Solución interrogación 1.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
ESCUELA DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE CIENCIA DE LA COMPUTACION
Lógica para Ciencia de la Computación - IIC2212
Interrogación 1 - Solución
Problema 1 [1 punto]
Responda sı́ o no a cada una de las siguientes preguntas. Justifique su respuesta.
(a) [0.3 puntos] Los conectivos unarios ⊥ y > son definidos de la siguiente forma:
p
0
1
⊥p
0
0
p
0
1
>p
1
1
¿Es {∧, ⊥, >} funcionalmente completo?
Respuesta: No, {∧, ⊥, >} no es funcionalmente completo.
Asuma que P = {p}. Vamos a demostrar por inducción que toda fórmula ϕ construida usando
p y los conectivos {∧, ⊥, >} es equivalente a p, ⊥p o >p. Como ninguna de estas tres fórmulas
es equivalente a ¬p, concluimos que ninguna fórmula construida usando p y {∧, ⊥, >} es
equivalente a ¬p y, en particular, concluimos que {∧, ⊥, >} no es funcionalmente completo.
- Caso base: Si ϕ = p, entonces la propiedad se cumple trivialmente.
- Caso inductivo: Asuma que la propiedad se cumple para α y β. Si ϕ = ⊥α, entonces
ϕ ≡ ⊥p. Si ϕ = >α, entonces ϕ ≡ >p. Finalmente, si ϕ = α ∧ β, entonces dependiendo
de las equivalencias para α y β, ϕ va ser equivalente a:
α
⊥p
⊥p
⊥p
p
p
p
>p
>p
>p
1
β
⊥p
p
>p
⊥p
p
>p
⊥p
p
>p
ϕ
⊥p
⊥p
⊥p
⊥p
p
p
⊥p
p
>p
(b) [0.3 puntos] ¿Es {→, ⊥} funcionalmente completo?
Respuesta: Sı́, {→, ⊥} es funcionalmente completo. Como {→, ¬} es funcionalmente completo, para demostrar la propiedad basta notar que:
¬α ≡ α → (⊥α).
(c) [0.4 puntos] El conectivo ternario M es definido de la siguiente forma:
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
M (p, q, r)
1
1
1
0
1
0
0
0
¿Es M funcionalmente completo?
Respuesta: No, M no es funcionalmente completo.
Asuma que P = {p}. Vamos a demostrar por inducción que toda fórmula ϕ construida usando
p y el conectivo M es equivalente a p o ¬p. Como ninguna de estas dos fórmulas es equivalente
a p ∧ ¬p, concluimos que ninguna fórmula construida usando p y M es equivalente a p ∧ ¬p
y, en particular, concluimos que M no es funcionalmente completo.
- Caso base: Si ϕ = p, entonces la propiedad se cumple trivialmente.
- Caso inductivo: Asuma que la propiedad se cumple para α, β y γ, y que ϕ = M (α, β, γ).
Entonces dependiendo de las equivalencias para α, β y γ, ϕ va ser equivalente a:
α
¬p
¬p
¬p
¬p
p
p
p
p
β
¬p
¬p
p
p
¬p
¬p
p
p
2
γ
¬p
p
¬p
p
¬p
p
¬p
p
ϕ
p
p
p
¬p
p
¬p
¬p
¬p
Problema 2 [1 punto]
Dado un conjunto de letras proposicionales P , L∞ (P ) es el menor conjunto que satisface las siguientes reglas:
V
- Σ ⊆ L(P ), entonces ( Σ) ∈ L∞ (P ).
- Si ϕ ∈ L∞ (P ), entonces (¬ϕ) ∈ L∞ (P ).
- Si ϕ, ψ ∈ L∞ (P ), entonces (ϕ ∨ ψ) ∈ L∞ (P ) y (ϕ ∧ ψ) ∈ L∞ (P ).
V
V
Por ejemplo, si P = {pi | i ∈ N} y Σ = {(¬pi ) | i ∈ N}, entonces ( Σ) y (¬( Σ)) son fórmulas en
L∞ (P ). Note que la primera fórmula nos dice que todas las letras proposicionalesVson falsas,V
mientras
que la segunda nos dice que al menos una es verdadera. También note que (( Σ) ∨ (¬( Σ))) es
una fórmula en L∞ (P ) que deberı́a ser siempre verdadera (tautologı́a).
