Matemáticas - EducarChile

unidad 6
Matemáticas
al
senci
MATERIAL DE APOYO PARA EL AULA
GUÍAS 1, 2 Y 3: ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA MULTIPLICACIÓN
En estas guías se espera que los estudiantes comprendan el tipo de situaciones que se
pueden representar mediante una multiplicación. Aquí se trata de representar la acción de
juntar grupos iguales y determinar cuánto será el total de elementos que se obtendrán luego
de realizada dicha acción. Es importante mostrar que dado que se trata de juntar elementos,
ello puede asociarse con una suma en la que todos los sumandos son iguales. En consecuencia,
para obtener el resultado de una multiplicación bastará saber qué sumando hay que considerar
y cuántas veces hay que sumarlo. Se trata, asimismo, que los estudiantes conozcan la forma
de representar simbólicamente una multiplicación e identifiquen lo que representa cada uno de
los miembros de dicha expresión. Se sugiere trabajar la guía 3 formando grupos. Complemente
estas actividades con otras similares de modo de reforzar el propósito que aquí se persigue.
GUÍAS 4 Y 5: OTRAS SITUACIONES MULTIPLICATIVAS
Se sugiere que los estudiantes trabajen la guía 4 en forma individual y la guía 5 formando
grupos. En estas guías se muestran situaciones que también pueden representarse mediante
una multiplicación. Se trata de situaciones en las que si se conocen los elementos que conforman
un grupo, es posible conocer cuántos elementos se tendrán si se considera un número determinado
de otros grupos similares. Por ejemplo, si sabemos cuántos huevos hay en una caja se puede
saber cuántos habrá si se consideran 2, 3 o las cajas que se deseen. Lo importante es destacar
que siempre debe tratarse de las mismas cajas. Esta situación se destaca claramente en el
ejercicio A de la guía 5 por lo que se sugiere comentarlo y asegurarse que todos los estudiantes
comprenden las conclusiones de los personajes que allí se presentan.
GUÍA 6: DESCUBRIENDO ERRORES DE APLICACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN
(Trabajo en grupo)
En esta guía se trata de mostrar que para aplicar una multiplicación es necesario que los
grupos que se están considerando siempre tengan las mismas características en cuanto al
número de elementos que los conforman. En el caso A, por ejemplo, las dos alcancías debían
tener la misma cantidad de dinero. Se trata, en definitiva de mostrar indirectamente la relación
de proporcionalidad que debe existir entre las variables que se están considerando, aspecto
que se estudiará en el segundo ciclo básico.
GUÍAS 7 y 8: ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA DIVISIÓN
Se sugiere formar grupos para que los estudiantes trabajen la guía 7.
En estas guías se introduce la división como una operación que permite representar
situaciones de reparto equitativo. Al igual que en el caso de la multiplicación se comienza
trabajando con material concreto de modo que los estudiantes puedan vivenciar la acción que
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
4
unidad 6
Matemáticas
al
senci
se expresa matemáticamente a través de una división. Así también, se introduce la simbología
correspondiente y se espera que los estudiantes puedan comprender qué representa cada uno
de los miembros que la conforman.
GUÍAS 9 y 10: INFORMACIÓN QUE SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE UNA
DIVISIÓN
A través de estas guías se espera que los estudiantes puedan comprender que a partir
de una división es posible obtener dos tipos de información. Se sugiere detenerse y analizar
detalladamente las situaciones propuestas de modo que los alumnos y alumnas puedan lograr
comprender las conclusiones a que llegan los estudiantes representados en el ejercicio C de
la guía 10. Promueva el trabajo en grupo y la discusión al interior del mismo.
