1. Separación de variables.

EDO de variables separables
José de Jesús Ángel Ángel
[email protected]
Working draft: México, D.F., a 24 de enero de 2013.
1.
Separación de variables.
Ejercicio 1
dy
= sen 5x
dx
Solución 1
1. Separando variables:
dy
= sen(5x)
dx
dy = sen(5x) dx
2. Integrando:
∫
∫
dy =
sen(5x) dx
1
y = − cos(5x) dx + C
5
1
1. Separación de variables.
Ejercicio 2
2
dy
= (x + 1)2
dx
Solución 2
a) Separando variables:
dy
= (x + 1)2
dx
dy = (x + 1)2 dx
b) Integrando:
∫
∫
dy =
(x + 1)2 dx
c) Cambio de Variable:
z = (x + 1)
dz = dx
∫
∫
dy =
(x + 1)2 dx
∫
∫
dy =
z 2 dz
z3
+C
3
(x + 1)3
y =
+C
3
y =
Ejercicio 3 dx + e3x dy = 0
Solución 3
1. Separación de variables.
3
a) Separando variables:
dx + e3x dy = 0
dx = −e3x dy
e−3x dx = −dy
b) Integrando:
∫
e
−3x
∫
dx = −
dy
c) Cambio de Variable:
z = (−3x)
dz = −3dx
dz
−
= dx
3
∫
∫
1
z
−
e dz = −
dy
3
1
− ez + C = −y
3
1 −3x
e
+C = y
3
Ejercicio 4
Solución 4
dy
= e3x+2y
dx
1. Separación de variables.
4
a) Separando variables:
dy
= e3x+2y
dx
dy
= e3x e2y
dx
e−2y dy = e3x dx
b) Integrando:
∫
e
−2y
∫
dy =
e3x dx
1
1 3x
− e−2y =
e +C
2
3
2
e−2y = − e3x + C
3
2
−2y = ln(− e3x + C)
3
1
2
y = − ln(− e3x + C)
2
3
Ejercicio 5 (ey + 1)2 e−y dx + (ex + 1)3 e−x dy = 0
Solución 5
a) Separando variables:
(ey + 1)2 e−y dx = −(ex + 1)3 e−x dy
(ex + 1)−3 ex dx = −dy(ey + 1)−2 ey
1. Separación de variables.
b) Integrando:
5
∫
−3 x
∫
(e + 1) e dx = −
x
(ey + 1)−2 ey dy
c) Cambio de Variable izquierdo:
z = (ex + 1)
dz = e∫x dx
∫
(ex + 1)−3 ex dx =
z −3 dz
1
= − z −2 + C
2
1
= − (ex + 1)−2 + C
2
d ) Cambio de Variable derecho:
z = (ez + 1)
dz = ez dz
∫
∫
y
−2 y
− (e + 1) e dy = − (z)−2 dz
= z −1 + C
= (ey + 1)−1 + C
e) Resultado final:
1
− (ex + 1)−2 = −(ey + 1)−1 + C
2
Ejercicio 6
Solución 6
dS
= kS
dr
1. Separación de variables.
6
a) Separando variables:
dS
= kS
dr
dS
= kdr
S
b) Integrando:
∫
dS
S
ln(S)
S
S
∫
=
kdr
= kr + C
= ekr+C
= ekr · C
Ejercicio 7 y cos(x)dx − (1 + y 2 )dy = 0
Solución 7
a) Separando variables:
1 + y2
dy
y
1
cos(x)dx = ( + y)dy
y
cos(x)dx =
b) Integrando:
∫
∫
cos(x)dx =
1
( + y)dy.
y
1. Separación de variables.
7
c) La integral de la izquierda es:
∫
cos(x)dx = sin(x)
d ) La integral de la derecha es:
∫
∫
∫
1
1
( + y)dy =
dy + ydy
y
y
= ln(y) + y 2 /2
e) Finalmente tenemos la solución de la ED es:
sin(x) = ln(y) + y 2 /2 + C.
1. Separación de variables.
Ejercicio 8
8
dy
1
= αy(1 − y), k, α const.
dx
k
Solución 8
a) Separando variables:
dy
1
y(1 − y)
k
dy
k−y
y(
y)
k
dy
y(k − y)
)
k
kdy
y(k − y)
1
1
( +
)dy
y k−y
= αdx
= αdx
= αdx
= αdx
= αdx
b) La integral de la izquierda es:
∫
1
1
( +
)dy = ln(y) − ln(k − y)
y k−y
y
= ln(
)
k−y
c) La integral de la derecha es:
∫
αdx = αx
1. Separación de variables.
9
d ) Finalmente tenemos la solución de la ED es:
y
)
k−y
y
k−y
y
k−y
y
αx
y(1 + e C)
ln(
= αx + C.
= eαx+C .
= eαx C.
= eαx C(k − y).
= eαx Ck.
eαx Ck
y =
.
(1 + eαx C)