Ejercicios 3

Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2013
Ejercicios 3
1. Considere la siguiente versión del juego del ultimátum. Hay 3 monedas. J1 puede
ofrecer quedarse con 1 o con 2. J2 acepta o rechaza. Si rechaza, los dos jugadores
obtienen 0. Suponga que los jugadores sólo se preocupan por la cantidad de monedas
que obtienen y prefieren tener más monedas.
1.1.¿Es este un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su
respuesta.
1.2. Identifique todos los subjuegos. Explique.
1.3. Para cada equilibrio de Nash del juego, diga si es o no perfecto por
subjuegos. Fundamente su respuesta.
2. Tres jugadores participan en un juego en el que cada jugador tiene una sola jugada
con dos acciones posibles que, por comodidad, llamaremos izquierda (I) y derecha (D).
El jugador 1 (J1) juega primero. El jugador 2 (J2) juega segundo. Cuando llega su turno
de jugar, conoce la decisión tomada antes por el jugador 1. El jugador 3 (J3) es el último
en jugar. Cuando le toca jugar, conoce la jugada elegida por el jugador 2, pero
desconoce qué jugada hizo antes el jugador 1.
2.1. ¿Es un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su respuesta.
2.2. Represente el árbol del juego. Identifique los conjuntos de información. Explique.
2.3. Identifique todos los subjuegos. Explique.
3. Dos jugadores juegan dos veces el siguiente juego de etapa:
Jugador 2
Jugador 1
A
(4,4)
(9,0)
A
B
B
(0,9)
(2,2)
En cada etapa, los jugadores eligen en forma simultánea entre las acciones A y B. Los
números que aparecen en la matriz son los pagos que los jugadores obtienen en cada
etapa. Al terminar la primera etapa, los jugadores observan las jugadas elegidas y, por lo
tanto, pueden determinar los pagos de la etapa. El pago total es la suma simple (sin
descuento o con tasa de descuento cero) de los pagos de cada etapa.
3.1. Represente la forma extensiva del juego. Explique.
3.2. Identifique los subjuegos. Explique.
3.3. Identifique un equilibrio perfecto por subjuegos. Explique.
4. Considere el siguiente árbol de un juego con tres jugadores:
1
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J1
J2
J3
J3
4.1. (1 punto) ¿Es este un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su
respuesta.
4.2. (1 punto) Identifique todos los subjuegos. Explique.
5. Considere el siguiente duopolio en el que la empresa 1 hace una jugada inicial que
determina si podrá producir un cuarto o más de un cuarto. Si elige producir más de un
cuarto, luego hace otra jugada en la que decide si produce un tercio o un medio. Cuando
le toca jugar, la empresa 2 observa la primera jugada de la empresa 1, pero no la
segunda. El árbol del juego es el que sigue:
Empresa 1
>1 4
1 4
Empresa 1
1 2
1 3
Empresa 2
Empresa 2
1
2
0
0
1
3
83
56
1
4
125
63
56
83
111
111
139
104
63
125
104
139
5.1. (1 punto) Identifique todos los subjuegos. Explique.
5.2. (1 punto) Identifique todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras) de cada
subjuego. Explique.
5.3. (1 punto) Identifique el o los equilibrios perfectos por subjuegos. Explique.
2
125
125
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Pauta de respuesta
1.1. Es un juego de información perfecta ya que los dos jugadores conocen todas las
jugadas previas del juego. Más formalmente, todos los conjuntos de información son
“singletons”, es decir que están integrados por un único nodo.
1.2. Para identificar los subjuegos es útil presentar el árbol del juego:
J1
2
1
J2
J2
R
A
J1
J2
A
0
0
1
2
R
0
0
2
1
Identificamos dos subjuegos que empiezan en los dos nodos en que le toca jugar a J2.
(a) En los dos nodos en que le toca jugar a J2 el conjunto de información inicial
contiene un único nodo. (b) Los dos subjuegos contienen a todos los nodos que le
siguen (en este caso, sólo le siguen nodos terminales). (c) No se intersecta ningún otro
conjunto de información.