GUÍA 11: DESCUBRIENDO ERRORES DE APLICACIÓN DE LA DIVISIÓN
(Trabajo en grupo)
En esta guía se espera que los estudiantes reconozcan el hecho de que para aplicar una
división es necesario que el reparto que se está haciendo sea equitativo. Es decir, que si se
reparte una cierta cantidad de elementos a cada grupo se le debe dar la misma cantidad. Se
sugiere complementar este tipo de actividades con nuevos ejemplos ya que éste es un punto
que los estudiantes olvidan y aplican una división cada vez que hay un reparto, sin importarles
si es equitativo o no.
GUÍA 12: RESOLVIENDO PROBLEMAS (Trabajo en grupo)
Aquí se plantean algunas situaciones problemáticas con el propósito de que los estudiantes
reconozcan cuando utilizar una multiplicación o una división, es decir, que pongan en juego
sus conocimientos acerca del significado de ambas operaciones. Se sugiere complementar esta
actividad con nuevos ejemplos.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
5
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 1
ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA MULTIPLICACIÓN
A
Toma un conjunto de fichas u otros elementos
(semillas, lápices, etc.)
Forma 3 grupos con 5 fichas cada uno,
tal como muestra la figura.
¿Cuántas fichas tiene cada grupo?
fichas
¿Cuántos grupos iguales hay?
grupos
Calcula cuántas fichas ocupaste en total mediante la suma 5 + 5 + 5.
Anota el resultado.
fichas
La situación planteada puede representarse matemáticamente mediante
la multiplicación 3 . 5 = 15 .
Y su resultado se puede obtener mediante una suma de sumandos iguales.
B
La expresión “3 . 5 = 15” que se anotó anteriormente se lee
“3 por 5 igual 15”. Con ella se quiere decir que si tenemos
3 veces un grupo formado por 5 elementos, el total de
elementos que hay son 15.
5 + 5 + 5= 15
Se denomina factores tanto al 3 como al 5 y producto al
resultado de la multiplicación.
¿Qué representa el 3 en la actividad que acabas de realizar?
¿Y el 5?
¿Qué representa el producto?
producto?
¿Cómo obtuviste dicho
Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
6
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 2
ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA MULTIPLICACIÓN
A
Esta niña ha formado ahora 4 grupos con 2 fichas cada uno.
La situación planteada puede
representarse mediante la multiplicación:
4.2=8
¿Cómo se lee esta expresión matemática?
¿Qué representa el 4 en este caso?
¿Qué representa el 2? ¿Y el 8?
¿Cómo se pudo obtener el resultado de esta multiplicación?
Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
B
Yo formé estas 4 torres
con 7 cubos cada una.
Una manera de representar
matemáticamente la acción realizada por
este niño es la siguiente multiplicación:
4 . 7 = 28
¿A qué corresponde cada número en la
expresión matemática anotada?
¿Qué información en relación con las torres nos
entrega el resultado de la multiplicación
anotada?
¿Cómo se pudo obtener el resultado de esta
operación?
C
Utilizando fichas u otros elementos, forma grupos que se puedan representar mediante
la multiplicación 5 . 2 = 10.
¿Cuántos grupos tuviste que formar?
grupos
¿Cuántos elementos tenía cada grupo?
elementos
¿Cómo se obtuvo el producto en este caso y qué representa?
Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
7
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 3
ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA MULTIPLICACIÓN
(trabajo en grupo)
En cada recuadro lean lo que dicen los estudiantes siguiendo el orden de los números y comenten
su contenido.
A
Mediante la
multiplicación
podemos representar
la acción de juntar
grupos.
B
1
4
2
Sí, pero los grupos tienen
que ser iguales.
1
3
En mi curso trabajamos
en grupos de 4.
2
Todos los grupos están
formados por la misma
cantidad de alumnos y
alumnas.
3
O sea, que en mi curso
hay en total 32 alumnos
y alumnas.
Y para obtener el
resultado podemos
emplear una suma
que tiene todos sus
sumandos iguales.
En total se forman 8
grupos.
Un alumno dice que la situación planteada puede representarse por la operación:
8 . 4 = 32
B
1
2
Si quiero saber cuántos libros hay
en total en este estante cuento
los que hay en la primera repisa y
multiplico por 2.
