Los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas

HACIA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Tomás Ortega
Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid
[email protected]
Introducción
El primer objetivo fundamental de este trabajo es dar a conocer una metodología de
resolución de problemas para que pueda ser aplicada en las aulas de Educación
Primaria, metodología que se aplicará a ejemplos de problemas concretos.
El segundo objetivo es mostrar las posibilidades de uso de la calculadora básica, para
que se utilice como herramienta didáctica en este nivel educativo.
Finalmente se proponen cuatro problemas de geometría para que sean resueltos por los
alumnos utilizando la calculadora.
Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
Tomás Ortega
1. UN MODELO DE RESOLUCIÓN
Los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas (PAVOC) son problemas
que se resuelven con más de una operación y requieren un proceso de resolución en el
que se tiene que elaborar una estrategia de resolución con estas fases:
1. Qué operaciones se tienen que realizar.
2. Que datos intervienen en cada una de ella,.
3. En qué orden intervienen las operaciones.
4. Si se tienen que utilizar resultados parciales intermedios.
También conviene saber que en problemas de una etapa, con números pequeños, los
niños pueden resolverlos con estrategias personales, y que tales estrategias dejan de ser
efectivas cuando los números tienen varias cifras. En la resolución de estos problemas
es fundamental el proceso de traducción del enunciado verbal al lenguaje aritmético, y
la instrucción que se lleve a cabo, además, tiene que dotar de significado a las
operaciones.
El hecho de que los procesos de traducción aritmética y la significación de las
operaciones no sean biunívocos con el campo semántico verbal implica unos niveles
cognitivos de los lenguajes implicados que sean adecuados, que les permitan construir
unos enunciados esquemáticos (verbal, gráfico o simbólico) en los que se pueda
identificar la estructura del problema.
Desde la época griega (Euclides, 300 a C, Pappus 320 d C) es conocido el método de
Análisis-Síntesis, método que es eficaz para resolver problemas aritméticos y que
básicamente consiste en los siguiente:
I. Análisis
1. Identificar la incógnita del problema (cantidad desconocida que hay que calcular
y que resuelve el problema).
2. Determinar qué datos son necesarios para hacer ese cálculo
3. Si están todos hay que hacer el cálculo final
4. Si falta alguno, se considera como una incógnita intermedia.
5. Determinar qué datos son necesarios para calcular la incógnita intermedia y
aplicar el proceso anterior a esta incógnita.
6. Iterar el proceso las veces necesarias hasta que:
-
O bien se tienen todos los datos para calcular la incógnita del problema. En
este caso se calcula y el problema termina felizmente
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Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
-
Tomás Ortega
O bien alguno no se puede calcular, o se llega a contradicciones. En este
caso el problema no tiene solución
II. Síntesis: es la acción resolutora.
EJEMPLO DE ANÁLISIS-SÍNTESIS Y RESOLUCIÓN
Problema 1. El pasado lunes llegaron al aeropuerto de Valladolid cuatro aviones
procedentes del extranjero. El primero venía de Londres y trajo 218 pasajeros, el
segundo procedía Bruselas y en él vinieron 95 personas menos que en el de Londres, el
tercero venía de París y de él se bajaron el doble de personas que del avión procedente
de Bruselas, el cuarto venia de New York y el número de pasajeros era el mismo que
juntando los pasajeros de Bruselas y la tercera parte de los de París. ¿Cuántas personas
llegaron a Valladolid en estos aviones?
Análisis:
1. ¿Cuál es la incógnita del problema? El número de personas llegaron a Valladolid
2. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de personas que
llegaron en cada avión.
3. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Se sabe el número de pasajeros que
llegaron en el avión de Londres, pero no los demás. Por tanto, el número de
pasajeros de estos aviones son incógnitas intermedias.
A. ¿Cuál es la primera incógnita intermedia? El número de personas que
llegaron de Bruselas.
B. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de
personas que llegaron de Londres.
C. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Son todos conocidos.
a) ¿Cuál es la segunda incógnita intermedia? El número de
personas que llegaron de París.
b) ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El número de
personas que llegaron de Bruselas.
c) ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Es necesario que se
haya calculado el número de pasajeros que procedían de
Bruselas.
a. ¿Cuál es la tercera incógnita intermedia? El número de
personas que llegaron de New York.
b. ¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla? El
número de personas que llegaron de Bruselas y la tercera
parte de los que llegaron de París.
