Números Pares Relacionados

Números Pares Relacionados
José Acevedo Jiménez
Santiago, Rep. Dom.
“No considero inútil que se hagan proposiciones que no estén aún sustentadas por una demostración,
pues aunque con el tiempo se demuestre que son incorrectas pueden contribuir a conocer nuevas
verdades.”
Christian Goldbach.
Dentro de la teoría de números, como en cualquier otra rama de las
matemáticas, existen un sin número de: axiomas, conjeturas, postulados, lemas,
etc. que a primera vista parecen ser muy poco interesantes y por ende nada
atractivos para los matemáticos.
Algo conocido.
A todo número par le sigue un impar.
Los números impares pueden ser: primos y compuestos. Tanto los primos como lo
compuestos son infinitos, siempre hay un número mayor que el anterior,
entonces es obvio que existen infinitos números primos consecutivos a un
número par.
Lo que se ha dicho, hasta ahora, es algo tan notorio que cae en el rango de cosas
no publicables, y es tiempo que nos preguntemos: ¿Qué tiene que ver todo esto
con los números pares relacionados?
Pues todo, ya que precisamente, sin haberlos nombrado, hemos hablado de los
números pares relacionados. Que se definen como aquellos números pares que
son antecedidos o precedidos por algún número primo impar.
Ejemplos:
(2, 6, 8, 10, 12…)
Como ya hemos dicho, existen infinitos números pares relacionados. Pero no
todos los números pares son relacionados. El más pequeño de los números pares
que no es relacionado es el 26.
Clasificación de los pares relacionados.
Dependiendo de si son antecedidos o precedidos por un número primo los pares
relacionados pueden ser de dos tipos.
Pares relacionados de la forma:
Sea
un número primo, entonces:
A esta le llamaremos:
A esta pertenecen:
(2, 4, 6, 10, 12, 16…)
Pares relacionados de la forma:
A esta le llamaremos:
A esta pertenecen:
(4, 6, 8, 12, 14, 18…)
Como se puede observar existen pares relacionados que pertenecen a ambos
grupos a dichos pares les llamaremos relacionados duales. La existencia de dichos
pares nos indica la presencia de números primos gemelos. Dada su estrecha
relación, afirmar que existen infinitos pares relacionados duales es lo mismo que
afirmar que existen infinitos primos gemelos, cosa que, hasta hoy, es una
conjetura.
Divide y vencerás.
Para demostrar un teorema se necesita de otro teorema. En matemáticas, para
que una conjetura adquiera el estatus de teorema es preciso demostrar su
veracidad mediante procedimientos matemáticos lógicos. Muchas veces, se
puede llegar a la demostración de una conjetura dividiéndola en partes más
pequeñas o buscando otras conjeturas que amplíen nuestras opciones y que
guarden relación con la primera. De esta manera tendremos otros flancos por
donde atacar el problema a ser resuelto aumentando nuestras probabilidades de
éxito.
Conjetura de los pares relacionados de la forma
Todo número par mayor que 2 puede ser expresado como la suma de dos números
relacionados de la forma
.
Ejemplos:
2+2=4
4+2=6
4+4=8
4 + 6 = 10
6 + 6 = 12
4 + 10 = 14
6 + 10 = 16
Dado que la conjetura expuesta está íntimamente ligada a la conjetura fuerte de
Goldbach, puede resultar de interés ya que una afirmación a la misma sería lo
mismo que dar una respuesta afirmativa a la conjetura de Goldbach.
De ser verdadera la conjetura sobre los números pares relacionados la conjetura
de Goldbach resultaría también cierta, dada la relación entre ambas conjeturas,
esta última se podría expresar como:
Donde:
son números naturales mayores que 0 y
impares.
son números primos
Conjetura de los pares relacionados de la forma
Todo número par mayor que 6 puede ser expresado como la suma de dos números
relacionados de la forma
.
Ejemplos:
4+4=8
4 + 6 = 10
4 + 8 = 12
6 + 8 = 14
8 + 8 = 16
Posibles aplicaciones.
Dado que los números pares relacionados están tan ligados con los números
primos, separados los grupos, su distribución es similar; los primeros también
pueden ser utilizados para el cifrado de datos, por poner un ejemplo.
La constante de Brun y los números gemelos relacionados de la forma
.
Constante de Brun.
La suma de los inversos de los números primo gemelos converge en un número
llamado constante de Brun
. Matemáticamente, esto es:
)+
)+
)+
) +…
Números gemelos relacionados de la forma
.
Ya vimos que los números pares relacionados de la forma:
son todos
aquellos que se obtienen al restarle la unidad a cualquier número primo impar.
Estos son:
(2, 4, 6, 10, 12, 16…
…)
De este conjunto de números podemos extraer los siguientes pares gemelos
relacionados.
(2, 4); (4, 6); (10, 12); (16, 18)
Es decir que los pares gemelos relacionados son aquellos cuya diferencia, entre
términos consecutivos de la sucesión dada, es igual a 2.
Una vez conocida la constante de Brun y los gemelos relacionados, cabe
preguntarnos: ¿convergerán, al igual que los primos gemelos, los números pares
gemelos relacionados?
Matemáticamente, esto es:
)+
)+
)+
) +…
Con el fin de despertar el interés por el escrito, la respuesta la dejamos abierta al
lector.