DISTRIBUCI´ON BINOMIAL X = B(n, p) X ≡ número de éxitos en n

DISTRIBUCIONES MÁS USUALES (1)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
X = B(n, p)
X ≡ número de éxitos en n experimentos de Bernouilli
[n = número de experimentos; p = probabilidad de éxito]
σx2 = np(1 − p),
mx = np,
µ ¶
n x
PX (x) =
p (1 − p)n−x ,
x
Cálculo: DIRECTO
FX (x) =
X
PX (x),
x = 0, 1, 2, .., n.
(Aproximación Normal cuando np > 5, n(1 − p) > 5)
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
X = G(p)
X ≡ número del experimento de Bernouilli en que tiene lugar el primer éxito
[p = probabilidad de éxito]
1
1−p
mx = ,
σx2 =
,
p
p2
PX (x) = p(1 − p)x−1 ,
FX (x) = 1 − (1 − p)x ,
x = 1, 2, 3, ...
Cálculo: DIRECTO
DISTRIBUCIÓN DE PASCAL (BINOMIAL NEGATIVA)
X = BN (k, p)
X ≡ número del experimento de Bernouilli en que tiene lugar el éxito número k
[k = número de éxitos; p = probabilidad de éxito]
k
k(1 − p)
mx = ,
σx2 =
,
p
p2
µ
¶
X
x−1
PX (x) =
(1 − p)x−k pk ,
FX (x) =
PX (x),
x = k, k + 1, ...
k−1
Cálculo: DIRECTO
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
X = HG(n, N 1, N 2)
X ≡ número de éxitos en n extracciones sin reemplazamiento
[n = número de extracciones; N1 = número inicial de éxitos; N2 = número inicial de fracasos;
N = N 1 + N 2; p = N1 /N ]
N −n
mx = np,
σx2 =
np(1 − p),
N −1
¡N1 ¢¡ N2 ¢
X
PX (x) = x ¡Nn−x
FX (x) =
PX (x),
¢ ,
n
RX ≡ máx{0, n − N2 } ≤ x ≤ mı́n{n, N1 },
Cálculo: DIRECTO
x entero.
DISTRIBUCIONES MÁS USUALES (2)
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
X = P (ν)
X ≡ número de llegadas de Poisson en un tiempo t
[ν = media de las llegadas de Poisson; λ = frecuencia de llegada]
ν = λt,
PX (x) =
ν x e−ν
,
x!
Cálculo: DIRECTO Y POR TABLAS
σx2 = ν,
mx = ν,
FX (x) =
X
PX (x),
x = 0, 1, 2, ...
(Aproximación Normal cuando ν > 30)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
X = EX(λ)
X ≡ tiempo hasta la primera llegada de Poisson
[λ = frecuencia de las llegadas de Poisson]
1
mx = ,
λ
fX (x) = λe−λx ,
σx2 =
1
,
λ2
FX (x) = 1 − e−λx ,
x ≥ 0.
Cálculo: DIRECTO
DISTRIBUCIÓN GAMMA
X = Γ(k, λ)
X ≡ tiempo hasta la llegada de Poisson número k (puede extenderse a k no entero)
[λ = frecuencia de las llegadas de Poisson; k = número de llegadas]
k
k
mx = ,
σx2 = 2 ,
λ
λ
fX (x) =
Cálculo: POR TABLAS
λ(λx)k−1 e−λx
,
Γ(k)
FX (x) =
γ(k, λx)
,
Γ(k)
(Aproximación Normal cuando k > 15)
x ≥ 0.
DISTRIBUCIONES MÁS USUALES (3)
X = N (m, σ 2 )
DISTRIBUCIÓN NORMAL
X ≡ lı́m
n→∞
n
X
Yi ,
Yi independientes e igualmente distribuidas
i=1
(Ver Teorema del Lı́mite Central y condiciones de relajación)
mx = m,
½ µ
¶ ¾
1
1 x−m 2
fX (x) = √
exp −
,
2
σ
σ 2π
σx2 = σ 2 ,
Z
FX (x) =
fX (x)dx,
x ∈ [−∞, ∞].
Cálculo: POR TABLAS (VARIABLE NORMALIZADA)
DISTRIBUCIÓN LOGARÍTMICO NORMAL (LOGNORMAL)
X ≡ lı́m
n→∞
n
Y
Zi ,
2 )
X = LN (m̆x , σlnx
Zi independientes e igualmente distribuidas
i=1
(Ver Teorema del Lı́mite Central y condiciones de relajación)
mx = m̆x e
m̆x = mx e−
σ2
lnx
2
,
σ2
lnx
2
,
£ 2
¤
σx2 = m2x eσlnx − 1 ,
¡
¢
2
σlnx
= ln Vx2 + 1 ,
½ ·
³ x ´¸2 ¾
1 1
1
√
exp −
ln
,
fX (x) =
2 σlnx
m̆x
xσlnx 2π
Cálculo: POR TABLAS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
Vx =
σx
,
mx
Z
FX (x) =
fX (x)dx,
x ≥ 0.