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Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
Tomás Ortega
c. ¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Es necesario que
se hayan calculado el número de pasajeros que procedían
de Bruselas, pero no se conoce cuántos son la tercera parte
de los viajeros que venían de París. Por tanto esta es una
cuarta incógnita intermedia.
-
¿Cuál es la cuarta incógnita intermedia? Cuál es la
tercera parte del número de personas que llegaron
de París.
-
¿Qué datos necesitamos conocer para calcularla?
El número de personas que llegaron de París.
-
¿Qué datos son conocidos y cuáles no? Haber
calculado el número de pasajeros que procedían
París.
Síntesis (lo redacto en primera persona, como si yo fuera el alumno):
1) Como sé el número de pasajeros que llegan de Londres, 218, y que de Bruselas
llegaron 96 personas menos, para hallar el número de personas que llegaron de
Bruselas sólo tengo que hallar 218-95=123.
2) Como ya conozco los pasajeros procedentes de Bruselas, 123, puedo calcular los
que venían de París, ya que sólo tengo que calcular 123·2=246
3) Como sé el número de personas que venían de París, 246, para hallar su tercera
parte tengo que calcular 246:3=82
4) Como ya he calculado los pasajeros que venían de Bruselas, 123, y la tercera
parte de los que venían de París, 82, para calcular los que llegaron de New York
sólo tengo que calcular 95+82=177
5) Ahora ya conozco todos los datos necesarios para calcular la incógnita del
problema y para ello sólo tengo que hacer esta suma: 218+123+246+177=754.
LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS
La cadena deductiva que conecta los datos del problema con la incógnita es la estructura
del mismo y se puede elaborar un diagrama que recoja el proceso de resolución que, en
suma, debe contemplar los siguientes entes: Las etapas necesarias para ir desde la
incógnita a los datos, el número de incógnitas auxiliares, las conexiones entre los datos
y las operaciones que hay que realizar.
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Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
Tomás Ortega
En definitiva se trata de crear un esquema que facilite la traducción del lenguaje verbal
al lenguaje aritmético junto a al proceso de resolución. Éste está implícito al consignar
qué operaciones, con qué datos y en
qué orden.
La figura 1 muestra el diagrama de
resolución que corresponde al
problema enunciado. En él se puede
apreciar el número de incógnitas
auxiliares, las operaciones que hay
que realizar, el orden de las mismas
y los datos que intervienen en cada
una de ellas. Se trata de un problema
de cinco etapas y, por tanto, ya no es
un problema fácil de resolver dentro
del
nivel
de
estudios
que
corresponde a todos los conceptos
que están presentes en él, y la
complejidad del diagrama de
estructura es un fiel reflejo de la
dificultad
del
problema
correspondiente.
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Figura 1.Diagrama estructura asociado
al problema1.
Problema 2. Para organizar la merienda de cumpleaños de Luis, a su mamá la cobran
8,65 euros por cada niño. Fueron 13 niños y su mamá pagó con un billete de 100 € y
con otro de 50 €. ¿Cuánto dinero la tienen que devolver?
La figura 2 corresponde al diagrama
estructural del problema 2, problema de dos
etapas, y que, como es evidente, tiene una
estructura más sencilla. La dificultad del
mismo está asociada a la complejidad de los
números que intervienen, pero el uso de la
calculadora palia estas dificultades sin mermar
los aprendizajes de resolución (pero no las
algorítmicas).
Figura 2.Diagrama estructural del
problema 2.
Problema 3. Se ha organizado una rifa en el colegio para recaudar dinero y así poder
hacer una excursión. Se han hecho 500 papeletas para venderlas a 1,5 euros cada una,
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Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
Tomás Ortega
pero sólo se consiguieron vender las tres
quintas partes1. Al final van a la excursión 45
niños y se quiere saber el dinero que se ha
ahorrado cada niño2. Haced el diagrama
estructural correspondiente en el recuadro de
la figura 3 y resolver el problema.
Cuando se trata de problemas contables, la
estructura de tabla proporciona una
organización muy adecuada para ir anotando
los resultados parciales (soluciones de las
Figura 3. Recuadro para el
incógnitas intermedias) y llegar al resultado diagrama estructural del problema3.
final (solución de la incógnita del problema).
