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Curso de conjuntos y números. Apuntes Juan Jacobo Simón Pinero Curso 2013/2014 2 Índice general I Conjuntos 5 1. Conjuntos y elementos 1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . . . . . . . . 1.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . . . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones con subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . . . . . . 1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 10 13 15 2. Aplicaciones 2.1. Relaciones y aplicaciones . . . . . . . . . . 2.2. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . 2.3. Imágenes directas e inversas . . . . . . . . 2.4. Composición . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Inversa de una aplicación biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 21 22 24 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Orden 29 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos . . . . . . . . 29 3.2. Conjuntos bien ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Relaciones de equivalencia 4.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . 4.3. El conjunto cociente y la proyección canónica 4.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 38 39 40 5. Conjuntos numéricos 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . 5.1.1. Orden y operaciones aritméticas . . . . . . 5.2. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Escritura decimal de números racionales. . 5.4. Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Forma exponencial de un número complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 48 48 50 52 55 56 60 3 . . . . . . . . 4 ÍNDICE GENERAL 5.6. Conjuntos numerables y no numerables 6. Análisis combinatorio. 6.1. Variaciones. . . . . . . . . . . . 6.1.1. Número de variaciones. 6.2. Permutaciones. . . . . . . . . . 6.3. Combinaciones. . . . . . . . . . II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 . . . . 63 63 63 64 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números y polinomios 67 7. El anillo de los números enteros. 7.1. Artimética de los enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. División entera y máximo común divisor. . . . . . . . . 7.1.2. Mı́nimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. La ecuación diofántica lineal . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Números primos.Teorema Fundamental de la Aritmética 7.2. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Propiedades aritméticas de las congruencias . . . . . . . 7.2.2. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Teorema chino de los restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 69 75 76 78 80 81 82 84 87 90 8. Polinomios 8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. 8.2. Raı́ces de polinomios. . . . . . . . . . . . 8.3. Irreducibilidad y teorema fundamental del 8.4. Factores múltiples. . . . . . . . . . . . . . 8.5. Polinomios irreducibles en Q[X]. . . . . . . . . . . 95 95 101 103 106 107 . . . . . . . . . . álgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Apéndice 111 A.1. La función sucesor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.2. Operaciones en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Parte I Conjuntos 5 Capı́tulo 1 Conjuntos y elementos 1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. Comenzamos con la definición de conjunto de G. Cantor: Un conjunto es una colección (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuición o pensamiento Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepción intuitiva de los conjuntos. La noción formal de conjunto corresponde con fundamentos de la matemática que quedan fuera del alcance de nuestro curso. También queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos. 1.2. Pertenencia, contenido e igualdad. Las colecciones a las que llamaremos conjuntos serán construidas de las siguientes dos formas principales. 1. Por extensión: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo A = {X1 , . . . , Xn , . . . } o A = {a, b, c, . . . }. 2. Por comprehensión: a través de una fórmula proposicional que siempre tendrá, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, si B es un conjunto, A = {X ∈ B | p(X) (es verdadera) } . Cuando el conjunto B sea obvio quién es por el contexto, podemos no escribirlo. 7 8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un único conjunto. 1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos. 1. A = {a, e, i, o, u} o A = {x | x es una vocal }. 2. A = {2, 4, . . . } o A = {x ∈ N | x es par }. 1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensión y extensión, los siguientes conjuntos: 1. Los números naturales que son impares y menores que 20. 2. Las vocales de la palabra “murciélago”. 3. Los números impares positivos. 1.2.3. Observación. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura de comprehensión es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debe de ser, de antemano, un conjunto. De no ser ası́, podemos tener problemas, como se muestra a continuación. Sea U la colección de todos los conjuntos y definimos A = {x ∈ U | x 6∈ x} . Si U fuese conjunto entonces A también lo serı́a y entonces es inmediata la siguiente proposición: A ∈ A si y solo si A 6∈ A, conocida como la paradoja de Russell. Lo que ocurre aquı́ es que U no es un conjunto y por tanto, no podemos formar el conjunto A por comprehensión. 1.2.4. Notación. Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a ∈ A. En caso contrario escribimos a ∈ / A. 1.2.5. Inclusión. Sean A y B conjuntos. Decimos que A está contenido en B, o que A es subconjuntos de B si para todo elemento a ∈ A se tiene que a ∈ B. Se denota A ⊂ B y se expresa a ∈ A ⇒ a ∈ B Si A no está contenido en B entonces escribimos A 6⊂ B. 1.2.6. Observación. Es claro que A 6⊂ B si y solo si existe a ∈ A tal que a 6∈ B. 1.2.7. Ejemplo. Sea I = {x ∈ N | x es impar } = {x ∈ N | x = 2n + 1, con n ∈ N}, que a veces, para abreviar, escribimos {2n+1 | n ∈ N} (aunque esta escritura no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente, ası́ que podemos introducirla). Entonces I ⊂ N. 1.2.8. Notación. Sean A y B conjuntos, tales que A ⊂ B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A ⊆ B. Cuando queremos poner énfasis en justo lo contrario, escribimos A ( B; lo expresamos como a ∈ A ⇒ a ∈ B pero ∃ b ∈ B tal que b 6∈ A. 1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD. 9 1.2.9. Igualdad. Diremos que dos conjuntos A y B son iguales cuando tengan exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a ∈ A ⇔ a ∈ B. 1.2.10. Proposición. Sean A y B conjuntos. A = B si y sólo si A ⊂ B y B⊂A Demostración. Inmediata. Conjunto vacı́o. 1.2.11. Definición. Un conjunto vacı́o es aquel que no tiene elementos. 1.2.12. Proposición. Sean A y B conjuntos. Si A es vacı́o entonces A ⊂ B. Demostración. Por reducción al absurdo. Sea A un conjunto vacı́o y supongamos que existe B, conjunto tal que A * B. Entonces existe a ∈ A tal que a 6∈ B. Luego A no es vacı́o lo cual es imposible. 1.2.13. Corolario. Solo hay un conjunto vacı́o. Demostración. Inmediata de la proposición anterior. Notación. El conjunto vacı́o se denota ∅ 1.2.14. Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: A = ∅ ⇐⇒ ∀x, x ∈ 6 A. 1.2.15. Partes de un conjunto. Sea A un conjunto. La colección P(A) = {B | B ⊂ A} se conoce como el conjunto de las partes de A o el conjunto potencia de A. 1.2.16. Ejercicios. 1. Determinar P(∅). 2. Sea A = {x1 , x2 , x3 }. Escribir P(A) y comprobar que tiene 23 elementos. 3. (Taller 2012-2013) Probar que A 6= P(A). Solución. Solo veremos el ejercicio del taller. Supongamos que A = P(A). Se tendrá entonces que X ⊂ A implica que X ∈ A. Vamos a formar el conjunto B = {X ∈ A | X 6∈ X}. Como B ⊆ A entonces B ∈ A; además, ocurre una de dos: 1. B ∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B ∈ B y por tanto B 6∈ B, lo cual es absurdo. 2. B 6∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B 6∈ B y por tanto B ∈ B, lo cual es absurdo. Ası́ que la suposición de que A = P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa. Luego lo contrario es verdadero. 10 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS 1.3. Operaciones con subconjuntos 1.3.1. Unión. Sean A y B conjuntos. El conjunto A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B} se conoce como la unión de A y B. Se escribe x ∈ A ∪ B si y sólo si x ∈ A o x ∈ B. Lo contrario es x ∈ / A ∪ B si y sólo si x ∈ /A y x∈ / B. 1.3.2. Ejercicio. Sea A un conjunto arbitrario. Probar que para cualquier conjunto B, se tiene que A ⊂ A ∪ B. 1.3.3. Intersección. Sean A y B conjuntos. El conjunto A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B} se conoce como la intersección de A y B. Se escribe x ∈ A ∩ B si y sólo si x ∈ A y x ∈ B. Lo contrario es x ∈ / A ∩ B si y sólo si x ∈ /A o x∈ / B. 1.3.4. Ejercicio. Para los conjuntos A, B y C, probar las siguientes propiedades: 1. Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces (A ∪ B) ⊂ C. 2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). 3. A ⊂ B si y sólo si A ∪ B = B si y solo si A ∩ B = A 4. Como consecuencia, A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅. 1.3.5. Ejemplos. 1) Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hasta otener la máxima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva. Sea U = R2 , el plano euclı́deo, A = {(x, y) ∈ U | x + y = 3}, B = {(x, y) ∈ U | x + y = 7} y C = {(x, y) ∈ U | x − y = 0}. Probar que A ⊂ B y que A 6⊂ C. Más en general, si P (r) = {(x, y) ∈ U | x + y = r}, con r ∈ R, probar que P (r) ⊂ P (s) si y solo si r ≤ s. Finalmente, probar que si U es un conjunto arbitrario, A = {x ∈ U | p(x) } y B = {x ∈ U | q(x) }, entonces A ⊆ B si y solo si [p(x) ⇒ q(x)]. 2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura comprehensiva y el de listas. Para cualquier a ∈ N, se define N · a = {a, 2a, . . . } = {x ∈ N | x = na, con n ∈ N}. En este caso, la escritura con lista parece más elegante que la comprehensiva. También N · a ∩ N · b = N · mcm(a, b); pero la unión N · a ∪ N · b se escribe mal como lista. 1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11 Diagramas de Venn En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensión de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la unión e intersección de dos conjuntos A y B contenidos en otro conjunto, digamos U . U A B '$ '$ U &% &% Unión A B '$ '$ &% &% Intersección Leyes distributivas. 1.3.6. Proposición. Sean A, B y C conjuntos. Entonces 1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Demostración. Probaremos la primera, la otra se deja como ejercicio. ⊆] Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Entonces x ∈ A y x ∈ B ∪ C; es decir, x ∈ A y además x ∈ B o x ∈ C. Ahora separamos en dos casos. Primero, x ∈ A y x ∈ B, de donde x ∈ A ∩ B. El otro es x ∈ A y x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ C. No hay más casos y por tanto x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). ⊇] Si x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) entonces x ∈ A y x ∈ B o bien x ∈ A y x ∈ C. Luego x ∈ A en ambos casos y ası́, x ∈ A y además x ∈ B o x ∈ C, de donde x ∈ A ∩ (B ∪ C). Vamos ahora con la segunda. ⊆] Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C). Tenemos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces x ∈ A ∪ B y además x ∈ A ∪ C (Ejercicio 1.3.2) luego x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Ahora, si x 6∈ A entonces x ∈ B ∩ C entonces x ∈ A ∪ B y x ∈ A ∪ C (otra vez Ejercicio 1.3.2) y por tanto x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ⊇] Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Consideramos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, si x 6∈ A entonces x ∈ B y además x ∈ C por lo que x ∈ B ∩ C, de donde x ∈ A ∪ (B ∩ C). 1.3.7. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colección A \ B = {X | X ∈ A y X 6∈ B}. Expresado como diagrama de Venn 12 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS U A B '$ '$ &% &% Diferencia 1.3.8. Ejercicio. Considérense los conjuntos A = {X ∈ R | 0 ≤ 2 B = {X ∈ R | X2 < 8}. Se pide: x 2 ≤ 6} y 1. Representar estos conjuntos en la recta real. 2. Determinar los conjuntos A ∪ B, A ∩ B, A \ B y B \ A, escribiéndolos de forma comprehensiva y gráficamente en la recta real. 1.3.9. Complemento. Sean A y U conjuntos, con A ⊂ U . Se conoce como complemento de A en U a la colección A∁ = U \ A = {X ∈ U | X 6∈ A}. Leyes de De Morgan. Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de un militar británico. Hizo contribuciones importantes en álgebra, geometrı́a y además fue cofundador de la London Mathematical Society, ası́ como su primer presidente. 1.3.10. Proposición. Sean A y B conjuntos. 1. (A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B ∁ . 2. (A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B ∁ . Demostración. 1. x ∈ (A ∩ B)∁ 2. x ∈ (A ∪ B)∁ ⇔ x 6∈ A ∩ B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ o x ∈ B ∁ ⇔ x ∈ A∁ ∪ B ∁ . ⇔ x∈ 6 A ∪ B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ A∁ y x ∈ B ∁ ⇔ x ∈ A∁ ∩ B ∁ . Expresado como diagrama de Venn 1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS U A B '$ '$ &% &% U A B '$ '$ &% &% 1.3.1. 13 (A ∩ B)∁ = A∁ ∪ B ∁ (A ∪ B)∁ = A∁ ∩ B ∁ Familias de conjuntos y operaciones Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos. Sean N el conjunto de los números naturales y P el conjunto de los números pares positivos. Definimos, para cada n ∈ N, An como el conjunto de los múltiplos pares de n; es decir An = {x ∈ P | nx ∈ N}. Entonces, la colección C = {An }n∈N no es conjunto porque, por ejemplo, Ap = A2p , para todo primo impar. En este caso, decimos que C es una familia (de conjuntos). Aún ası́, es claro que podemos considerar su unión e intersección y respetará las leyes habituales de conjuntos. Otro ejemplo es el siguiente. Considérese p1 (X) = X 3 − X 2 + X − 1 y p2 = X 3 + X 2 − 2. Sean R1 y R2 los conjuntos de raı́ces reales de p1 (X) y p2 (X) respectivamente, y R = {R1 , R2 }. En principio, no podemos asegurar que R sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1 ∈ R1 ∪ R2 . 1.3.11. Definición. Una familia de conjuntos es una colección {Ai | i ∈ I}, donde I es un conjunto y Ai son conjuntos. Si todos los objetos son diferentes, tendremos un conjunto, si no, una familia. 14 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias Comenzamos con la unión. Al ser una operación binaria y asociativa, podemos extenderla a una colección finita de uniendos. Ası́, si A1 , . . . , An son conjuntos se tiene que n [ i=1 Ai = {x | x ∈ Ai para alguna i ∈ {1, . . . , n}} . Cuando la colección sea infinita, también habrá unión, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Será una nueva definición. Veamos la versión más general. Nos viene a decir que las uniones más generales serán conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto. 1.3.12. Unión arbitraria. Sea C un conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La unión arbitraria es el conjunto ∪C = {x | x ∈ A, para algún A ∈ C} . En el caso de las familias, si I es un conjunto de ı́ndices y C = {Ai | i ∈ I} = {Ai }i∈I , entonces escribimos ∪C = [ i∈I Ai = {x | x ∈ Ai para algún i ∈ I} . Al igual que sucede con la unión, podemos definir la intersección finita en conjuntos y familias. Si A1 , . . . , An son conjuntos entonces la intersección es el conjunto n \ Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ {1, . . . , n}} . i=1 1.3.13. Intersección arbitraria. Sea C un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersección arbitraria es el conjunto ∩C = {x | x ∈ A, para todo A ∈ C} . En el caso de las familias, si I es un conjunto de ı́ndices y C = {Ai | i ∈ I} = {Ai }i∈I , entonces escribimos ∩C = \ i∈I Ai = {x | x ∈ Ai para todo i ∈ I} . 1.3.14. Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideramos el conjunto de las partes de A, que denotamos P(A). Sea C = {{a, b}, {b, c}}. Entonces S 1. C = A. T 2. C = {b}. 1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS15 1.3.15. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los números primos positivos. Para cada primo, p ∈ P, definimos el conjunto N · p = {0, p, 2p, . . . }, o sea, los múltiplos naturales de p. Entonces: 1. La familia {N · p}p∈P es un conjunto. S 2. p∈P N · p = N. 3. Si p1 , . . . , pn son primos cualesquiera entonces se tiene que {0, ·p1 · · · pn , 2(p1 · · · pn ), . . . } T 4. p∈P N · p = ∅. 1.4. Tn i=1 N · pi = Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compararlos, sustituirlos o diversos objetivos más. Una herramienta matemática por excelencia para estudiar las correspondencias es la idea de pareja ordenada o par ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadas escribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en términos de conjuntos. 1.4.1. Definición. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por a ∈ A y b ∈ B es el conjunto (a, b) = {{a}, {a, b}} . 1.4.2. Observación. La escritura de la definición anterior puede reducirse mucho según el caso. Por ejemplo (a, a) = {{a}}. 1.4.3. Proposición. Sean A y B conjuntos. Para cualesquiera elementos a, c ∈ A y b, d ∈ B se tiene que (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d. Demostración. Se deduce de la igualdad {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. Nótese que una vez establecida la definición conjuntista de pareja ordenada volvemos a expresiones completamente familiares. 1.4.4. Producto cartesiano. Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B} . 1.4.5. Observación. Es claro que siendo el producto cartesiano un operación binaria, podemos extender el concepto a un número finito de factores. En este caso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no es asociativo; sin embargo, la identificación (a, (b, c)) con ((a, b), c) es demasiado clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos, 16 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripción en términos de conjuntos para la expresión (a, b, c). Más adelante le daremos sentido, con un concepto más general, el de producto directo. 1.4.6. Proposición. Sea A un conjunto arbitrario. Entonces A × ∅ = ∅ × A = ∅. Demostración. Supongamos que A × ∅ = 6 ∅. Entonces existe una pareja (a, b) ∈ A × ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente análogo. 1.4.7. Observación. De la propia definición de pareja ordenada se desprende que si A y B son conjuntos puede ocurrir que A × B 6= B × A. 1.4.8. Ejercicios. 1. Sea A = 1, 2, 3 y B = a, b. Formar el producto cartesiano. 2. Probar que A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 3. Probar que A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) Ahora vamos expresar en términos de conjuntos la noción de relación (o correspondencia) entre dos objetos. 1.4.9. Definición. Sean A y B conjuntos. Una relación binaria (o correspondencia) entre elementos de A y de B es un subconjunto R ⊆ A × B. Cuando (a, b) ∈ R decimos que a está relacionado con b (dicho en ese orden) y escribimos aRb. Cuando ocurra A = B, diremos simplemente que R es una relación en A. 1.4.10. Observación. Algunos autores obligan a que las relaciones sean conjuntos no vacı́os. Otros reservan el término relación para correspondencias en un solo conjunto. Si no causa confusión, diremos relación en vez de relación binaria. 1.4.11. Observación. Nótese que puede ser que un elemento a esté relacionado con otro b, pero no recı́procamente. 1.4.12. Ejemplos. 1. Si A = ∅ y B es arbitrario, entonces A × B = ∅ y por lo tanto, la única posible relación entre A y B es la vacı́a. 2. Sean A y B conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vacı́o y la otra es la total. 3. Sea R ⊂ R2 la relación dada por R = (x, y) ∈ R2 | x ≤ y ; es decir, xRy ⇔ x ≤ y. 1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS17 4. Sea R ⊆ Z2 × Z2 tal que (a, b)R(a′ , b′ ) ⇐⇒ ab′ = a′ b. 5. Sea A un conjunto. La “diagonal” de A2 ; es decir, (a, b) ∈ R ⇔ a = b, es una relación (la igualdad). 6. Sea R ⊆ Z2 la relación dada por aRb ⇔ a | b (a divide a b; o bien, b es múltiplo de a, véase 7.1.6). 7. Sea R ⊆ R2 la relación dada por xRy ⇔ y = x2 + 1. En este caso R = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 + 1} y podemos dibujarla en el plano. 1.4.13. Definición. Sean A y B, conjuntos, y R una relación entre A y B. 1. Al conjunto A se le llama conjunto inicial. 2. Al conjunto B se le llama conjunto final. 3. Se conoce como dominio de la relación, al conjunto DomR = {a ∈ A | ∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R} . 4. Se conoce como imagen de la relación, al conjunto ImR = {b ∈ B | ∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R} . 1.4.14. Ejemplo. Sea R ⊂ R2 tal que (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y2 − x . y Se puede comprobar que DomR = R y que ImR = R \ {0}. Podemos representar las relaciones en gráficas planas, como se hace en el cálculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a′ , b′ , c′ , d′ } y considérese la relación R = {(a, b′ ), (a, c′ ), (b, c′ )}. La grafica es d′ c′ • • b′ • a′ a b c Un ejercicio interesante es estudiar la relación entre la forma de las gráficas y las propiedades de las relaciones. 18 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS Capı́tulo 2 Aplicaciones 2.1. Relaciones y aplicaciones En cursos anteriores hemos visto que una aplicación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. Más actualmente, en capı́tulos aneriores hemos expresado el concepto de correspondencia en términos de conjuntos. Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicación en términos de conjuntos. 2.1.1. Definición. Sean A y B conjuntos. Una aplicación entre A y B es una relación f ⊂ A × B que cumple la siguiente propiedad: Para todo a ∈ A, existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . O bien, si (a, b) y (a, c) pertenecen a f , entonces c = d. Nótese que esta definición en realidad no difiere de la que hemos visto en estudios previos. Estamos diciendo, en términos de conjuntos, que una aplicación es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B, que satisfacen que para todo a ∈ A existe un único elemento b ∈ B que le corresponde. 