DISTRIBUCIONES MÁS USUALES (4)
DISTRIBUCIÓN DE GUMBEL (Máximos)
X = GU (α, u)
X ≡ Valor máximo de una variable aleatoria
π2
,
γ ≈ 0.577,
u ≡ moda,
6α2
©
ª
©
ª
fX (x) = α exp −α(x − u) − e−α(x−u) ,
FX (x) = exp −e−α(x−u) ,
x ∈ [−∞, ∞].
mx = u +
γ
,
α
σx2 =
Cálculo: DIRECTO
DISTRIBUCIÓN TIPO I (Mı́nimos)
X = Imin (α, u)
X ≡ Valor mı́nimo de una variable aleatoria
mx = u −
γ
,
α
σx2 =
©
ª
fX (x) = α exp α(x − u) − eα(x−u) ,
π2
,
6α2
γ ≈ 0.577,
u ≡ moda,
©
ª
FX (x) = 1 − exp −eα(x−u) ,
x ∈ [−∞, ∞],
Cálculo: DIRECTO
DISTRIBUCIÓN TIPO II (Máximos)
X = IImax (k, u)
X ≡ Valor máximo de una variable aleatoria
£
1
2
1 ¤
mx = u Γ(1 − ),
σx2 = u2 Γ(1 − ) − Γ2 (1 − ) ,
k
k
k
µ ¶k+1
½ µ ¶k ¾
½ µ ¶k ¾
k u
u
u
fX (x) =
,
FX (x) = exp −
,
exp −
u x
x
x
x ≥ 0.
Cálculo: DIRECTO
DISTRIBUCIÓN TIPO III O DE WEIBULL (Mı́nimos)
X = W (k, u)
X ≡ Valor mı́nimo de una variable aleatoria
£
2
1 ¤
1
σx2 = u2 Γ(1 + ) − Γ2 (1 + ) ,
mx = u Γ(1 + ),
k
k
k
µ ¶k−1
½ µ ¶k ¾
½ µ ¶k ¾
k x
x
x
fX (x) =
exp −
,
FX (x) = 1 − exp −
,
u u
u
u
Cálculo: DIRECTO
x ≥ 0.
DISTRIBUCIONES MÁS USUALES (5)
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
X = U (a, b)
X ≡ variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [a, b]
mx =
fX (x) =
(b − a)2
,
12
x−a
FX (x) =
,
a ≤ x ≤ b.
b−a
a+b
,
2
1
,
b−a
σx2 =
Cálculo: POR TABLAS
DISTRIBUCIÓN BETA
X = BT (r, t)
mx =
fX (x) =
r
,
t+r
1
xr−1 (1 − x)t−1 ,
β(r, t)
β(r, t) =
Cálculo: POR TABLAS
rt
,
(t + r)2 (t + r + 1)
Z
FX (x) = fX (x)dx,
σx2 =
Γ(r)Γ(t)
.
Γ(r + t)
0 ≤ x ≤ 1.
DISTRIBUCIONES MÁS USUALES (6)
DISTRIBUCIÓN χ2
X≡
ν
X
Yi2 ,
X = χ2 (ν)
Yi ≡ N (0, 1),
Yi independientes
i=1
mx = ν,
fX (x) =
Cálculo: POR TABLAS
1 x ν2 −1 − x2
e
2(2)
ν
Γ( 2 )
,
σx2 = 2ν,
Z
FX (x) = fX (x)dx,
x ≥ 0.
(Aproximación Normal cuando ν > 30)
DISTRIBUCIÓN χ
√
X ≡ + Y , Y ≡ χ2 (ν)
X = χ(ν)
¡
¢
√ Γ ν+1
2
¡ ¢ ,
mx = 2
Γ ν2
2
ν
x( x2 ) 2 −1 e−
fX (x) =
Γ( ν2 )
x2
2
σx2
¡
¢
Γ2 ν+1
2
¡ ¢ ,
=ν−2
Γ2 ν2
Z
,
FX (x) =
fX (x)dx,
x ≥ 0.
Cálculo: POR TABLAS
DISTRIBUCIÓN t de STUDENT
X≡
Y
√
ν
,
Z
Y ≡ N (0, 1),
Z ≡ χ(ν),
X = T (ν)
Y y Z independientes
mx = 0,
fX (x),
Cálculo: POR TABLAS
FX (x),
σx2 =
ν
,
(ν − 2)
x ∈ [−∞, ∞],
(ver bibliografı́a).
(Aproximación Normal cuando ν > 30)
DISTRIBUCIÓN F (de Snedecor)
X≡
Y /ν1
,
Z/ν2
Y ≡ χ2 (ν1 ),
Z ≡ χ2 (ν2 ),
mx =
fX (x),
Cálculo: POR TABLAS
ν2
,
(ν2 − 2)
FX (x),
X = F (ν1 , ν2 )
Y y Z independientes
σx2 =
x ≥ 0,
2ν22 (ν1 + ν2 − 2)
,
ν1 (ν2 − 2)2 (ν2 − 4)
(ver bibliografı́a).