1.3. Ya mostramos en clase que este juego tiene la siguiente representación en forma
normal y los siguientes tres equilibrios de Nash:
(
Jugador 1
1
2
)
Jugador 2
)
(
(
1,2
2,1
1,2
0,0
)
0,0
2,1
(
)
0,0
0,0
)): no es perfecto por subjuegos porque no es un
(i) Equilibrio de Nash (1 (
equilibrio de Nash en el subjuego “derecho” (el que sigue a la jugada 2 de J1).
)): no es perfecto por subjuegos porque no es un
(ii) Equilibrio de Nash (2 (
equilibrio de Nash en el subjuego “izquierdo” (el que sigue a la jugada 1 de J1).
Los dos equilibrios de Nash anteriores incluyen amenazas “vacías”: J2 está
“amenazando” con rechazar ofertas que, llegado el momento, jamás rechazaría.
)): es perfecto por subjuegos. Es un equilibrio de Nash
(iii) Equilibrio de Nash (2 (
en los dos subjuegos que empiezan cuando le toca jugar a J2.
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Teoría de Juegos 2013
2.1. ¿Es un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su respuesta.
Es un juego de información imperfecta, porque J3 no conoce la jugada previa de J1.
2.2. Represente el árbol del juego. Identifique los conjuntos de información. Explique.
J1
I
D
J2
J3
J1 tiene un único conjunto de información, integrado por el nodo inicial. J2 tiene dos
conjuntos de información, integrados por un único nodo cada conjunto. Son los nodos
que siguen a las acciones I y D de J1. J3 también tiene dos conjuntos de información,
cada uno integrado por dos nodos. Estos conjuntos de información no son singletons. J3
puede distinguir los nodos que siguen a la acción I de los que siguen a la acción D de
J2, pero no puede distinguir entre los dos nodos que siguen a I ni entre los dos nodos
que siguen a D, porque no observa la decisión de J1. Esto es lo que hace que sea un
juego de información imperfecta.
2.3. Identifique todos los subjuegos. Explique.
Empecemos por recordar que un subjuego en un juego en forma extensiva:
a) Empieza en un nodo de decisión que constituye un conjunto de información con un
único nodo (excluyendo el primero).
b) Incluye a todos los nodos que lo siguen.
c) No intersecta a ningún otro conjunto de información.
No es posible identificar ningún subjuego en este ejemplo. Empezando por el final,
vemos que J3 carece de singletons y, por lo tanto, ningún subjuego puede empezar en
los nodos en que le toca jugar a J3 (se violaría el punto a). Los conjuntos de
información de J2 son singletons y, en ese sentido, podrían en principio iniciar
subjuegos. Sin embargo, las ramas del árbol que se inician con las jugadas de J2 no
pueden ser subjuegos porque se viola el principio de no intersección (punto c de la
definición). Hay entonces un único subjuego que es el juego completo.
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3.1. Represente la forma extensiva del juego. Explique.
J1
B
A
J2
A
A
B
B
J1
A
8
8
A
B
B
A
4
13
13
4
A
B
6
6
4
13
A
B
B
A
0
18
9
9
A
A
B
2
11
13
4
A
B
B
9
9
A
18
0
B
J2
A
B
11
2
A
B
6
6
2
11
En cada juego de etapa, los jugadores juegan en forma simultánea. El jugador 2 no sabe
si está en el nodo de la izquierda o de la derecha, es decir que no sabe si el jugador 1
jugó (o va a jugar) A o B en esa etapa. Las líneas punteadas indican los conjuntos de
información correspondientes. Al empezar la segunda etapa, ambos jugadores saben
cómo se jugó la primera etapa. Los pagos están indicados al final y son la suma simple
de los pagos de cada etapa.
