Secuencias, listas, macros: posibilidades ilimitadas

Secuencias, listas, macros: posibilidades ilimitadas
Mª Esperanza Gesteira Losada1
Ignacio Larrosa Cañestro2
Débora Pereiro Carbajo1
Enrique de la Torre Fernández3
Fernando Zacarías Maceiras4
Resumen
El programa GeoGebra constituye una potente herramienta con una enorme utilidad didáctica
en la clase de matemáticas. Su facilidad de manejo e ilimitadas posibilidades de aplicación lo
hacen idóneo para trabajar contenidos diversos en el aula de Educación Secundaria, desde la
geometría y el álgebra, a la estadística o la plástica. En este taller se han elegido las
posibilidades que proporciona el manejo de listas y secuencias, así como la elaboración de
macros, para hacer cinco construcciones: i) Ángulo decorado: Creación de un armazón de
segmentos, creación de una herramienta personal (macro); ii) Una aplicación curricular de las
listas: Suma de una progresión aritmética. Exportación html; iii) Diagonales de un polígono
regular de «n» lados; iv) Tratamiento con listas de los extremos y puntos de inflexión de un
polinomio; v) Una aplicación jugable: Creación de un tablero y fichas para jugar a las damas.
1. Introducción
GeoGebra permite trabajar con Listas de cualquier clase de objetos, del mismo o de
diferente tipo. Dependiendo del tipo de objetos que contenga, se podrán hacer ciertas
operaciones con la lista o atribuirles determinadas propiedades al conjunto de elementos que la
forman. Una lista se puede crear relacionando objetos preexistentes, entre llaves y separados
por comas. Estas listas pueden usarse en muchos comandos. Por ejemplo, creando en la
ventana gráfica cuatro nuevos puntos (Nuevo Punto), luego en la línea de entrada: lista1 = {A,
B, C, D} y después el comando: Polinomio[lista1], se crea y visualiza en la ventana gráfica, el
polinomio de tercer grado que pasa por esos cuatro puntos. Aquí estos puntos tienen "vida"
independiente de la lista, y se pueden mover y cambiar sus propiedades. Si por el contrario, se
introduce: lista2 = {(1, 2), (3, -1), (4, 0), (5, 3)}, la lista aparece sólo en la ventana de álgebra,
pero se puede visualizar (aunque no sus puntos individualmente). Los puntos no tienen nombre
ni pueden moverse. Esto tiene la ventaja de que si son muchos objetos (decenas, cientos o hasta
1
CGTD. Extensión do IES Sánchez Cantón, Pontevedra
IES Rafael Dieste, A Coruña
3
Dpto. de Pedagoxía e Didáctica, Universidade da Coruña
4
IES As Mariñas, Betanzos
2
miles), se produce un importante ahorro de memoria y el programa funciona mejor. Se puede
crear el polinomio igual que antes, con la lista visible o no, introduciendo: Polinomio[lista2].
Otra forma de crear listas, es mediante el comando Secuencia, cuya sintaxis completa es:
Secuencia[Expresión, Variable i, Número a, Número b, Incremento]
Este comando establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el índice i que
varía en el rango que va del número a al b con el incremento dado. Por ejemplo, estos
comandos: Secuencia[Segmento[(0, s), (8, s)], s, 0, 8] y Secuencia[Segmento[(s, 0), (s, 8)], s,
0, 8] crean el esqueleto de un tablero de ajedrez.
2. Ángulo decorado
Objetivos:
Crear utilizando secuencias un armazón de segmentos que unan los puntos que dividen en
partes iguales los lados de un ángulo.
Creación de una herramienta personal (macro) para su uso posterior. Utilización de la macro
creada en una nueva construcción.
a) Crear utilizando secuencias un armazón de segmentos que
unan los puntos que dividen en partes iguales los lados de un
ángulo.
Creando n = 12, tres puntos A, B
y C y la lista
Secuencia[Segmento[A + (B - A) k / n, B + (C - B) k / n], k, 0, n], se
crea una secuencia de segmentos para los valores de k desde 0 hasta
n. Para k = 0 se tiene el segmento AB y para k = n, el BC.
b) Creación de la herramienta personal (macro)
i) Guardar la imagen 'Angulo_decorado.GIF' en el disco duro.
ii) En 'Herramientas', escoger 'Creación de Herramienta Nueva ...'. En la pestaña 'Objetos de
salida' escoger la lista 'lista1'. Pulsar 'Siguiente' para pasar a la pestaña 'Objetos de Entrada'.