Eso siempre que haya la
misma cantidad de
libros en cada repisa
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
8
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 4
OTRAS SITUACIONES MULTIPLICATIVAS
A
El precio de cada pastel era
de $100 y yo me compré 3.
Para saber cuánto dinero gastó este niño en
los pasteles una alumna hizo el siguiente
cálculo:
100 + 100 + 100 = 300
A través de una multiplicación también podrías
representar la misma situación. Anótala.
¿Qué representa cada uno de los factores y el producto en la
multiplicación que anotaste?
B
En cada una de estas
cajas hay 6 huevos.
Berta quiere saber cuántos huevos hay en total.
Ella sabe que en cada caja hay 6 huevos y que
en total son 3 cajas.
Escribe una multiplicación que represente esta
situación y calcula su resultado.
¿Qué representa cada número en la multiplicación anotada?
¿Qué sabía Berta acerca de cada una de las cajas?
¿Qué información relacionada con este caso puede entregar el resultado de la
multiplicación anotada?
C
Ya va a comenzar el
partido. Cada equipo
tiene 11 jugadores.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
¿Qué representa el
resultado de la
operación 11 . 2 = 22 en
este caso?
9
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 5
OTRAS SITUACIONES MULTIPLICATIVAS
(Trabajo en grupo)
A
Lean lo que dicen estos niños siguiendo el orden de los números, comenten su
contenido y den ejemplos que ilustren lo señalado.
2
Siempre que se trate de los mismos
helados y el precio se mantenga.
1
O sea, que si yo sé cuánto
vale un helado, haciendo
una multiplicación puedo
saber cuánto valdrán 2 ó 3
ó los que quiera.
B
Faltan exactamente 4
semanas para mi
cumpleaños.
3
Eso quiere decir que la
multiplicación
permite
ampliar a varios casos lo que
se sabe de un caso.
Raúl quiere saber cuántos días faltan para
su cumpleaños.
Él sabe que una semana tiene 7 días.
¿Con qué multiplicación podría resolver el
problema? Escríbela y calcula su resultado a
través de una suma.
¿Qué sabía Raúl acerca de la duración de una semana?
¿Qué puede saber Raúl con el resultado de la multiplicación anotada?
C
Una hora corresponde a 60 segundos. Yo hace 2
horas que estoy estudiando. Eso quiere decir que llevo
120 segundos estudiando.
¿Es correcto lo que dice este niño?
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
10
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 6
DESCUBRIENDO ERRORES DE APLICACIÓN DE LA MULTIPLICACIÓN
(Trabajo en grupo)
A
Josefina tiene dos alcancías en las que va poniendo sus
ahorros.
Para saber cuánto ha ahorrado en total saca el dinero
que tiene en una de sus alcancías, lo cuenta y multiplica
por 2 el resultado obtenido.
¿En qué caso sería correcto el procedimiento de
Josefina?
¿En qué caso sería equivocado?
B
Este niño quiere averiguar cuántos estudiantes hay en los
terceros años de su escuela. Él sabe que en su curso hay
30 estudiantes y que hay 2 cursos de tercer año en la
escuela.
Él efectúa el siguiente cálculo: 2 . 30 = 60 .
Luego saca como conclusión que en los terceros años de
su escuela hay 60 estudiantes.
Pero en la escuela de este niño hay 62 estudiantes en
tercer año.
¿Qué error creen ustedes que cometió este niño?
Expliquen su respuesta y coméntenla con el resto del curso.
C
Un cubo de hielo demora
en
derretirse
aproximadamente
30
minutos. Para saber cuánto
demoran 5 cubos realizo la
siguiente multiplicación:
2 . 5 = 10.
Te equivocas, aquí no puedes
aplicar una multiplicación.