2.1.2. Notación. Sean A y B conjuntos y f una aplicación de A a B. Escribimos entonces f f : A → B o A −−→ B. Además, si a ∈ A y (a, b) ∈ f , como b es único podemos escribir b = f (a). En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f (a), que también llamamos regla de corespondencia, a través de ecuaciones. Por ejemplo, podemos definir f : N → N tal que f (n) = n2 . Cuando partimos de una ecuación como por ejemplo y = x2 + 1 y queremos interpretarla como la regla de una relación, la llamamos función 1 y tenemos que 1 Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones. 19 20 CAPÍTULO 2. APLICACIONES determinar su “dominio de definición” es decir, el mayor conjunto que puede ser el dominio con el que podemos interpretar y = x2 + 1 como la regla de correspondencia de una aplicación. Existen diversas maneras de representar gráficamente a las aplicaciones. Vamos a ver dos de ellas. La primera muy tı́pica: Sean A = {a, b, c} y B = {a′ , b′ , c′ , d′ } conjuntos. Representamos la aplicación f : A → B tal que f = {(a, a′ ), (b, c′ ), (c, d′ )} como f A a• • a′ B • b′ b• • c′ c• • d′ La siguiente es la gráfica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto para relaciones. d′ c ′ • • b′ a′ • a b c Otra gráfica habitual es la de la función y = x2 + 1 2.1.3. Observación. En ocasiones, sobre todo en el cálculo y la topologı́a, se suele identificar la aplicación con la regla de correspondencia y a la propia aplicación con la gráfica (o grafo). 2.1.4. Observación. Como hemos dicho, una aplicación es una relación, que escribimos f : A → B. De este modo tenemos 1. El dominio de f , que es Domf = A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, ası́ que éste último término ya no se usa. 2. La imagen (o imagen directa) de f , que es Imf = f (A) ⊆ B. Además, tenemos otras definiciones. 2.1.5. Definición. Sean A y B conjuntos y f : A → B. 1. Al conjunto final B se le llama el codominio de f . 21 2.2. TIPOS DE APLICACIONES 2. A la igualdad b = f (a) se le llama la regla de correspondencia de f , y tiene especial sentido cuando se establece por fórmula. 3. Si (a, b) ∈ f , decimos que a es una preimagen de b y que b es la imagen de a. 2.1.6. Ejemplos. 1. Sea A un conjunto. La relación “diagonal” es una aplicación que llamamos la identidad. 2. Sea f : Z → N, tal que f (a) = a2 . Entonces f es una aplicación. 3. √ La relación xRy ⇔ x2 + y 2 = 1 no es una aplicación. Sin embargo, y = 1 − x2 sı́ lo es. 2.1.7. Ejemplo. Operaciones binarias. Sean A y B conjuntos no vacı́os. Una ley de composición externa es una aplicación ø B × A −−→ A cuya imagen habitualmente denotamos b ø a en vez de ø(b, a). Un ejemplo tı́pico de esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales. Otra operación binaria es la ley de composición interna. Sea A un conjunto. Una operación binaria en A es una aplicación ø B × A −−→ A cuya imagen habitualmente denotamos a ø a′ en vez de ø(a, a′ ). Un ejemplo tı́pico de esto es la suma en los números naturales. 2.2. Tipos de aplicaciones 2.2.1. Definición. Sea f : A → B una aplicación. 1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de la imagen, la preimagen es única. Escribimos f (a) = f (b) ⇒ a = b o a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b) 2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todo el codominio. Escribimos ∀ b ∈ B, ∃ a ∈ A tal que f (a) = b. 3. Decimos que f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. 2.2.2. Ejemplos. Se pueden comprobar fácilmente las siguientes afirmaciones: 22 CAPÍTULO 2. APLICACIONES 1. La aplicación f : N → N tal que f (x) = 2x es biyectiva. 2. La aplicación f : [1, ∞) → (0, 1] tal que f (x) = 1 x es biyectiva. 3. Sean A = {a, b, c} y B = {a′ , b′ , c′ , d′ }. Entonces a) La aplicación f = {(a, b′ ), (b, b′ ), (c, b′ )} no es inyectiva ni suprayectiva (es constante). b) La aplicación f = {(a, b′ ), (b, c′ ), (c, d′ )} es inyectiva pero no suprayectiva. c) Ninguna aplicación f : A → B puede ser suprayectiva. 2.3. Imágenes directas e inversas 2.3.1. Definición. Sea f : A → B una aplicación. 1. Para X ⊆ A, definimos la imagen (directa) de X como f (X) = {f (x) | x ∈ X} = {b ∈ B | ∃ x ∈ X, b = f (x)}. 2. Para Y ⊆ B, definimos la imagen inversa como f (Y )−1 = {a ∈ A | f (a) ∈ Y } que también podemos escribir f −1 (Y ) teniendo cuidado de no confundirla con la aplicación inversa. En el caso de las imágenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene un elemento, digamos Y = {y} se suele denotar f (y)−1 . 2.3.2. Proposición. Sea f : A → B una aplicación. La imagen directa verifica las siguientes propiedades. 1. f (∅) = ∅. 2. Si X ⊂ Y entonces f (X) ⊂ f (Y ). 3. Si X, Y ⊂ A entonces f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ). 4. Si X, Y ⊂ A entonces f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y ). Más en general, si I es un conjunto y {Xα }α∈I una familia de subconjuntos de A entonces ! ! [ \ [ \ f f (Xα ) y f f (Xα ) Xα = Xα ⊆ α∈I α∈I α∈I α∈I 23 2.3. IMÁGENES DIRECTAS E INVERSAS Demostración. 1. Es inmediata de (1.4.6). 2. Si X = ∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vacı́o está contenido en todo conjunto (1.2.12). En otro caso, sea y ∈ f (X). Entonces existe x ∈ X tal que f (x) = y. Como X ⊆ Y entonces x ∈ Y , luego y = f (x) ∈ f (Y ). Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes los dejaremos como ejercicio. ⊆] Sea y ∈ f (∪α∈I Xα ). Entonces existe x ∈ ∪α∈I Xα tal que f (x) = y. Como x ∈ ∪α∈I Xα entonces x ∈ Xα para alguna α ∈ I. Luego y ∈ f (Xα ) ⊂ ∪α∈I f (Xα ). ⊇] Considérese y ∈ ∪α∈I f (Xα ). Entonces y ∈ f (Xα ) para S alguna α ∈ I, ası́ que existe x ∈ Xα tal que f (x) = y. De hecho x ∈ α∈I Xα , ası́ que y = f (x) ∈ f (∪α∈I Xα ). 2.3.3. Ejercicio. Dar ejemplos de funciones f : A → B y conjuntos X, Y ⊆ A tales que f (X ∩ Y ) ( f (X) ∩ f (Y ) y f ′ : A′ → B ′ y conjuntos X ′ , Y ′ ⊆ A′ tales que f (X ′ ∩ Y ′ ) = f (X ′ ) ∩ f (Y ′ ) Respuesta. Sean A = {1, 2}, B = {b}, X = {1} e Y = {2}. Sea f : A → B tal que f es la constante b. Entonces X ∩ Y = ∅, luego f (X ∩ Y ) = ∅, pero f (X) ∩ f (Y ) = B. 2.3.4. Proposición. Sea f : A → B una aplicación e Y ⊂ B. La imagen inversa verifica las siguientes propiedades. 1. f (Y )−1 ∁ −1 =f Y∁ . 2. Si I es un conjunto e {Yα }α∈I una familia de subconjuntos de B entonces f [ Yα α∈I !−1 = [ −1 f (Yα ) α∈I y f \ α∈I Yα !−1 = \ −1 f (Yα ) α∈I Demostración. Probaremos la última afirmación. El resto se deja como ejercicio. ⊆] Sea x ∈ f (∩α∈I Yα )−1 . Entonces f (x) ∈ ∩α∈I Yα , entonces f (x) ∈ Yα para −1 −1 todo α ∈ I luego x ∈ f (Yα ) para todo α ∈ I, ası́ que x ∈ ∩α∈I f (Yα ) . −1 −1 ⊇] Sea x ∈ ∩α∈I f (Yα ) . Entonces x ∈ f (Yα ) para todo α ∈ I, luego f (x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f (x) ∈ ∩α∈I Yα . Por lo tanto x ∈ −1 T . f α∈I Yα √ 2.3.5. Ejemplo. Sea f : R → R dada por f (x) = x2 . Sea X = [1, 2] ⊂ R. Se puede comprobar que: 1. f (X) = [1, 2]. √ √ 2. f (f (X))−1 = [− 2, −1] ∪ [1, 2]. 24 CAPÍTULO 2. APLICACIONES √ √ 3. f (X)−1 = − 4 2, −1 ∪ 1, 4 2 √ 4. f f (X)−1 = [1, 2]. Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicación dada por g(x) = sen x, e Y = [−2, 2]. 2.4. Composición Permı́tasenos comenzar este párrafo con el siguiente ejercicio. 2.4.1. Ejercicio. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Definimos la relación g ◦ f ⊂ A × C tal que (a, c) ∈ (g ◦ f ) si y sólo si, existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g. Probar que g ◦ f es una aplicación. Respuesta. Sea a ∈ A. Entonces existe un único b ∈ B tal que (a, b ∈ F y un único c ∈ C tal que (b, c) ∈ g, por tanto (a, c) ∈ g ◦ f . Vamos a ver que c es único. Si (a, c′ ) ∈ g ◦ f entonces existe b′ ∈ B tal que (a, b′ ) ∈ f y (b′ , c′ ) ∈ g, pero la definición de aplicación nos dice que b = b′ y por tanto c = c′ . Entonces podemos introducir el siguiente concepto. 2.4.2. Definición. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Se conoce como la composición de f seguida de g y la denotamos g ◦ f a la aplicación siguiente: 1. g ◦ f : A → C. Tal que 2. (g ◦ f )(a) = g(f (a)). Entonces, en la composición ocurre que Dom(g ◦ f ) = Domf y el codominio de la composición es igual al codominio de g. 2.4.3. Ejemplos. 1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f (n) = 2n + 1 y g(n) = n2 . Entonces la composición de f seguida de g es (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(2n + 1) = (2n + 1)2 . Nótese que la composición de g seguida de f no puede definirse, porque no coinciden la imagen de g y el dominio de f . También notemos que a efectos prácticos, eso podrı́a corregirse. Una manera es la siguiente. 2. Al hilo del apartado anterior, sean f : N → N y g ′ : N → N, dadas por f (n) = 2n + 1 y g ′ (n) = n2 . Ahora podemos hacer ambas composiciones y queda (g ◦ f )(n) = (2n + 1)2 Nótese que (g ◦ f ) 6= (f ◦ g). y (f ◦ g)(n) = 2n2 + 1. 2.4. COMPOSICIÓN 25 2.4.4. Teorema. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D aplicaciones. Entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . Demostración. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego las composiciones pueden considerarse. Sea a ∈ A. Calculamos (h ◦ (g ◦ f ))(a) = h ([g ◦ f ](a)) = h (g(f (a))) = (h ◦ g)(f (a)) = ((h ◦ g) ◦ f )(a) 2.4.5. Proposición. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Demostración. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones inyectivas. Sean a, a′ ∈ A tales que (g ◦ f )(a) = (g ◦ f )(a′ ). Entonces g(f (a)) = g(f (a′ )) y como g es inyectiva f (a) = f (a′ ), y como f es inyectiva a = a′ . 2.4.6. Proposición. La composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva. Demostración. Sea c ∈ C. Entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c y, a su vez, existe a ∈ A tal que f (a) = b. Luego (g ◦ f )(a) = c. 2.4.7. Corolario. La composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva. Demostración. Inmediata de las dos anteriores. 2.4.8. Proposición. Sean f : A → B y g : B → C. Entonces 1. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva. 2. Si g ◦ f es suprayectiva entonces g es suprayectiva. Demostración. Ejercicio. 2.4.1. Inversa de una aplicación biyectiva 2.4.9. Notación. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicación identidad en A, como 1A : A → A; es decir, 1A (a) = a, para todo a ∈ A. 2.4.10. Definición. Sea f : A → B una aplicación. Decimos que f tiene inversa si existe g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B . En este caso, decimos que f es una aplicación invertible. 2.4.11. Proposición. Sea f : A → B una aplicación invertible. Entonces la inversa es única. Demostración. Supongamos que g y h son inversas. Entonces g = g ◦ 1B = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h = 1A ◦ h = h. 26 CAPÍTULO 2. APLICACIONES 2.4.12. Notación. Para una aplicación invertible f : A → B, denotamos la inversa como f −1 . 2.4.13. Teorema. Sea f : A → B una aplicación. Entonces f es invertible si y sólo si es biyectiva. Demostración. Supongamos primero que f es invertible y veamos que es biyectiva. Sean a, a′ ∈ A. Si f (a) = f (a′ ) entonces f −1 (f (a)) = f −1 (f (a′ )), luego a = a′ . Ahora, sean b, b′ ∈ B. Hacemos a = f −1 (b) y a′ = f −1 (b′ ) y se tiene que f (a) = b y f (a′ ) = b′ . Por tanto es biyectiva. Recı́procamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la inversa. Para cada b ∈ B consideremos la imagen inversa f ({b})−1. Se afirma que la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, entonces f ({b})−1 6= ∅. Si a, a′ ∈ f ({b})−1 entonces b = f (a) y b = f (a′ ), de donde f (a) = f (a′ ) y como es inyectiva a = a′ . Definimos g : B → A tal que g(b) ∈ f (b)−1 , el único elemento. Es inmediato comprobar que g es inversa de f y por tanto g = f −1 . 2.4.14. Proposición. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones invertibles. Entonces (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Demostración. Es un cálculo directo. 2.4.15. Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0 6= n ∈ N y A = {a1 , . . . , an } un conjunto (con n elementos). Una permutación es una biyección σ : A → A. Las permutaciones se denotan a1 ... an . σ= σ(a1 ) . . . σ(an ) Como ejemplo más concreto, si A = {1, 2, 3, 4, 5} entonces una permutación puede ser 1 2 3 4 5 σ= . 3 4 5 1 2 Dado un conjunto no vacı́o A con n elementos, se denota S(A) el conjunto de las permutaciones de A. En caso de que A = {1, . . . , n} escribimos Sn . Producto directo Vamos a ver una extensión de la idea del producto cartesiano (1.4.4) que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el producto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto de ı́ndices está ordenado, los identificamos, con la idea de extensión del producto cartesiano a un número finito de factores (véase 1.4.5). 27 2.4. COMPOSICIÓN 2.4.16. Definición. Sea I un conjunto y F = {Ai }i∈I una familia de conjuntos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto Y Ai = {f : I → ∪i∈I Ai | f (i) ∈ Ai } . i∈I 2.4.17. Notación. Los elementos Q se denotan imitando la escritura de las parejas ordenadas; es decir, si f ∈ i∈I Ai , escribimos f = (xi )i∈I . Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementos repitiendo la lista en los ı́ndices. No tenemos que seguir el orden de la lista, pero es conveniente y se acostumbra. Por ejemplo si I = {1, . . . , n}, escribimos A1 × · · · × An = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ Ai } . En caso de que no se quiera escribir a una familia con ı́ndices, simplemente se presupone; es decir, a la familia {A, B, C} la vemos como {A1 , A2 , A3 } o usando cualquier otro conjunto de ı́ndices con tres elementos. 2.4.18. Ejemplos. 1. R2 = {f : {1, 2} → R | f (i) ∈ R, i = 1, 2} = {(x1 , x2 ) | xi ∈ R}, el plano habitual. 2. Rn = {f : {1, . . . , n} → R | f (i) ∈ R, i = 1, . . . , n}. Q 3. n∈N An = {f : N → ∪n∈N An | f (n) ∈ An }, es un producto infinito. Denotamos sus elementos también como f = (x1 , x2 , . . . ). Ya hemos comentado que el producto cartesiano con más de dos factores no es asociativo (véase 1.4.5). El producto directo tampoco lo es, pero todo puede identificarse. Por ejemplo existe una biyección entre A × (B × C) y (A × B) × C que nos permite escribir A×B×C, e identificar (a, (b, c)) ↔ ((a, b), c) ↔ (a, b, c). La comprobación es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, pero en general depende del siguiente resultado que es mucho más simple. Esta parte la dejamos para los lectores más curiosos. 2.4.19. Proposición. Sean I y J conjuntos y F = {Ai }i∈I y G = {Bj }j∈J familias de conjuntos. Si existe una biyección σ : I → J, junto con un Q conjunto de biyecciones {fi : Ai → Bσ(i) }i∈I entonces existe una biyección f : i∈I Ai → Q −1 (j)) . j∈J Bj , dada por f (x)(j) = fσ−1 (j) x(σ Q Demostración. Nótese que para cada x ∈ i∈I Ai y cada j ∈ J, se tiene un es aplicación. Vamos a único elemento fσ−1 (j) x(σ −1 (j)) , ası́ Q Q que la relación ver que es biyectiva. Considérese g : j∈J Bi → i∈I Ai , dada por g(y)(i) = fi−1 (y(σ(i))) (nótese que fi−1 : Bσ(i) → Q Ai ). Es claro que también es aplicación. Se afirma que son inversas. Sea x ∈ i∈I Ai . Entonces g(f (x))(i) = fi−1 (f (x)(σ(i))) = fi−1 fσ−1 (σ(i)) (x(σ −1 (σ(i)))) = = fi−1 (fi (x(i))) = x(i). 28 CAPÍTULO 2. APLICACIONES De forma completamente análoga se tiene que f (g(y)) = y. Como tiene inversa, (2.4.13) nos asegura que f es biyectiva. Producto directo arbitrario y axioma de elección Como acabamos de ver, el producto directo finito puede identificarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aquı́ se desprende que si tengo una familia finita de conjuntos no vacı́os, el producto de conjuntos es no vacı́o. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer capı́tulo que el producto arbitrario de una familia de conjuntos no vacı́os sea no vacı́a. Los enunciados que veremos a continuación, son equivalentes. Es fácil comprobarlo. 2.4.20. Axioma de elección. 1. Sea I un conjunto arbitrario y {Ai }i∈I una familia. Si cada Ai no vacı́o entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto. O, equivalentemente 2. Sea I un conjunto no vacı́o y Q {Ai }i∈I una familia de conjuntos no vacı́os. Entonces el producto directo i∈I Ai es no vacı́o. Más adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras propiedades. Capı́tulo 3 Orden 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos Recordemos que una relación binaria, correspondencia o simplemente relación (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos. En este capı́tulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde el conjunto inicial y el final, coinciden. Comenzamos con una lista de propiedades que utilizaremos durante todo el texto. 3.1.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A. 1. Decimos que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, para todo a ∈ A. 2. Decimos que R es simétrica si para a, b ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ R se tiene que (b, a) ∈ R. 3. Decimos que R es antisimétrica si dados a, b ∈ A tales que (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, se tiene que a = b. 4. Decimos que R es transitiva si, dados a, b, c ∈ A, cada vez que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R se tiene que (a, c) ∈ R. 3.1.2. Ejemplo. Se pide que como ejemplo se clasifiquen las siguientes relaciones. 1. Se puede comprobar que si A = {a, b} y B = {1, 2} entonces existen 16 relaciones entre A y B. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas. 2. Sea A = N y aRb si y solo si a + b es par. 3. Sea A = Z y aRb si y solo si a y b tienen distinta paridad. 4. Sea A = R y aRb si y solo si 29 30 CAPÍTULO 3. ORDEN a) a ≤ b. b) a 6= b. c) |a + b| ≤ 1. 5. Sea A = N y aRb si y solo si a divide a b (recordemos a | b, véase 7.1.6). 6. Sea C un conjunto arbitrario y A = P(C). Definimos a) aRb si y solo si a \ b = b \ a. b) aRb si y solo si a ⊆ b. 7. Sea A = R2 y (x1 , x2 )R(y1 , y2 ) si y sólo si x1 < x2 o bien, si x1 = x2 se tiene que x2 ≤ y2 . 3.1.3. Ejercicio. El orden que hemos visto en el Ejemplo 7 se conoce como “orden lexicográfico”. Se pide extender la idea de orden lexicográfico en dos direcciones. La primera a cualquier número de coordenadas. La segunda sustituyendo R por un conjunto ordenado arbitrario. 3.1.4. Definición. Sea A un conjunto. 1. Una relación “≤” en A se dice que es una relación de orden (o un orden parcial) si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. 2. Un par (A, ≤), donde A es un conjunto y “≤” es una relación de orden en A, se dice que es un conjunto ordenado (o parcialmente ordenado). Si el contexto no deja dudas sobre la relación de orden, sólo escribiremos que A es un conjunto ordenado. 3.1.5. Notación. Sea (A, ≤) un orden parcial. Para a, b ∈ A, escribimos a < b si a ≤ b y además a 6= b (también se escribe a b). 3.1.6. Ejemplos. 1. Los ejemplos 4a, 5, 6a y 7, son todos órdenes. Los otros no lo son. 2. A = R con el orden a ≤ b ⇔ a ≤ b (el orden usual). 3. A = N \ {0} con el orden a ≤ b ⇔ a | b (la divisibilidad 7.1.6). 4. B = {1, 2, 3} y A = P(B) con el orden a ≤ b ⇔ a ⊆ b (la inclusión). ( a1 < b1 ; o bien 5. A = R2 con el orden (a1 , a2 ) ≤ (b1 , b2 ) ⇔ a1 = b 1 y a2 ≤ b 2 Una propiedad notable de la relación “menor o igual de siempre” en todos los conjuntos de números es que dados dos números, siempre podemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor que el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de tricotomı́a. 3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS 31 3.1.7. Definición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado. Decimos que A satisface la ley de tricotomı́a si, dados a, b ∈ A, ocurre una y solo una de las tres condiciones siguientes: 1) a = b. 2) a < b. 3) b < a. 3.1.8. Definición. Sea (≤, A) un conjunto ordenado. 1. Decimos que la relación de orden ≤ es un orden total o lineal, si satisface la ley de tricotomı́a. 2. En el caso anterior, diremos además que A es un conjunto totalmente o linealmente ordenado. 3.1.9. Ejercicio. Considérense los conjuntos ordenados (A, ≤) dados en los ejemplos (3.1.6). Se pide decidir cuáles de ellos son conjuntos totalmente ordenados, razonando la respuesta. Vamos a ver dos representaciones gráficas para conjuntos ordenados. La primera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simplemente diagrama de grafo de un orden parcial. Consideremos a, b ∈ (A, ≤), tales que a ≤ b, pero a 6= b; es decir, a < b. Entonces dibujamos una lı́nea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemos con todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito, con fórmula cuando sea posible) con la condición de no repetir ningún elemento de A. Además, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ningún elemento consigo mismo. 3.1.10. Ejemplo. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación de inclusion que ya vimos. El diagrama de Hasse asociado es: {1, 2, 3} HH H HH H {1, 2} {1, 3} {2, 3} H H H HH H HH HH H H {1} {2} {3} HH H HH H ∅ La otra representación, también bastante conocida se llama las “ζ-matrices”. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se construye entonces la matriz ζA con ı́ndices en A, tal que ( 1 si a < b ζa,b = 0 otro caso 32 CAPÍTULO 3. ORDEN 3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez, C = {1, 2, 3} y A = P(C) junto con la relación de inclusion que ya vimos. La representación de ζ-matriz es ∅ ∅ {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}             0 0 0 0 0 0 0 0 {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0             Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables. 3.1.12. Definición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y a ∈ A. 1. Decimos que a es máximo de A, cuando b ≤ a para todo b ∈ A 2. Decimos que a es el primer elemento o mı́nimo de A, cuando a ≤ b, para todo b ∈ A En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el máximo {1, 2, 3} es el que ocupa el extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior. En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el máximo tiene toda su columna 1 menos la entrada de él mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda su fila 1 excepto la entrada de él mismo. 