Conjeturas en matemáticas

Importancia de las conjeturas en las
matemáticas
José Acevedo Jiménez
Santiago, Rep. Dominicana
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Como sabemos, la matemática es la ciencia de la exactitud. Sus teoremas,
postulados y axiomas no pueden ser refutados una vez demostrados. Esto hace
pensar que no existe ningún lugar para las conjeturas dentro de las matemáticas,
y por muy extraño que nos parezca no es así. Las conjeturas juegan un papel
importante dentro de las matemáticas, se podría decir que las conjeturas son las
semillas de las cuales salen los teoremas (nadie puede decir que una semilla es un
árbol, sin embargo si se dan las condiciones para que la semilla germine, saldrá
un árbol de ella).
“Ningún científico piensa con fórmulas. Antes de que el físico comience a calcular
debe tener en su cerebro el curso de los razonamientos. Estos últimos, en la
mayoría de los casos, pueden ser expuestos con palabras sencillas. Los cálculos y
fórmulas vienen después.”
Albert Einstein, físico alemán.
Las palabras de Einstein nos dan una clara idea de la importancia que tienen las
conjeturas en las matemáticas, como bien señala el científico alemán, al igual que
los físicos, los matemáticos deben concebir sus ideas antes de plasmar sus
ecuaciones en el pizarrón.
Las conjeturas hacen avanzar a las matemáticas.
Es común ver que el estudio de ciertas conjeturas proyecte resultados interesantes
en el desarrollo de las matemáticas. Es natural que esto ocurra, ya que para que
una conjetura adquiera el estatus de teorema primero debe ser demostrada y para
que esto suceda necesariamente se deben encontrar las piezas (teoremas,
postulados, axiomas, etc.) matemáticas que estén relacionadas con la conjetura;
un ejemplo claro de lo dicho es el último teorema de Fermat, existe una estrecha
relación entre este y la conjetura (hoy día considerada teorema) TaniyamaShimura. Al existir una conexión entre la conjetura de Taniyama-Shimura y el
último teorema de Fermat, los trabajos de Andrew Wiles (en colaboración con
Richard Taylor) para demostrar el último teorema de Fermat los condujo a la
demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso
semiestable, elevando el rango de ambas conjeturas al de teoremas.
¿Cuándo una conjetura pasa a ser un teorema?
Una conjetura es un Juicio que se da sobre algo que se presume verdadero, pero
que no se ha podido afirmar ni refutar. Una vez agotados los procedimientos
matemáticos, que demuestran la veracidad de la conjetura, esta pasa a ser un
teorema. Por consistente que sea una conjetura, la misma no debe ser considerada
un teorema hasta que no se dé una demostración matemática formal de la misma
que la valide como un teorema. Existen ejemplos de conjeturas que se creían
verdaderas y resultaron falsas, un ejemplo es la conjetura de Pólya, en 1958 C. B.
Haselgrove demostró que la conjetura tiene un contraejemplo, el que consideró
en torno de 1.845 × 10361.
¿Es justo que el apellido de la persona que plantea la conjetura aparezca de
primero como nombre de la misma aun haya sido demostrada por otra persona la
conjetura?
La respuesta es un rotundo sí, de no ser así sería el equivalente a decir que Albert
Einstein no es el padre de la teoría de la relatividad, han sido muchas las personas
que han contribuido con el desarrollo de dicha teoría, pero fue Einstein el
primero en concebirla (al menos de forma científica) y quien la dio a conocer a la
ciencia. Es justo que el ideólogo (árbol que da la semilla) tome crédito por su idea,
después de todo, el problema no existiría de no haber alguien que lo pensara
primero.
Conjeturas matemáticas no resueltas.
La lista de conjeturas no resueltas es sin duda muy grande, sin embargo citaremos
algunas de ellas:
Conjetura fuerte de Goldbach:
Fue planteada en 1742 por Christian Goldbach, la misma establece que:
Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números
primos.
La conjetura permite repetir el mismo número primo.
Ejemplos:
Conjetura de Collatz ó
:
Planteada por Lothar Collatz en 1937, su enunciado es el siguiente:
Dado cualquier número natural mayor que cero, se aplica la siguiente operación:


Si el número es par, se divide entre 2.
Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
Expresado matemáticamente esto es:
Si se repite el proceso con los números obtenidos, el resultado siempre es 1.
Ejemplo:
Para n = 11 tenemos:
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Conjetura de los números primos gemelos:
Dos números primos
son gemelos si y sólo si la diferencia entre ellos es
igual a 2, matemáticamente esto es:
La conjetura establece que:
Existe un número infinito de primos
tales que
es también primo.
En 1849, dicha conjetura fue generalizada por Alphonse de Polignac esta última
establece que para todo número natural
diferencia es
si
existen infinitos pares de primos cuya
se obtiene la conjetura de los números primos
gemelos.
Hipótesis de Riemann:
Fue formulada en 1859 por Bernhard Riemann, la misma trata sobre la
distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s).
Conjetura de los números semiperfectos:
Esta conjetura consta de dos partes, la primera establece que:
 Si
un número natural mayor que cero, y
que resulta de multiplicar
es un número semiperfecto
por un número perfecto y a su vez el
resultado de este producto dividido entre dos es par, entonces existen por lo
menos
formas de expresar el número
divisores propios.
La segunda parte establece que:
 Si
un número natural mayor que cero, y
que resulta de multiplicar
mediante la suma de sus
es un número semiperfecto
por un número perfecto y a su vez el
resultado de este producto dividido entre dos es impar, entonces existen
como máximo
divisores propios.
formas de expresar el número
mediante la suma de sus
Llama la atención que los enunciados de todas las conjeturas, exceptuando la
hipótesis de Riemann, expuestas en este escrito son sumamente sencillos,
cualquiera los puede entender. Sin embargo a pesar de su apariencia sencilla,
todos estos problemas, a excepción de la conjetura de los números semiperfectos
que es relativamente nueva, han traído a los matemáticos de cabeza por años, en
algunos casos siglos.
La importancia de las conjeturas en las matemáticas es tal que en el año 2000 el
Clay Mathematics Institute ofreció la suma de US$ 1, 000,000.00 de dólares por
la resolución de cada uno de los denominados siete problemas del milenio.
Los siete problemas del milenio
P versus NP
La Conjetura de Hodge
La hipótesis de Riemann
Las ecuaciones de Navier-Stokes
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
Conjetura de Poincaré (resuelta por Grigori Perelmán)
La hipótesis de Poincaré dejó de ser una conjetura, la misma se convirtió en
teorema luego de la demostración presentada por el matemático ruso Grigori
Perelmán en el 2003.