¿Por qué este niño tiene razón? Justifiquen su respuesta, coméntenla con el resto
del curso y expliquen las condiciones para utilizar una multiplicación.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
11
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 7
ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA DIVISIÓN
(Trabajo en grupo)
A
Tomen 12 fichas (figura 1).
Figura 1
Repártanlas en 3 grupos que tengan
igual cantidad de elementos cada uno
(figura 2).
Figura 2
¿Con cuántas fichas quedó cada grupo?
B
La acción realizada, que consistió en repartir 12 fichas en 3 grupos que tuvieran la
misma cantidad de fichas, se puede representar mediante la división:
12 : 3 = 4
Esta expresión se lee “12 dividido 3 igual 4” y su
resultado indica la cantidad de elementos que tiene
cada grupo.
dividendo
El recuadro muestra los nombres que tienen cada uno
de los términos en una división.
¿Qué representa el dividendo en el caso de la actividad
realizada anteriormente?
cuociente
12 : 3 = 4
divisor
¿Qué representa el divisor? ¿Qué representa el cuociente?
C
Ahora repartan las mismas 12 fichas en 4 grupos que tengan la misma cantidad
de fichas cada uno.
La división
12 : 4 = 3
representa la acción realizada.
En este caso, ¿qué representa el dividendo, el divisor y el cuociente?
D
Ahora repartan las 12 fichas en 6 grupos que tengan la misma cantidad de
elementos cada uno. Escriban y lean la división que representa este reparto.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
12
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 8
ACERCA DEL SIGNIFICADO DE LA DIVISIÓN
A
Utilizando 18 fichas forma grupos que tengan 6 fichas cada uno.
¿Cuántos grupos pudiste formar?
grupos
Marca lo que se conocía en este caso:
La cantidad total de fichas
La cantidad de grupos
La cantidad de fichas en cada grupo
B
La situación anterior, que la describe la niña de la figura, correspondía a un reparto
en el que se conocía la cantidad de elementos a repartir y la cantidad de elementos
que debía tener cada grupo. Como se trata de un reparto, esta situación también se
representa mediante una división, que corresponde a la que se indica a continuación.
18 : 6 = 3
Con 18 elementos tenía que
formar grupos que tuvieran
6 elementos cada uno. Lo
hice y pude formar 3 grupos.
¿Qué representan en este caso el dividendo, el divisor y el cuociente? Discútelo con
tus compañeras y compañeros.
C
Distribuye ahora las 18 fichas en 2 grupos que tengan la misma cantidad de
elementos cada uno.
Escribe la división que representa el reparto que acabas de hacer.
¿Qué representa cada número en la división anotada en este caso?
Comenta tus respuestas con el resto del curso.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
13
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 9
INFORMACIÓN QUE SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE UNA DIVISIÓN
A
En 4 grupos de modo que
cada uno reciba la misma
cantidad de camisetas.
Nosotros
tenemos que
repartir 12
camisetas.
La división 12 : 4 = 3 representa
la situación que se le plantea a
esta niña y a este niño.
¿Qué sabían y qué pudieron
averiguar con la división anotada?
B
Pero tenemos que darle 6
camisetas a cada grupo.
Nosotros
también
tenemos que
repartir 12
camisetas.
La división 12 : 6 = 2 representa
la situación que se les plantea a
estos niños.
¿Qué sabían y que pudieron
averiguar con la división anotada?
C
Al analizar los ejemplos A y B de esta guía, estos estudiantes llegaron a las
siguientes conclusiones. Léelas siguiendo el orden de los números y coméntalas con
tus compañeros. y compañeras.
La podemos utilizar para saber
2
cuántos elementos tendrá cada grupo.
Mediante una división
podemos representar
una repartición de
elementos en grupos
iguales.
1
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
3
O para saber cuántos
grupos se pueden formar.
14
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 10
INFORMACIÓN QUE SE PUEDE OBTENER A PARTIR DE UNA DIVISIÓN
A
Un grupo formado por 10 niños y niñas
van a entrar a la piscina a jugar a la
pelota. Para ello van a formar 2 equipos
con igual número de personas cada uno.