3.1.13. Proposición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado. Entonces 1. Si A tiene máximo entonces éste es único. 2. Si A tiene primer elemento o mı́nimo entonces éste es único. Demostración. Se deja como ejercicio. 3.1.14. Definición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y a ∈ A. 1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que si a ≤ b entonces b = a 2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que si b ≤ a entonces b = a 3.1.15. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los elementos notables, cuando los haya. 1. A = n1 | n ∈ N , junto con el “≤” habitual. El máximo es 1 y no tiene primer elemento. 2. A = {n ∈ N | n es par} junto con el “≤” habitual. No tiene máximo. Tiene primer elemento 0. 3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS 33 3. A = N×N junto con el orden lexicográfico. No tiene maximales y el primer elemento es el (0, 0). 4. Un intervalo abierto en R. No tiene máximo, mı́nimo, maximales ni minimales. 5. Un intervalo cerrado en R. El extremo de la izquierda es el minimo y el de la derecha es el máximo. 6. A = {a · N | 1 6= a ∈ N}, junto con la inclusión. Si a es primo entonces a · N es maximal. No hay minimales. 7. A = N\{0, 1}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales ni minimales. Tiene minimales. Todos los primos. 8. Sea C = {1, 2, 3} y A = P(C) \ C, junto con la inclusión. Entonces A tiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene máximo. 3.1.16. Definición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado, B ⊆ A un subconjunto y c ∈ A. 1. Decimos que c es una cota superior de B en A si b ≤ c, para todo b ∈ B 2. Decimos que c es una cota inferior de B en A si c ≤ b, para todo b ∈ B En los ejemplos de (3.1.15) se tiene: En (1), A puede verse contenido en Q y ası́, 0 es cota inferior y todo racional q ≥ 1 es cota superior. En (2), A puede verse contenido en N y ası́, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3) (0, 0) es cota inferior y primer elemento, también. En (4) y (5) A puede verse contenido en R y ası́, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del intervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo derecho del intervalo son cotas superiores. En (6) A puede verse contenido en A ∪ {N, ∅} y ası́, se tiene que N es cota superior y ∅ es cota inferior. En (7), A puede verse contenido en N \ {0} y ası́, el 1 es cota inferior. En (8), A puede verse contenido en P(C) y ası́, el {1, 2, 3} es cota superior. 3.1.17. Definición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado, B ⊆ A un subconjunto y c ∈ A. 1. Decimos que c ∈ A es el supremo (o extremo superior) de B en A si es el mı́nimo del las cotas superiores de B en A. 2. Decimos que c ∈ A es ı́nfimo (o extremo inferior) de B en A si es el máximo de las cotas inferiores de B en A. 3.1.18. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen el supremo e ı́nfimo de cada uno. 1. A = n1 | n ∈ N ⊂ Q, junto con el “≤” habitual. El máximo y el supremo es 1. El ı́nfimo es 0. 34 CAPÍTULO 3. ORDEN 2. A = {n ∈ N | n es par} ⊂ N junto con el “≤” habitual. El ı́nfimo y primer elemento 0. 3. El intervalo (a, b) ⊂ R. Supremo b e ı́nfimo a. 4. El intervalo [a, b] ⊂ R. Supremo b e ı́nfimo a. 3.1.19. Proposición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A un subconjunto, con el orden de A. Si B tiene supremo (o ı́nfimo) en A éste es único. Demostración. Se deja como ejercicio. El siguiente resultado nos muestra por qué podemos decir él supremo e ı́nfimo, en vez de un supremo o ı́nfimo. 3.1.20. Proposición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A un subconjunto, con el orden de A. 1. Si b ∈ B es un máximo (o mı́nimo) entonces b es también el supremo de B en A. 2. Si a ∈ A es supremo (ı́nfimo) de B en A y a ∈ B, entonces a es máximo (mı́nimo) de A. Demostración. Se deja como ejercicio. 3.2. Conjuntos bien ordenados. Es inmediato comprobar que los números naturales, enteros, racionales y reales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una gran diferencia entre el orden de los números naturales y los enteros y los otros dos. A saber, podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier número entero (excepto el 0 en los naturales). Vamos a describir este fenómeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el concepto de conjunto bien ordenado. 3.2.1. Definición. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado. Diremos que es bien ordenado si todo subconjunto no-vacı́o de A tiene un mı́nimo 3.2.2. Proposición. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. El recı́proco no se verifica. Demostración. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considero dos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A. Como B no es vacı́o, tiene primer elemento. De ahı́ se desprende la tricotomı́a trivialmente. 3.2.3. Ejemplo. Considérense N × N junto con el orden lexicográfico. (1, 1) < (1, 2) < . . . < (1, n) < . . . < (2, 1) < (2, 2) < . . . < (2, n) < . . . .. . 3.2. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. 35 Este conjunto está bien ordenado. Demostración. Sea A ⊆ N×N no vacı́o y A1 = {x ∈ N | (x, y) ∈ A p.a. y ∈ N}. Claramente A1 6= ∅ y A1 ⊆ N, por tanto, tiene primer elemento. Sea x0 ∈ A1 , dicho primer elemento. Sea ahora A2 = {y ∈ N | (x0 , y) ∈ A}. Como antes, A2 también tiene primer elemento, digamos y0 ∈ A2 . Se afirma que (x0 , y0 ) es el primer elemento de A. Sea (a, b) ∈ A, arbitrario. Como a ∈ A1 entonces x0 ≤ a. Si x0 < a ya terminamos, si no, entonces x0 = a, ası́ que b ∈ A2 y ası́ y0 ≤ b. Intuitivamente, es claro que si tenemos un conjunto con un número determinado de elementos, entonces es posible hacer una lista estableciendo un buen orden entre ellos; de hecho, si existe una biyección entre dos conjuntos y uno tiene un buen orden, el otro podrá ser dotado de un buen orden (probarlo como ejercicio). En el caso de conjuntos arbitrarios, eso ha de ser un axioma. Se conoce como el principio de la buena ordenación. Es interesante hacer notar que este axioma es equivalente al axioma de elección (2.4.20) aunque la demostración excede los alcances de estos apuntes. Terminamos entonces con el enunciado. 3.2.4. Principio de la buena ordenación. Si A es un conjunto no-vacı́o, entonces existe una relación de orden ≤ en A tal que (A, ≤) es un conjunto bien ordenado. 36 CAPÍTULO 3. ORDEN Capı́tulo 4 Relaciones de equivalencia 4.1. Conceptos básicos Como hemos comentado, un método importante de las matemáticas consiste relacionar los elementos de un conjunto. Recordemos que en (3.1.1) vimos algunas propiedades de las relaciones. Vamos a trabajar con ellas. 4.1.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación en A × A. Decimos que R es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. 4.1.2. Ejemplos. 1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto. 2. En Z, la relación a ∼5 b si y sólo si 5 | (a − b). 3. En R, la relación a ∼ b si y sólo si a − b ∈ Z. 4. En los triángulos, la semejanza; es decir, triángulos cuyos angulos coinciden. 5. ¿Cuándo una relación de orden es relación de equivalencia? 6. Sea A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}. Determinar si es relación de equivalencia. Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente. 4.1.3. Ejemplo. Sea f : A → B una aplicación. Definimos la relación a ∼ a′ ⇔ f (a) = f (a′ ). Se puede comprobar que es relación de equivalencia. 4.1.4. Notación. Si R es una relación de equivalencia en A y a, b ∈ A están relacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas 1. La tradicional: aRb, que también usamos para relaciones en general. 37 38 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 2. También, a ∼R b 3. O la anterior, pero más corta si no causa confusión, a ∼ b. 4.2. Clases de equivalencia Sea A un conjunto no vacı́o y R una relación de equivalencia en A. Para cada elemento a ∈ A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementos de A que estén relacionados con a. Estas colecciones son una herramienta de trabajo importante en álgebra. 4.2.1. Definición. Sea A 6= ∅ un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada a ∈ A, su clase de equivalencia es el conjunto [a] = {b ∈ A | a ∼ b }. Las siguientes propiedades son muy fáciles de verificar: 4.2.2. Proposición. Sea A 6= ∅ un conjunto R una relación de equivalencia en A. Las siguientes condiciones son equivalentes, para a, b ∈ A: 1. [a] ∩ [b] 6= ∅. 2. a ∼R b. 3. [a] = [b]. Demostración. (1 ⇒ 2) Si x ∈ [a] ∩ [b] entonces a ∼ x y x ∼ b, luego a ∼ b. (2 ⇒ 3) Por hipótesis, a ∼ b. Si x ∈ [a] entonces x ∼ a y como a ∼ b se tiene que x ∼ b, luego x ∈ [b]. Análogamente se tiene que cualquier y ∈ [b] verifica y ∈ [a]. (3 ⇒ 1) Inmediato del hecho de que (a, a) ∈ [a]. Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a ∈ C entonces [a] = C, trivialmente. En este caso decimos que a es un representante de C. Como se verá en los siguientes ejemplos, una correcta elección de los representantes puede simplificar mucho la descripción de las clases de equivalencia. 4.2.3. Ejemplos. 1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equivalencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cuál de las tres condiciones falla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia. a) En Z, la relación a ∼ b si y sólo si a + b es impar. b) En N × N, la relación (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si a + d = b + c. c) En A = {1, 2, 3}, la relación R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. d ) En Z × (Z \ {0}), la relación (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si ad = bc. ¿Qué pasarı́a si incluyésemos al (0, 0)? 4.3. EL CONJUNTO COCIENTE Y LA PROYECCIÓN CANÓNICA 39 e) En Z, la relación a ∼5 b si y sólo si 5 | (a − b) (véase el Ejemplo 2 de 4.1.2). f ) En el conjunto de todas las rectas en el plano, L, la relación L1 ∼ L2 si y sólo si son paralelas. 2. Determinar las clases de equivalencia de (4.1.3). 4.3. El conjunto cociente y la proyección canónica 4.3.1. Definición. Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Se conoce como conjunto cociente de A, respecto de la relación R, al conjunto de las clases de equivalencia de los elemetos de A respecto de R. Se denota A/R, A/∼R o simplemente A/∼ . Vamos a calcular los conjuntos cociente de las relaciones de equivalencia en los ejemplos de (4.1.2). Calcular los conjuntos cociente consiste en dar un conjunto de representantes (también llamado un juego completo de representantes) En el Ejemplo 1 de (4.1.2), la diagonal, se tiene que A/∼ = {[a] | a ∈ A}. En el Ejemplo 2 no podemos escribir Z/∼ = {[a] | a ∈ Z} porque la colección anterior no es un conjunto. Nótese que [0] = [5] = [10] = [15] = . . . y ası́. De hecho Z/∼ = {[0], [1], [2], [3], [4]}. Para el Ejemplo 3 tomando en cuenta que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal que tiene valor absoluto menor que 1, se tiene que R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 1}. Para el Ejemplo 4, asociamos a cada triángulo la terna sin orden de sus ángulos internos, (α, β, γ), tal que α + β + γ = 180. Dos triángulos son semejantes si coinciden en sus ternas salvo el orden. Ası́ que A/∼ = {(α, β, γ) | α + β + γ = 180}. 4.3.2. Proposición. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A y consideremos el conjunto cociente A/R. La correspondencia dada por a 7→ [a] es una aplicación que denotamos ηR : A → A/R Demostración. Se deja como ejercicio. 4.3.3. Definición. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A y consideremos el conjunto cociente A/R. La aplicación ηR : A → A/R se conoce como proyección canónica. 4.3.4. Ejemplos. 1. Vamos a continuar analizando la situación del ejemplo que aparece en (4.1.3). Recordemos que se tienen dos conjuntos A, B y una aplicación f : A → B. Se define una relación dada por a ∼ a′ si y solo si f (a) = f (b). Consideremos la correspondencia entre el conjunto cociente g ⊂ A/∼ × B, dada por g = {([a], f (a)) | a ∈ A}; o bien, g : A/∼ → B, tal que g([a]) = f (a). Queremos ver que es aplicación y que, como tal, es inyectiva. La particularidad que tiene esta correspondencia es que está definida en 40 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA términos de representantes y no de clases generales. Esto nos obliga a comprobar que la correspondencia no depende del representante que se elija. Es decir que si [a] = [a′ ] entonces g ([a]) = g ([a′ ]). En este caso, como g = f ◦ η, sabemos de antemano que g es aplicación, luego g([a]) = g([a′ ]). Decimos entonces que g está bien definida. Para abreviar, se suele abusar de la notación y definir directamente la pretendida aplicación g : A/∼ → B y luego afirmar y probar que la aplicación está bien definida. Probar que, de hecho, la aplicación es inyectiva es fácil. 2. El siguiente ejemplo puede resultar vistoso. Se considera la relación de equivalencia en R, dada por x ∼ y ⇐⇒ x−y ∈ Z; 2π es decir, los números reales que distan en un múltiplo de 2π. Podemos entonces identificar a estas clases con los ángulos, al elegir a los representantes en el intervalo [0, 2π); es decir, R/∼ = {[r] | 0 ≤ r < 2π}. Ahora, considérese la circunferencia en el plano real de radio 1, con centro en (0, 0), que denotamos C(0, 1) o S 1 . Entonces la aplicación f : R/ ∼ −→ S 1 tal que f [x] = (cos x, sen x) está bien definida (en el sentido anterior) y es biyectiva. 3. Continuamos con el ejemplo anterior y volvemos a considerar los ángulos, R/∼ = {[x] | 0 ≤ x < 2π}. Queremos comprobar que la correspondencia suma de ángulos + : R/∼ × R/∼ → R/∼ tal que [x] + [x′ ] = [x + x′ ] está bien definida. Supongamos que x ∼ y y que x′ ∼ y ′ . Entonces x − y x′ − y ′ x + x′ − (y + y ′ ) = + ∈Z 2π 2π 2π y por tanto [x + x′ ] = [y + y ′ ]. 4. Ahora vamos a ver un caso en el que las cosas no funcionan. Vamos a ver qué pasa si queremos definir el producto de ángulos. Queremos ver si la correspondencia · : R/∼ × R/∼ → R/∼ tal que [x] · [x′ ] = [x · x′ ] está bien definida. Si uno intenta hacer un argumento como antes las cosas no salen. Después se comprueba que [ 21 ] = [ 4π+1 2 ], pero sus cuadrados no coinciden. 4.4. Relaciones de equivalencia y particiones En esta sección probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa. Sea A un conjunto no vacı́o y R una relación de equivalencia. Consideremos el conjunto cociente A/ ∼ y cualquier elemento C ∈ A/ ∼. Sabemos que si a, b ∈ C entonces [a] = C = [b]. Además de esto se tiene el siguiente resultado. 4.4.1. Proposición. Sea A un conjunto no vacı́o y R una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia de R verifican las siguientes propiedades: 4.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES 41 1. [a] ∩ [b] = ∅ si y sólo si a 6∼ b. S 2. [a]∈A/∼ [a] = A. Demostración. 1. Inmediato de (4.2.2). 2. Sea b ∈ A. Como b ∼ b entonces b ∈ [b] ⊂ ∪[a]∈A/∼ [a]. Éste es un resultado importante dentro del álgebra. De hecho, las familias de conjuntos que verifican estas propiedades tienen nombre propio. 4.4.2. Definición. Sean A e I conjuntos y P = {Bi }i∈I una familia de subconjuntos. Decimos que la familia P forma una partición para A si se verifican las siguientes propiedades. 1. Bi ∩ Bj = ∅ si y sólo si i 6= j. S 2. La unión (disjunta) i∈I Bi = A. 4.4.3. Observación. Podemos separar la propiedad (1) en dos, si escribimos Para cada i ∈ I, el conjunto Bi 6= ∅. Para i, j ∈ I, si i 6= j entonces Bi ∩ Bj = ∅. Es decir, los elementos de una partición son conjuntos no vacı́os y disjuntos. Ası́ que toda relación de equivalencia induce una partición. El recı́proco se verifica. Reuniendo todo se tiene el siguiente resultado. 4.4.4. Proposición. Toda relación de equivalencia induce una partición. Recı́procamente, toda partición determina una relación de equivalencia. Demostración. Ya hemos visto en (4.4.1) que toda equivalencia determina una partición (en clases de equivalencia). Vamos entonces a ver el recı́proco. Sea {Ci }i∈I una partición en A. Definimos la relación a ∼ b ⇐⇒ a, b ∈ Ci para alguna i ∈ I. Se prueba entonces que es relación de equivalencia y que las clases de equivalencia son justo las Ci . 42 CAPÍTULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Capı́tulo 5 Conjuntos numéricos En este capı́tulo vamos a definir y a establecer las propiedades básicas de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos utilizando del lenguaje de los conjuntos. La presentación será formal, aunque no totalmente, pues puede alargarse y complicarse más de lo deseable para un primer curso. 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos 5.1.1. Definición. Decimos que dos conjuntos X e Y son equipotentes si existe una aplicación biyectiva entre ellos. 5.1.2. Observación. Nótese que el ser equipotentes es una relación reflexiva, simétrica y transitiva, y aún cuando sabemos que la colección de todos los conjuntos no es, a su vez, un conjunto, podemos agrupar a los conjuntos en “clases de equipotencia”. 5.1.3. Definición. El cardinal de un conjunto es su clase de equipotencia. Intuitivamente, podemos comprobar que los cardinales son colecciones disjuntas y que todo conjunto tiene cardinal. 5.1.4. Notación. Para un conjunto A, denotamos su cardinal con |A|. Entonces un número cardinal es una clase de equipotencia de conjuntos. Conjuntos finitos e infinitos 5.1.5. Definición. Decimos que un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B A que es equipotente a A; es decir, existe una biyección f : B → A. 5.1.6. Definición. Decimos que un conjunto A es finito si no es infinito. Aunque no hemos definido formalmente el concepto de número natural o entero (lo haremos en breve) intuitivamente sabemos trabajar con ellos. Los siguientes ejemplos nos pueden servir para fijar ideas. 43 44 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS 5.1.7. Ejemplos. Sea P el conjunto de los números enteros pares y P + el de los pares positivos. 1. Probar que |N| = |P + | a través de la biyección n 7→ 2n, con n ∈ N. 2. Probar que |Z| = |P | a través de la biyección m 7→ 2m, con m ∈ Z. 3. Probar que |N| = |P | a través de la biyección ( n si n es par. n 7−→ −(n + 1) si n es impar. 4. Por tanto, |N| = |Z|. 5. Probar que si n ∈ N entonces Nn = {x ∈ N | x ≤ n} es finito. 5.1.8. Definición. Un cardinal, decimos que es finito si tiene un representante finito. En otro caso decimos que es infinito. Por ejemplo, 0 = |∅|. 1 = |{∅}|. 2 = |{∅, {∅}}|. y ası́, sucesivamente, hasta el 9. El resto de los numerales de los cardinales los obtenemos con la escritura decimal. Ahora consideramos la colección de los cardinales finitos. 5.1.9. Definición. La colección de los cardinales finitos se conoce como los números naturales y se denota N. No se puede demostrar, con los conceptos sobre conjuntos que hemos visto, que la colección anterior sea conjunto. Lo asumimos como un axioma. 5.1.10. Axioma del infinito. La colección de los números naturales es un conjunto. 5.1.11. Definición. Sea n un cardinal y considérese un representante A. Se conoce como el sucesor de n, al cardinal n∗ = |A ∪ {x}|, donde x es cualquier objeto que no sea un elemento de A 5.1.12. Se puede probar (véase el Apéndice) que si n ∈ N entonces n∗ ∈ N. Denotamos n∗ = n + 1. Esta propiedad nos da lugar a la definición de la aplicación sucesor, σ : N → N tal que σ(n) = n∗ . También se prueba en el Apéndice que la aplicación σ es inyectiva. Como consecuencia se tiene el siguiente resultado. 5.1.13. Proposición. El conjunto de los números naturales es infinito. 5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 45 Demostración. Sea M = {2, 3, . . . }. Modificamos el codominio de la aplicación sucesor, definiendo σ ′ : N → M tal que σ ′ (n) = n∗ que claramente es inyectiva. De aquı́ se tiene de inmediato. El siguiente postulado será asumido sin demostración. El proceso excede con mucho el objetivo principal de este capı́tulo que es el conocimiento operativo del lenguaje de los conjuntos y sus propiedades. Para un estudio detallado véase por ejemplo [6] o [9]. 5.1.14. Principio de inducción en los números naturales. Si A ⊆ N es tal que a) 1 ∈ A. b) n ∈ A ⇒ n∗ ∈ A entonces A = N \ {0}. Hay una técnica de demostración llamada inducción matemática, que se deriva directamente del principio de inducción. Vamos a enunciarla. 5.1.15. Inducción matemática. Supongamos que se quiere demostrar una propiedad P (n), para n ∈ N. Los dos pasos a continuación son suficientes: 1. Se demuestra la validez de P (0) o P (1). Es decir, que la propiedad vale para n = 0 o n = 1, como se quiera. 2. Se supone que P (n) es válida y a partir de ahı́, se prueba la validez para P (n + 1). Es decir, se prueba que si es válida para n, lo es para n + 1. Entonces, el principio de inducción nos asegura que el conjunto P = {x ∈ N | P (x) es verdadera} = N; es decir, que la propiedad vale para todos los números naturales (tal vez, excepto el 0, si no se consideró). Más adelante haremos varias demostraciones usando la técnica de la inducción matemática, como ejemplo hagamos el siguiente ejercicio. 5.1.16. Ejercicio. Probar que n = |{1, . . . , n}|. Una variante muy útil de la inducción matemática s la llamada inducción fuerte. Vamos a eunciarla. 5.1.17. Inducción fuerte. Si queremos demostrar una propiedad P (n), para n ∈ N podemos proceder de la siguiente forma: 1. Se demuestra la validez de P (0) o P (1). Es decir, que la propiedad vale para n = 0 o n = 1, como se quiera. 2. Se supone que para cierto número natural, k ∈ N, ocurre que P (n) es válida para todo número natural n < k y a partir de ahı́, se prueba la validez para P (k). Entonces, P (n) es válida para todo n ∈ N. 46 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Aplicaciones del principio de inducción. Vamos a ver algunas aplicaciones del principio de inducción. Aún cuando no hayamos formalizado los conceptos de suma, producto y orden en los naturales, no quiere decir que no los conozcamos y no podamos trabajar con ellos. 5.1.18. Ejercicio. Probar por inducción las siguientes afirmaciones: 1. 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) . 2 2. 