315
1393
1521
1678
1834
1952
2080
450
864
1509
2492
3831
5696
8091
11259
14919
19270
25166
30823
36656
43193
57680
79887
107176
136691
171041
90
144
216
311
426
570
736
938
1150
1380
1680
1930
2160
2400
2880
3550
4290
4970
5700
(mm)
Wply
REFERIDO AL EJE z-z
Wz
iz
Iz
·103 (mm3) ·10 4 (mm 4) ·103 (mm3)
41,6
50,4
59,3
67,8
76,6
85,4
94,3
103,0
112,0
121,0
130,0
138,0
146,0
155,0
171,0
191,0
212,0
232,0
252,0
104
165
246
354
482
642
828
1050
1280
1530
1870
2140
2400
2680
3240
3980
4820
5600
6420
167
318
550
889
1363
2003
2843
3923
5135
6595
8565
9239
9690
10140
10819
11721
12624
13077
13530
33
53
79
111
151
200
258
327
395
471
571
616
646
676
721
781
842
872
902
Wplz
HEB
(mm)
·10 3 (mm3 )
25,3
30,6
35,8
40,5
45,7
50,7
55,9
60,8
65,8
70,9
75,8
75,7
75,3
74,9
74,0
73,3
72,7
71,7
70,8
51
81
120
170
231
306
394
499
603
718
871
940
986
1030
1100
1200
1290
1340
1390
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
Valores de agotamiento para fy=275 N/mm2
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
fy
AV
V pl,Rdy
AV
Vpl,Rdz
Nplw
Npl,Rd
Mpl,Rdy
M pl,Rdz
(N/mm2)
(mm2)
(N)
(mm2 )
(N)
(N)
(N)
(N.mm)
(N.mm)
275
275
275
275
275
275
275
265
265
265
265
265
265
265
265
265
265
265
265
900
1095,5
1312
1764
2029
2485
2788
3324
3755
4113
4745
5172,75
5609
6056,25
7000
7968
8978
10011
11085
136089,7
165651,4
198388,5
266735,8
306806,7
375758,8
421575,7
484347,4
547149,4
599314,3
691404,4
753732,8
817299,8
882469,6
1019985,5
1161034,9
1308204,2
1458724,9
1615219,9
2264
2919
3656
4598
5493
6604
7656
8960
10070
11082
12622
13542,5
14174
14797,5
15757
16984
18205
18840
19467
342341,2
441384,3
552826,6
695267,2
830600,8
998596,0
1157669,8
1305581,4
1467322,0
1614782,7
1839179,5
1973307,6
2065324,9
2156176,4
2295987,3
2474776,2
2652690,8
2745218,1
2836579,6
88000,0
125976,2
168666,7
217904,8
271595,2
315857,1
378190,5
413904,8
446714,3
519400,0
577447,6
653035,7
735942,9
823392,9
1015328,6
1215466,7
1427214,3
1658142,9
1901185,7
680952,4
890476,2
1126190,5
1422142,9
1710238,1
2045476,2
2383333,3
2675238,1
2988190,5
3316285,7
3763000,0
4070904,8
4313190,5
4558000,0
4992095,2
5501904,8
6021809,5
6413000,0
6814285,7
27238095,2
43214285,7
64428571,4
92714285,7
126238095,2
168142857,1
216857142,9
265000000,0
323047619,0
386142857,1
471952381,0
540095238,1
605714285,7
676380952,4
817714285,7
1004476190,5
1216476190,5
1413333333,3
1620285714,3
13357142,9
21214285,7
31428571,4
44523809,5
60500000,0
80142857,1
103190476,2
125938095,2
152185714,3
181209523,8
219823809,5
237238095,2
248847619,0
259952381,0
277619047,6
302857142,9
325571428,6
338190476,2
350809523,8
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
Pandeo lateral
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
if,z
(mm)
26,8
32,2
37,5
42,7
48,0
53,4
58,7
64,1
69,6
74,8
80,1
79,9
79,6
79,3
78,4
77,9
77,3
76,5
75,7
IT
4
b LT,v
Ia
4
6
6
·10 (mm ) ·10 (mm )
9,34
14,9
22,5
33,2
46,5
63,4
84,4
110
130
153
192
241
278
320
394
500
625
701
783
Estructuras de acero. Problemas. Pilares.
3375
9410
22480
47940
93750
171100
295400
486900
753700
1130000
1688000
2069000
2454000
2883000
3817000
5258000
7018000
8856000
10965000
6
bLT,w
2
9
·10 (N·mm )
·10 (N·mm2 )
161821
282039
455800
703918
1031517
1460115
2007066
2691581
3347680
4115808
5254318
6113966
6724908
7380674
8459481
9919034
11509078
12405524
13336191
133977
309452
629557
1175263
2034282
3368809
5256214
7987998
11546101
16002997
22340524
25537002
28366054
31280714
36689657
44650087
53129450
60283478
67699530
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
10