Asegurarse de que figuren los puntos A, B y C y el número n, en ese orden. Pulsar 'Siguiente'
para pasar a la pestaña 'Nombre e Icono'. En 'Nombre de Herramienta' poner 'Angulo
Decorado'. Aceptar 'AnguloDecorado' para el nombre del comando, y en 'Ayuda de la
herramienta' escribir '3 puntos y un número'.
iii) Pulsar en el botón 'Icono' y seleccionar el fichero Angulo_decorado.gif guardado
anteriormente. Después pulsar en 'Final' y en 'Aceptar' para cerrar la ventana informativa.
Aparece el icono de la macro en la barra de herramientas.
iv) Volver al menú 'Herramientas', escoger 'Gestor de Herramientas ...' y pulsar en 'Guardar
cómo...'. Guardarlo con el nombre 'Angulo_decorado'. La extensión .ggt se añade automáticamente. Así se tendrá disponible la macro para utilizarla en cualquier construcción posterior.
b) Utilización de la macro
i) Para eliminar la macro de la memoria, se cierra GeoGebra y se vuelve a abrir. Hecho esto,
establecer las mismas opciones generales que antes.
ii) En el menú 'Fichero', abrir lo que se acaba de guardar, 'Angulo_decorado.ggt'. Se añade un
botón a la barra de herramientas con nuestra macro. En general, al abrir una, o muchas, macros
en una construcción, esta no se altera en ningún sentido.
iii) Crear un deslizador de nombre 'n', y asignarle 1, 30 y 1, al
mínimo, máximo e incremento respectivamente. Darle a n,
por ejemplo, el valor 20.
iv) Escoger la herramienta 'Angulo Decorado' y marcar tres
puntos. En la ventana que se abre se introduce n. Se vuelve a
repetir la operación dos veces con los mismos puntos, pero
poniendo en medio cada vez uno distinto. Se puede seguir
usando repetidamente la macro con dos puntos ya construidos
y uno nuevo.
3. Suma de una progresión aritmética
Objetivos:
Construcción de una figura para ver gráficamente la suma
de una progresión aritmética, con primer término, diferencia
y número de términos seleccionable.
Para representar la progresión, vamos a utilizar pequeños
rectángulos de altura 1 y longitud proporcional a cada uno
de sus términos, apilándolos de manera que formen casi un
trapecio con un lado perpendicular a las bases, y cuya área
coincidirá con la suma.
Creando deslizadoires a1, n y d para el primer término, la diferencia y el número de términos de
la progresión, se crea esta figura a partir de un punto de referencia A con las instrucciones:
B = A + (0, -1)
C = B + (1, 0)
L1 = Secuencia[Polígono[A + (i - 1) (B - A), A + i (B - A), A + i (B - A) + (a_1 + (i - 1) d) (C
- B), A + (i - 1) (B - A) + (a_1 + (i - 1) d) (C - B)], i, 1, n]
Para visualizar la suma, se gira la figura anterior alrededor del punto medio M del lado oblicuo,
de manera que con la original formen un rectángulo, de área fácilmente calculable, siguiendo a
Gauss:
a_n = a_1 + (n - 1) d
D = A + (a_1 + a_n, -n)
M = (A + D)/2
Para girar toda la figura, se crean puntos A', B' y C', como rotación de A, B y C
respectivamente, un ángulo α respecto de M. Entonces,
L2 = Secuencia[Polígono[A' + (i - 1) (B' - A'), A' + i (B' - A'), A' + i (B' - A') + (a_1+ (i - 1)
d) (C' - B'), A' + (i - 1) (B' - A') + (a_1 + (i - 1) d) (C' - B')], i, 1, n]
Se utilizan colors dinámicos para mostrar poco a poco la segunda figura, según se gira.
Se exporta como fichero html, añadiendo instrucciones y algunas propuestas.