2n < n! 3. n3 − n es múltiplo de 6 para todo n ∈ N. El conjunto de los números naturales que hemos construido satisface los axiomas de Peano; a saber: El conjunto N tiene un elemento 0 ∈ N (1 ∈ N). Existe la función sucesor que es inyectiva. El 0 no es sucesor de un número natural. Vale el principio de inducción. Se puede probar que cualesquiera dos conjuntos que satisfagan estas condiciones son esencialmente el mismo (isomorfos). Eso se conoce como “la unicidad del sistema de Peano”. Orden en los números naturales 5.1.19. Definición. Sean k y r cardinales. Decimos que k ≤ r si existen representantes k = |A| y r = |B| con una aplicación inyectiva f : A → B. 5.1.20. Ejercicio. Probar que 0 ≤ 1 ≤ n para todo n ∈ N \ {0}. Recordemos la definición de buen orden en (3.2.1). Los números naturales junto con el orden definido forman un conjunto bien ordenado. 5.1.21. Principio del buen orden en los números naturales. (N, ≤) es un conjunto bien ordenado; es decir, todo subconjunto ∅ = 6 A ⊂ N tiene primer elemento. Vamos a comprobar que el principio del buen orden está en armonı́a con el concepto de sucesor, como es de esperar. 5.1.22. Proposición. Sea n ∈ N, arbitrario y considérese el conjunto de los números naturales mayores que n; es decir, Mn = {x ∈ N | n < x}. Entonces n∗ es el primer elemento de Mn . En consecuencia, si a, n ∈ N son tales que n ≤ a ≤ n∗ entonces n = a o a = n∗ . 5.1. CARDINALIDAD. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 47 Demostración. Sea a el primer elemento de Mn . Como n∗ ∈ Mn entonces a ≤ n∗ . Por hipótesis, sabemos que existen A y N representantes de a y n, respectivamente, tales que existe una aplicación inyectiva f : N → A, pero no sobreyectiva. Ası́, existe a ∈ A tal que a ∈ / Imf . Definimos g : N ∪ {N } → A tal que g(n) = f (n) para todo n ∈ N y g(N ) = a. Es inmediato comprobar que g es aplicación inyectiva y por tanto n∗ ≤ a. Luego n∗ = a. 5.1.23. Observación. El principio de inducción y el principio del buen orden son equivalentes; es decir, si se asume uno de ellos el otro se puede demostrar. La demostración puede hacerse como ejercicio; aunque es un poco larga, no es difı́cil. Pero hay más, se puede probar que, a su vez, los postulados anteriores son equivalentes al axioma de elección (2.4.20) Operaciones en N Las definimos de forma inductiva o recursiva. 5.1.24. La suma en N. Para n ∈ N, definimos 1. n + 1 = n∗ . 2. Si tenemos definida n + m entonces n + m∗ = (n + m)∗ . Lo anterior viene a decir que n + (m + 1) = (n + m) + 1. Las demostraciones de las propiedades de la suma se pueden encontrar en el Apéndice. 5.1.25. Propiedades de la suma en N. 1. (n + 1) + m = n + (m + 1) 2. n + m = m + n (conmutatividad). 3. (n + m) + r = n + (m + r) (asociatividad). 4. Si a + c = b + c entonces a = b (cancelación). 5.1.26. El producto en N. Para n, m ∈ N, definimos 1. n · 1 = n. 2. Si tenemos definido n · m entonces n · (m + 1) = n · m + n. 5.1.27. Notación. Escribimos, como siempre, indistintamente, n · m = nm. Al igual que con la suma, las demostraciones de las propiedades del producto se pueden encontrar en el Apéndice. 5.1.28. Propiedades del producto. 1. (n + 1)m = nm + m. 2. nm = mn (conmutatividad). 3. n(m + k) = nm + nk (distributividad). 4. n(mk) = (nm)k (asociatividad). 48 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS 5.1.1. Orden y operaciones aritméticas Se puede comprobar que el orden en los números naturales verifica las siguientes propiedades. 5.1.29. Teorema. Sean a, b, c ∈ N. Entonces 1. a ≤ b si y sólo si existe u ∈ N tal que a + u = b. 2. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c para todo c ∈ N. 3. Si a ≤ b entonces ac ≤ bc. Demostración. 1. Sean A y B, representantes de a y b, respectivamente. Por hipótesis, existe una aplicación inyectiva f : A → B. Hacemos B ′ = B \ Imf . Se tiene entonces que u = |B ′ |. Los otros se pueden probar fácilmente por inducción. 5.1.30. Notación. En la situación del teorema anterior, cuando a ≤ b, llamamos u = b − a. 5.2. Números enteros Vamos a continuar la construcción de los conjuntos numéricos bajo el lenguaje de los conjuntos. 5.2.1. Proposición. Considése el conjunto Z = N × N. La relación (a, b) ∼ (n, m) ⇐⇒ a + m = b + n es relación de equivalencia. Demostración. Ejercicio. 5.2.2. Definición. Llamamos números enteros al conjunto cociente Z = Z/ ∼ . 5.2.3. Representantes notables. Sea (n, m) ∈ Z. 1. Si n = m entonces (n, m) ∈ [(0, 0)]. Luego [(0, 0)] = {(n, m) ∈ Z | n = m} . 2. Si n 6= m se tienen dos casos. a) Si n > m, haciendo a = n − m (5.1.30), se tiene (n, m) ∈ [(a, 0)]. Luego [(a, 0)] = {(n, m) ∈ Z | n > m, a = n − m} . 49 5.2. NÚMEROS ENTEROS b) Si n < m, haciendo a = m − n se tiene (n, m) ∈ [(0, b)]. Luego [(0, b)] = {(n, m) ∈ Z | n < m, b = m − n} . 5.2.4. Orden en los números enteros. Definimos 1. [(a, 0)] ≥ [(0, b)] para todo a, b ∈ N. 2. [(a, 0)] ≥ [(b, 0)] si y sólo si a ≥ b. 3. [(0, a)] ≥ [(0, b)] si y sólo si a ≤ b. 5.2.5. Notación. 1. Denotamos con 0 a la clase [(0, 0)], el cero. 2. Denotamos con n a la clase [(n, 0)] y los identificamos con los números naturales. Denotamos Z+ = {n ∈ Z | n ∈ N}. 3. Denotamos con −n a la clase [(0, n)], que serán los números negativos. Z− = {−n ∈ Z | n ∈ N}. 5.2.6. Ejercicio. Probar directamente de la definición anterior que para n, m ∈ Z se tiene n ≤ m si y sólo si −n ≥ −m. 5.2.7. Proposición. (Z, ≤) es un conjunto totalmente ordenado. Aún más, todo entero tiene predecesor y sucesor. Demostración. Inmediata de (5.2.4). Suma y producto en los enteros. Seguimos con la lı́nea de presentar la construcción de los números enteros siguiendo el lenguaje de los conjuntos. 5.2.8. Suma. Definimos + : Z × Z −→ Z, tal que, + ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(a + m, b + n)] ; [(a, b)] + [(m, n)] = [(a + m, b + n)] es decir, 5.2.9. Propiedades de la suma. 1. Está bien definida (véase 4.3.4). 2. Es conmutativa. 3. Es asociativa. 4. Existe el neutro 0 = [0, 0]. 5. Para todo entero no cero, existe el opuesto o inverso bajo la suma. 50 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Demostración. Vamos a comprobar que está bien definida. El resto lo dejamos como ejercicio. Supongamos que a, a′ , b, b′ , m, m′ , n, n′ ∈ N son tales que [a, b] = [a′ , b′ ] y [m, n] = [m′ , n′ ]. Queremos ver que [a + m, b + n] = [a′ + m′ , b′ + n′ ]. Por hipótesis, a+b′ = b+a′ y m+n′ = n+m′ , de donde a+b′ +m+n′ = b+a′ +n+m′ , luego (a+m)+(b′ +n′ ) = (a′ +m′ )+(b+n), de donde se obtiene el resultado. 5.2.10. Producto. Definimos • : Z × Z −→ Z, tal que, • ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(am + bn, an + bm)] ; es decir, [(a, b)] [(m, n)] = [(am + bn, an + bm)] 5.2.11. Propiedades del producto. 1. Está bien definido. 2. Es conmutativo. 3. Es asociativo. 4. Es distributivo. 5. Existe el neutro 1 = [1, 0]. Demostración. Ejercicio. 5.3. Números racionales Los números racionales serán ahora construidos a partir de los números enteros. 5.3.1. Notación. Denotamos Z∗ = Z \ {0}. 5.3.2. Proposición. Sea Q = Z × Z∗ . La relación en Q dada por [(a, b)] ∼ [(n, m)] ⇐⇒ am = bn es una relación de equivalencia. Demostración. Ejercicio. 5.3.3. Definición. Llamamos números racionales al conjunto cociente Q = Q/ ∼ . 5.3.4. Representantes notables. Considérese (n, m) ∈ Q. 1. Si d|mcd(n, m) entonces [(n, m)] = [(n/d, m/d)]. Luego podemos elegir representantes cuyas coordenadas son números coprimos (y son únicos). 2. [(0, 1)] = {(0, n) ∈ Q | n ∈ Z}. 51 5.3. NÚMEROS RACIONALES 3. [(1, 1)] = {(n, m) ∈ Q | n = m}. 4. Identificamos con los enteros a los [(n, 1)] = {(a, b) ∈ Q | n = a/b ∈ Z}. 5. [(1, m)] = {(a, b) ∈ Q | m = b/a ∈ Z}. 5.3.5. Orden en los números racionales. Sean [(n, m)] y [(a, b)] números racionales. Definimos [(n, m)] ≤ [(a, b)] ⇐⇒ nb ≤ ma. Además, 1. Decimos que un racional es positivo si es mayor que 0. 2. Decimos que es negativo si es menor que 0. 5.3.6. Proposición. (Q, ≤) es un conjunto totalmente ordenado. Demostración. Consideremos dos números racionales cuyos representantes tienen coordenadas coprimas, r = [n, m] y s = [a, b] y hagamos los productos nb y ma. Como son enteros ha de ocurrir una de tres, nb = ma, nb > ma o nb < ma, lo que nos da la tricotomı́a en Q. 5.3.7. Observación. Ningún racional tiene sucesor (ni predecesor). Suma y producto en los enteros. 5.3.8. Suma. Definimos + : Q × Q −→ Q, tal que, + ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(an + bm, bn)] ; [(a, b)] + [(m, n)] = [(an + bm, bn)] es decir, 5.3.9. Propiedades de la suma. 1. Está bien definida (véase 4.3.4). 2. Es conmutativa. 3. Es asociativa. 4. Existe el neutro, 0 = [0, 1]. 5. Para todo racional no cero, existe el opuesto o inverso bajo la suma. Aún más, si n, m ∈ Z, [(−n, m)] = [(n, −m)] = − [(n, m)]. Demostración. Ejercicio. 52 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS 5.3.10. Producto. Definimos • : Q × Q −→ Q, tal que, • ([(a, b)] , [(m, n)]) = [(am, bn)] ; es decir, [(a, b)] [(m, n)] = [(an, bm)] 5.3.11. Propiedades del producto. 1. Está bien definido. 2. Es conmutativo. 3. Es asociativo. 4. Es distributivo. 5. Existe el neutro 1 = [1, 1]. 6. Todo racional no cero, [m, n] tiene inverso; [n, m]. Demostración. Ejercicio. 5.3.12. Notación. 1. Escribimos m = [(m, n)] . n 2. Denotamos con 0 a la clase 0 1 3. Denotamos con m a la clase números enteros. 5.3.1. = [(0, 1)], el cero. m 1 = [(m, 1)] y los identificamos con los Escritura decimal de números racionales. 5.3.13. Definición. - Una sucesión de números (naturales, enteros, racionales, reales o complejos), (an )n∈N se dice eventualmente periódica si existe un m ∈ N y un entero positivo q > 0 tal que ai = ai+q , para todo i ≥ m. - Si r es el menor de los m ∈ N que satisfacen dicha propiedad, entonces el término ar es llamado el término inicial del periodo. - Si p es el menor de los enteros positivos q anteriores, entonces p es llamado el periodo de la sucesión. 5.3.14. Ejemplos. 1. Todas las sucesiones de números constantes o eventualmente constantes. Una sucesión se dice eventualmente constante cuando existe un m ∈ N tal que ai = ai+1 , para todo i ≥ m. En tal caso el periodo de la sucesión es 1. 53 5.3. NÚMEROS RACIONALES 2. La sucesión 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, . . . es eventualmente periódica, con periodo p = 3 y con a10 como término inicial del periodo. 5.3.15. Definición. Una sucesión de números naturales (an )n∈N se dice decimal cuando an ∈ {0, 1, ..., 9} para todo n > 0 (nótese que no hay restricción sobre el término a0 ). 5.3.16. Teorema. Dado un número racional α ∈ Q, α ≥ 0, existe una única sucesión decimal eventualmente periódica de números naturales (an )n∈N satisfaciendo que an 1 a2 a1 − ... − n < n , (5.1) − 10 102 10 10 para todo n ∈ N. Además, la asignación α (an )n∈N define una biyección entre el conjunto Q+ = {α ∈ Q : α ≥ 0} y el conjunto D de las sucesiones decimales eventualmente periódicas de números naturales que no son eventualmente constantemente 9. 0 ≤ α − a0 − Demostración. Sólo vamos a hacer un esquema de demostración sobre la existencia de la aplicación. El resto, se omite. La expresión decimal de un racional se hace de la siguiente manera: Como 0 < α ∈ Q, expresamos α= Hacemos k , con 0 ≤ k, 0 < d y mcd(k, d) = 1. d k 10r0 = = da0 + r0 da1 + r1 con con 0 ≤ r0 < d 0 ≤ r1 < d con 0 ≤ rn < d .. . 10rn−1 = dan + rn .. . Tenemos que comprobar dos propiedades de la sucesión (an )n∈N : una, que es periódica y la otra, que es decimal. Para ver que es periódica, observemos que todos los restos son 0 ≤ r < d, por lo tanto, a lo más en d-pasos, se repetirá el primer resto, digamos r0 = rm . Entonces 10r0 = da1 + r1 es lo mismo que 10rm = dam+1 + rm+1 , de donde a1 = am y de ahı́ sale el perı́odo. Ahora vamos a ver que es decimal. 10rn−1 = dan + rn ⇒ 0 ≤ dan ≤ 10rn−1 < d10 ⇒ rn−1 ⇒ 0 ≤ an ≤ 10 < 10 ⇒ 0 ≤ an < 10. an por tanto, (an )n∈N es decimal. Vamos a ver que satisface la condición (5.1). Se tiene, señalando con “|{z} ∗ ” lo que vamos a sustituir r0 k k r0 = a0 + < 1 =⇒ 0 ≤ − a0 < 1. y 0≤ d d d d |{z} 54 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Como 10r0 = da1 + r1 entonces r0 d = a1 10 r1 d + · 1 10 , de donde k a1 r1 1 1 r1 1 = a0 + + · < ⇒ y 0≤ d 10 |d {z10} d 10 10 a1 1 k < =⇒ 0 ≤ − a0 − d 10 10 Como 10r1 = da2 + r2 entonces k d 1 r1 10 d = a2 102 + r2 d · 1 102 , de donde r2 1 1 a1 a2 r2 1 + < 2 + · · . y 0≤ 10 102 |d {z102} d 102 10 1 a1 a2 k < 2. − =⇒ 0 ≤ − a0 − d 10 102 10 = a0 + ası́, sucesivamente llegamos a la propiedad (5.1). Para terminar de ver que α 7→ (an )n∈N , sólo falta ver que la sucesión es única. P bi 1 Supongamos que existe (bn )n∈N tal que 0 ≤ α − ni=1 10 i < 10n . se afirma que an = bn para todo n ∈ N. Vamos a probar esto por inducción. Para n = 0, se tiene 1 100 y 0 ≤ α − a0 < b0 ≤ α < b0 + 1 y a 0 ≤ α < a0 + 1 0 ≤ α − b0 < 1 100 de donde luego a0 = b0 . Supongámos válido para k ≤ n, entonces a0 = b0 , . . . , an = bn . Pn bi Pn ai Para n + 1, hacemos A = i=1 10 i = i=1 10i = B. Entonces 0 ≤ α− n+1 X ai 1 < n+1 10i 10 y 1 an+1 < n+1 10n+1 10 y i=1 0≤α− n+1 X i=1 bi 1 < n+1 , 10i 10 entonces 0≤ α−A− 0≤α−B− En la desigualdad de la izquierda sumamos multiplicamos en ambas por 10n+1 y queda an+1 ≤ 10n+1 (α − A) < an+1 + 1 lo que implica an+1 = bn+1 . y an+1 10n+1 bn+1 1 < n+1 . 10n+1 10 y en la otra, bn+1 10n+1 , luego bn+1 ≤ 10n+1 (α − B) < bn+1 + 1, 55 5.4. NÚMEROS REALES Se tiene, = a0 + r0 d = =⇒ a1 · 10 + k d = a0 + a1 · 10 + sustituyendo 5.4. r0 d |{z} k d y r1 d · 10r0 = da1 + r1 1 10 r1 1 · |d {z10} Números reales A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidad de fundamentar rigurosamente el análisis matemático y con ello llegaron a la construcción de los números reales partiendo de los racionales [5, p. 130]. Usaron 3 caminos: 1. Identificar a los números reales con los desarrollos decimales infinitos; es decir, al hilo de los descrito en racionales, expresándolos como a0 + P∞ −n , con a0 ∈ Z y ai ∈ {0, . . . , 9}. Esta idea fue desarrollada n=1 an 10 por Weierstrass. 2. Definir las llamadas cortaduras de Dedekind en Q. Una cortadura es un subconjunto β ⊂ Q tal que a) ∅ 6= β ( Q. b) β está acotado superiormente y no tiene elemento máximo. c) Si x ∈ β e y < x entonces y ∈ β. Ası́, si q ∈ Q, definimos √ q∗ = {x ∈ Q | x < q}, esto no es novedoso. Lo interesante es definir 2 = {q | q 2 < 2} y ası́ se van obteniendo los irracionales. Después se elabora una aritmética de cortaduras, de forma natural y se obtienen ası́ los números reales. Esta idea fue desarrollada por Dedekind. 3. Considerar el conjunto cociente de ciertas sucesiones, que actualmente llamamos sucesiones de Cauchy en Q y que se estudiarán en los cursos de análisis matemático. Esta idea fue desarrollada por Cantor y Méray. Nosotros no abordaremos su fundamento pues eso corresponde a otros cursos. Vamos a asumir que los números reales es un conjunto no vacı́o (R, +, ·) que contiene a los racionales, Q y que satisfacen los axiomas que listamos a continuación. 56 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS 5.4.1. Axiomas de cuerpo. El conjunto de los números reales junto con la suma y el producto forman un cuerpo, que tiene como subcuerpo a los racionales. 5.4.2. Axiomas de orden. 1. El conjunto R está totalmente ordenado. Escribimos x > y cuando x ≥ y y además, x 6= y. 2. Si x < y entonces para cada z ∈ R se tiene que x + z < y + z. 3. Si x > 0 e y > 0 entonces xy > 0. 5.4.3. Definición. Un número real x ∈ R, se llama positivo si x > 0 y negativo si x < 0. 5.4.4. Teorema. Sea p un número primo (con el significado habitual en los √ reales). Entonces p es irracional. 5.4.5. Axioma de completitud. Todo conjunto no vacı́o S ⊆ R, que esté acotado superiormente admite un supremo. 5.5. Números complejos 5.5.1. Definición. Llamamos números complejos al conjunto C = {(a, b) | a, b ∈ R} junto con las operaciones (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc). Los representamos en el plano cartesiano como R -6 - p ·b - · · · · · · •· (a, b) · · · -p · p p p p ap p - R 5.5.2. Teorema. El conjunto C, junto con las operaciones descritas, tiene estructura de cuerpo. −1 Demostración. Es cuestión de = hacer los cálculos. Obsérvese que (a, b) −b a 1 2 y (0, 1) = (−1, 0). a2 +b2 (a, −b) = a2 +b2 , a2 +b2 57 5.5. NÚMEROS COMPLEJOS 5.5.3. Observación. Identificamos R con {(a, 0) ∈ C | a ∈ R}. 5.5.4. Notación. Escribimos también a los números complejos como C = a + bı | a, b ∈ R e ı2 = −1 junto con el producto habitual de los números reales y rı = ır para todo r ∈ R, además de ser asociativo. 5.5.5. Conjugado. El conjugado de un número complejo a+bı ∈ C es a + bı = a − bı y tiene, entre otras, las siguientes propiedades. Sean z, w ∈ C. 1. z = z. 2. z + w = z + w. 3. zw = z w. 4. Si z 6= 0 entonces z −1 = z −1 . 5. z ∈ R si y sólo si z = z. Demostración. Se deja como ejercicio. 5.5.6. Definición. Sea z = a + bı ∈ C. 1. Al coeficiente “a” se le llama la parte real, Re(a + bı), y a “b” la parte imaginaria, Im(a + bı). √ 2. Su módulo es |z| = |a + bı| = a2 + b2 . 3. Su argumento es el (único, salvo múltiplos de 2π) ángulo θ que verifica cos(θ) = a |z| y sen(θ) = b ; |z| es decir, Arg(z) = θ = arctan(b/a) (estableciendo, como siempre, primero el cuadrante). 5.5.7. Propiedades. Sean z, w ∈ C. √ 1. |z| = z · z (equivalentemente, |z|2 = zz). 2. |z| = |z|. 3. |zw| = |z||w|. 4. z −1 = |z|−1 . 5. |Re(z)| ≤ |z|. 6. |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad triangular). Demostración. Nótese primero que zw y zw son conjugados y por lo tanto zw + zw = 2Re(zw). Usando lo anterior y el apartado anterior, tenemos |z + w|2 = (z + w)(z + w) = zz + ww + zw + zw = |z|2 + |w|2 + 2Re(zw) ≤ |z|2 + |w|2 + 2|zw| = (|z| + |w|)2 . 58 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS Formas polar y trigonométrica. √ 5.5.8. Notación. Sea z = a + bı ∈ C, r = a2 + b2 y θ = arctan(b/a) (como siempre, estableciendo previamente el cuadrante). 1. La representación polar de z es z 7−→ (r, θ). R 6 3• (r, θ) r ........ θ -p .p. p p p - p p p - R - 2. La representación triginométrica de z es z 7−→ r(cos θ + ı sen θ). R -6 3•p (r cos(θ), r sen(θ)) r p p ... p ..... θ - R -p .p p pp p p r cos(θ) - r sen(θ)- p p 5.5.9. Producto. Sean z = (r, θ) y w = (s, σ). Entonces zw = (rs, θ + σ) = rs(cos(θ + σ) + ı sen(θ + σ)). La forma trigonométrica se obtiene sin más, ejecutando el producto y utilizando las identidades trigonométricas fundamentales. En particular, si z ∈ C es z = r(cos θ + ı sen θ) z −1 = 1 1 (cos(−θ) + ı sen(−θ)) = (cos θ − ı sen θ) r r 59 5.5. NÚMEROS COMPLEJOS como corresponde con las fórmulas de la definición del producto. Aún más, se puede probar por inducción el siguiente resultado clásico. 5.5.10. Teorema [Teorema de De Moivre]. Sea z = a + bı ∈ C, r = √ a2 + b2 y θ = arctan(b/a). Para n ∈ N se tiene z n = (rn , nθ) = rn (cos(nθ) + ı sen(nθ)). Demostración. Inmediata por inducción y las fórmulas anteriores. Pasamos ahora a estudiar las raı́ces de un número complejo. Es igual de sencillo el cálculo que con las potencias. Partimos de un número complejo w = r(cos θ + ı sen θ). Entonces su n-ésima potencia será wn = s(cos α + ı sen α). Trivialmente, se tiene que r= √ n s y θ= α + 2kπ , n k ∈ Z. El problema consiste entonces sólo en determinar cuántas raı́ces hay. Para ello, primero acotamos en función del divisor n. Supóngase que k > n y sea k = nq + k ′ , con 0 ≤ k ′ < n. Entonces α + 2(nq + k ′ )π α + 2k ′ π 2nπ α + 2k ′ π α + 2kπ = = + = + 2π. n n n n n Lo cual nos muestra que los argumentos serán iguales y por tanto basta considerar α + 2kπ θk = , k = 0, . . . n − 1. n Es claro que cualesquiera dos argumentos anteriores dintintos dará lugar a distintos números complejos. Esto prueba el siguiente toerema. 5.5.11. Teorema. Sea z ∈ C, arbitrario. La ecuación X n = z tiene exactamente n raı́ces en C. En otras palabras, todo número complejo tiene exactamente n raı́ces n-ésimas complejas. Aún más, si w ∈ C se escribe w = r(cos θ + ı sen θ) entonces todas las raı́ces n-ésimas son √ θ + 2kπ θ + 2kπ n + sen , k = 0, . . . , n − 1. r cos n n Demostración. Inmediata del párrafo anterior. 5.5.12. Ejemplo. Vamos a encontrar todas las soluciones de la ecuación X 5 = 1; es decir, buscamos todos los w = r(cos θ + ı sen θ) tales que w5 = 1. Entonces w5 = 1 = cos 0, luego α = 0, r = 1 y θk = 0+2πk , con k = 0, . . . , 4. 5 5.5.13. Definición. Sea n ≥ 2. decimos que ω ∈ C es una raı́z n-ésima de la unidad si ω n = 1 y diremos que es una raı́z nésima primitiva de la unidad de además de ser raı́z, se tiene que ω m 6= 1 si 0 < m ≤ n. 60 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS 5.5.14. Ejemplo. Vamos a estudiar las raı́ces cuartas de la unidad. En este π 4π caso nos salen los siguientes ángulos: θ0 = 0, θ1 = 2π 4 = 2 , θ2 = 4 = π y 3π 6π θ3 = 4 = 2 . Haciendo zi = cos θi + ı sen θi se tiene que z0 = 1, que no es primitiva, z1 sı́ lo es, z22 = 1, luego no es primitiva y z3 sı́ lo es. El ejemplo anterior nos dice que zi es primitiva para i coprimo con 4. Esto es verdadero en general y muy fácil de demostrar. 5.5.15. Corolario. Sea z ∈ C, arbitrario. Entonces z tiene exactamente |{m ∈ {1, . . . , n − 1} | mcd(m, n) = 1}| raı́ces n-ésimas primitvas. 5.5.1. Forma exponencial de un número complejo. Conocemos del cálculo las fórmulas ex cos x sen x x2 x3 + + ... 2! 3! 4 x + + ... 4! x5 + + ... 5! = 1+x+ x2 2! x3 = x− 3! = 1− Estas identidades nos sirven de motivación para escribir eıρ = = = (ıρ)2 (ıρ)3 + + ... 2! 3! (ıρ)3 ρ4 (ıρ)5 ρ2 − + + − ... 1 + ıρ − 2! 3! 4! 5! cos ρ + ı sen ρ 1 + ıρ + Desde luego, lo anterior no es una demostración, pero justifica definir eıρ = cos ρ + ı sen ρ, ρ∈R de tal forma que escribimos el complejo z = r(cos θ + ı sen θ) como z = reıθ . En particular, obtenemos la famosa identidad de Euler. eπı + 1 = 0. 5.6. CONJUNTOS NUMERABLES Y NO NUMERABLES 5.6. 61 Conjuntos numerables y no numerables Vamos a terminar esta parte abordando algunos aspectos más de la cardinalidad. Hasta ahora tenemos la definición de finito e infinito. Recordemos. 1. Un conjunto A, decimos que es infinito si existe B ( A, junto con una aplicación inyectiva f : A → B. 2. Un conjunto es finito si no es infinito. 3. Recordemos que la cardinalidad de un conjunto A se denota |A|. 