Dada una valuación σ : P → {0, 1} y una fórmula ϕ ∈ L∞ (P ), definimos σ(ϕ) de la siguiente
manera:
V
- Si ϕ = ( Σ), donde Σ ⊆ L(P ), entonces
(
1 si para cada ψ ∈ Σ se tiene que σ(ψ) = 1
σ(ϕ) =
0 en caso contrario
- Si ϕ = (¬α), entonces
(
1
σ(ϕ) =
0
si σ(α) = 0
si σ(α) = 1
- Si ϕ = (α ∨ β), entonces
(
1
σ(ϕ) =
0
si σ(α) = 1 o σ(β) = 1
si σ(α) = 0 y σ(β) = 0
(
1
σ(ϕ) =
0
si σ(α) = 1 y σ(β) = 1
si σ(α) = 0 o σ(β) = 0
- Si ϕ = (α ∧ β), entonces
Conteste las siguientes preguntas.
(a) [0.4 puntos] Dado P = {pi | i ∈ N}, demuestre que existe una fórmula ϕ ∈ L∞ (P ) tal que ϕ
no es equivalente a ningún Σ ⊆ L(P ).
V
Respuesta: Sea ϕ = ¬( {pi | i ∈ N}). Vamos a demostrar que ϕ no es equivalente a
ningún Σ ⊆ L(P ).
Por contradicción, asuma que existe Σ ⊆ L(P ) tal que ϕ ≡ Σ. Dado que toda fórmula en
L(P ) es equivalente a un conjunto de claúsulas, podemos asumir que Σ es un conjunto de
3
claúsulas. Mas aún, dado que ϕ no es una tautologı́a, podemos asumir que existe una claúsula
C ∈ Σ tal que C no es una tautologı́a.
Asuma que C = l1 ∨ · · · ∨ ln y que pk es una variable proposicional en P tal que ni pk ni ¬pk
son mencionadas en C. Sea σ : P → {0, 1} una valuación tal que σ(pk ) = 0 y σ(li ) = 0, para
todo i = 1, . . . , n. Entonces, σ(ϕ) = 1 y σ(Σ) = 0 puesto que σ(C) = 0. Concluimos que ϕ y
Σ no son equivalentes, lo que contradice nuestra suposición original.
(b) [0.6 puntos] ¿Es el teorema de compacidad válido para la lógica proposicional infinitaria?
Vale decir, dado Γ ⊆ L∞ (P ), ¿Es cierto que si todo subconjunto finito de Γ es satisfacible,
entonces Γ es satisfacible?
Respuesta: No, el teorema de compacidad no es válido para la lógica proposicional infinitaria.
V
Sea P = {pi | i ∈ N}, ϕ = ¬( {pi | i ∈ N}) y Γ = {ϕ} ∪ {pi | i ∈ N}. Es claro que
este conjunto no es satisfacible. Vamos a demostrar que cada subconjunto finito de Γ si es
satisfacible.
Sea Γ0 ⊆ Γ un conjunto finito. Γ0 menciona un conjunto finito de fórmulas en {pi | i ∈ N}.
Ası́, para satisfacer Γ0 basta considerar una variable proposicional pk tal que pk 6∈ Γ0 y una
valuación σ : P → {0, 1} definida como σ(pk ) = 0 y σ(pj ) = 1 para cada pj ∈ Γ0 .
Problema 3 [2 puntos]
Dada una matriz C de 3 × 3 que contiene números entre 0 y 3, decimos que C es completable si es
que existe una manera de reemplazar los números 0 por números entre 1 y 3 de tal forma que la
suma de cada fila y de cada columna es la misma. Por ejemplo, la siguiente matriz es completable:
2
0
0
0
2
0
0
0
3
puesto que podemos reemplazar los valores 0 por los siguientes valores:
2
2
1
2
2
1
1
1
3
de manera tal que la suma de cada fila y de cada columna es 5. En cambio, la siguiente matriz no
es completable:
1
0
3
1
0
0
1
0
0
Dada una matriz C de 3 × 3, construya una fórmula ϕ en lógica proposicional tal que C es completable si y sólo si ϕ es satisfacible. En particular, ϕ tiene que ser construida de tal forma que cada
valuación σ que satisface a ϕ represente una forma de completar C.