El problema siguiente es un ejemplo de este tipo.
Problema 4. Calcula el importe total de la siguiente compra hecha en el supermercado:
3 Kg de naranjas a 0,95 euros el kilo (0,95 €/kg), 4 Kg de plátanos a 1,25 €/Kg. 16 litros
de leche a 0,79 €/l, 6 litros de aceite a 3,24 €/l (Solución 42,03 €).
Concepto
Unidades
Precio por unidad
Naranjas
3
0,95
Plátanos
4
1,25
Leche
16
0,79
Aceite
6
3,24
Totales
Coste total
Se puede y se debe utilizar la calculadora para hacer estos cálculos, y se procede así:
Sucesión de Teclas de calculadora que facilitan los cálculos.
La figura 4 presenta la estructura de este problema, y se puede pensar que también está
en la propia tabla. No es así, ya que en ésta no figuran las opera-ciones que hay que
realizar.
1
En este enunciado intervienen representaciones numéricas muy diferentes: naturales,
fracciones y decimales.
2
Aquí los números casan muy bien pero conviene pensar en la dificultad que conlleva unos
resultados parciales y finales que no sean tan ajustaditos.
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Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
Tomás Ortega
En este tipo de problemas
contables, cuando hay una
inversión en el flujo de
resolución del problem, la
dificultad
aumenta
de
forma considerable. El
problema 5, que está
relacionado con el anterior,
Figura 4. Estructura del problema 4.
es un ejemplo en el que la
disposición de los datos en la tabla facilita los cálculos. Tanto en el caso directo como
en el inverso, hay que hacer una traducción del lenguaje verbal, el enunciado del
problema, al lenguaje numérico, que es el de las tablas, que ordena los cálculos y que
siempre tienen que hacerlo los alumnos. Siempre son los alumnos y no el profesor
quienes tienen que hacer las tablas.
Problema 5. El coste total de la compra hecha en el supermercado ha sido de 42,03 €.
Se ha comprado una bolsa de 3 Kg de naranjas que valía 2,83 €, plátanos a 1,25 €/Kg
que valían 5,00 €, 16 litros de leche a 0,79 €/l, un “pack” de 6 litros de aceite. Con éstos
datos se pregunta cuál es el precio del litro de aceite.
Concepto
Unidades
Naranjas
3
Precio por unidad
2,85
Plátanos
1,25
Leche
16
Aceite
6
Totales
6,00
0,79
Coste total
42,03
Este problema tiene dos incógnitas intermedias,
que en ocasiones se formulan de forma
explícita, incluso se pide que se calculen todos
los conceptos que corresponden a huecos en
blanco en la tabla: el precio del Kg de naranjas,
los Kg de plátanos que se compraron, el importe
de la leche, el importe del aceite y, finalmente,
el precio del litro de aceite. Sinceramente, con
esta formulación no es un problema, sino un
ejercicio de cálculo. La estructura del problema
evidencia lo que se acaba de decir y se pide que
se haga en el recuadro adjunto.
6
Figura 5. Estructura del problema 4.
Un modelo e resolución: Análisis, Síntesis y estructura
Tomás Ortega
Otra aplicación para la que es apropiedo el uso de tablas y calculadora son los cálculos
estadísticos. Cuando, por ejemplo. se trata de calcular una media aritmética de una
variable, la estructura es siempre la misma y lo más importante es ordenar los datos y
las operaciones.
Problema 6. Las puntuaciones que han alcanzado los alumnos de 5º curso en la prueba
de matemáticas han sido las siguientes: 3 sólo sacaron 3,25 puntos; 5 alumnos han
obtenido 4,75; 4 alumnos han sacado 6,00; 6 alumnos llegaron a 7,25; 3 obtuvieron
8,50, 2 alumnos 9,75. Halla la puntuación media de la clase.
Puntuaciones
(valores: x)
alcanzadas Número
de
(frecuencias: n)
alumnos Productos: x*n
3,25
3
9,75
4,75
5
23,50
6,00
4
24,00
7,25
6
43,50
8,50
3
25,50
9,75
2
19,50
Sumas de frecuencias y de
productos
23
145,75
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Los problemas de geometría
Tomás Ortega
LOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
Es evidente que en muchas ocasiones la interpretación de los datos de los problemas de
geometría permite hacer ciertas transformaciones geométricas que convierten la figura
dada en otra que tiene la misma superficie, pero que simplifica muchísimo los cálculos.