5.6.1. Teorema [Bernstein]. Sean A y B conjuntos, tales que existen aplicaciones inyectivas f : A → B y g : B → A. Entonces, existe una biyección β : A → B. Demostración. La demostración se omite porque excede el interés de este curso. Puede consultarse [5, p. 51]. 5.6.2. Corolario. Sean A y B conjuntos, tales que existen aplicaciones sobreyectivas f : A → B y g : B → A. Entonces, existe una biyección β : A → B. Demostración. Ejercicio. 5.6.3. Lema. |N| = |N × N|. Demostración. Vamos a exhibir una aplicación inyectiva ϕ : N × N → N. Es un poco laborioso, pero muy ilustrativo. La idea es ordenar las parejas en el orden lexicográfico y luego ir contando “en diagonal”. Podemos ilustrarlo ası́: - (1, 2) 1(1, 3) 1 ... (2, 2) (2, 1) (3, 1) (1, 1) Nótese que cada diagonal con pareja superior (1, n) tiene exactamente nPn−1 parejas; a saber, de (1, n) al (n, 1) y antes de llegar a ella se han contado i=1 i, parejas, todas ellas sumando sus coordenadas n + 1 y sólo ellas tienen esa suma. Luego, al terminar la diagonal habremos contado n−1 X i=1 i+n= n X i i=1 parejas. Si llamamos S(n) a la suma de los primeros n números naturales podemos observar que se asignarán (1, n) 7→ S(n − 1) + 1, (2, n − 1) 7→ S(n − 1) + 2 y ası́ (n, 1) 7→ S(n − 1) + n = S(n). 62 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS De este modo, la correspondencia queda como sigue. Se considera un elemento arbitrario (i, j). Entonces vive en la diagonal de (1, i + j − 1) 7→ S(i + j − 2). Luego (i, j) 7→ S([i + j − 2] + i) = S(2i + j − 2), y aplicando la conocida fórmula de la suma (2i + j − 1)(2i + j − 2) . ϕ(i, j) = 2 5.6.4. Teorema. |N| = |Z| = |Q| Demostración. Inmediata de la construcción que hemos hecho. 5.6.5. Teorema. Considérese el intervalo (0, 1) ⊂ R. Existe una aplicación inyectiva f : N → [0, 1], pero no existe ninguna aplicación inyectiva (0, 1) → N. Es decir, el infinito de R es “mayor” que el de N. Demostración. Vamos a dar un argumento conocido como “método de la diagonal de Cantor”. Supongamos que sı́ se tiene una aplicación inyectiva. Eso finalmente significa que hay una aplicación biyectiva y que hemos numerado a todos los elementos del intervalo (0, 1). Entonces los escribimos x1 , x2 , . . . , en su forma decimal x1 x2 = = x3 = 0, x11 x12 x13 · · · 0, x21 x22 x23 · · · 0, x31 x32 x33 · · · Considérese el número x = 0, x11 x22 x33 · · · o sea, que sus decimales son “la diagonal” de la lista anterior (no importa que todos fuesen 9 o 0, porque lo vamos a cambiar). Ahora vamos a construir otro número, de la siguiente forma. A cada xnn asignamos otro dı́gito ynn ∈ {0, . . . , 9} \ {xnn }, procurando que no todas las elecciones sean 0 o 9, para que y = 0, y11 y22 · · · ∈ (0, 1). Es inmediato comprobar que y no puede estar en la lista anterior. Capı́tulo 6 Análisis combinatorio. Recordemos que dado un número natural p ∈ N se denota Np = {1, . . . , p}. A lo largo de este capı́tulo denotaremos con A un conjunto finito que tiene cardinalidad n; es decir, |A| = n y p será tal que p ≤ n. 6.1. Variaciones. 6.1.1. Definición. Se llama variación de los n objetos de A tomados de p en p a la imagen de cualquier aplicación inyectiva f : Np → A. En la situación de la definición anterior, denotamos ai = f (i) y esribimos la variación como lista ordenada f (Np ) = (a1 , . . . , ap ). Intuitivamente, una variación es una elección ordenada de p elementos de A, sin repeticiones. 6.1.1. Número de variaciones. Vamos a calcular el número de variaciones de los n objetos de A tomados de p en p. Denotamos dicho número con Vnp . 6.1.2. Teorema. Sea A un conjunto con |A| = n y p ≤ n, un número natural. El número de variaciones de los n objetos de A tomados de p en p es Vnp = n! . (n − p)! n! Demostración. Primero nótese que (n−p)! = n(n−1) · · · (n−p+1). Procederemos por inducción sobre p. El caso p = 1 es trivial. Supongamos válido que para 1 ≤ p ≤ n se tiene el resultado. Queremos probar la fórmula para p+1. Primero, notemos que (n − p)Vnp = Vnp+1 . Sea A un conjunto finito con cardinalidad n ≥ p + 1 y f : Np → A una aplicación inyectiva. Queremos extender el dominio de la aplicación f a Np+1 . Para lograr esto, sólo tenemos que hacer corresponder p + 1 con un elemento del conjunto A \ Imf . Esto puede hacerse de n − p maneras diferentes y por tanto hay (n − p)Vnp aplicaciones inyectivas. 63 64 CAPÍTULO 6. ANÁLISIS COMBINATORIO. Como caso particular, nótese que Vnn = n!. Si sustituimos ahora Np por cualquier conjunto con p elementos, aparte de que no podemos utilizar la notación ai , no perdemos ninguna propiedad, como se dice en el siguiente resultado. 6.1.3. Corolario. Sean A y P conjuntos con cardinalidad n y p respectivamente, con p ≤ n. El número de aplicaciones inyectivas de P en A es Vnp 6.2. Permutaciones. Como vimos en (2.4.15), una permutación de A es una biyección de A en sı́ mismo. Si numeramos los elementos de A = {a1 , . . . , an } podemos escribir una permutación σ : A → A como a1 ··· an σ= σ(a1 ) . . . σ(an ) El siguiente ejercicio nos muestra que toda permutación puede ser vista como una variación de n objetos tomados de n en n. 6.2.1. Ejercicio. Sean A y B conjuntos finitos, tales que |A| = |B|. Probar que si f : A → B es inyectiva entonces ya es biyectiva. Respuesta. De no ser ası́, B serı́a infinito. Denotamos el conjunto de permutaciones de A como S(A). En caso de que A = Nn escribimos Sn en vez de S(Nn ). Por el resultado de recuento que vimos para las variaciones tenemos lo siguiente. 6.2.2. Teorema. Sea A un conjunto finito con n elementos. Entonces el número de permutaciones |S(A)| = n!. 6.3. Combinaciones. 6.3.1. Definición. Sea A un conjunto con n elementos y p ∈ N con p ≤ n. Una combinación de los n elementos de A tomados de p en p, es cualquier subconjunto de A que tenga p elementos. En este punto es recomendable que nos detengamos a observar con cuidado la diferencia entre variación y combinación. Conviene ver algún ejemplo. Vamos a calcular el número de combinaciones de A. 6.3.2. Teorema. Sea A un conjunto con n elementos. El número de combinaciones de los n elementos de A tomados de p en p es Cnp = n! . p!(n − p)! Demostración. Notemos que todo subconjunto P ⊂ A con p elementos puede considerarse como la imagen de (al menos) una aplicación inyectiva f : Np → A. El caso aquı́ es determinar cuántas aplicaciones inyectivas de Np pueden tener 6.3. COMBINACIONES. 65 a P como imagen. Éstas son las biyecciones de Np en P y por lo visto en la sección anterior son p!. Ése es el factor por el que tendremso que dividir Vnp . Ası́ que n! Vp . Cnp = n = p! p!(n − p)! 6.3.3. Notación. El número de combinaciones de los n elementos de Nn tomados de p en p se escribe n p Cn = p y se le conoce como coeficiente binomial. Un problema interesante que involucra al coeficiente binomial es probar el teorema del binomio. 6.3.4. Lema [Teorema de Pascal]. Sean n, p ∈ N, con p ≤ n. Entonces n n n+1 + = . p+1 p p+1 Demostración. Ejercicio. 6.3.5. Teorema [Teorema del binomio]. Sean a, b números reales y n ∈ N. Entonces n X n i n−i ab . (a + b)n = i i=0 Demostración. Procederemos por inducción. Para n = 0, se tiene que (a + b)0 = 1 = 00 a0 b0 . Supongamos válido para n. Procedemos a probar la afirmación para n + 1. n X n i n−i ab = (a + b) = (a + b) i i=0 n n X n i+1 n−i X n i n−i+1 ab = a b + = i i i=0 i=0 n n i+1 n−i n abn + · · · + a b + ... + an b + an+1 b0 + 0 i n−1 n n n n abn + · · · + ai+1 bn−i + · · · + a b= 1 i+1 n n+1 X n + 1 ai bn−i . = i + 1 i=0 n+1 a0 bn+1 + por el teorema de Pascal. 66 CAPÍTULO 6. ANÁLISIS COMBINATORIO. Parte II Números y polinomios 67 Capı́tulo 7 El anillo de los números enteros. En este capı́tulo se estudiarán las propiedades aritméticas de los números enteros, es decir, las relacionadas con las operaciones y la divisibilidad. También veremos que existen otros conjuntos dotados de operaciones binarias que comparten propiedades con los enteros. De ahı́ surjirán los conceptos de anillo y cuerpo. 7.1. Artimética de los enteros. En esta sección vamos a repasar los conceptos y propiedades básicos de los números enteros y su descomposición. Todo desde un punto de vista más formal y con el lenguaje de los conjuntos, que hemos desarrollado en la parte anterior. 7.1.1. División entera y máximo común divisor. Vamos a demostrar algunas de las propiedades de la suma y el producto de los enteros. 7.1.1. Proposición. En Z se verifican las siguientes propiedades: 1. (Unicidad de los neutros) Sólo hay un entero 0 tal que 0 + a = a para todo a ∈ Z. Y sólo hay un entero 1 tal que 1a = a para todo a ∈ Z. 2. (Unicidad de los opuestos) Para cada a ∈ Z existe un único a′ ∈ Z tal que a + a′ = 0. Este único elemento se llama el opuesto de a y se denota por −a; la suma b + (−a) se denota por b − a. 3. (Cancelación en sumas) Dados a, b, c ∈ Z, la igualdad a + b = a + c implica b = c. 4. (Multiplicación por cero) Para cada a ∈ Z se verifica a0 = 0. 69 70 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 5. (Reglas de signos) Dados a, b ∈ Z se verifican -(-a) = a, a(-b) = (-a)b = -(ab) y (-a)(-b) = ab. 6. (Cancelación en productos) Dados a, b, c ∈ Z con a 6= 0, la igualdad ab = ac implica b = c. Una de las propiedades más notables del conjunto de los números enteros es la la llamada división entera que enunciamos y demostramos a continuación: 7.1.2. Teorema [de la división entera]. Dados a, b ∈ Z, con b 6= 0, existen q, r ∈ Z únicos tales que a = bq + r y 0 ≤ r < |b|. Demostración. En primer lugar demostraremos la existencia de q y r. Distinguimos cuatro casos: (1) Supongamos a, b > 0. Consideremos el conjunto de números enteros R = {x ∈ Z | x ≥ 0, y x = a − bn para algún entero n}. Entonces, R es, por definición, un sunconjunto de N ∪ {0} que no es vacı́o ya que, por ejemplo, a = a − b · 0 ∈ R. Por tanto, R tiene un primer elemento. Sea r = mı́n R. Pongamos r = a − bq. Vamos a ver que r < b. Si r ≥ b, entonces r − b ≥ 0 y r − b = a − bq − b = a − b(q + 1), y por tanto, r − b ∈ R y r − b < r, lo cual contradice que r sea el elemento más pequeño de R. Por tanto, hemos hallado q, r que cumplen a = bq + r y 0 ≤ r < b. (2) Supongamos a < 0 y b > 0. Entonces, −a > 0 y, por el caso anterior, −a = bq + r con 0 ≤ r < b. Si r = 0, a = b(−q) + 0 y se cumple r = 0 < b. Si r 6= 0, hacemos a = b(−q) − r = b(−q) + b − b − r = b(−q − 1) + (b − r). Dado que 0 < r < b, se cumple 0 < b − r < b. (3) Supongamos a 6= 0 y b < 0. Entonces, −b > 0 y, por los casos anteriores, a = (−b)q + r con 0 ≤ r < −b = |b|. Por tanto, a = b(−q) + r con 0 ≤ r < |b|. (4) Si a = 0, entonces 0 = b · 0 + 0 y 0 < |b|, ya que por hipótesis b 6= 0. Finalmente, para demostrar la unicidad de q y r supongamos que a = bq+r = bq ′ + r′ con 0 ≤ r, r′ < |b|. Entonces, b(q − q ′ ) = r − r′ . Igualando los valores absolutos |b||q − q ′ | = |r − r′ |, lo cual, dado que 0 ≤ r, r′ < |b|, solo puede cumplirse si q − q ′ = 0 y r − r′ = 0. 7.1.3. Definición. En la situación del teorema anterior, si a = bq + r, con b 6= 0 y 0 ≤ r < |b|, a q se le llama el cociente de la división y a r el resto. 7.1.4. Ejemplo. Si a = −7 y b = 3, siguiendo la demostración del teorema tenemos que 7 = 3 · 2 + 1, de donde −7 = 3 · (−2) − 1 = 3 · (−2) − 3 + 3 − 1 = 3 · (−3) + 2. Tenemos pues que el cociente es −3 y el resto 2. 7.1.5. Ejercicio. Calcular la división entera de a entre b cuando: a = 27 y b = 4, a = −13 y b = 5, a = 46 y b = −9, a = −51 y b = −7. 7.1. ARTIMÉTICA DE LOS ENTEROS. 71 7.1.6. Definición. Sean a, b ∈ Z. Decimos que b divide al número a, y lo denotamos por b | a, si existe un c ∈ Z tal que a = bc. En este caso, se dice que a es múltiplo de b. Si a 6= 0, decimos también que b es un divisor de a. Observemos que si b 6= 0, decir que b divide a a es lo mismo que decir que la división entera de a entre b da resto cero. Veamos ahora algunas propiedades elementales que usaremos constantemente: 7.1.7. Proposición. Sean a, b, c, d ∈ Z. 1. La divisibilidad es una relación reflexiva y transitiva. 2. La divisibilidad no es antisimétrica, pero casi lo es. Si a | b y b | a entonces |a| = |b|. 3. a | b si y solo si a | −b. Entonces, si b 6= 0, b y −b tienen los mismos divisores. 4. b | a si y solo si −b | a (luego, todo número tiene al menos un divisor positivo). 5. Si c | a y c | b, entonces c | ra + sb, para todo r, s ∈ Z. 6. Si a | b y c | d entonces ac | bd. 7. Si a | b entonces ra | rb para todo r ∈ Z. 8. Si a | b entonces |a| ≤ |b|. Demostración. Se deja como ejercicio. El máximo común divisor es uno de los conceptos más clásicos de la aritmética. Desde primaria concemos la definición, pero falta demostrar su existencia. Comenzamos repasando la definición y algunas propiedades básicas. 7.1.8. Definición. Dados dos números enteros a, b, con, al menos, uno de ellos distinto de cero, el máximo común divisor de a y b se define como el mayor entero d tal que d | a y d | b. Si a = b = 0, su máximo común divisor es cero. El máximo común divisor de a y b se denotará por mcd(a, b) o mcd(b, a). El máximo común divisor existe pues el conjunto de divisores de dos números es finito y por tanto tiene máximo (recordemos que todo conjunto finito linealmente ordenado tiene máximo); aún más, el máximo común divisor siempre es positivo. 7.1.9. Proposición. Si a, b ∈ Z, entonces: (1) mcd(a, b) = mcd(a, |b|) = mcd(|a|, |b|). (2) mcd(a, 0) = |a|. (3) mcd(a, b) = 0 si y solo si a = b = 0. 72 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Demostración. Se deja como ejercicio. Vamos a estudiar el máximo común divisor utilizando las herramientas de los conjuntos que hemos desarrollado en capı́tulos anteriores. 7.1.10. Teorema. Sean a, b ∈ Z, no cero ambos. El máximo común divisor de a y b es el mı́nimo del conjunto de combinaciones lineales positivas de a y b; es decir, mcd(a, b) = mı́n{c = ra + sb | c > 0 y r, s ∈ Z}. Demostración. Sea D = {ra + sb > 0 | r, s ∈ Z}. Nótese primero que como a o b no son cero, D 6= ∅ y por tanto siempre existe δ = mı́n D. Se afirma que δ es el máximo común divisor de a y b. Como δ ∈ D existen α, β ∈ Z tales que δ = αa + βb. Primero vamos a ver que δ es divisor común. Por el algoritmo de la división (7.1.2) a = δq + r, con 0 ≤ r < δ. Entonces r = (1 − αq)a + (−qβ)b, con lo que r ∈ D o r = 0. Lo primero es imposible porque δ es mı́nimo. Luego r = 0 y por tanto δ | a. Análogamente δ | b. Que es máximo se desprende directamente de (7.1.7); de hecho, todo divisor común de a y b es divisor de δ. 7.1.11. Corolario. Sean a, b ∈ Z. Entonces existen r, s ∈ Z tales que mcd(a, b) = ra + sb. Demostración. Si a = b = 0 hacemos r = s = 0 y tenemos el resultado. Si no son ambos cero, el resultado se desprende directamente del teorema anterior. 7.1.12. Definición. Sean a, b ∈ Z y d = mcd(a, b). A una expresión d = ra+sb se le conoce como identidad de Bézout. En la demostración del teorema anterior hemos visto que el máximo común divisor es, de hecho, múltiplo de cualquier divisor común. Vamos a expresar eso junto con otras propiedades que caracterizan al máximo común divisor. 7.1.13. Proposición. Sean a, b, c, d ∈ Z. Entonces d = mcd(a, b) si y solo si se cumplen las condiciones (1) d | a y d | b. (2) Si c | a y c | b, entonces c | d. (3) d ≥ 0. Demostración. Supongamos d = mcd(a, b). De la definición de máximo común divisor tenemos las propiedades (1) y (3). La segunda es inmediata de (7.1.11). Recı́procamente, supongamos que a, b, d cumplen las tres condiciones del enunciado. Si a 6= 0 o b 6= 0, está claro que d es el mayor de los enteros que dividen a a y b. Si a = b = 0, como 0 | a y 0 | b, la condición (2) me dice que 0 | d por lo que d = 0. También en este caso se tiene d = mcd(a, b). Este resultado puede generalizarse a un número finito de enteros como vamos a ver a continuación. 7.1. ARTIMÉTICA DE LOS ENTEROS. 73 7.1.14. Definición. Sean a1 , . . . , an ∈ Z con algún ai 6= 0. El máximo común divisor de a1 , . . . , an , que denotaremos por mcd(a1 , . . . , an ), se define como el mayor entero d que los divide a todos. Definimos mcd(0, . . . , 0) = 0. 7.1.15. Proposición. Sean a1 , . . . , an ∈ Z. Entonces mcd(a1 , . . . , an ) = mcd(mcd(a1 , a2 ), a3 , . . . , an ). Demostración. Sea d = mcd(a1 , . . . , an ), e = mcd(mcd(a1 , a2 ), a3 , . . . , an ) y f = mcd(a1 , a2 ). Entonces, como d divide a a1 , . . . , an , tenemos por la proposición anterior que d divide a f, a3 , . . . , an . Luego d ≤ e. Recı́procamente, e divide a f, a3 , . . . , an y, por tanto, e divide a a1 , a2 , . . . , an . Luego e ≤ d. Como d, e ≥ 0 debe ser d = e. 7.1.16. Teorema. El máximo común divisor de a1 , . . . , an ∈ Z es la mı́nima combinación lineal positiva de dichos números. Ası́ que existen enteros α1 , . . . , αn tales que d = α1 a1 + · · · + αn an . Demostración. Inmediato por inducción, usando (7.1.10). 7.1.17. Corolario. Sean a1 , . . . , an ∈ Z. Entonces d = mcd(a1 , . . . , an ) si y solo si se cumplen las condiciones (1) d | ai para todo i = 1, . . . , n. (2) Si c | ai para todo i = 1, . . . , n, entonces c | d. (3) d ≥ 0. Demostración. Se deja como ejercicio. 7.1.18. Ejemplo. Para calcular el máximo común divisor de los números 45, 81, 12 y 51 podemos proceder de la siguiente manera: mcd(45, 81, 12, 51) = mcd(mcd(45, 81), 12, 51) = mcd(9, 12, 52) = mcd(mcd(9, 12), 51) = mcd(3, 51) = 3. 7.1.19. Definición. Dos enteros a, b se llaman primos entre sı́ o coprimos si mcd(a, b) = 1. 7.1.20. Proposición. Sean a y b dos enteros no nulos. Entonces a y b son coprimos si y solo si existen α, β ∈ Z tales que αa + βb = 1. Demostración. Inmediato de la definición de coprimos y (7.1.11). 7.1.21. Proposición. Sean a, b, c ∈ Z tales que a | bc. Si a y b son coprimos, entonces a | c. Demostración. Sea 1 = αa + βb una identidad de Bézout. Multiplicando por c tenemos c = αac + βbc. Como a | bc, también a | c. 74 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 7.1.22. Proposición. Sean a, b, c ∈ Z. Si a y b son coprimos y a | c y b | c entonces ab | c. Demostración. Considérese la identidad de Bézout ra + sb = 1. Por hipótesis c c c c c c c c c c a , b ∈ Z. Entonces a ra + a sb = a , luego cr + a sb = a y ası́ b br + a sb = a , de c c c donde b( b r + a s) = a , pasamos a multiplicando y se tiene ab | c. 7.1.23. Corolario. Sean a y b dos enteros no nulos y d = mcd(a, b). Si a = da′ y b = db′ , entonces mcd(a′ , b′ ) = 1. Demostración. Ejercicio. El algoritmo de Euclides Una forma efectiva de calcular el máximo común divisor es mediante el algoritmo de Euclides, para el cual necesitamos el siguiente resultado: 7.1.24. Proposición. Sean a, b ∈ Z. Entonces, para todo s ∈ Z se tiene mcd(a, b) = mcd(a − sb, b) = mcd(a, b − sa). En particular, si b 6= 0 y a = bq + r es la división entera de a entre b, tenemos que mcd(a, b) = mcd(b, r). Demostración. Si c | a y c | b, entonces c | a − sb por (7.1.7). Recı́procamente, si c | b y c | a − sb, entonces c | a − sb + sb = a, también por (7.1.7). 7.1.25. Algoritmo de Euclides Vamos a calcular el máximo común divisor de dos enteros mediante el algoritmo de Euclides que consiste en la aplicación repetida de la proposición anterior. Podemos suponer que a y b son positivos y tenemos: a = bq1 + r1 (a, b) = (b, r1 ) r1 < b b = r1 q2 + r2 (b, r1 ) = (r1 , r2 ) r2 < r1 r1 = r2 q3 + r3 (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) r3 < r2 .. .. .. . . . Dado que b > r1 > r2 > r3 > · · · ≥ 0 debe obtenerse resto cero en un número finito de pasos: rn−2 = rn−1 qn + rn rn−1 = rn qn+1 (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 , rn ) (rn−1 , rn ) = rn . Luego (a, b) = rn . Los valores x e y de la expresión rn = ax + by pueden obtenerse eliminando los r1 , . . . , rn−1 con una sustitución regresiva, en las igualdades anteriores a partir de la penúltima igualdad. 7.1. ARTIMÉTICA DE LOS ENTEROS. 75 Por ejemplo, para los enteros a = 252 y b = 198 hacemos las divisiones y se tiene 252 = 198 = 54 = 36 = 198 · 1 + 54 54 · 3 + 36 36 · 1 + 18 18 · 2. y, a partir de la penúltima igualdad vamos despejando y sustituyendo, obtenemos 18 = 54(1) + 36(−1) = 54 + (198 − 54 · 3)(−1) = 198(−1) + 54(4) = 198(−1) + (252 − 198 · 1) · 4 = 198(−5) + 252(4). La igualdad 18 = 198(−5) + 252(4) es entonces una identidad de Bézout. 7.1.2. Mı́nimo común múltiplo 7.1.26. Definición. Dados dos números enteros a, b distintos de cero, el mı́nimo común múltiplo de a y b se define como el menor entero positivo que es múltiplo de a y de b a la vez. Si a o b son cero, entonces el mı́nimo común múltiplo de a y b es 0. Se denotará por mcm(a, b). La existencia del mı́nimo común múltiplo está garantizada ya que el conjunto de todos los enteros positivos que son múltiplos comunes a a y b es no vacı́o y, por tanto, debe tener un primer elemento. 7.1.27. Proposición. Si a, b ∈ Z, entonces: (1) mcm(a, b) = mcm(a, |b|) = mcm(|a|, |b|). (2) mcm(a, b) = 0 si y solo si a = 0 o b = 0. (3) mcm(a, ab) = |ab|. Demostración. Ejercicio. Se desprende de (7.1.7). 7.1.28. Teorema. Sean a, b ∈ Z. Entonces: (1) mcm(a, b) mcd(a, b) = |ab|. (2) Si c es múltiplo de a y de b, entonces c es múltiplo de mcm(a, b). 76 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Demostración. Si a = 0 o b = 0 el enunciado es evidente. Por tanto, por la proposición anterior, podemos suponer que a, b > 0. Sea d = mcd(a, b) y supongamos que a = da′ y b = db′ para ciertos enteros a′ , b′ ∈ Z. Sea m = a′ b′ d. Observemos que m es múltiplo de a y de b. Supongamos que c > 0 es múltiplo de a y de b, es decir, c = αa = βb (7.1) para ciertos α, β ∈ Z. Entonces tenemos αda′ = βdb′ y, por tanto, αa′ = βb′ . Como, por (7.1.23), a′ y b′ son coprimos, por (7.1.21), a′ | β y podemos escribir β = γa′ para cierto γ ∈ Z Sustituyendo β en (7.1) obtenemos c = γa′ b = γa′ db′ = γm (7.2) que es mayor o igual que m y, en consecuencia, m = mcm(a, b). Además ab = a′ db′ d = md = mcd(a, b) mcm(a, b). En la igualdad (7.2) se ha visto que que si c es múltiplo de a y b, entonces también lo es de su mı́nimo común múltiplo. El concepto de mı́nimo común múltiplo de un número finito de enteros es análoga al de dos y también tenemos, usando el teorema anterior, un resultado parecido al (7.1.17) para el máximo común divisor. 