4. Diagonales de un polígono.
Objetivos:
Dibujar todas las diagonales y lados de un polígono regular
de entre 3 y 30 vértices, ocupando de forma automática la
mayor parte de la pantalla disponible.
a) Construcción de la figura
i) Crear un deslizador n, de 3 a 30 e incremento 1.
ii) Con lo puntos de las cuatro esquinas de la ventana gráfica
que se pueden obtener cómo Esquina[i], con i = 1, 2, 3 y 4,
las funciones x( ) e y( ) que dan la coordenada x e y de un
punto, un vector o una diferencia de puntos, y el comando
Mínimo[a, b] se puede obtener r, un valor igual al 90% de la mitad del mínimo del ancho y el
alto de la ventana gráfica.:
r = 0.9 Mínimo[y(Esquina[4] - Esquina[1])/2, x(Esquina[2] - Esquina[1])/2]
iii) Con: A = (Esquina[1] + Esquina[3])/2 se sitúa en el centro de la ventana gráfica.
iv) Con Lista1 = Secuencia[Rota[A + (r, 0), 2 π k / n, A], k, 0, n - 1] se consigue una lista de n
puntos igualmente repartidos a una distancia r del punto A.
v) Mediante una secuencia doble, se crea una lista con los segmentos que unen todos los
puntos: lista2 = Secuencia[Secuencia[Segmento[Elemento[lista1, i], Elemento[lista1, j]], j, i +
1, n], i, 1, n - 1]
b) Creación de un fichero html
Cerrar la ventana algebraica, reducir el tamaño de la ventana de GeoGebra a una cuarta parte
de la pantalla y exportar la figura como html.
5. Extremos y puntos de inflexión de una
función polinómica
Objetivos: Estudiar los extremos relativos y puntos de
inflexión de una función, relacionándolos con las raíces de las
derivadas primera y segunda. Se hace para cualquier función
polinómica, por lo que al desconocerse el número de ellos,
deben utilizarse listas para manejarlos. La restricción a
funciones polinómicas viene impuesta por el uso de los
comandos Extremo[], Raíz[] y PuntoInflexión[].
Construcción: Se introduce la función f(x) por la línea de entrada y se hallan sus derivadas 1ª
y 2ª. Se crea un punto A sobre F, y otros B y C sobre las derivadas 1ª y 2ª con la misma abcisa.
Se calcula a tangente en A: t = Tangente[x(A), f]
Se hallan los extremos, puntos de inflexión y raíces de las derivadas, y se conectan entre ellos:
ListaExt = {Extremo[f]}
ListaRaiz1d = {Raíz[g]}
ListaSegExt = Secuencia[Segmento[Elemento[ListaExt, i], Elemento[ListaRaiz1d,
i]],Longitud[ListaExt]]
ListaPinf = {PuntoInflexión[f]}
ListaRaiz2d = {Raíz[h]}
ListaSegPinf = Secuencia[Segmento[Elemento[ListaPinf, i], Elemento[ListaRaiz2d, i]], i, 1,
Longitud[ListaPinf]]
Se crean casillas de control para una visualización parcial de la figura.
6. Juego de damas
Objetivos:
Construcción de un tablero y fichas para jugar a las damas.
Indicaciones:
Para que las fichas se sitúen sólo en puntos de coordenadas enteras
y evitar un escalado accidental, se fija la Atracción de Punto a la
Cuadrícula y en las propiedades de la zona gráfica, en ambos ejes
distancia igual a 1.
Con el punto A=(-0.5, -0.5) y un número n=8 para el tamaño
inicial del tablero, se puede crear la lista de cuadros blancos con
Lista_b = Secuencia[Secuencia[Polígono[A + (i, j), A + (1 + i, j),
A + (1 + i, 1 + j), A + (i, 1 + j)], i, Resto[j, 2], n - 1, 2], j, 0, n - 1]
El comando Resto[m, k] da el resto de la división entera de m por k. Para la lista de cuadros
negros, se cambia Resto[j, 2] por Resto[j + 1, 2] y el nombre lista_b por lista_n.
Una vez decoradas, se puede enmarcar el tablero con un cuadrado (Polígono regular) con
vértices en A + (-0.1,-0.1) y A + (n + 0.1, -0.1).
Se crean doce puntos grandes para las fichas blancas y otros tantos para las negras.
Referencias
1. Markus y Judith Hohenwarter (2009): Documento de Ayuda de Geogebra. Manual Oficial
de la versión 3.2. http://www.geogebra.org/help/docues.pdf
2. Página del grupo XeoDin: http://www.agapemacoruna.com/xeodin
3. Material del taller: http://www.agapemacoruna.com/xeodin /huelva2011
4. Ignacio Larrosa Cañestro: Actividades con GeoGebra. http://www.xente.mundor.com/ilarrosa/GeoGebra/