3.2. Identifique los subjuegos. Explique.
Hay cuatro subjuegos propiamente dichos y el juego completo (que algunos autores lo
incluyen como un subjuego). Los cuatro subjuegos corresponden a las ramas del árbol
que se inician con la segunda jugada de J1. Estos cuatro subjuegos propios están
destacados en la siguiente figura:
5
11
2
B
4
4
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J1
B
A
J2
A
A
B
B
J1
A
A
B
B
A
B
A
A
B
B
A
A
A
B
A
B
A
B
B
J2
B
A
B
3.3. Identifique un equilibrio perfecto por subjuegos. Explique.
Un equilibrio perfecto por subjuegos es un perfil de estrategias que es un equilibrio de
Nash en todos los subjuegos. Identifico el equilibrio de Nash del juego de etapa
destacando con subrayado los pagos correspondientes a las mejores respuestas de cada
jugador:
Jugador 2
Jugador 1
A
(4,4)
(9,0)
A
B
B
(0,9)
(2,2)
Hay entonces un equilibrio de Nash en el que ambos eligen la jugada B. En los cuatro
subjuegos de la segunda etapa el equilibrio de Nash es el mismo: B,B. Los pagos de la
segunda etapa son entonces (2,2).
En la primera etapa los jugadores saben cuáles son los resultados que se obtendrán en la
segunda etapa. Por lo tanto, pueden calcular los pagos totales, es decir del juego
completo, correspondientes a todas las combinaciones de jugadas de la primera etapa
sumando los pagos (2,2) a la matriz de pagos del juego de etapa:
Jugador 2
Jugador 1
A
(4+2,4+2)
(9+2,0+2)
A
B
B
(0+2,9+2)
(2+2,2+2)
Con esta matriz podemos identificar equilibrios de Nash del juego completo. Vuelvo a
destacar con subrayado los pagos correspondientes a las mejores respuestas. La
6
A
B
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conclusión es que el equilibrio de Nash del juego completo implica que los jugadores
eligen B también en la primera etapa.
Concluimos entonces que un perfil de estrategias en el que ambos jugadores juegan
(B,BBBB) es perfecto por subjuegos. Notar que una estrategia en este juego es una
acción en la primera etapa y una acción en cada uno de los subjuegos siguientes en que
pueda encontrarse el jugador. Antes de la coma escribimos la acción de la primera
etapa. Después de la coma indicamos las acciones o jugadas en cada uno de los cuatro
subjuegos que siguen, donde el orden representa de izquierda a derecha los cuatro
subjuegos identificados en el árbol del juego.
4.1. ¿Es este un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su respuesta.
Es un juego de información imperfecta porque J3 tiene un conjunto de información con
dos nodos.
4.2. Identifique todos los subjuegos. Explique.
J1
J2
J3
J3
a) Después de que J1 jugó “izquierda”, todos los jugadores saben que le toca jugar a J2
y en qué nodo está. Este nodo es entonces un singleton de J2. Identificamos todos los
nodos que lo siguen en el árbol y verificamos que ninguno de estos nodos pertenece a
un conjunto de información que incluya otros nodos (no intersección). Se cumplen
entonces las tres condiciones para definir un subjuego.
b) Después de que J1 jugó “derecha”, le toca jugar a J2 y sabe en qué nodo está.
Identificamos los nodos que le siguen y verificamos la no intersección.
c) Después de que J1 jugó derecha y con independencia de lo que haya jugado J2, J3
sabe en qué nodo está parado. Cada uno de esos dos nodos inicia un subjuego muy
simple en el que solo juega J3 y que incluye al propio nodo y a los nodos terminales
correspondientes. Es inmediato que no hay intersección tampoco en estos casos.
En resumen, identificamos cuatro subjuegos propios.
5.1. Identifique todos los subjuegos. Explique.
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Teoría de Juegos 2013
Empresa 1
>1 4
1 4
Empresa 1
1 2
1 3
Empresa 2
Empresa 2
1
2
0
0
1
3
83
56
1
4
125
63
56
83
111
111
139
104
63
125
104
139
Después de que la empresa 1 decidió producir más de ¼ se inicia un subjuego. Vuelve a
jugar la empresa 1 y obviamente sabe que antes jugó >1/4. El subjuego incluye a los
nodos que lo siguen. Ninguno de esos nodos pertenece a un conjunto de información
que no esté en el subjuego. Se cumplen entonces las condiciones que definen un
subjuego.
Después de que la empresa 1 eligió producir 1/4 , la empresa 2 empieza un subjuego. El
nodo inicial es un singleton. El subjuego incluye a los nodos terminales que lo siguen.