7.1.29. Definición. Sean a1 , . . . , an números enteros no nulos. El mı́nimo común múltiplo de a1 , . . . , an , que denotaremos por mcm(a1 , . . . , an ), se define como el menor entero positivo que es múltiplo de a1 , . . . , an a la vez. Si ai = 0 para algún i, definimos mcm(a1 , . . . , an ) = 0. 7.1.30. Corolario. Sean a1 , . . . , an ∈ Z. Entonces m = mcm(a1 , . . . , an ) si y solo si se cumplen las condiciones (1) m es múltiplo de a1 , . . . , an . (2) Si c es múltiplo de a1 , . . . , an , entonces c es múltiplo de m. (3) m ≥ 0. Demostración. Se deja como ejercicio. 7.1.3. La ecuación diofántica lineal El precio del café en la máquina de la planta baja es de 40 cts. Ana solo tiene monedas de 50 cts y la máquina solo devuelve cambio en monedas de 20 cts. Ana sabe por experiencia que si la máquina no tiene el cambio exacto, simplemente no lo devuelve. Si Ana no quiere perder dinero ¿podrá tomarse un café? Si llamamos x al número de monedas de 50 cts. que introduce Ana e y el 7.1. ARTIMÉTICA DE LOS ENTEROS. 77 número de monedas de 20 cts. que le devuelve la máquina, se tiene que cumplir la ecuación 50x − 20y = 40 Una ecuación de este tipo, en la que se buscan soluciones que sean números enteros, se llama una ecuación diofántica lineal. Veamos su solución. 7.1.31. Proposición. Sean a, b, c ∈ Z y d = mcd(a, b). La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución si y solo si d divide a c. En este caso, la solución general son todos los números enteros de la forma x = x0 + x′ y = y0 + y ′ donde x0 , y0 es una solución particular de la ecuación e x′ , y ′ es una solución de la ecuación ax + by = 0, llamada ecuación homogénea asociada. Demostración. Si existen x, y ∈ Z tales que ax+by = c, entonces d | ax+by = c. Recı́procamente, supongamos que d | c y pongamos a = a′ d, b = b′ d y c = c′ d. Si αa + βb = d es una identidad de Bézout, multiplicando por c′ tenemos (c′ α)a + (c′ β)b = c′ d = c y la ecuación tiene solución. Veamos ahora cómo son las soluciones. Supongamos que x0 , y0 es una solución particular. Si x, y es una solución, entonces ax + by = ax0 + by0 = c, es decir, a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0, luego poniendo x′ = x − x0 e y ′ = y − y0 vemos que la solución x, y tiene la forma deseada. Recı́procamente, si x, y son como se indica en el enunciado, está claro que son solución de la ecuación. 7.1.32. Proposición. Sean a, b, c ∈ Z, d = mcd(a, b) y pongamos a = a′ d, b = b′ d. Las soluciones de la ecuación homogénea ax + by = 0 son x = −b′ t y = a′ t donde donde t es un entero cualquiera. Demostración. Si existen x, y ∈ Z tales que ax + by = 0, entonces ax = −by y dividiendo por d tenemos a′ x = −b′ y. (7.3) Dado que a′ y b′ son coprimos y a′ divide a −b′ y, a′ debe dividir a y, luego existe t ∈ Z tal que y = a′ t. Sustituyendo en (3) se tiene a′ x = −b′ a′ t y, por tanto, x = −b′ t. Por otra parte, se comprueba fácilmente que todos los enteros de esa forma son solución de la ecuación. Volviendo al ejemplo del inicio, tenemos que resolver la ecuación 50x−20y = 40. Dado que mcd(50, −20) = 10 vemos que la ecuación tiene solución. Si calculamos una identidad de Bézout obtenemos, por ejemplo, como solución particular x0 = 4 e y0 = 8. Por otra parte, las soluciones de la ecuación homogénea son x = 2t y = 5t. 78 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Por tanto, la solución general de la ecuación es x = 4 + 2t y = 8 + 5t Tenemos que ver ahora si hay soluciones positivas y cuál es la más pequeña. Si exigimos que x, y ≥ 0 deber ser t ≥ −1. Tomando t = −1 vemos que Ana puede introducir 2 monedas de 50 cts y la máquina le devolverá 3 monedas de 20 cts y un café. 7.1.4. Números primos. Teorema Fundamental de la Aritmética En esta sección vamos a probar el Teorema Fundamental de la Aritmética que afirma que todo número entero se puede escribir de forma escencialmente única como producto de números primos. Comenzamos precisamente con el concepto de número primo. 7.1.33. Definición. Un entero p 6= 1, −1 se dice que es primo si sus únicos divisores son 1, −1, p y −p. 7.1.34. Ejemplo. El primo positivo más pequeño es el 2 y es también el único primo par junto con el −2. Los primos siguientes son 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . , 997, . . . , 252097800623, . . . , 243112609 − 1, . . . 1 7.1.35. Lema. Si p es un número primo y p | a1 a2 · · · an con a1 , . . . , an enteros, entonces p divide a ai para algun i. Demostración. Supongamos que p | a1 a2 . Si p | a1 , ya. Si no, mcd(p, a1 ) = 1 y por (7.1.21) se tiene que p | a2 . Éste es el primer paso de la inducción. Se deja como ejercicio terminarlo. 7.1.36. Teorema [Teorema Fundamental de la Aritmética]. Sea a ∈ Z, a 6= 0, 1, −1. Entonces a = p1 p2 · · · pt para algún t ≥ 1 y p1 , · · · , pt primos no necesariamente dististos. Además, estos primos son únicos salvo quizás el signo y el orden en el que están escritos. Demostración. Veamos primero que existe una tal descomposición. Supongamos a > 0 y procedamos por reducción al absurdo. Entonces, el conjunto de los enteros mayores que 1 para los cuales no existe una tal descomposición tiene un minimo a0 que no puede ser primo y, por tanto, se escribe como a0 = bc con b y c distintos de 1 y −1. Como a > 0 podemos suponer que b, c > 0. Entonces a0 = bc con 1 < b < a0 y 1 < c < a0 . 1 El primo 243112609 − 1 es el mayor conocido a fecha de junio de 2009. Fue descubierto por el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) de informática distribuida el 23 de agosto de 2008 y tiene 12978189 cifras. 7.1. ARTIMÉTICA DE LOS ENTEROS. 79 Ahora bien, como 1 < b, c < a0 , los enteros b y c sı́ se escriben como producto de primos: b = q1 · · · qr y c = q1′ · · · qs′ pero entonces a también lo que contradice su elección. Si a < −1, entonces −a = |a| = p1 · · · pt para cierto t ≥ 1 y p1 , . . . , pt primos y, por tanto, a = −|a| = (−p1 )p2 · · · pt con −p1 , p2 , . . . , pt primos. Probemos ahora la unicidad de la descomposición. Supongamos a = p1 · · · pt = q1 · · · qr (7.4) con p1 , . . . , pt , q1 . . . , qr primos y procedamos por inducción sobre t. Si t = 1, entonces a = p1 = q1 · · · qr . Dado que p1 es primo no tiene más divisores primos que −p1 y p1 . Por tanto, debe ser r = 1 y q1 = p1 . Supongamos ahora el resultado cierto para t = k y demostrémoslo para t = k + 1. Si a = p1 · · · pk+1 = q1 · · · qr tenemos que pk+1 divide a q1 · · · qr . Por el lema anterior, pk+1 divide a qs para algún s. Reordenando los q ′ s podemos suponer que s = r, es decir, pk+1 | qr . Como los únicos divisores primos de qr son −qr y qr tenemos que qr = ±pk+1 . Sustituyendo en (7.4) obtenemos p1 · · · pk pk+1 = q1 · · · qr−1 (±pk ) y cancelando pk+1 , p1 · · · pk = ±q1 · · · qr−1 . Por hipótesis de inducción k = r−1. Por tanto, k+1 = r y, después de reordenar si hace falta, q1 = ±p1 , q2 = ±p2 , . . . , qk = ±pk como querı́amos demostrar 7.1.37. Corolario. Sea a ∈ Z, a 6= 0, 1, −1. Entonces, a = ±pn1 1 · · · pns s para ciertos primos positivos diferentes p1 , . . . , ps y naturales n1 , . . . , ns . Además, estos primos y sus respectivos n′i s son únicos (salvo el orden). Demostración. Se deja como ejercicio. 7.1.38. Corolario. Sean a, b ∈ Z con descomposiciones en primos a = pn1 1 · · · pns s b = q1m1 · · · qrmr . Entonces, el mcd(a, b) puede calcularse haciendo el producto de los primos comunes de a y b elevados a la mı́nima potencia, y el mcm(a, b) puede calcularse haciendo el producto de los primos comunes y no comunes de a y b elevados a la máxima potencia. Demostración. Se deja como ejercicio. 80 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Finalmente, vamos a demostrar que existen infinitos números primos. 7.1.39. Teorema. Existen infinitos números primos. Demostración. Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que p1 , . . . , pn son todos los números primos y consideremos el número N = p1 · · · pn + 1. Dado que N es mayor que pi para todo i, no puede ser primo y, por tanto, debe ser divisible por alguno de los primos anteriores. Pero si pi | N , entonces pi | N − p1 · · · pn = 1 lo cual es contradictorio. 7.2. Congruencias. A lo largo de esta sección, m denotará siempre un entero mayor que 1. A continuación vamos a definir la relación de congruencia módulo m que ya hemos visto como ejemplo al estudiar las relaciones de equivalencia. 7.2.1. Definición. Dados un entero positivo m y dos números x, y ∈ Z, decimos que x e y son congruentes módulo m, y escribimos x ≡ y mod m, o x ≡ y (m), si x − y es múltiplo de m. 7.2.2. Proposición. La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia. Demostración. Se deja como ejercicio. 7.2.3. Proposición. Sean a, b ∈ Z y m un entero mayor que 1. (1) Si r es el resto de la división de a entre m, entonces a ≡ r mod m. (2) Si a ≡ b mod m y 0 ≤ a, b < m, entonces a = b. (3) a ≡ b mod m si y solo si a y b dan el mismo resto al dividirlos por m Demostración. Se deja como ejercicio. Vemos que cada clase módulo m tiene un único representante r entre 0 y m−1. Se le llama representante canónico y se obtiene como el resto de la división entera de cualquier elemento de la clase entre m. Por este motivo, a las clases de congruencia módulo m también se las llama clases de restos módulo m. Dado un entero x, denotemos por x la clase de equivalencia de representante x. Entonces, por las propiedades de las clases en una relación de equivalencia, sabemos que a = b o a ∩ b = ∅. a = b si y solo si a ≡ b mod m. a ∩ b = ∅ si y solo si a 6≡ b mod m. 81 7.2. CONGRUENCIAS. Denotamos por Z/(m) o Zm el conjunto cociente de Z por la relación de congruiencia módulo m, es decir, Zm = {a | a ∈ Z}. Por lo que hemos dicho, Zm tiene exactamente m elementos: Zm = { 0, 1, . . . m − 1 }. Los enteros 0, 1, . . . , m − 1 son los representantes canónicos de las clases y se corresponden con los posibles restos que se obtienen al dividir un entero entre m. 7.2.1. Propiedades aritméticas de las congruencias Veamos cómo se comportan las congruencias con la suma y el producto de números enteros. 7.2.4. Proposición. Sea m un entero mayor que 1 y sean a, b, a′ , b′ y c números enteros arbitrarios. Entonces: 1. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m, entonces a + b ≡ a′ + b′ mod m. 2. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m, entonces ab ≡ a′ b′ mod m. 3. Si a ≡ b mod m, entonces ac ≡ bc mod m. El recı́proco es cierto si c y m son coprimos. 4. Si c 6= 0, entonces a ≡ b mod m si y solo si ac ≡ bc mod mc. Demostración. Si a ≡ a′ mod m y b ≡ b′ mod m tenemos que a − a′ = λm y b − b′ = µm para ciertos λ, µ ∈ Z. Entonces, (a + b) − (a′ + b′ ) = (a − a′ ) + (b − b′ ) = (λ + µ)m, y, por tanto, a + b ≡ a′ + b′ mod m. Por otra parte, sustituyendo a por a′ + λm, ab − a′ b′ = = = (a′ + λm)(b′ + µm) − a′ b′ a′ b′ + (a′ µ + b′ λ + λµm)m − a′ b′ (a′ µ + b′ λ + λµm)m, y, por tanto, ab ≡ a′ b′ mod m. Con esto hemos probado (1 ) y (2 ). La primera parte del apartado (3 ) sigue del (2 ). Recı́procamente, si c y m son coprimos y ac ≡ bc mod m, tenemos (a − b)c = λm para cierto λ ∈ Z. Esto significa que c | λm y, como c y m son coprimos, tenemos que c divide a λ, es decir, λ = cλ′ . Por tanto, (a − b)c = cλ′ m y, entonces a ≡ b mod m. Finalmente, para demostrar (4 ), observemos que para un c 6= 0 se tiene que a − b = λm si y solo si ac − bc = λmc. 82 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 7.2.2. Estructuras algebraicas. Antes de introducir la idea de estructura algebraica, permı́tasenos presentar introducir las siguientes operaciones en Zm . 7.2.5. Definición. Sean m un entero positivo. La suma y el producto de dos elementos a, b ∈ Zm están dados por a + b = a + b. a · b = a · b. La definición anterior está escrita en términos de representantes de clases de equivalencia, ası́ que lo primero es probar que están bien definidas (véase 4.3.4). 7.2.6. Proposición. La suma y el producto en Zm están bien definidas. Demostración. Sean a = a′ y b = b′ . Tenemos que ver que a + b = a′ + b′ . Pero esto es inmediato de (7.2.4). 7.2.7. Ejemplo. En el caso n = 6 las tablas de las operaciones en Z6 son: + 0 1 2 3 4 5 · 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4 3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2 5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1 Observamos en la tabla del producto que hay elementos no nulos a, b tales que ab = 0, por ejemplo, 2 · 3 = 0. De hecho, si m = rs con r y s mayores que 1, entonces r · s = m = 0 en Zm . También vemos que los únicos elementos a para los que existe un b tal que ab = 1 son 5 y 1 (5 · 5 = 1 y 1 · 1 = 1). Las clases de restos módulo m, junto con las operaciones definidas son un ejemplo más en la lista de conjuntos dotas de suma y producto, que no son números. Éste es un buen momento para considerar el concepto abstracto de operación binaria y las propiedades básicas. Llamamos estructuras algebraicas a los conjuntos que podemos dotar de operaciones binarias que poseen las propiedades básicas de la suma y el producto. Recordemos de (2.1.7) que una operación binaria, en un conjunto no vacı́o A, digamos ◦, es una aplicación ◦ : A × A → A, y que para a, a′ ∈ A, denotamos ◦(a, a′ ) = a ◦ a′ 83 7.2. CONGRUENCIAS. 7.2.8. Definición. Sea A un conjunto no vacı́o con dos operaciones binarias + : A × A −→ A · : A × A −→ A (suma) (producto) Decimos que A es un anillo si se verifica que: 1. La suma es conmutativa. 2. La suma es asociativa. 3. Existe un neutro para la suma, que denotamos 0 ∈ A. 4. Todo elemento de A tiene opuesto. 5. El producto es asociativo. 6. Existe un neutro para el producto, que denotamos 1 ∈ A. 7. El producto distribuye a la suma. Decimos que A es anillo conmutativo si además de los anterior, verifica 8. El producto es conmutativo Decimos que A es un cuerpo si además de los anterior, verifica 9. Cada elemento a ∈ A no nulo tiene inverso, es decir, si existe un b ∈ A tal que ab = 1. Hasta ahora conocemos como ejemplos 1. Anillo (no conmutativo): las matrices cuadradas junto con la suma y el producto habituales. 2. Anillo conmutativo: los enteros, los polinomios. 3. Cuerpos: hasta ahora sólo los numéricos. Vamos a agregar ejemplos. 7.2.9. Proposición. Sea m un entero positivo. El conjunto Zm junto con la suma y producto definidos anteriormente es un anillo conmutativo. Demostración. Se deja como ejercicio. 7.2.10. Ejercicio. Probar que en cualquier anillo A: 1. El neutro bajo la suma y el neutro bajo producto son únicos. 2. El opuesto de un elemento a ∈ A es único. Se denota −a. 3. El inverso de un elemento a ∈ A es único. Se denota por a−1 . 84 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 7.2.11. Proposición. Sea m un entero positivo. En Zm , un elemento a tiene inverso si y solo si mcd(a, m) = 1. También decimos que a tiene inverso módulo m. Demostración. a tiene inverso si y solo si existe x tal que a · x = 1 para cierto x ∈ Z. Esto pasa si y solo si ax ≡ 1 mod m, si y solo si ax − 1 = my para cierto y ∈ Z; pero esta ecuación diofántica tiene solución si y solo si mcd(a, m) = 1. 7.2.12. Corolario. Zm es un cuerpo si y solo si m es primo. Demostración. Zm es un cuerpo si y solo si todo elemento a 6= 0 tiene inverso. Por la proposición anterior, vemos que Zm es un cuerpo si y solo si mcd(a, m) = 1 para todo a = 1, . . . , m − 1. Eso solo es posible si m es primo. 7.2.13. Ejemplo. Para calcular el inverso de 7 en Z100 , buscamos un x tal que 7 · x = 1, es decir, debemos resolver la ecuación diofántica 7x − 100y = 1 en la que solo nos interesa una solución particular (y no nos interesa la y). Usando el algoritmo de Euclides, como vimos en el tema anterior, tenemos 7 · 43 − 100 · 3 = 1 Luego (7)−1 = 43 en Z100 . 7.2.3. Algunas aplicaciones La aritmética modular nos proporciona el marco adecuado para tratar cuestiones de divisibilidad con números enteros. 7.2.14. Proposición. Un número entero es divisible por 3 si y solo si la suma de sus cifras es divisible por 3. Demostración. Sea m ∈ Z, m > 0 y supongamos que sus cifras se escriben como an an−1 · · · a0 con los ai entre 0 y 9. Entonces m = an 10n + · · · + a1 10 + a0 . m es divisible por 3 si y solo si m ≡ 0 mod 3. Pero, como 10s ≡ 1 mod 3 para todo s, tenemos m = an 10n + · · · + a1 10 + a0 ≡ an + · · · + a1 + a0 mod 3 7.2.15. Ejercicio. Enunciar y demostrar un criterio de divisibilidad por 9. A continuación estudiamos las ecuaciones del tipo a x = b en Zm . Estas ecuaciones tienen una solución fácil si a tiene inverso en Zm . Por ejemplo, consideremos la ecuación 3 x = 5 en Z20 . Como mcd(3, 20) = 1, vemos, por la proposición 8, que 3 tiene inverso y es 7. Luego, x = 7 · 3 x = 7 · 5 = 35 = 15 85 7.2. CONGRUENCIAS. en Z20 . Lo que hemos hecho se puede expresar también en lenguaje de congruencias: la solución de la ecuación 3x ≡ 5 mod 20) está formada por todos los múltiplos de 20 más 15. 7.2.16. Proposición. Dados los enteros a, b, t ∈ Z, los enunciados siguientes son equivalentes (1) t es solución de la ecuación a x = b en Zm . (2) t es solución de la congruencia ax ≡ b mod m. (3) (t, s) es solución de la ecuación diofántica ax − my = b para algún s ∈ Z. Demostración. Solo es un cambio de lenguaje entre aritmética modular, congruencias y ecuaciones diofánticas. 7.2.17. Proposición. Sean a, b, m ∈ Z con m > 1 y d = mcd(a, m). Entonces la ecuación ax ≡ b mod m tiene solución si y solo si d divide a b. En este caso, la ecuación tiene d soluciones módulo m que vienen dadas por los enteros x0 , x0 + m m m , x0 + 2 , . . . , x0 + (d − 1) d d d donde x0 es una solución particular. Equivalentemente, las soluciones son todos los enteros x de la forma m x = x0 + λ d para λ un entero arbitrario. Demostración. La congruencia ax ≡ b mod m es equivalente a la ecuación ax−my = b y esta tiene solución si y solo si d divide a b. En este caso, pongamos b = db′ , a = da′ y m = dm′ . Entonces, la ecuación diofántica ax − my = b es equivalente a a′ x − m′ y = b′ y su solución es (véase 7.1.31) x = x0 + m′ t y = y 0 + a′ t donde (x0 , y0 ) es una solución particular y t es un entero arbitrario, lo que prueba la segunda parte de la proposición. Si x0 + λm′ y x0 + µm′ son dos soluciones, tenemos x0 + λm′ ≡ x0 + µm′ mod m si y solo si λm′ ≡ µm′ mod dm′ si y solo si λ ≡ µ mod d y por el apartado 4 de (7.2.4) se tiene la primera parte. 7.2.18. Ejemplos. Vamos a resolver algunas congruencias. 1. 4x ≡ 3 mod 7. Solución. Como 4 y 7 son primos entre sı́, buscamos el inverso de 4 en Z7 . Rápidamente vemos que 4 · 2 = 1, luego multiplicamos ambos miembros de la congruencia por 2 y obtenemos x≡ 2·3 =6 mod 7. 86 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Por tanto, la solución única módulo 7 es x = 6. En otras palabras, los números enteros que satisfacen la congruencia son los de la forma 7λ + 6, es decir, los múltiplos de 7 más 6. 2. 77x ≡ 30 mod 180. Solución. En este caso tenemos 77 = 7 · 11 y 180 = 22 · 32 · 5, luego también son primos entre sı́ y la congruencia tiene solución única módulo 180. Para calcular el inverso de 77 en Z180 recurrimos a la identidad de Bézout. Después de realizar los cálculos tenemos 180 · 3 + 77 · (−7) = 1, de donde 77(−7) ≡ 1 mod 180. Multiplicamos, pues, la congruencia por −7 y obtenemos x ≡ −7 · 30 = −210 ≡ −30 mod 180. Por tanto, la solución única módulo 180 es x = −30, es decir, los múltiplos de 180 menos 30. 3. 572x ≡ 20 mod 700. Solución. Calculamos el máximo común divisor de 572 y 700 mediante el algoritmo de Euclides y obtenemos mcd(572, 700) = 4. Como 4 divide a 20 la congruencia tiene 4 soluciones distintas módulo 700. Aprovechamos los cálculos hechos para expresar 4 como combinación lineal entera de 572 y 700. Obtenemos 572 · 82 + 700 · (−67) = 4. Como 20/4 = 5, multiplicamos la congruencia por 5 y nos queda 572(410) + 700(−335) = 20 de donde una solución paticular es x = 410. Finalmente, como 700/4 = 175, la solución general es x = 410 + 175t, con t = 0, . . . , 3. Esto da x = 410, x = 410 + 175 = 585, x = 410 + 350 = 760 ≡ 60 mod 700, x = 410 + 525 = 935 ≡ 253 mod 700. 4. 35x + 8y = 5. Solución. Veamos que podemos usar las congruencias para resolver esta ecuación diofántica. Si hacemos módulo 8 obtenemos 3x ≡ 5 mod 8. El inverso de 3 módulo 8 es 3, luego x = 8λ − 1. Sustituyendo x en la ecuación tenemos 35(8λ − 1) + 8y = 5, es decir, 35λ + y = 5. Por tanto, (x, y) es solución de la ecuación inicial si y solo si x = 8λ − 1 y (λ, y) es solución de 35λ + y = 5. Concluimos, pues, que la solución general de la ecuación es x = −1 + 8λ y = 5 − 35λ 7.3. TEOREMAS DE EULER, FERMAT Y WILSON 7.3. 87 Teoremas de Euler, Fermat y Wilson A lo largo de esta sección, seguiremos suponiendo que m es un entero positivo. 7.3.1. Definición. Definimos la función Φ de Euler como la aplicación de Φ : N → N que asigna a cada número natural m el número Φ(m) = |{x ∈ N | 1 ≤ x ≤ m, mcd(x, m) = 1}|. Por tanto, Φ(m) es la cantidad de elementos que tienen inverso en Zm . Por ejemplo, Φ(1) = 1, Φ(2) = 1, Φ(3) = 2, Φ(4) = 2, Φ(12) = 4. Esta función puede calcularse con el método que se desprende de la proposición siguiente: 7.3.2. Proposición. Si Φ es la función de Euler, se tiene 1. Φ(p) = p − 1 si p es primo. 2. Φ(pn ) = pn−1 (p − 1) si p es primo. 3. Si mcd(n, m) = 1, entonces Φ(nm) = Φ(n)Φ(m). 4. Si m = pn1 1 · · · pns s es la descomposición de Q m en factores primos con s p1 , . . . , ps primos distintos, entonces Φ(m) = i=1 pini −1 (pi − 1). 5. Si m = pn1 1 · · · pns s es la descomposición de m en factores primos con p1 , . . . , ps primos distintos, entonces Φ(m) = m(1 − 1 1 ) · · · (1 − ) p1 ps Demostración. 1. Es obvio. 2. Considérese, para cada a = 1, . . . , pn−1 , el conjunto, ρa = {x ∈ N | (a − 1)p < x < ap y (x, p) = 1} . Es fácil comprobar que 1. ρa ∩ ρa′ = ∅ si y solo si a 6= a′ . 2. Para todo 0 ≤ x < pn , con (x, p) = 1 se tiene que x ∈ ρa , para alguna a = 1, . . . , pn−1 . 3. El cardinal |ρa | = p − 1, para todo a = 1, . . . , pn−1 . De aquı́ se obtiene que hay exactamente pn−1 (p − 1) elementos. 3. Definimos la aplicación f : Z∗nm → Z∗n × Z∗m tal que f (x) = (xn , xm ), donde x ≡ xn mod n y x ≡ xm mod m. Se afirma que f es biyectiva. Si f (x) = (xn , xm ) = (yn , ym ) = f (y) entonces x ≡ y mod n y x ≡ y mod m, luego n | (x − y) y m | (x − y) de donde (7.1.22) 88 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. nm | (x − y). Para ver que es sobre, considérese (a, b) ∈ Z∗n × Z∗m . Por hipótesis existe una identidad de Bézout 1 = rn + sm. Hacemos x = brn + asm. Entonces x ≡ a mod n y x ≡ b mod m; es decir a = xn y b = xm . 