PREGUNTA 2 (1.5 p). TEORÍA PREGUNTA 1 (1 p). La ecuación del

FÍSICA APLICADA. EXAMEN FINAL ORDINARIO JUNIO 2016
TEORÍA
PREGUNTA 1 (1 p).
La ecuación del movimiento de un péndulo simple está dada por
=
cos , siendo A = 5º.
(a) ¿Qué ángulo formará este péndulo con la vertical cuando el tiempo es t = 2 s?
(b) Escribir la ecuación para el movimiento de este péndulo usando la función seno en lugar de coseno.
PREGUNTA 2 (1.5 p).
Teorema de Gauss. (a) Enunciado y explicación breve. (b) Explicar razonadamente si se puede usar o no el teorema de Gauss para
calcular el flujo eléctrico y el vector campo eléctrico a través de la superficie de un elipsoide de revolución en cuyo centro
geométrico se encuentra la carga +Q. ¿Y si la carga está dentro del elipsoide, pero desplazada de la posición central?
FÍSICA APLICADA. EXAMEN FINAL ORDINARIO JUNIO 2016
PROBLEMAS (2.5 puntos cada uno)
1.- Una onda transversal de frecuencia 20 Hz y 5 cm de amplitud se propaga en una cuerda tensa colocada
horizontalmente. La velocidad de propagación es 40 m/s. (a) Determinar su periodo, su longitud de onda,
frecuencia angular, número de ondas y escribir la ecuación de onda. (b) Calcular el estado de vibración
(elongación) del punto de la cuerda situado a 80 cm del origen para t = 0.075 s. (c ) Cuál es la velocidad de
vibración y cuál es la aceleración de ese punto?
2.- En el circuito de corriente continua de la figura, se pide:
(a) Si el interruptor S está abierto (posición mostrada),
calcular las intensidades circulantes por las resistencias
R1 y R2 y la caída de tensión VAB.
(b) Si cerramos el interruptor S, ¿qué corriente circulará
por la resistencia R3 y qué potencia se disipará en ella?
A
R1  2 k
R3  3.6 k
S
V0  29 V
3.- Se tiene una espira en forma de hexágono regular. Por ella
circula corriente continua en el sentido antihorario, y la
distancia que hay desde el centro de un lado al centro del lado
opuesto es 20 cm (véase figura).
(a) Calcular la intensidad de corriente si el campo magnético
en el centro del hexágono es de 10-4 T.
(b) Suponiendo que en el centro del hexágono y situada en su
mismo plano hay una pequeña espira cuya superficie es igual
a 1 cm2, ¿qué fem se induciría en ella y en qué sentido, si la
corriente se anula bruscamente en un intervalo de 0.05 s?
R2  18 k
i0  0.5 mA
B
Ayuda: campo
magnético creado por
una corriente rectilínea
d  20 cm
B
0 I
sin 1  sin  2 
4 h
I
1
Dato:
 0  4 ·107 N·A 2
2
h
2
TEORÍA
FÍSICA APLICADA. EXAMEN FINAL ORDINARIO JUNIO 2016
PREGUNTA 2 (1.5 p).
Teorema de Gauss. (a) Enunciado y explicación breve. (b) Explicar razonadamente si se puede usar o no el teorema de Gauss para
calcular el flujo eléctrico y el vector campo eléctrico a través de la superficie de un elipsoide de revolución en cuyo centro
geométrico se encuentra la carga +Q. ¿Y si la carga está dentro del elipsoide, pero desplazada de la posición central?
a) Flujo campo eléctrico a través de una superficie:  

 
E  dS
CANTIDAD ESCALAR
S
El flujo neto del campo eléctrico estático a través de cualquier superficie cerrada es igual a 4k veces el
valor de la carga neta encerrada por dicha superficie.

Flujo neto

 
E  dS  4  k  Q
Flujo asociado con líneas de campo:
flujo neto positivo  salen líneas
Flujo neto negativo  entran líneas
Carga neta
SOLUCIONES
S
Sale
Sale
Sale
Entra
Entra
Entra
Sale
Sale
Entra
Sale
Sale
Entra
Sale
Entra
Sale
Sale
Sale
Entra
Sale
Entra
Entra
Sale
Entra
Sale
Sale
Sale
Sale
Reformulación de la ley de Gauss en términos de la permitividad del vacío 0
  Q
1
k
   E  dS 
4  0
0