4
Respuesta: Para cada i, j, k ∈ {1, 2, 3}, tenemos una variable proposicional pi,j,k que indica que el
valor contenido en la posición (i, j) de la matriz C es k. Por ejemplo, en la última matriz de arriba
tenemos que p1,1,1 y p3,1,3 son válidas.
Para representar el problema vamos a definir ϕ como la conjunción de las siguientes fórmulas.
Primero, necesitamos una fórmula que diga que a cada posición de la matriz le asignamos un único
valor entre 1 y 3:
3 3 ^
^
(pi,j,1 ∨ pi,j,2 ∨ pi,j,3 ) ∧ (pi,j,1 → ¬pi,j,2 ∧ ¬pi,j,3) ∧
i=1 j=1
(pi,j,2 → ¬pi,j,1 ∧ ¬pi,j,3 ) ∧ (pi,j,3
→ ¬pi,j,1 ∧ ¬pi,j,2) .
Segundo, necesitamos fórmulas que digan que si la suma de la primera fila es `, donde ` es un
número entre 3 y 9, entonces la suma de las restantes filas y columnas también es `. Para hacer
esto introducimos notación adicional. Decimos que suma(`) son todos los triples (`1 , `2 , `3 ) tal que
`1 + `2 + `3 = ` y `1 , `2 , `3 ∈ {1, 2, 3}. Por ejemplo, suma(4) = {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)}. Entonces,
para cada ` entre 3 y 9, incluimos una fórmula que indica que si la suma de la primera fila es `,
entonces la suma de la segunda fila también es `:
_
(`1 ,`2 ,`3 )∈suma(`)
(p1,1,`1 ∧ p1,2,`2 ∧ p1,3,`3 ) →
_
(p2,1,m1 ∧ p2,2,m2 ∧ p2,3,m3 ) .
(m1 ,m2 ,m3 )∈suma(`)
También incluimos el mismo de tipo de fórmulas para la tercera fila y las tres columnas. Por ejemplo,
para la tercera columna incluimos la fórmula:
_
(p1,1,`1 ∧ p1,2,`2
(`1 ,`2 ,`3 )∈suma(`)
∧ p1,3,`3 ) →
_
(p1,3,m1 ∧ p2,3,m2
(m1 ,m2 ,m3 )∈suma(`)
∧ p3,3,m3 ) .
Finalmente, incluimos un conjunto de fórmulas que indican que valores son dados. Por ejemplo,
para la última matriz de arriba, incluimos fórmulas: p1,1,1 , p1,2,1 , p1,3,1 y p3,1,3 .
No es difı́cil demostrar que si ϕ es definida como la conjunción de todas las fórmulas anteriores,
entonces C es completable si y sólo si ϕ es satisfacible. En particular, cada valuación σ que satisface
a ϕ representa una forma de completar C.
Problema 4 [2 puntos]
En este problema se pide al alumno demostrar que si junto con las reglas de resolución y factorización
podemos usar tautologı́as en cualquier parte de una demostración, entonces el sistema resultante es
completo, vale decir, si C es una claúsula, Σ es un conjunto de claúsulas y Σ |= C, entonces Σ ` C.
Formalmente, dada una claúsula C y un conjunto de claúsulas Σ, una demostración por resolución de C a partir de Σ es una secuencia de claúsulas C1 , C2 , . . ., Cn tal que:
Para cada i ≤ n:
- Ci ∈ Σ o
5
- Ci es una tautologı́a o
- existe j < i tal que Ci es obtenido desde Cj usando la regla de factorización o
- existen j, k < i tales que Ci es obtenido desde Cj y Ck usando la regla de resolución.
Cn = C.
Si C es demostrable desde Σ por resolución, entonces usamos la notación Σ ` C.
Nótese que si C es una tautologı́a, entonces se deduce que Σ ` C trivialmente. Ası́, para
demostrar que el sistema de demostración es completo, sólo necesitamos considerar dos casos.
(a) [0.5 puntos] Demuestre que si Σ es inconsistente, entonces Σ ` C para toda claúsula C.
(b) [1.5 puntos] Demuestre que si Σ es consistente, C no es una tautologı́a y Σ |= C, entonces
Σ ` C.
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