Marca la información conocida en este
caso.
La cantidad total de personas
La cantidad de grupos
La cantidad de personas en cada grupo
Anota la división que representa esta situación.
¿Qué información proporciona el cuociente de la división en este caso?
B
Terminado el juego de la pelota, se les propone a los mismos niños y niñas de la
actividad anterior otro juego. En este caso participan equipos formados por 2
personas. Los niños y niñas proceden a distribuirse para iniciar el juego.
Marca la información que se conoce ahora.
La cantidad total de personas
La cantidad de grupos
La cantidad de personas en cada grupo
Anota la división que representa esta situación.
¿Qué información proporciona el cuociente en este caso?
Compara esta situación con la anterior y comenta con tus compañeros y
compañeras las diferencias que hay entre ambas.
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
15
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 11
DESCUBRIENDO ERRORES DE APLICACIÓN DE LA DIVISIÓN
(Trabajo en grupo)
A
Rosa y Manuel fueron al supermercado a comprar 8
bebidas para la fiesta del curso.
Para llevar las bebidas, utilizaron sus mochilas.
Para saber cuántas bebidas llevó cada uno se propone
efectuar la división 8 : 2 = 4
¿Están de acuerdo con esta propuesta? ¿Por qué?
B
Pedro empezó a leer un libro que tenía 36 páginas. Como le resultó
muy interesante se demoró sólo 4 días en leerlo.
Para saber cuántas páginas leyó Pedro cada día su hermano hizo
el siguiente cálculo: 36 : 4 = 9
¿Es correcto lo que hizo el hermano de Pedro? ¿Por qué?
C
El empleado de una librería tenía que hacer unos paquetes para
enviar un total de 40 libros a 2 ciudades del sur de Chile. Para
saber cuántos libros colocar en cada paquete el encargado hizo
la división: 40 : 2 = 20.
Y envió 20 libros a cada ciudad.
El dueño de la librería al enterarse de la situación se mostró
muy enojado porque el envío no correspondía.
¿Qué problema creen ustedes que se presentó en este caso?
D
En el curso de Matilde hay 40 estudiantes.
Un día la profesora les pidió que formaran 5 grupos para trabajar una guía.
Daniel, Juan, Raúl y José formaron un grupo y no aceptaron a nadie más.
Matilde les dijo que no podían formar ese grupo porque cada grupo tenía que tener 8
estudiantes ya que 40 : 5 = 8.
Los niños le respondieron que estaba equivocada, que aquí no podía utilizar esa
división.
¿Quién creen ustedes que tiene la razón, Matilde o los niños? ¿Por qué?
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
16
unidad 6
al
senci
Matemáticas
GUÍA 12
RESOLVIENDO PROBLEMAS
(Trabajo en grupo)
A
A Mario le encanta leer. Ahora quiere comprarse un libro
que vale $7.000. Por eso guarda cada día una moneda de
$100.
¿Qué información se puede obtener a partir de la siguiente
operación?
B
Estela ha visto que en su casa hay una llave que gotea.
Ella fue recogiendo el agua que cayó durante todo un día
y el resultado fue de aproximadamente 6 litros.
Estela se pregunta cuántos litros de agua se perderán al
mes si la llave no se repara y se pierde la misma cantidad
de agua cada día.
¿Cuál de las siguientes operaciones puede hacer Estela para responder su pregunta, si
consideramos un mes de 30 días?
30 : 6 = 5 ó
30 . 6 = 180
¿Cómo se puede ahorrar agua y por qué hay que hacerlo?
C
En la primera
repisa tengo
9 libros.
Entonces tienes 27 libros
en total, porque son 3
repisas y 3 . 9 = 27.
Te equivocas,
sólo tengo 30
libros.
No puede ser,
porque mi cálculo
es correcto.
¿Cuál creen ustedes que fue el error de la niña?
FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela.
17