4. Por el apartado anterior Φ(m) = tiene el resultado. Qs i=1 Φ(pni ) y por el apartado (2) se 5. Inmediato de multiplicar la igualdad anterior por Qs i=1 pi / Qs i=1 pi 7.3.3. Ejemplo. Para calcular Φ(1000) descomponemos en factores primos 1000 = 23 · 53 y, entonces Φ(1000) = Φ(23 · 53 ) = Φ(23 )Φ(53 ) = 22 · 1 · 52 · 4 = 400 7.3.4. Teorema [Euler]. Sea m > 1 un entero. Si a es coprimo con m, entonces aΦ(m) ≡ 1 mod m. Demostración. Sabemos que aΦ(m) ≡ 1 mod m es equivalente a aΦ(m) = 1 en Z el conjunto de los elementos invertibles en Zm . Sea Um = m . Consideremos x1 , . . . , xΦ(m) ⊂ Zm . Multiplicamos, a · Um = {a · x | x ∈ Um }. Se afirma que Um = a · Um . ⊆] Sea x ∈ Um . Entonces x = axi , luego xa−1 x−1 = 1, por tanto, x ∈ Um . i ⊇] Sea xi ∈ Um . Entonces xi = a(a−1 xi ) y es claro que a−1 xi ∈ Um . Por tanto xi ∈ a · Um . Finalmente, Φ(m) Φ(m) Φ(m) Y Y Y xi = axi = aΦ(m) xi . i=1 Cancelando QΦ(m) i=1 i=1 i=1 xi porque es invertible, tenemos el resultado. 7.3.5. Corolario [Pequeño teorema de Fermat(primera versión)]. Sea p > 1 un número primo. Entonces se cumple ap−1 ≡ 1 mod p para todo entero a no divisible por p. Demostración. Sigue del resultado anterior dado que Φ(p) = p − 1. 7.3.6. Corolario [Pequeño teorema de Fermat(seguna versión)]. Sea p > 1 un número primo. Entonces se cumple ap ≡ a para todo entero a. mod p 7.3. TEOREMAS DE EULER, FERMAT Y WILSON 89 Demostración. Si a es múltiplo de p, entonces los dos miembros son congruentes con 0. En caso contrario se tiene ap−1 ≡ 1 mod p por el resultado anterior y, multiplicando por a, ap ≡ a mod p. 7.3.7. Ejemplo. ¿Cuáles son las dos últimas cifras del número 1031243 ? Este problema es equivalente a saber cuál es el representante canónico de 1031243 módulo 100. Para empezar 1031243 ≡ 31243 mod 100. Ahora, dado que mcd(3, 100) = 1 podemos usar la congruencia de Euler, que dice, en este caso, 3Φ(100) ≡ 1 mod 100 =⇒ 340 ≡ 1 mod 100 dado que Φ(100) = Φ(22 · 52 ) = Φ(22 )Φ(52 ) = 40. Si dividimos 1243 entre 40 tenemos 1243 = 31 · 40 + 3 y, por tanto, 31243 = 331·40+3 = (340 )31 · 33 ≡ 33 = 27 mod 100. Luego las dos última cifras de 1031243 son 2 y 7. Vamos a terminar con otro resultado clásico de la teorı́a de los números. 7.3.8. Teorema [Teorema de Wilson]. Sea p un número primo positivo. Entonces (p − 1)! ≡ −1 mod p. Demostración. Si p = 2 o p = 3 el resultado se puede comprobar directamente. Supongamos que p ≥ 5. Hagamos la lista de elementos invertibles de Zp es {1, 2, . . . , p − 1}. En este conjunto tenemos un número par de elementos. Vamos a probar que, excepto 1 y p − 1 = −1, el resto de elementos tiene un inverso distinto a él. Supongamos que existiese a = k ∈ Zp tal que a2 = 1. Entonces a2 − 1 = 0 y de aquı́, (a + 1)(a − 1) = 0. Pero Zp es un cuerpo. Luego a = 1 o bien a = −1. Lo anterior significa que en la lista {1, 2, . . . , p − 1} aparecen los elementos junto con sus inversos, excepto p − 1 = −1, ası́ que el producto de los elementos de la lista ha de ser −1. En términos de congruencias (p − 1)! ≡ −1 mod p. El teorema de Wilson nos descubre propiedades muy interesantes de los números, como el siguiente ejemplo. 7.3.9. Ejemplo. Sea p un primo positivo. Entonces p | (p − 1)! + 1, ya que (p − 1)! + 1 ≡ −1 + 1 ≡ 0 mod m. Otro ejemplo. 7.3.10. Ejemplo. Recordemos que U8 = {1, 3, 5, 7}. En este caso, 32 = 1 y 52 = 1. En cambio, U7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este caso, 2 · 4 ≡ 1 mod 7 y 3 · 5 ≡ 1 mod 7, ası́ que 1 · · · 6 ≡ −1 mod 7. Como observación al margen del teorema de Wilson, para cualquier número primo, p las raı́ces cuadradas de la unidad en Zp son únicamente ±1. Supóngase que a2 ≡ 1 mod p, entonces p | (a − 1)(a + 1). Como p es primo, p mod a + 1 o bien p | a − 1, de donde a ≡ ±1 mod p. 90 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. 7.4. Teorema chino de los restos Este teorema es un resultado que se refiere a la resolución de sistemas de congruencias, con ciertas restricciones. En vista de que hay congruencias que no se pueden resolver, es claro que habrá sistemas de congruencas que no puedan resolverse. Vamos a comenzar por establecer el sentido de las restricciones en los sistemas de congruencias lineales.    a1 x ≡ b 1 .. .   ak x ≡ b k mod c1 mod ck En primer lugar observemos que para que el sistema tenga solución, cada congruencia por separado debe tenerla. Por tanto, para cada i = 1, . . . k, dividimos la ecuación i-ésima por mcd(ai , ci ), resultando una ecuación del tipo a′i x ≡ b′i mod mi donde ahora mcd(a′i , mi ) = 1. Si ahora multiplicamos por el inverso de a′i módulo mi tenemos una ecuación del tipo x ≡ ri mod mi . En consecuencia, el problema se reduce a estudiar sistemas de congruencias del tipo    x ≡ r1 .. .   x ≡ rk mod m1 mod mk . El Teorema chino de los restos toma su nombre de ser artribuido al matemático chino Sun Tsu o Sun Zi. De este personaje, no se sabe nada, excepto que escribió el libro Sunzi suanjing (Manual de matemáticas de Sun Zi) y que muy probablemente vivió entre el siglo I y el siglo III dC. El manual tiene tres capı́tulos. El primero sobre medida, aritmática y álgebra. Los otros dos capı́tulos son problemas (28 y 36, respectivamente) sobre aritmética y geometrı́a. El Problema 26 del Capı́tulo 3 dice: Problema: Encontrar un número que deje restos 2, 3 y 2, al dividirlo por 3, 5 y 7. Solución original: Tomo un número que deje resto 1 al dividir módulo 3, que siempre existe. Tomo ahora uno de 3 y 7 que deje resto 1 al dividir módulo 5, que también existe siempre. Hago lo mismo con 3 y 5, módulo 7. Por ejemplo, 70, 21 y 15 nos valen. Ahora, cada uno se multiplica por los restos que queremos. 70 · 2 + 21 · 3 + 15 · 2 = 233. Ése número es solución. Vamos entonces a ver el resultado general. 91 7.4. TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS 7.4.1. Teorema [Teorema chino de los restos]. Sean b1 , . . . , bk enteros arbitrarios y m1 , . . . , mk enteros positivos tales que mcd(mi , mj ) = 1 para todo i 6= j. Entonces, el sistema de congruencias  mod m1   x ≡ b1 .. .   x ≡ bk mod mk tiene solución única módulo M = m1 · · · mk . M . Veamos Demostración. Consideremos los enteros M = m1 · · · mk y Mi = m i que Mi y mi son primos entre sı́: si p es un número primo que divide a Mi y mi , entonces p divide a algún mj con j 6= i y llegamos a contradicción pues mcd(mi , mj ) = 1. Por tanto, Mi tiene un inverso módulo mi . Sea Ni tal que Mi Ni ≡ 1 mod mi y obsérvese que Mi Ni ≡ 0 mod mj si j 6= i. Ahora no es difı́cil ver que el número entero x0 = b1 M1 N1 + · · · + bk Mk Nk es una solución del sistema de congruencias que es única módulo M por la proposición anterior. Ahora nos ocuparemos de la unicidad. Probaremos que de haber solución, ésta es única módulo el mı́nimo común múltiplo de m1 , . . . , mk . 7.4.2. Proposición. La solución, si existe, de un sistema de ecuaciones del tipo  mod m1   x ≡ r1 .. .   x ≡ rk mod mk . es única módulo mcm(m1 , . . . , mk ). Demostración. Sea M = mcm(m1 , . . . , mk ). Si x, y son soluciones, entonces x, y ≡ bi mod mi , luego x ≡ y mod mi . Por tanto, x − y es múltiplo de todos los mi y, en consecuencia x ≡ y mod M . Ahora podemos ver cómo hallar una solución en el caso en que los mi sean primos entre sı́. 7.4.3. Ejemplos. Vamos a resolver los siguientes sistemas de congruencias.   x ≡ r1 mod 3 x ≡ r2 mod 4 1.  x ≡ r3 mod 5 Solución. Tenemos M = 3 · 4 · 5 = 60, M1 = 20, M2 = 15 y M3 = 12, y debemos calcular N1 , N2 y N3 tales que 20N1 ≡ 1 mod 3; 15N2 ≡ 1 mod 4; 12N3 ≡ 1 mod 5. 92 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Directamente se ve que podemos tomar N1 = 2, N2 = 3 y N3 = 3, de donde la solución única módulo 60 del sistema es x = 40r1 + 45r2 + 36r3 .   8x ≡ 2 mod 10 15x ≡ 6 mod 21 2.  9x ≡ 15 mod 24 Solución. Vemos que cada congruencia por separado tiene solución y dividiendo cada una por el máximo común divisor apropiado el sistema es equivalente a este otro:   4x ≡ 1 5x ≡ 2  3x ≡ 5 mod 5 mod 7 mod 8. Ahora buscamos los inversos de 4, 5 y 6 módulo 5, 7 y 8 respectivamente. A simple vista vemos que 4 · (−1) ≡ 1 mod 5; 5·3 ≡1 mod 7; 3 · 3 ≡ 1 mod 8. Multiplicando cada ecuación por el número correspondiente tenemos   x ≡ −1 x ≡ 6 ≡ −1  x ≡ 15 ≡ −1 mod 5 mod 7 mod 8. Sin hacer más cálculos vemos que x = −1 es solución. En conclusión, la solución del sistema inicial es x = −1 módulo mcm(5, 7, 8) = 280.   x ≡ 1 mod 6 x ≡ 5 mod 10 3.  x ≡ 11 mod 14 Solución. En este caso, los módulos no son primos entre sı́. Nótese que mcm(6, 10, 14) = 210 y no podemos aplicar el Teorema chino de los restos. Aun ası́ podemos proceder de la siguiente manera: las soluciones de la primera ecuación son los enteros de la forma x = 6t + 1. Sustituyendo en la segunda, tenemos 6t + 1 ≡ 5 mod 10. Como mcd(6, 10) = 2, obtenemos 3t ≡ 2 mod 5 y podemos despejar la incógnita, t ≡ 4 mod 5. 7.4. TEOREMA CHINO DE LOS RESTOS 93 Ası́ que x = 6t + 1 = 6(5u + 4) + 1 = 30u + 25. Ahora sustituimos en la última, 30u + 25 ≡ 11 mod 14 nos da 30u ≡ 0 mod 14 de donde 15u ≡ 0 mod 7, por lo que u = 7v. Finalmente, sustituimos x = 30 · 7v + 25 = 210 + 25. Ası́ que x ≡ 25 mod 210. 94 CAPÍTULO 7. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. Capı́tulo 8 Polinomios En este tema vamos a estudiar los anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo, haciendo especial énfasis en los cuerpos numéricos. 8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. 8.1.1. Definición. Sea K un cuerpo. 1. Un polinomio con coeficientes en K es una expresión de la forma a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n para un entero n ≥ 0 y elementos a0 , . . . , an ∈ K. 2. Al sı́mbolo X se llama indeterminada y los elementos a0 , . . . , an se llaman los coeficientes del polinomio. 3. Los polinomios de la forma a0 se llaman constantes y se identifican con los elementos del cuerpo K. 8.1.2. Notación. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K se denota por K[X]. 8.1.3. Definición. Diremos que dos polionomios a0 + · · · + an X n y b0 + · · · + bm X m con m ≥ n son iguales en K[X] si ai = bi para todo i = 1, . . . , n y bj = 0 para j = n + 1, . . . , m. 8.1.4. Ejemplos. Hemos visto que Q, R, C y Zp con p primo son cuerpos. Podemos considerar polinomios con coeficientes en cualquiera de estos cuerpos. (1) 5 + 2X 2 es un polinomio de Z7 [X]. √ (2) 1 + 2X − 5X 2 − πX 3 es un polinomio de R[X]. (3) 1 + 17 15 8 X es un polinomio de Q[X]. 95 96 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS (4) X − (1 + i)X 3 − X 7 es un polinomio de C[X]. (5) Q[X] ⊆ R[X] ⊆ C[X]. Veamos ahora cómo se definen la suma y producto de polinomios. 8.1.5. Definición. Dados dos polimomios de K[X] A = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n B = b0 + b1 X + b2 X 2 + · · · + bm X m se define su suma como A + B = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + · · · + (an + bn )X n si n ≥ m (se sobreentiende que bk = 0 si k ≥ m). El producto AB se define como el polinomio C = c0 +c1 X +· · ·+cn+m X n+m cuyos coeficientes son X ck = ai bj = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 . i+j=k 8.1.6. Ejemplos. (1) En Q[X], R[X] o C[X] se tiene (3 + X)(X 2 + 2X 3 ) = 3X 2 + 7X 3 + 2X 4 (2) En Z3 [X], (3 + X)(X 2 + 2X 3 ) = 3X 2 + 7X 3 + 2X 4 = X 3 + 2X 4 . 8.1.7. Proposición. K[X] es un anillo conmutativo con las operaciones de suma y producto de polinomios. Demostración. Ejercicio. 8.1.8. Definición. Decimos que un polinomio no nulo A tiene grado n si A = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n con an 6= 0. El grado de A se denotará por gr(A). El grado del polinomio 0 de denotará por −∞. Sea A = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n . Llamamos coeficiente de grado i del polimonio A al coeficiente ai . El coeficiente de grado n de un polinomio no nulo de grado n se llama coeficiente lı́der, coeficiente de grado máximo o coeficiente principal. El coeficiente de grado cero se llama término independiente. Si un polinomio tiene coeficiente lı́der igual a 1, se llama polinomio mónico La siguiente proposición describe las propiedades del grado, utilizando si hace falta el convenio siguiente: −∞ + n = −∞, (−∞) + (−∞) = −∞ y −∞ < n para todo n. 8.1.9. Proposición. Sean A, B ∈ K[X]. Entonces (1) gr (AB) = gr (A) + gr (B). 8.1. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO. 97 (2) gr (A + B) ≤ máx {gr (A), gr (B)}. (3) Si AB = 0, entonces A = 0 o B = 0 (entonces, K[X] es un dominio entero. Buscar esa definición). (4) A tiene inverso si y solo si A es de grado 0. Demostración. Ejercicio. Se deduce fácilmente de la definición de grado. Conocemos desde la educación secundaria un algoritmo para dividir polinomios, por ejemplo: X 3+ X −1 −X 3 + 32 X 5 2X 2X 2 − 3 1 2X −1 de donde X 3 + X − 1 = (2X 2 − 3)( 21 X) + ( 52 X − 1). Vamos a utilizar este algoritmo para demostrar que, al igual que en Z, en K[X] también tenemos división entera. 8.1.10. Teorema [de la división entera]. Sea K un cuerpo conmutativo y A, B ∈ K[X] dos polinomios con B 6= 0. Entonces, existen dos únicos polinomios Q, llamado cociente, y R, llamado resto, en K[X] tales que A = BQ + R y gr (R) < gr (B). Demostración. Empecemos por ver la existencia del cociente y el resto. Si gr (A) < gr (B), podemos tomar Q = 0 y R = A. Supongamos, por tanto, gr (A) ≥ gr (B) y procedamos por inducción sobre el grado de A. Si gr (A) = 0, entonces A = λ ∈ K con λ 6= 0. Como el grado de B es menor o igual que el grado de A, también es B = µ ∈ K \ {0}. Entonces, podemos tomar Q = µ−1 λ y R = 0. Por hipótesis de inducción, supongamos que el resultado a demostrar es cierto para todos los polinomios A y B con gr (A) ≥ gr (B) y gr (A) ≤ k − 1 y demostrémoslo para un polinomio de grado k. Sean A = a0 + · · · + ak X k y B = b0 + · · · + bm X m con ak , bm 6= 0 y k ≥ m ≥ 0. Recordando el algoritmo de la división, consideremos el polinomio k−m C = A − (ak b−1 )B. m X (8.1) Es claro que gr (C) < gr (A) = k, ya que el término de grado máximo de −1 k−m (ak bm X )B se cancela con el de grado máximo de A. Luego, por hipótesis de inducción, existen polinomios E y R tales que 98 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS C = BE + R y gr (R) < gr (B) (8.2) Combinando (1) y (2) se obtiene k−m A − (ak b−1 )B = BE + R m X y k−m A = (ak b−1 + E)B + R m X con gr (R) < gr (B). La unicidad la dejamos como ejercicio. 8.1.11. Corolario [Teorema del resto]. Sea K un cuerpo conmutativo, a ∈ A y A ∈ K[X] un polinomio tal que A 6= 0. El resto de la división de A entre X −a es A(a). Demostración. Inmediata. 8.1.12. Ejercicio. Efectuar las siguientes divisiones enteras: 1. X 5 − X 4 + X 3 + 4X 2 − 6X + 2 entre X 3 − 2X + 1 en Q[X]. 2. X 5 − X 4 + 2X 3 + 4X 2 − X + 1 entre 2X 2 − 3X + 2 en Z7 [X]. 8.1.13. Definición. Dados dos polinomios A, B ∈ K[X], decimos que A divide a B o que B es múltiplo de A si existe un polinomio C tal que B = AC, es decir, la división entera de B entre A da resto 0. Si A divide a B y B 6= 0, decimos que A es un divisor de B. 8.1.14. Ejemplos. 1. El polinomio X + 1 divide a X 2 − 1 en R[X]. 2. El polinomio X + 1 divide a X 2 + 1 en Z2 [X]. 3. Todo polinomio divide al polinomio 0. 4. Un polinomio de grado cero (por tanto de la forma A = λ ∈ K con λ 6= 0) divide a todos los polinomios. 8.1.15. Proposición. Sean A, B, C ∈ K[X]. (1) A | B y A | C ⇒ A | B + C (2) A | B ⇒ A | B · C (3) A | B y B | C ⇒ A | C Demostración. Igual que (7.1.7). 8.1. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO. 99 8.1.16. Proposición. Sean A, B ∈ K[X]. Entonces A | B y B | A ⇒ A = µB para algún µ ∈ K, µ 6= 0 Demostración. Tenemos A = BC y B = AD para ciertos polinomios C y D. Entonces A = ADC, es decir, A(1 − DC) = 0, y, por tanto, A = 0 o DC = 1. En el primer caso, B también es cero y se cumple que A = µB. En el segundo caso, C y D son de grado cero y también se cumple la condición deseada. 8.1.17. Definición. Dado un polinomio A ∈ K[X], a los polinomios de la forma λA para λ ∈ K, λ 6= 0 los llamaremos polinomios asociados de A. Observemos que cada polinomio tiene un único polinomio asociado mónico. 8.1.18. Definición. Dados dos polinomios A, B ∈ K[X], decimos que un polinomio D es el máximo común divisor de A y B si cumple 1. D | A y D | B. 2. Dado S ∈ K[X], si S | A y S | B, entonces S | D. 3. D es mónico En algunos textos, se llama máximo común divisor a cualquier polinomio asociado al polinomio D de la definición anterior, pues, como se verá en la siguiente proposición, verifican las condiciones 8.1.18(1 ) y 8.1.18(2 ). Denotamos el máximo cómún divisor de los polinomios A y B, al igual que en los enteros D = mcd(A, B). 8.1.19. Proposición. Sean A, B ∈ K[X]. Si D′ verifica las condiciones 8.1.18(1) y 8.1.18(2) entonces mcd(A, B) y D′ son asociados. Demostración. Sea D = mcd(A, B). De las condiciones deducimos que D | D′ y D′ | D. El máximo común divisor puede calcularse también mediante el algoritmo de Euclides, pues este se basa únicamente en la división entera. Por tanto, no repetiremos los argumentos teóricos que usamos con Z. Veamos un ejemplo. 8.1.20. Ejemplo. Para calcular el máximo común divisor de los polinomios A = X 5 − X 4 + X 3 − X 2 y B = X 3 − 2X 2 + X − 2 procedemos de la siguiente forma: X5 − X4 + X3 − X2 X 3 − 2X 2 + X − 2 = (X 2 + X + 2)(X 3 − 2X 2 + X − 2) + 4x2 + 4 1 1 = ( X − )(4X 2 + 4) + 0. 4 2 Ası́ que 4X 2 + 4 o cualquier otro de la forma µ(4X 2 + 4) con µ 6= 0 es asociado del máximo común divisor que es, en este caso, X 2 + 1. 100 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS También podemos calcular polinomios R y S tales que X 2 + 1 = A · R + B · S (identidad de Bézout). Solo tenemos que despejar en la primera ecuación del ejemplo anterior 4X 2 + 4 = A + B(−X 2 − X − 2), dividimos por 4 y obtenemos la expresión del máximo común divisor, 1 1 1 1 X 2 + 1 = A( ) + B(− X 2 − X − ). 4 4 4 2 8.1.21. Definición. Dos polinomios A, B ∈ K[X] se llaman coprimos o primos entre sı́ en caso de que mcd(A, B) = 1. Al igual que en Z tenemos los siguientes resultados: 8.1.22. Proposición. Sean A, B, C ∈ K[X]. Entonces A y B son coprimos si y solo si existen S, T ∈ K[X] tales que SA + T B = 1. Demostración. Igual que (7.1.20) 8.1.23. Proposición. Sean A, B ∈ K[X] tales que A | BC. Si A y B son coprimos, entonces A | C. Demostración. Igual que (7.1.21). 8.1.24. Proposición. Sean A, B ∈ K[X] con alguno de los dos no nulo. Si D = mcd(A, B) entonces A/D y B/D son coprimos. Demostración. Igual que (7.1.23) Vamos ahora a definir el mı́nimo común múltiplo 8.1.25. Definición. Dados dos polinomios A, B ∈ K[X], decimos que un polinomio M es el mı́nimo común múltiplo de A y B si cumple 1. A | M y B | M . 2. Dado N ∈ K[X], si A | N y B | N , entonces M | N . 3. M es mónico. Al igual que con el máximo común divisor, cualquier polinomio que cumpla las condiciones 8.1.25(1 ) y 8.1.25(2 ) será asociado al mı́nimo común múltiplo, como se mostrará más adelante. Como en el caso de los números enteros, denotamos el mı́nimo común múltiplo de A y B con mcm(A, B). 8.1.26. Proposición. Sean A, B ∈ K[X]. Si M ′ cumple las condiciones 8.1.25(1) y 8.1.25(2) entonces mcm(A, B) y M ′ son asociados. Demostración. Sea M = mcm(A, B). De las condiciones 8.1.25(1 ) y 8.1.25(2 ) deducimos que M | M ′ y M ′ | M . El mı́nimo común múltiplo puede calcularse a partir del máximo común divisor al igual que sucedı́a con los números enteros: 101 8.2. RAÍCES DE POLINOMIOS. 8.1.27. Proposición. Sean A, B ∈ K[X] dos polinomios no nulos. Entonces mcm(A, B) = µ · AB mcd(A, B) donde µ ∈ K es un escalar adecuado para obtener un polinomio mónico. Demostración. Análoga a la de (7.1.28) 8.1.28. Ejemplo. Según el ejemplo de (8.1.20) tenemos que (X 5 − X 4 + X 3 − X 2 )(X 3 − 2X 2 + X − 2) X2 + 1 es un polinomio mónico, de donde, mcm(A, B) = X 6 − 3X 5 + 3X 4 − 3X 3 + 2X 2 . El Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que todo número entero descompone como producto de primos. ¿Tenemos el resultado análogo para polinomios? El equivalente a los números primos parece fácil: son los polinomios irreducibles. Un polinomio P no nulo es irreducible si, siempre que A divida a P , el polinomio A debe ser de grado cero o de la forma µP con 0 6= µ ∈ K. Pero antes estudiemos las raı́ces de polinomios. 8.2. Raı́ces de polinomios. Como consecuencia del Teorema del resto (8.1.11), todo polinomio A = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] define una aplicación que llamaremos función polinomial, A : K → K dada por A(r) = a0 + a1 r + · · · + an rn . 8.2.1. Definición. Dado un polinomio A ∈ K[X] y un elemento r ∈ K, decimos que r es una raı́z de A en K si A(r) = 0. 8.2.2. Ejemplos. 1. Según la definición anterior, todo elemento de K es raı́z del polinomio cero. 2. r = 1/2 es raı́z del polinomio 3X 3 − 29 2 10 X − 1 10 X + 2 5 ∈ Q[X]. 3. r = 3 es raı́z del polinomio X 2 + X + 1 ∈ Z13 [X]. 4. El polinomio X 2 + X + 1 no tiene raı́ces en R. 5. r = −1 2 + √ 3 2 i es raı́z del polinomio X 2 + X + 1 ∈ C[X]. 6. Un polinomio de grado 1 es de la forma aX + b con a 6= 0 y, por tanto, tiene tiene la raı́z − ab . 102 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS 7. Escribimos el cuerpo Z2 = {0, 1}. En Z2 [X] tenemos tres polinomios (diferentes, claro) A = X + 1, B = X 2 + 1 y C = X 3 + X 2 + X + 1. Todos determinan la misma función polinomial pues A(0) = B(0) = C(0) = 1 y A(1) = B(1) = C(1) = 0. 8. Muy pronto veremos que lo anterior no es posible en K[X], si K es un cuerpo infinito. 8.2.3. Proposición. Sea A = a0 + a1 X + · · · + an X n un polinomio de grado n con coeficientes enteros. Si un número racional pq con p y q primos entre sı́ es raı́z de A, entonces p divide a a0 y q divide a an . Demostración. Si p q es raı́z de A, entonces a0 + a1 p pn + · · · + an ( n ) = 0, q q es decir, a0 q n + a1 pq n−1 + · · · + an−1 pn−1 q + an pn = 0. Luego vemos que p divide a0 q n y q divide a an pn . Como p y q son primos entre sı́, obtenemos la conclusión deseada. 