5.2. Identifique todos los equilibrios de Nash (en estrategias puras) de cada subjuego.
Explique.
a) Forma normal del subjuego que sigue a la jugada >1/4 de la empresa 1:
Empresa 1
½
1/3
1/2
0,0
56,83
Empresa 2
1/3
83,56
111,111
1/4
125,63
139,104
Identifico con subrayado los pagos correspondientes a las mejores respuestas. Hay un
equilibrio de Nash en este subjuego, en el cual ambas empresas producen 1/3.
b) El subjuego que empieza después de que la empresa 1 jugó ¼ está integrado por un
solo jugador, el jugador 2, con tres estrategias y los pagos indicados en el árbol. Lo
mejor que puede hacer la empresa 2 en ese subjuego es producir 1/3.
c) ¿Cómo identificamos los equilibrios de Nash del juego completo? Primero
identificamos las estrategias:
Empresa 1 tiene tres estrategias posibles: (>1/4,1/2); (>1/4,1/3); (1/4)
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125
125
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Empresa 2 tiene 9 estrategias posibles: (1/2,1/2); (1/2,1/3); (1/2,1/4); (1/3,1/2);
(1/3,1/3); (1/3,1/4); (1/4,1/2); (1/4,1/3); (1/4,1/4).
Forma normal:
E1
>1/4,1/2
>1/4,1/3
1/4
1/2,1/2
1/2,1/3
1/2,1/4
1/3,1/2
0,0
56,83
63,125
0,0
56,83
104,139
0,0
56,83
125,125
83,56
111,111
63,125
Empresa 2
1/3,1/3 1/3,1/4
83,56
111, 111
104,139
83,56
111, 111
125,125
1/4,1/2
1/4,1/3
1/4,1/4
125,63
139,104
63,125
125,63
139,104
104,139
125,63
139,104
125,125
En subrayado están destacados los pagos correspondientes a las mejores respuestas.
Identificamos tres equilibrios de Nash en el juego completo.
5.3. Identifique el o los equilibrios perfectos por subjuegos. Explique.
Un equilibrio perfecto por subjuegos tiene que ser un equilibrio de Nash en todos los
subjuegos. Evalúo entonces los tres equilibrios de Nash del juego completo para ver si
cumplen o no el requisito adicional de que sean equilibrios de Nash en los subjuegos.
a) Equilibrio de Nash 1: empresa 1 juega ¼ y empresa 2 juega (1/2,1/3). La estrategia de
la empresa 2 no es parte del equilibrio de Nash que identificamos en el subjuego que
sigue a la jugada >1/4 de la empresa 1. Por lo tanto, este equilibrio de Nash del juego
completo no es un equilibrio perfecto por subjuegos. La estrategia de la empresa 2 no es
creíble porque en el subjuego que sigue a la jugada >1/4 de la empresa 1 la empresa 2
nunca jugaría ½.
b) Equilibrio de Nash 2: empresa 1 juega (>1/4,1/3) y empresa 2 juega (1/3,1/2).
Tampoco es un equilibrio perfecto por subjuegos, porque la empresa 2 no va a jugar ½
después de que la empresa 1 jugó ¼. Esa jugada no es parte del equilibrio de Nash del
subjuego que empieza después de que la empresa 1 jugó ¼.
c) Equilibrio de Nash 3; empresa 1 juega (>1/4,1/3) y empresa 2 juega (1/3,1/3). En el
subjuego que empieza después de que la empresa 1 eligió >1/4, las jugadas 1/3 son las
mejores respuestas de ambas empresas. Por lo tanto, este equilibrio de Nash del juego
completo cumple con el requisito adicional de ser un equilibrio de Nash del subjuego en
cuestión. En el subjuego que empieza después de que la empresa 1 eligió ¼, la mejor
respuesta de la empresa 2 es 1/3. Por lo tanto, este equilibrio de Nash también cumple
con el requisito de ser Nash del segundo subjuego. Se concluye entonces que este
equilibrio de Nash es el único que es además perfecto por subjuegos.
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