Problemas

Problemas
1. Una bombilla eléctrica de 50 W emite ondas electromagnéticas uniformemente en
todas las direcciones. Calcular la intensidad, la presión de radiación y los campos
eléctricos y magnéticos a una distancia de 3 m.
La intensidad vendrá dada por
I (3m ) =
W
50
W
=
= 0, 442 2
2
4πr
4π 9
m
y la presión de radiación será
Pr ( 3m ) =
I (3m)
= 1,47 x10 −9 Pa
c
Sabemos que la intensidad de la onda se relaciona con el módulo promedio del
vector de Poynting por
I=
1
E2
c ε 0 E02 = 0 = ⟨ S ⟩
2
2µ 0 c
E0(3m)=18,2 V/m
con lo que el campo eléctrico E a 3m vendrá dado por
E(3m)=E 0senωt=18,2.senωt V/m
y la inducción magnética B sabiendo que en la onda electromagnética
B0=E 0/c=6,08x10-8 T
B(3m)=6,08x10-8senωt T
P5-1
2. La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es de 20 km, la rueda
dentada tiene 25 mm de radio y 250 dientes. ¿Cuál debe ser la velocidad de giro
de la rueda para que la luz deje de verse?
El tiempo que tarda al luz en ir y volver entre los dos espejos es igual a
t=2l/c=2x20.000/3x108m/s=1,33x10-4s
La luz se dejará de ver cuando el espacio entre dientes sea ocupado por
totalmente por el siguiente diente. El á ngulo subtendido por un diente es igual a
θ=π/Nd siendo Nd el numero de dientes de la rueda
Si la velocidad de giro es n, es decir en 1 segundo recorre 2πn radianes, el
tiempo para recorrer θ es
t=1/2nNd
La luz se dejará de ver cuando ambos tiempos se iguales y despejando n
n=c/4Lnd = 15 rps
P5-2
3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con un ángulo de
incidencia de 45º. Si el índice de refracción del agua es de 1,33, ¿cuál es el
ángulo de refracción?
Aplicando la ley de Snell
n1sen ϑ1 = n 2 senϑ 2
1
sen 45º = senϑ2
1,33
y el ángulo de refracción será
ϑ2 = 32,1º
P5-3
4. Considérese un haz de luz monocromática con longitud de onda en el vacío de
590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio con índice de
refracción n=1,5.
Dado que la frecuencia de la radiación electromagnética no cambia al pasar de
un medio a otro y si lo hace la velocidad, la longitud de onda en el medio será
λ´=
λ
=590/1,5=393,33 nm
n
P5-4
5. Una radiación de frecuencia f=5x1014 s-1 se propaga en el agua. Calcular la
velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha radiación.
El índice de refracción del agua es n=1,33 con lo que la velocidad de
propagación de la luz en el agua es
n=c/v
v=c/n=2,26x108 m/s
y su longitud de onda será
λf=v
λ=v/f=4,51x10-7 m
P5-5
6. En el fondo de una vasija llena de líquido de índice de refracción n2 hay un
pequeño objeto. La vasija tiene una altura hr. Hallar la altura aparente a la que se
encuentra el objeto cuando se mira éste con incidencia normal siendo el índice
de refracción del medio donde se encuentra el observador n1 .
Al mirar con incidencia normal, los ángulo de incidencia y refracción serán muy
pequeños y podremos sustituir en la ley de Snell senos por tangentes
n1tgε 1=n2 tgε 2
de al figura adjunta se dedude que si el objeto está a una altura CA (igual a la
altura real hr) y de altura aparente es CB (igual a ha) tenemos que
tgε 1=CD/ha y tgε 2=CD/hr
y aplicando Snell
n1CD/ha =n2CD/hr y despejando
ha=hr n1/n2
P5-6
7. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al atravesar una lámina
de 1 cm de espesor e índice de refracción 1,5 si el rayo incidente forma un
ángulo de 45º con la normal.
En el triángulo AOA´ el desplazamiento d es igual a
d=AA´sen(ε´2-ε´1)=
e
sen (ε ´2 − ε 1´ )
cos ε 1´
desarrollando el seno y teniendo en cuenta que ε 2=ε´1 y que ε 1=ε´2 y la ley de
Snell llegamos a que