8.2.4. Ejemplos. 1. Un polinomio mónico con coeficientes enteros solo puede tener raı́ces racionales enteras (además de raı́ces reales y complejas, claro). 2. Las posibles raı́ces racionales del polinomio 18X 3 + 15X 2 − 4X − 4 son 1 1 1 1 1 2 2 4 4 ±1, ±2, ±4, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± . 2 3 6 9 18 3 9 3 9 Entre estas posibilidades comprobamos que raı́ces. 1 2 y − 32 son efectivamente 8.2.5. Proposición [Ruffini]. Sea K un cuerpo y A un polinomio de K[X]. Un elemento a ∈ K es raı́z de A si y solo si X − a divide a A. Demostración. Inmediato del Teorema del resto (8.1.11) 8.2.6. Definición. Un elemento a ∈ K es una raı́z de multiplicidad s ≥ 1 de un polinomio A ∈ K[X] si (X − a)s divide a A pero (X − a)s+1 no divide a A. Decimos que a es una raiz múltiple de A si tiene multiplicidad mayor que 1. Si tiene multiplicidad 1 decimos que a es una raı́z simple. 8.2.7. Corolario. Sea K un cuerpo y A un polinomio de K[X] de grado a lo más n ≥ 1. Entonces, A tiene a lo sumo n raı́ces, contando cada raı́z tantas veces como indica su multiplicidad. 8.3. IRREDUCIBILIDAD Y TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.103 Demostración. Procedemos por inducción sobre n. Para n = 1, el polinomio A es de la forma A = aX + b y tiene solo una raı́z. Supongamos cierto el enunciado para polinomios de grado n y sea A de grado n + 1. Si A no tiene raı́ces, el enunciado es trivialmente cierto. Si, por el contrario, a es una raı́z de A, entonces A = (X − a)B con B un polinomio de grado n. Por la hipótesis de inducción, B tiene a lo sumo n raı́ces y, por tanto, A tiene a lo sumo n + 1 raı́ces. 8.2.8. Corolario. Sea K un cuerpo. 1. Si A es un polinomio de grado n ≥ 0 y existen m elementos distintos a1 , . . . , am de K tales que A(ai ) = 0 con m > n, entonces A es el polinomio cero. 2. Si A y B son polinomios de grado a lo sumo n ≥ 0 y existen m elementos distintos a1 , . . . , am de K tales que A(ai ) = B(ai ) con m > n, entonces A = B. Demostración. (1) Según el corolario anterior, el polinomio A debe tener grado menor que uno. Si A tiene grado 0 entonces A = r 6= 0, luego no tiene raı́ces. Sólo queda que A = 0. (2) En este caso A − B es un polinomio de grado a lo sumo n y con m > n raı́ces. Luego A − B = 0. 8.2.9. Corolario. Sea A = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] un polinomio de grado n que tiene n raı́ces r1 , . . . , rn (no necesariamente distintas). Entonces A = an (X − r1 ) · · · (X − rn ). Demostración. Sea B = an (X − r1 ) · · · (X − rn ). Entonces B = an X n + · · · y, por tanto, el polinomio A − B tiene grado menor o igual que n − 1 y tiene n raı́ces. Por tanto, A = B 8.3. Polinomios irreducibles en R[X] y C[X]. Teorema fundamental del álgebra. 8.3.1. Definición. Un polinomio P ∈ K[X] de grado mayor o igual que uno se dice irreducible si para toda descomposición P = QR con Q, R ∈ K[X], se tiene que, o bien el grado de Q es cero, o bien el grado de R es cero. Un polinomio que no sea irreducible se llama reducible. 8.3.2. Ejemplos. 1. Un polinomio de grado 1 es de la forma aX + b con a 6= 0 y es irreducible. En efecto, si aX + b = P Q entonces 1 = gr(P ) + gr(Q) y necesariamente P o Q es de grado cero. 104 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS 2. Si un polinomio de grado 2 no es irreducible, entonces tiene dos raı́ces en K que pueden ser dos raı́ces de multiplicidad 1 o una raı́z de multiplicidad 2. Dejamos como ejercicio la demostración. 3. Un polinomio P de grado 3 es irreducible si y solo si no tiene ninguna raı́z en K. En efecto: si P descompone debe hacerlo como producto de un polinomio de grado 1 por un polinomio de grado 2. El polinomio de grado 1 tiene una raı́z en K. 4. Si el grado de un polinomio es 5, puede que el fenómeno anterior ya no ocurra. Considérese A ∈ Z2 [X], tal que A = (X 3 + X + 1)(X 2 + X + 1) = X 5 + X 4 + 1. En este caso, A no tiene raı́ces en Z2 . 5. El polinomio X 2 − 2 no tiene raı́ces en Q, luego es irreducible en Q[X]. Sin embargo, como √ de R[X] o C[X] es reducible pues se descompone √ polinomio como (X + 2)(X − 2) 6. El polinomio P = X 4 +2X 3 +3X 2 +2X +1 no tiene raı́ces en Q (ejercicicio) pero no es irreducible en Q[X] pues P = (X 2 + X + 1)2 . 8.3.3. Teorema. Sea K un cuerpo. Todo polinomio de K[X] de grado mayor o igual que 1 factoriza como producto de polinomios irreducibles. Esta factorización es única salvo asociados y el orden de los factores. Demostración. Ejercicio. Basta reproducir la demostración del Teorema Fundamental de la Aritmética. Después de este resultado nos gustarı́a saber cómo son los polinomios irreducibles. La respuesta es fácil en el caso complejo y viene dada por el llamado Teorema Fundamental del Álgebra, cuya demostración se atribuye a C. F. Gauss aunque no por consenso. 8.3.4. Teorema [Teorema Fundamental del Álgebra]. Todo polinomio de C[X] de grado mayor que cero tiene al menos una raı́z en C. Demostración. La demostración está fuera del alcance de nuestro curso. 8.3.5. Corolario. 1. Un polinomio de C[X] es irreducible si y solo si es de grado 1. 2. Todo polinomio A de grado n ≥ 1 de C[X] factoriza como A = α(X − α1 ) · · · (X − αn ) para ciertos números complejos α, α1 , . . . , αn . Demostración. Consecuencia inmediata del teorema anterior. 8.3. IRREDUCIBILIDAD Y TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.105 8.3.6. Ejemplo. Consideremos el polinomio X 8 − 1 ∈ C[X]. Sus raı́ces son las raı́ces octavas de la unidad. A simple vista vemos que 1, −1, i y −i son raı́ces, por lo que el polinomio es divisible por (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i): X 8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X 4 + 1). Las raı́ces de (X 4 + 1) corresponderán con las raı́ces octavas primitivas de la unidad, que son: z1 = cos π4 + i sin π4 = √ 2 2 + √ 2 2 i √ √ 2 2 2 + 2 i √ √ − 22 − 22 i = z3 √ √ = 22 − 22 i = z1 . z3 = cos( π4 + π2 ) + i sin( π4 + π2 ) = − z5 = cos( π4 + π) + i sin( π4 + π) = z7 = cos( π4 + 3π 2 ) + i sin( π4 + 3π 2 ) Por tanto, la factorización de X 8 − 1 en producto de polinomios irreducibles en C[X] es X 8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i)(X − z1 )(X − z1 )(X − z3 )(X − z3 ). ¿Cómo serı́a la factorización en producto de irreducibles en R[X]? Si efectuamos el producto de las tres últimas parejas de factores en la descomposición anterior tenemos √ √ X 8 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1)(X 2 + 2X + 1)(X 2 − 2X + 1). Finalmente, la factorización en Q[X] es (X − 1)(X − 1)(X 2 + 1)(X 4 + 1). 8.3.7. Proposición. Si α = a + bi es una raı́z compleja de un polinomio A ∈ R[X], entonces su conjugado α = a − bi también es raı́z de A. Demostración. Sea A = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n . Por hipótesis, a0 + a1 α + a2 α2 + · · · + an αn = 0 y como 0 = 0 entonces a0 + a1 α + · · · + an αn = a0 + a1 α + · · · + an αn = a0 + a1 α + · · · + an α n . 8.3.8. Corolario. Sea P ∈ R[X] un polinomio irreducible. Entonces, o bien P tiene grado 1, o bien P es un polinomio de grado 2 sin raı́ces reales. Demostración. Es claro que los polinomios de grado 1 o de grado 2 sin raı́ces reales son irreducibles. Supongamos que P tiene grado mayor que 2. Queremos ver que no es irreducible. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, P tiene alguna raı́z α ∈ C. Si α ∈ R entonces P es divisible por X −α y no es irreducible. Si α 6∈ R entonces α también es raı́z y P es divisible por (X − α)(X − α). Sea α = a + bi. Entonces (X − α)(X − α) = X 2 − 2aX + (a2 + b2 ) ∈ R[X] y P no es irreducible. 106 8.4. CAPÍTULO 8. POLINOMIOS Factores múltiples. Vamos a ver un criterio que nos permite saber cuándo un polinomio tiene factores irreducibles de multiplicidad mayor que 1. 8.4.1. Definición. Sea K un cuerpo y A un polinomio de K[X]. Dado P , un polinomio irreducible de K[X], decimos que P es un factor de A de multiplicidad s ≥ 1 si P s divide a A pero P s+1 no divide a A. Decimos que P es un factor múltiple de A si s > 1. Si s = 1 decimos que P es un factor simple. 8.4.2. Definición. Dado un cuerpo K, se define la derivada formal de un polinomio A = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] como el polinomio A′ = a1 + 2a2 X + 3a3 X 2 + · · · + nan X n . 8.4.3. Observación. Es fácil ver, y se deja como ejercicio, que la derivada formal cumple las propiedades que cumple la derivada de funciones reales de variable real respecto de la suma y producto de funciones. 8.4.4. Proposición. Sea K = Q, R o C y sea P un polinomio de K[X] de grado mayor o igual que 1. El polinomio P tiene factores irreducibles múltiples en K[X] si y solo si mcd(P, P ′ ) 6= 1. Demostración. Sea Q un factor irreducible de P de multiplicidad s ≥ 1. Entonces, P = Qs R para cierto polinomio R no divisible por Q. Vamos a probar que Q es un factor irreducible de P ′ de multiplicidad s − 1. En efecto, derivando P ′ = s Qs−1 Q′ R + Qs R′ = Qs−1 (s Q′ R + QR′ ). Luego Qs−1 divide a P ′ . Supongamos que Qs | P ′ . Cancelamos Qs−1 y obtenemos que Q divide a s Q′ R + QR′ , luego Q | s Q′ R. Como Q es irreducible y no puede dividir a Q′ pues el grado de Q′ es menor que el de Q 1 , tenemos que Q divide a R, lo cual es contradictorio. Procedamos ahora a la demostración del resultado. (⇒) Sea Q un factor irreducible de P de multiplicidad s > 1. Entonces, como hemos visto, Q es un factor irreducible de P ′ de multiplicidad s − 1 ≥ 1 y, por tanto, mcd(P, P ′ ) 6= 1. (⇐) Supongamos D = mcd(P, P ′ ) con gr (D) ≥ 1. Sea Q un factor irreducible de D y supongamos que la multiplicidad de Q en P es s. Vamos a demostrar que s > 1. Hemos visto al principio que Q es un factor irreducible de P ′ con multiplicidad s − 1. Como, por hipótesis, Q divide a P ′ , vemos que s − 1 no puede ser cero, es decir, s > 1. 1 Es en este punto en el que utilizamos que K es un cuerpo numérico. Si K fuese, por ejemplo, Zp , se podrı́a dar el caso de que Q′ fuese nulo. A pesar de ello, el resultado también es cierto en Zp . 8.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES EN Q[X]. 8.5. 107 Polinomios irreducibles en Q[X]. En Q[X] no tenemos una descripción de los polinomios irreducibles parecida al caso real pero vamos a dar algunos criterios útiles y, para ello, necesitamos demostrar algunos resultados previos. 8.5.1. Definición. Dado un polinomio P con coeficientes enteros, se llama contenido de P al máximo común divisor de los coeficientes de P y se denotará por c(P ). Un polinomio P se llama primitivo si c(P ) = 1, es decir, si el máximo común divisor de sus coeficientes es 1. 8.5.2. Lema. Dado un polinomio A ∈ Q[X] existe un número p/q ∈ Q tal que A = pq A′ con A′ primitivo. Es decir, todo polinomio de Q[X] es asociado de un polinomio primitivo. Demostración. Ejercicio. 8.5.3. Ejemplo. 2 2 15 6 2 10 X + X+ = 5 3 5 15 2 6 2 10 2 X + X+ 5 3 5 = 2 (9X 2 + 25X + 5) 15 8.5.4. Notación. Dado un polinomio A = a0 + a1 X + · · · + an X n con ai ∈ Z y un número primo p, denotaremos por Â, al polinomio Â = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ Zp [X]. En ocasiones, con el fin de simplificar la notación, se omitirá la raya que indica la clase módulo p. 8.5.5. Lema. Sea p un número primo y sean P, Q dos polinomios con coeficientes enteros. (a) Si R = P + Q, entonces R̂ = P̂ + Q̂ en Zp [X]. (b) Si R = P Q, entonces R̂ = P̂ Q̂ en Zp [X]. Demostración. Ejercicio. 8.5.6. Proposición [Lema de Gauss]. Sean A y B dos polinomios con coeficientes enteros. Entonces c(AB) = c(A)c(B). Demostración. Veamos primero que el producto de polinomios primitivos es primitivo. Procederemos por reducción al absurdo. Supongamos pues que c(A) = c(B) = 1, pero que c(AB) 6= 0. Sea C = AB. Entonces existe un número primo p tal que p | c(C) y por tanto, en Zp [X] se tiene que 0 = Ĉ = ÂB̂. Luego Â = 0 o bien B̂ = 0, ası́ que p | c(A) o bien p | c(B), lo cual es absurdo. En general, hacemos A = c(A)A′ y B = c(B)B ′ con A′ y B ′ primitivos. Entonces AB = c(A)c(B)A′ B ′ . Dado que A′ B ′ es primitivo, es claro que c(AB) = c(A)c(B). 108 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS 8.5.7. Proposición. Sea A un polinomio con coeficientes enteros. Si A factoriza como producto de dos polinomios de grado mayor que cero en Q[X], entonces A factoriza como producto de dos polinomios de grado mayor que cero con coeficientes enteros. Demostración. Supongamos que A = P Q con P, Q ∈ Q[X] de grado mayor que cero. Por (8.5.2), A = rA′ , P = (a/b)P ′ y Q = (c/d)Q′ con a, b, c, d, r ∈ Z y P ′ , Q′ , A′ primitivos (con coeficientes enteros). Entonces rbd A′ = ac P ′ Q′ y por el lema de Gauss rbd = ac, es decir, (a/b)(c/d) = r. En consecuencia A = (rP ′ )Q′ y A es producto de dos polinomios de grado mayor que cero con coeficientes enteros. 8.5.8. Proposición [Criterio de reducción]. Sea P un polinomio con coeficientes enteros y sea p un número primo que no divide al coeficiente lı́der de P . Entonces, si P̂ es irreducible en Zp [X], P es irreducible en Q[X]. Demostración. Primero nótese que, como p no divide al coeficiente lı́der de P se tiene que grP = grP̂ . Supongamos que P se factoriza, digamos P = BC. Por el resultado anterior, podemos suponer que B y C son polinomios con coeficientes enteros, y por otra parte grP = grB + grC. Como P̂ = B̂ Ĉ entonces grB̂ + grĈ = grP̂ = grP , luego grB̂ = grB y grC = grĈ. Como P̂ es irreducible, uno de los sumandos debe de ser 0. 8.5.9. Ejemplo. Consideremos el polinomio P = 2 3 8 2 X + 2X 2 + X + . 3 3 3 P irreducible en Q[X] si y solo si lo es el polinomio 3 P = X 3 + 3X 2 + 4X + 1. 2 Este último módulo 2 es (no ponemos rayitas) X 3 + X 2 + 1 que es irreducible en Z2 [X] pues es de grado 3 y no tiene raı́ces. Luego el criterio anterior nos asegura que P es irreducible en Q[X]. 8.5.10. Proposición [Criterio de irreducibilidad de Eisenstein]. Sea P = a0 + a1 X + · · · + an X n un polinomio con coeficientes enteros de grado n ≥ 1. Supongamos que existe un número primo p tal que p | aj con j = 0, . . . , n − 1, pero p ∤ an y p2 ∤ a0 . Entonces, P es irreducible en Q[X]. Demostración. Usando (8.5.7), supongamos que P = BC con B, C dos polinomios de grado mayor que cero y coeficientes enteros. En concreto, pongamos B = b0 + b1 X + · · · + bu X u y C = c0 + c1 X + · · · + cv X v . En Zp [X] tenemos que P̂ = an X n , un monomio y por (8.3.3) tendrá que ocurrir que B̂ = bs X s y 8.5. POLINOMIOS IRREDUCIBLES EN Q[X]. 109 Ĉ = ct X t con s, t ≥ 1; es decir, que también se obtengan monomios. En particular, p divide a b0 y c0 y, por tanto, p2 divide a a0 = b0 c0 , lo cual contradice las hipótesis. 8.5.11. Ejemplos. 1. El polinomio 2X 4 + 6X 3 − 15X 2 + 6 es irreducible en Q[X] por el criterio anterior con el primo p = 3. 2. Sea p un número primo. El polinomio X n + p es irreducible en Q[X] por el criterio de Eisenstein. Por tanto, en Q[X] hay polinomios irreducibles de cualquier grado. 8.5.12. Proposición [Criterio de sustitución]. Sea K un cuerpo conmutativo y P un polinomio de K[X]. El polinomio P (X) es irreducible si y solo si P (X − a) con a ∈ K es irreducible, con a ∈ X. Demostración. Ejercicio. 8.5.13. Ejemplos. 1. Si en el polinomio X 4 − 6X 3 + 12X 2 − 10X + 5 sustituimos X por X +1 se obtiene el polinomio X 4 −2X 3 +2 que es irreducible por el criterio de Eisenstein. 2. Sea p un número primo y consideremos el polinomio X p − 1. Factorizamos por X − 1 y obtenemos X p − 1 = (X − 1)(X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1). Φp = X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1 se denomina el p-ésimo polinomio ciclotómico y vamos a ver que es irreducible en Q[X]. Para ello, sustituyamos X por X + 1 y desarrollemos por el binomio de Newton p p (X + 1)p − 1 = X p + X p−1 + · · · + X. 1 p−1 Por tanto, (X + 1)p − 1 Φp (X + 1) = = X p−1 + (X + 1) − 1 p 1 X p−2 + ···+ p p−1 . p Dado que los números combinatorios con 1 ≤ k ≤ p − 1 son k divisibles por p (¿por qué?) podemos aplicar el criterio de Eisenstein para obtener la conclusión deseada. 110 CAPÍTULO 8. POLINOMIOS Apéndice A A.1. La función sucesor El siguiente ejercicio nos muestra que la definición de sucesor es consistente. A.1.1. Ejercicio. Sea n un cardinal. Probar que si |A| = |B| entonces |A ∪ {x}| = |B ∪ {y}|, con x 6∈ A e y 6∈ B. Vamos a justificar las afirmaciones hechas en (5.1.12). A.1.2. Proposición. Si A es un conjunto finito y x 6∈ A entonces A ∪ {x} también es finito. Demostración. Sea B = A ∪ {x} y supongamos que B es infinito. Entonces existe B ′ ( B, junto con una biyección f : B → B ′ . i f Si B ′ ⊂ A entonces componemos A ֒→ B −−→ B ′ , donde i : A → B es la inclusión natural. Se tiene que |A| = |Im(f ◦ i)| y por tanto A es infinito, lo cual es imposible. Si ocurre que B ′ * A entonces ha de ocurrir que x ∈ B ′ y existe a ∈ A \ B ′ . Hacemos C = (B ′ \ {x}) ∪ {a}. Claramente |C| = |B ′ | y aplicamos a C el caso anterior. Ahora, podemos definir una aplicación σ : N → N tal que σ(n) = n∗ . Vamos a ver que es inyectiva. Supongamos que n y m son cardinales tales que n∗ = m∗ . Queremos probar que n = m. Sean A y B representantes de n y m, respectivamente. Por hipótesis, existen x 6∈ A e y 6∈ B, junto con una aplicación f : A∪{x} → B ∪{y}, biyectiva. Queremos construir una biyección g : A → B. Para ello, vamos a considerar dos casos. Primero, si f (x) = y, definimos g(a) = f (a), para todo a ∈ A. Es obvio que g es biyectiva. Segundo caso: f (x) 6= y. Sean ay ∈ A tal que f (ay ) = y y bx ∈ B tal que f (x) = bx . Es claro que x 6= ay e y 6= bx . Entonces definimos g(a) = ( f (a) bx que también claramente es una biyección. 111 si a 6= ax si a = ay 112 A.2. APÉNDICE A. APÉNDICE Operaciones en N Vamos a ver algunas demostraciones de las propiedades de las operaciones definidas en (5.1.24 y 5.1.26). Recordemos la definción de suma. Para n ∈ N, definimos 1. n + 1 = n∗ . 2. Si tenemos definida n + m entonces n + m∗ = (n + m)∗ . Lo anterior viene a decir que n + (m + 1) = (n + m) + 1. Probaremos algunas de las siguientes propiedades, donde ya escribiremos n + 1 en vez de n∗ . Propiedades de la suma en N. 1. (n + 1) + m = n + (m + 1) 2. n + m = m + n (conmutatividad). 3. (n + m) + r = n + (m + r) (asociatividad). 4. Si a + c = b + c entonces a = b (cancelación). Demostración. 1. Fijado n ∈ N, procederemos por inducción sobre m. Para m = 1 se tiene, por definición, (n + 1) + 1 = n + (1 + 1). Supongamos válido que (n + 1) + m = n + (m + 1). Para m + 1, usando la definición y la hipótesis de inducción hacemos (n + 1) + (m + 1) = ((n + 1) + m) + 1 = (n + (m + 1)) + 1 = n + ((m + 1) + 1). 2. Fijado n, procederemos por inducción sobre m. Primero tenemos que probar que n + 1 = 1 + n. Para este primer paso de inducción, ya procederemos por inducción. Para n = 1, es claro que 1 + 1 = 1 + 1. Supongamos válido que n + 1 = 1 + n. Ahora, por hipótesis de inducción y por definición, (n + 1) + 1 = (1 + n) + 1 = 1 + (n + 1). Esto prueba el primer paso de la inducción. Supongamos que n + m = m + n. Ahora, por la definición y la Propiedad 1, n + (m + 1) = (n + m) + 1 = (m + n) + 1 = m + (n + 1) = (m + 1) + n. 3. Procederemos por inducción sobre r. Para r = 1, (n+m)+1 = n+(m+1), por la definición. Supongamos válido que (n+m)+r = n+(m+r). Ahora, por la definición y por la hipótesis de inducción, (n + m) + (r + 1) = ((n + m) + r) + 1 = (n + (m + r)) + 1 = n + ((m + r) + 1) = n + (m + (r + 1)). 4. Procedemos por inducción sobre c. Para cualesquiera a, b ∈ N y c = 1, nótese que a + 1 = b + 1 implica a∗ = b∗ y esto a su vez implica que a = b porque la función sucesor es inyectiva. Supongamos válido que a + c = b + c implica a = b, para todo a, b ∈ N. Ahora a + (c + 1) = b + (c + 1) implica (a + c) + 1 = (b + c) + 1 y por el caso c = 1, se tiene a + c = b + c. Finalmente por hipótesis de inducción se tiene que a = b. También se pueden consultar en [10, pp. 56-59], por ejemplo. Recordemos la definición de producto en N. Para n, m ∈ N, definimos 1. n · 1 = n. A.2. OPERACIONES EN N 113 2. Si tenemos definido n · m entonces n · (m + 1) = n · m + n. Propiedades del producto. 1. (n + 1)m = nm + m. 2. nm = mn (conmutatividad). 3. n(m + k) = nm + nk (distributividad). 4. n(mk) = (nm)k (asociatividad). Demostración. 1. Procederemos por inducción sobre m. Para m = 1, (n+1)·1 = n+1 = n·1+1. Supongamos válido (n+1)m = nm+m. Ahora, por la definición, por hipótesis de inducción y por las propiedades de la suma, (n + 1)(m + 1) = (n+1)m+(n+1) = (nm+m)+(n+1) = nm+n+(m+1) = n(m+1)+(m+1). 2. Primero probaremos que 1 · m = m, por inducción. Para m = 1 es obvio. Supongamso válido que 1 · m = m. Ahora 1 · (m + 1) = 1 · m + 1 = m + 1. Ahora, fijado m, procedemos por inducción sobre n. Para n = 1 ya tenemos que 1 · m = m. Supongamos válido que nm = mn. Ahora (n + 1)m = nm + m = mn + m = m(n + 1). 3. Fijamos m, k ∈ N. Para n = 1 viene de la definición y la conmutatividad. Supongamos válido n(m + k) = nm + nk. Ahora (n + 1)(m + k) = n(m + k) + m + k = nm + nk + m + k = nm + m + nk + k = (n + 1)m + (n + 1)k. 4. Fijamos m, k. Para n = 1 es obvio. Supongamos válido n(mk) = (nm)k. Ahora, por definición, conmutatividad y distributividad, (n+1)(mk) = n(mk)+ mk = (nm)k + mk = (nm + m)k = ((n + 1)m)k. Puede verse en [10, pp. 59-61] 114 APÉNDICE A. APÉNDICE Bibliografı́a [1] M. Alsina, C. Busqué, E. Ventura, Problemes d’Álgebra, UAB, Barcelona, 1990. [2] R. Antoine, R. Camps, J. Moncasi, Introducció a l’álgebra abstracta, UAB, Barcelona, 2007. [3] T. S. Blyth y E. F. Robertson, Algebra Through Practice, Book 1, Cambridge UP, Cambridge, 1984. [4] H. Cárdenas, E. Lluis, F. Raggi y F. Tomás, Álgebra Superior, Ed. Trillas, México, 1979. [5] M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente y M. Rodrı́guez, Álgebra y Fundamentos, Ariel, Barcelona, 2000. [6] P. R. Halmos, Naive Set Theory, Van Nostrand, Nueva York, 1960. Hay edición en español de CECSA, México, 1976. [7] I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2nd, ed., Wiley, Nueva York, 1975. [8] A. del Rı́o, J. J. Simón, A. del Valle, Álgebra Básica, U. Murcia-Diego Marı́n, Murcia, 2000. [9] R. L. Vaught, Set Theory. An Introduction, Birkhäuser, Boston, 1985. [10] F. Zaldı́var, Fundamentos de Álgebra, FCE-U. Metropolitana, México, 2005. 115

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