S
Sale
3
TEORÍA
PREGUNTA 2 (1.5 p) (Continuación)
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SOLUCIONES
Teorema de Gauss. (a) Enunciado y explicación breve. (b) Explicar razonadamente si se puede usar o no el teorema de Gauss para
calcular el flujo eléctrico y el vector campo eléctrico a través de la superficie de un elipsoide de revolución en cuyo centro
geométrico se encuentra la carga +Q. ¿Y si la carga está dentro del elipsoide, pero desplazada de la posición central?
b) Si la simetría es adecuada de forma que el vector campo eléctrico puede extraerse de  
y la superficie puede expresarse fácilmente en términos de datos conocidos,
entonces el teorema de Gauss es útil para calcular el campo. Esto es lo que
ocurre cuando se quiere hallar el campo alrededor de una carga puntual, por
ejemplo.
Pero si el campo no se puede sacar de la integral, ya que la simetría implica que
su módulo y/o su dirección no es constante, aunque el teorema de Gauss se sigue
cumpliendo, no resulta útil para calcular el campo. Esto es lo que ocurre si la
figura es un elipsoide. El campo eléctrico no tendrá el mismo valor, ni en módulo
ni en dirección, en todos los puntos de la superficie del elipsoide,
independientemente de si la carga ocupa una posición central o no. En
consecuencia, no se puede extraer el valor de su módulo de la integral y el teorema
de Gauss ya no resulta útil para calcular el campo.
PREGUNTA 1 (1 p).
La ecuación del movimiento de un péndulo simple está dada por
=

 
E  dS  4  k  Q
S
cos , siendo A = 5º.
(a) ¿Qué ángulo formará este péndulo con la vertical cuando el tiempo es t = 2 s?
(b) Escribir la ecuación para el movimiento de este péndulo usando la función seno en lugar de coseno.
t
 Si t = 2 s   2   A cos    A  5º
2
(b) Sustituimos en   A sin   t     A sin  t cos   A cos  t sin   A cos  t
2
2
2
2
2
 2 2
(a) Sustituimos en   A cos
Si desplazamos /2 rad hacia la izquierda una función seno (lo cual equivale a adelantarla), obtenemos el coseno

E

E 
E
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PROBLEMAS
1.- Una onda transversal de frecuencia 20 Hz y 5 cm de amplitud se propaga en una cuerda tensa colocada
horizontalmente. La velocidad de propagación es 40 m/s. (a) Determinar su periodo, su longitud de onda,
frecuencia angular, número de ondas y escribir la ecuación de onda. (b) Calcular el estado de vibración
(elongación) del punto de la cuerda situado a 80 cm del origen para t = 0.075 s. (c ) Cuál es la velocidad de
vibración y cuál es la aceleración de ese punto?
(a)
SOLUCIONES
v
1
1
  2 · f  2 ·20  40

 0.05 s
f 20
 40
rad
2
2
k 

  m 1 k 
 

v
40
m

k
f  20 Hz  T 
 

T k
y x, t   A coskx  t 
Fase inicial arbitrariamente elegida como cero.
Suponemos propagación de izda. a dcha. 
(b) Instantánea en t = 0.075 s
y x, t   0.05 cos  x  3 
rad
rad
 125.66
s
s
2
2m

y x, t   0.05 cos  x  40 t 
y 
(c) Velocidad de vibración
x, y  m
ts
dy x, t  d
 0.05 cos x  40 t 
dt
dt
y  0.05· 40  sin  x  40 t   2 sin  x  40 t 
y x, t   0.05 cos ·0.80  3·   0.04045 m
Aceleración y 
d 2 y x, t  d
 2 sin  x  40 t 
dt 2
dt
y  80 2 cos x  40 t 
x
m
y(
0,8
, 0,075 )= 0,0404508
dx/dt(
0,8
, 0,075 )= 5,0832037 m·s 1
d2x/dt2 (
0,8
, 0,075 )= -638,7742 5
m·s 2
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PROBLEMAS
2.- En el circuito de corriente continua de la figura, se pide:
(a) Si el interruptor S está abierto (posición mostrada),
calcular las intensidades circulantes por las resistencias
R1 y R2 y la caída de tensión VAB.
(b) Si cerramos el interruptor S, ¿qué corriente circulará
por la resistencia R3 y qué potencia se disipará en ella?
A
R1  2 k
S
V0  29 V
(a) Mientras S esté abierto tenemos el siguiente circuito equivalente:
B
SOLUCIONES
Transformación de la
fuente de corriente
i1
A
R1  2 k
R1  2 k
R2  18 k
i0  0.5 mA
R2  18 k
i0  0.5 mA
A
V0  29 V
R3  3.6 k
iM
V0  29 V
Queda un circuito equivalente de una sola malla, calculamos corriente iM aplicando LKV
iM 
20
 1 mA
20
i0 R2  9 V
B
B
 29  iM 2  18  9  0
R2  18 k
 V0  iM R1  R2   i0 R2  0
Esta corriente es efectivamente la que circula por R1: i1  iM  1 mA
Por la resistencia R2, en cambio, no circula la corriente iM, ya que esta resistencia no se encuentra en
realidad en serie con R1. Hay que determinar primero de forma independiente la caída de tensión VAB:
VAB  i1 R1  V0  1· 2  29  27 V
A
R2
i2
Cálculo de la corriente que circula por R2:
VAB  i2 R2
B
i2 
VAB 27