n12 − n12 sen 2ε 1
d = esenε 1  1 −
2
2
2

n 2 − n1 sen ε 1


 y sustituyendo


d=0,329 cm
P5-7
8. En una lámina plana de cuarzo, n=1,544, de caras paralelas incide un rayo con
un ángulo cercano a cero. Calcular el porcentaje de la intensidad luminosa del
rayo que emerge a través de la lámina.
El factor de reflexión para incidencia normal viene dado por
2
I
 n − n2 
 = 0,0457
r0 = r =  1
I i  n1 + n 2 
con lo que la intensidad refractada en la primera superficie será
Irefractada =(1-r0)I=0,9543I
En la segunda cara de nuevo tenemos un proceso de reflexión-refracción con
una intensidad reflejada
I(1-r0 )r0=0,0436I
y una intensidad refractada que es la que sale de la lámina
0,9543I-0,0436I= 0,9107I es decir un 91,07% de la intensidad incidente
P5-8
9. Un vidrio dado posee un índice de refracción de n=1,5. ¿Cuál es el ángulo crítico
para la reflexión total de la luz que sale del vidrio y entra en el aire?
El ángulo crítico viene dado por
senθ c =
n2
n1
que en este caso es igual a
senθc =1/1,5
θc = 41,8º
P5-9
10. Sea una lámina de vidrio, n=1,75, con forma de cuña y rodeada de aire. Calcular
el ángulo α que forman las dos caras de la cuña sabiendo que un rayo de luz que
incide sobre una de las caras con un ángulo de 30º se refracta sobre la otra
según el ángulo crítico.
Aplicando la ley de Snell sobre la cara OA tendremos
senε 1=nsenε 2
la reflexión sobre la cara OB, al ser según el áng ulo crítico, cumplirá que
senε c =1/n y ε c =34º51´
De la figura se deduce que
εc = ε 2+α
y senε 2=senε 1/n con lo que ε 2=16º36´
de donde deducimos el ángulo α de la cuña
α=18º14´
P5-10
11. Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio con índice de refracción
1,655. Sobre la cara superior se condensa un líquido desconocido. La reflexión
interna total sobre la superficie vidrio-líquido se produce cuando el ángulo de
incidencia en la superficie vidrio-líquido es ≥53,7°. ¿Cuál es el índice de
refracción del líquido desconocido? Si se eliminase el líquido, ¿cuál sería el
ángulo de incidencia para la reflexión interna total?. Para el ángulo de incidencia
hallado en el apartado anterior, ¿cuál es el ángulo de refracción del rayo dentro
de la película del líq uido? ¿Emergerá un rayo a través de la película del líquido
hacia el aire que está encima?
Índice de refracción del vidrio: n1 = 1,655 ; buscamos n2, que es el índice de
refracción del líquido. Se nos da el ángulo crítico, θc = 53,7°. Aplicando la ley
de Snell se obtiene:
n1 × sen 53,7 = n2 × sen 90, n2 = 1,33
Índice de refracción del medio que rodea al vidrio cuando no hay líquido (aire):
n3 = 1. Aplicando la ley de Snell se obtiene:
n1 × sen θc = n3 × sen 90, θc = 37,17°
Aplicamos de nuevo la ley de Snell, ahora de nuevo considerando la capa de
líquido sobre el vidrio pero con un ángulo de incidencia vidrio-líquido igual a
37,17°. Buscamos el ángulo de refracción θ2:
1,655 × sen 37,17 = 1,33 × sen θ2 , θ2 = 48,75°
Para saber si emerge el rayo desde el líquido hacia el aire, aplicamos de
nuevo la ley de Snell:
n2 × sen θ2 = n3 × sen θ3 . Sustituyendo (y utilizando expresión para sen θ2
hallada arriba):
1,33 × (1,655 × sen 37,17) / 1,33 = 1 × sen θ3 , θ3 = 90°
P5-11
no emergerá el rayo, sino que el haz final refractado en el aire es paralelo
a la superficie; la refracción dentro del líquido no altera la salida.
P5-12
12. Luz no polarizada de intensidad 3 W/m2 incide sobre dos películas polarizadoras
cuyos ejes de transmisión forman entre si un ángulo de 60º.¿Cuál es la
intensidad de la luz transmitida por la segunda película?
Al no estar polarizada la luz incidente en el polarizador, tras pasar a través de él
la intensidad que queda I1 será igual a la mitad de la incidente I0
La intensidad después de pasar por el analizador es igual a
I2 =I1cos2θ=0.5x3xcos260=0,375 W/m2
P5-13
13. Hallar la velocidad de grupo de un haz de luz en un vidrio óptico que cumple la
fórmula de Cauchy.
P5-14
14. Calcular la variación de desviación que experimenta un rayo luminoso después
de atravesar un prisma de vidrio, α=60º y n=1,6, sobre el que incide con un
ángulo de 40º cuando el medio que lo rodea cambia de aire a agua.
Sabemos que la desviación angular que sufre un rayo de luz al atravesar un
prisma viene dado por
δ == ε 1 − ε 2´ − α
según esquema de los apuntes
Aplicando la ley de snell a la primera refracción obtenemos ε´1
ε´1= 23º 41´
Sabemos que en un prisma
ε 1, − ε 2 = α
de donde ε 2= -36º 19´
y aplicando de nuevo Snell obtenemos el ángulo de refracción en la segunda
cara del prisma
ε´2= -71º 21´
y la desviación angular
δ= 51º 21´
operando de igual forma en agua con un n=1,33 obtenemos
δ=13º 48´
P5-15
15. Calcular el ángulo diedro α de un prisma, n=1,5204 para una longitud de onda de
λ=656,3 nm, sabiendo que un rayo que incide con un ángulo de 60º se desvía un
ángulo de 48º13´30´´.
P5-16
16. Demostrar que el ángulo de incidencia ε 1 sobre un prisma, de ángulo diedro α e
índice de refracción n, que hace mínima la desviación δ a la salida del mismo
cumple que
senε 1 = nsen
α
2
Sabemos que el ángulo de desviación viene dado por δ = ε 1 − ε ´2 − α
Derivando respecto a ε 1 e igualando a cero para hallar el mínimo de la
desviación respecto al ángulo de incidencia obtenemos
dδ
dε ´
= 1− 2 = 0
dε 1
dε 1
Por otro lado aplicando la ley de Snell al proceso de refracción en las dos
caras del prisma
senε 1 = nsen ε 1´
nsen ε 2 = sen ε ´2
y diferenciando
cos ε 1dε 1 = n cos ε 1´ dε 1
n cos ε 2 dε 2 = cos ε ´2 dε ´2
Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos
cos ε 1 cos ε 2
dδ
= 1−
=0,
dε 1
cos ε 1´ cos ε 2´
cos ε 1 cos ε 2´
=
cos ε 1´ cos ε 2
y por tanto ε 1 = ε 2´ y ε 2 = ε 1´ . La trayectoria del rayo que hace la desviación
mínima es simétrica respecto al prisma
Sabemos que ε 1, − ε 2 = α quedándonos ε 1´ =
De la ley de Snell llegamos a
senε 1 = nsen
α
2
P5-17
α
2
17. Para el prisma del problema 15 se conoce que su índice de refracción para
λ=486,1 nm es 1,5293. Calcular la dispersión angular existente al incidir sobre el
prisma un haz luminoso, compuesto de dos longitudes de onda, λ=656,3 nm y
λ=589,3 nm, con un ángulo de 60º.
P5-18