Este el caso del problema
PR1 y, antes de hacer la
correspondiente traducción
aritmética, hay que hacer
un análisis del esquema
gráfico que reproduce los
datos del problema.
PR1. El dibujo de la figura
7 representa un solar a
escala 1:750. Mide lo que
necesites y calcula el área
del solar. Expresa el
resultado en m2.
Figura 7. Plano de un solar a escala 1:750
La incógnita del problema es el cálculo del área. La expresión del resultado en m2 es un
ejercicio de “ajuste de unidades” del que se tiene una tabla de conversión.
-
La idea fundamental es hacer transformaciones
geométricas orientadas a construir el menor número de
rectángulos y triángulos posibles. Hallar las áreas
parciales y finalmente a total.
-
Estos problemas tienen una estructura fundamental de
tres etapas, como se muestra en la figura 8, pero la etapa
intermedia tiene una subestructura asociada a la aritmética
de las formas que intervienen en la figura transformada.
Figura 8. Estructura.
PR2. Determinar la longitud del circuito de la figura 9, sabiendo que la escala del
dibujo es 1:12.500.
El análisis debe combinar las estrategias de medición y de cálculo, y cuándo, como en
este caso, hay que efectuar muchos cálculos, la ordenación de los mismos forma parte
de la estrategia de solución. La elaboración, por los alumnos, de una tabla de cálculo (o
de resultados parciales) puede garantizar el éxito o fracaso en la resolución., ya que se
trata de un problema similar a los “problemas contables”. Aquí no se calcula con dinero
sino con metros; hay una factor constante, que es el factor de escala, y salvo los tramos
7-11 y 14-1 , que son iguales, los demás son diferentes y, por tanto, los cálculos son
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Los problemas de geometría
Tomás Ortega
distintos. Para ser más ordenados y evitar errores (confusión de un tramo con otro, u
olvido o repetición de alguno) conviene poner letras en los puntos de tangencia (A, B,
C, ...) y en los centros de las circunferencias (O, P, Q, R, S, T). Los puntos de tangencia
delimitan los “tramos de medida y cálculo” en el propio dibujo (los segmentos son
tramos de medida y los arcos son tramos de cálculo).
Una vez que se tengan las medidas para poder hacer los cálculos sería conveniente hacer
El recorrido del circuito es el
marcado por las flechas.
Los coches entran en el tramo circular
del puente por debajo de éste.
Recorren la circunferencia completa y
salen por encima del puente.
Figura 9. Plano de un circuito automovilístico a escala 1:12500.
el correspondiente diagrama estructural.
Todavía surge otra pregunta a nivel metodológico. Se recuperan las longitudes reales
aplicando a cada medida el factor de escala y se hacen los cálculos con éstas o, por el
contrario, se hacen los cálculos con las medidas del dibujo y después se tiene en cuenta
la escala. La respuesta es obvia desde la propia matemática y para elegir la opción
adecuada sólo hay que pensar en la propiedad distributiva del producto respecto de la
suma.
PR3. Suponiendo que se trate de un circuito plano, se puede determinar el área
delimitada por el propio circuito.
Todas las consideraciones hechas en el problema anterior son válidas en éste, pero
además hay que tener el cuenta que el funcionamiento de la escala en las áreas es
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Los problemas de geometría
Tomás Ortega
cuadrático; es decir, si la
escala de un plano es E, la
razón entre el área de un
recinto en ese plano y la
correspondiente área en la
realidad es E2.
PR4.
Determinar
las
dimensiones y el área del
salón que está representada
en el plano de la figura 10.
El diagrama del análisis del
problema, figura 11, indica
que lo primero que hay que
hacer es determinar la escala
con la que se ha hecho el
plano, y para ello lo
primero que hay que
hacer es un análisis de los
elementos que están
representados,
e
identificar aquellos cuya
medida es estándar y que
se conoce o se puede
conocer. Por razones de
“errores en la medida”
convine medir más de un
elemento y aplicar a cada
uno la correspondiente
regla de tres.
Figura 10. Plano de una vivienda
Figura 11. Estructura del problema PR4.
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Hacia la resolución de Problemas. La calculadora básica
Tomás Ortega
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