 1.5 mA
R2 18
6
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PROBLEMAS
SOLUCIONES
2.- En el circuito de corriente continua de la figura, se pide:
(a) Si el interruptor S está abierto (posición mostrada),
calcular las intensidades circulantes por las resistencias
R1 y R2 y la caída de tensión VAB.
(b) Si cerramos el interruptor S, ¿qué corriente circulará
por la resistencia R3 y qué potencia se disipará en ella?
A
R1  2 k
R3  3.6 k
S
V0  29 V
R2  18 k
i0  0.5 mA
B
(b) Para calcular la corriente que circula por R3 cuando se cierra S, lo más sencillo es obtener primero el
equivalente Thèvenin a la izquierda de A y B, pues así quedará un circuito equivalente de una sola malla.
La corriente de malla (i3) de ese circuito equivalente
es precisamente la corriente que circula por R3.
A
RTh
El valor de VTh realmente lo conocemos ya, pues antes
R3  3.6 k
hemos calculado VAB, que es el voltaje en circuito abierto
VTh
S
i3
entre los puntos A y B (igual por definición al voltaje
equivalente de Thèvenin).
VTh  VAB  27 V
B
Cálculo de RTh: en el circuito a la izquierda de A y B sustituimos cada fuente por su resistencia equivalente
ideal y vemos qué resistencia queda. En este caso, abrimos la fuente de corriente (resistencia infinita) y
cortocircuitamos la fuente de voltaje (resistencia cero). Vemos así que las dos resistencias R1 y R2 quedan en
paralelo.
2 ·18
A
RTh  R AB  R1 // R2 
R1  2 k
R1  2 k
V0  29 V
R2  18 k
i0  0.5 mA
2  18
 1.8 k
A
Aplicamos LKV para calcular i3
 VTh  i3 RTh  R3   0
R2  18 k
B
B
Potencia disipada en R3 
i3 
VTh
27
27


 5 mA
RTh  R3 1.8  3.6 5.4
2
P3  i32 R3  5 mA  ·3.6 k  90 mW
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PROBLEMAS
SOLUCIONES
3.- Se tiene una espira en forma de hexágono regular. Por ella
circula corriente continua en el sentido antihorario, y la
distancia que hay desde el centro de un lado al centro del lado
opuesto es 20 cm (véase figura).
(a) Calcular la intensidad de corriente si el campo magnético
en el centro del hexágono es de 10-4 T.
(b) Suponiendo que en el centro del hexágono y situada en su
mismo plano hay una pequeña espira cuya superficie es igual
a 1 cm2, ¿qué fem se induciría en ella y en qué sentido, si la
corriente se anula bruscamente en un intervalo de 0.05 s?
(a) Calcular la intensidad de corriente si el campo
magnético en el centro del hexágono es de 10-4 T.
Campo BL creado por cada uno
de los seis tramos rectilíneos
BL 
0 I
2 sin 30º
4 d / 2
B  6 BL 
0 12I
4 d
I
1  30º
60º
 2  30º
d
2
B ·d
10 4 · 0.2 50
  12 ·10 7  3 A
12 0
4
(El sentido del campo
magnético es saliente)
I
Ley de Faraday:
 
d
d
dBt 
  Bt · S    S
dt
dt
dt
Ayuda: campo
magnético creado por
una corriente rectilínea
d  20 cm
B
0 I
sin 1  sin  2 
4 h
I
1
Dato:
0  4 ·107 N·A 2
2
h
(b) La espira central tiene una superficie pequeña, por lo
que el campo magnético en todos sus puntos será muy
aproximadamente el mismo del punto central y el flujo
magnético a través de ella será en todo momento el
producto de ese campo magnético central por su área.
El módulo de este campo
magnético irá disminuyendo a
S  1 cm 2
medida que disminuya la


corriente.
  Bt · S  Bt · S
Hemos elegido para el vector
superficie el mismo sentido que el del
campo magnético, por lo que el sentido
positivo es el antihorario.
De acuerdo con el enunciado, cuando la corriente se interrumpe el tiempo que tarda en caer a cero es Dt = 0.05 s.
Supondremos (caso más sencillo) que el campo magnético disminuye linealmente durante ese intervalo. 8


4
DBt 
T
4
2 0  10
  S
 10 m
 2 ·10 7 V  El signo + del resultado nos indica sentido antihorario
Dt
0.05 s