Circuitos equivalentes con acoplamiento conductivo y magnético

5.7 Circuitos equivalentes con acoplamiento conductivo y magnético
Analíticamente es posible sustituir un circuito con acoplamiento mutuo por un circuito equivalente con acoplamiento conductivo. Sea
el circuito de la figura 11.39 (a) y tomemos los sentidos de las corrientes I 1 e I 2 como se indica. El sistema de ecuaciones de las
corrientes de malla, expresado en forma matricial, es:
( R1 + jωL1 )I 1 − jωM I 2 = V 1 

− jωM I 1 + ( R2 + jωL2 )I 2 = V 2 
 R1 + jωL1

 − jω M
− jω M   I 1   V 1 
 ⋅  =  
R2 + jωL2   I 2  V 2 
jωM
(23)
I1
− Z 3   I 1  V 1 
 ⋅  =  
Z 2 + Z 3   I 2  V 2 
I2
jωL1
V1
El circuito equivalente sin acoplamiento magnético estará formado
por las impedancias indicadas en el circuito de la figura 11.39 (b).
Tomando las mismas corrientes de malla y teniendo en cuenta que
estas han de ser de igual valor, tanto en el circuito de partida como en
el circuito equivalente, éste último ha de resolverse con un sistema de
ecuaciones idéntico al circuito con acoplamiento magnético. El
sistema de ecuaciones en forma matricial para el circuito equivalente
será:
 Z1 + Z 3

 −Z3
R2
R1
jωL2
V2
(a)
Z1
Z2
I2
I1
V1
Z3
V2
(24)
(b)
Igualando las matrices de impedancias en las ecuaciones 23 y 24,
tenemos que las impedancias en el circuito equivalente son:
jω(L1-M)
R1
jω(L2-M)
R2
Z 3 = jωM
Z 1 + Z 3 = R1 + jωL1
⇒
Z 1 = R1 + jω ( L1 − M )
Z 2 + Z 3 = R2 + jωL2
⇒
Z 2 = R 2 + j ω ( L2 − M )
I1
I2
V1
V2
jωM
quedando el circuito equivalente como el mostrado en la figura 11.39
(c).
(c)
Fig. 11.39
Si se escriben las ecuaciones para las corrientes del circuito de la
figura 11.39 (c), obtenemos el mismo sistema de ecuaciones del circuito de la figura 11.39 (a). Por tanto, el circuito con acoplamiento
conductivo de la figura 11.39 (c) equivale al acoplado magnéticamente de la figura 11.39 (a).
El método de análisis no siempre conduce a un circuito equivalente físicamente realizable. Esto se produce cuando M>L1 ó M>L2, que
nos darían inductancias con valores negativos (condensadores), aunque no debemos olvidar que estos artificios de cálculo nos facilitan
los mismos y con ellos obtendremos más fácilmente las soluciones de los circuitos con acoplamientos magnéticos.
Supongamos ahora, la conexión en serie de las bobinas con acoplamiento mutuo de la figura 11.40. Para hallar el circuito equivalente
se procede de la manera siguiente: se aplican, en primer término los métodos estudiados y se obtiene el equivalente con puntos,
después se sustituye este último por su equivalente conductivo.
jωM
jωM
jωL1
jωL2
R1
R1
jωL1
(a)
(b)
jωL2
R1
jω(L1+L2-2M)
(c)
Fig. 11.40
El análisis del circuito de la figura 11.40 (a) exige considerar los flujos magnéticos para determinar los signos de las tensiones de
inducción mutua. Con el circuito de la figura 11.40 (b) no hace falta considerar los flujos, pero sí la regla de los puntos. Por último,
con el de la figura 11.40 (c) se pueden escribir directamente las ecuaciones necesarias, sin prestar atención ni al flujo, ni a los puntos,
ni a la inducción mutua. Los tres circuitos son equivalentes y tienen la misma impedancia compleja:
Z = R1 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
(Hacer los ejercicios del 11.9 al 11.18)