Clase Auxiliar #3 Conos Polar, Tangente y Normal, Condiciones

FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA57B Optimización No Lineal. Semestre 2007-1
Profesor: Héctor Ramı́rez C. Auxiliar: Oscar Peredo.
Clase Auxiliar #3
Conos Polar, Tangente y Normal, Condiciones Necesarias de Optimalidad
30 de Marzo del 2007
Definición (Cono Polar Negativo). Sea C ⊂ Rn . Se llama cono polar negativo de C al conjunto
C − = {d ∈ Rn : dT x ≤ 0, ∀x ∈ C}
Definición (Cono Polar Negativo). Sea C ⊂ Rn . Se llama cono polar positivo de C al conjunto
C + = {d ∈ Rn : dT x ≥ 0, ∀x ∈ C}
Notar que C + = −C − .
Definición (Cono de Direcciones Factibles). Sea C ⊂ Rn y x ∈ C. Se llama cono de direcciones factibles de C en
x al conjunto
FC (x) = {d ∈ Rn : ∃δ > 0, x + λd ∈ C, ∀λ ∈ (0, δ), d 6= 0}
Definición (Cono Normal). Sea C convexo y x ∈ C. Se llama cono normal a x ∈ C al conjunto
NC (x) = {d ∈ Rn : dT (x − x) ≤ 0, ∀x ∈ C}
Definición (Cono Tangente). Sea C convexo y x ∈ C. Se llama cono tangente a x ∈ C al conjunto
TC (x) = {d ∈ Rn : ∃(xk ) ⊂ Rn , xk → d, ∃(λk ) ∈ R+ , λk > 0, λk → 0, tal que x + λk xk ∈ C, ∀k}
Proposición. :
1. NC (x) es cerrado convexo y contiene al cero.
2. NC (x) = TC− (x)
3. x ∈ int(C) =⇒ NC (x) = Rn
4. Sea x ∈ C1 ∩ C2 . Entonces NC1 (x) + NC2 (x) ⊂ NC1 ∩C2 (x).
5. NC1 ×C2 (x1 , x2 ) = NC1 (x1 ) × NC2 (x2 )
6. NC1 +C2 (x1 + x2 ) = NC1 (x1 ) ∩ NC2 (x2 )
Demostración. :
/ NC (x), es decir, ∃K tal que dk ∈
/ NC (x), ∀k ≥ K, lo cual
1. Sea (dk ) ⊂ NC (x) tal que dk → d. Supongamos d ∈
es una contradicción. Luego NC (x) es cerrado.
Sean d1 , d2 ∈ NC (x), λ ∈ [0, 1]. Se tiene que:
(λd1 + (1 − λ)d2 )T (x − x)
= λdT1 (x − x) + (1 − λ)dT2 (x − x)
≥ 0
Luego NC (x) es convexo.
Claramente 0 ∈ NC (x), pues 0T (x − x) ≥ 0.
2. Sea d ∈ TC (x)− , es decir, ∀p ∈ TC (x), dT p ≤ 0. Como p ∈ TC (x) = cl(FC (x)), están incluı́das las direcciones
factibles de la forma x − x, x ∈ C, pues C es convexo, luego dT (x − x) ≤ 0, ∀x ∈ C, es decir, x ∈ NC (x).
Sea d ∈
/ TC (x)− , es decir, ∃p ∈ TC (x), dT p > 0. Sabemos que p ∈ TC (x) = cl(FC (x)), luego, si p ∈ FC (x), es
de la forma x − x con x ∈ C, y se tendrı́a dT (x − x) > 0, lo cual indica d ∈
/ NC (x). Ahora, si p ∈ ∂FC (x),
existe una sucesión (pk ) ∈ FC (x) tal que pk → p, luego, 0 < dT p = lı́mk dT pk , es decir, ∃K tal que ∀k ≥ K,
dT pk > 0 y como pk se puede escribir como xk − x con xk ∈ C, se cumple d ∈
/ NC (x).
1
3. Como x ∈ int(C), se tiene FC (x) = Rn , luego, cl(FC (x)) = Rn , y por lo tanto, TC (x) = Rn . Como (Rn )− = Rn ,
se tiene TC (x)− = Rn . El resultado se tiene por el punto anterior.
4. Propuesto.
5. Propuesto.
6. Propuesto.
Proposición. Las condiciones necesarias de primer orden son equivalentes a cada una de las siguientes afirmaciones:
1. ∇f (x)T d ≥ 0, ∀d ∈ TC (x)
2. −∇f (x) ∈ NC (x)
Demostración. Ya se vió en cátedra la equivalencia con el punto (1). Veamos la equivalencia con el punto (2).
Supongamos x es óptimo local. Por propiedad (2) de la proposición anterior, NC (x) = TC (x)− , luego, si la condición
no se cumple, existe p ∈ TC (x) tal que −∇f (x)T p > 0 o equivalentemente ∇f (x)T p < 0. Como cl(FC (x)) = TC (x),
existen sucesiones (xk ) ∈ Rn y (λk ) tales que xk → p, λk → 0 y x + λk xk ∈ C para todo k.
Como sabemos que
f (x + λk xk ) − f (x) − ∇f (x)t (λk xk )
lı́m
=0
k→∞
kλk xk k
se tiene que existe un K tal que ∀k ≥ K, ∇f (x)t (λk xk ) < 0 (o equivalentemente −∇f (x)t (λk xk ) > 0), luego
necesariamente f (x + λk xk ) − f (x) < 0 a partir de un K̃ grande. Esto último contradice la óptimalidad local de x.
Proposición. Sea C convexo cerrado. Entonces NC (x) = C − ∩ {x}⊥ = {z ∈ C − : z ⊥ x}
Demostración. Sea d ∈ Rn tal que dT x = 0 y dT x ≤ 0, ∀x ∈ C. Restando, se obtiene dT (x − x) ≤ 0, ∀x ∈ C.
La otra implicancia queda propuesta.
Podemos aplicar lo anterior al siguiente tipo de problemas:
mı́n {f (x) : xi ≥ 0, i = 1, ..., n}
x∈Rn
El conjunto C es igual a Rn+ , luego
(CN P O) ⇐⇒
−∇f (x) ∈ NRn+ (x) ∧ x ∈ Rn+
⇐⇒
−∇f (x) ∈ (Rn+ )− ∩ {x}⊥ ∧ x ∈ Rn+
⇐⇒
−∇f (x) ∈ Rn− ∩ {x}⊥ ∧ x ∈ Rn+
⇐⇒
−∇f (x) ∈ Rn− ∧ −∇f (x)T x = 0 ∧ x ∈ Rn+
⇐⇒
∇f (x) ∈ Rn+ ∧ ∇f (x)T x = 0 ∧ x ∈ Rn+
Luego,
(CN P O) ⇐⇒


x≥0
∇f (x) ≥ 0

∇f (x)T x = 0
Problema 1. Encuentre un óptimo global del siguiente problema:
mı́n {x21 + 2x1 x2 + 2x22 − x1 : x1 , x2 ≥ 0}
x∈R2
Solución 1. Veamos la convexidad:
2x1 + 2x2 − 1
2x1 + 4x2
2 2
2
∇ f (x) =
0
2 4
∇f (x) =
Luego es estrictamente convexa. Si encontramos un mı́nimo, será único.
Las condiciones necesarias de primer ordenson equivalentes a:

x1 , x2 ≥ 0




 2x1 + 2x2 − 1 ≥ 0
2x1 + 4x2 ≥ 0
(CN P O) ⇐⇒


(2x
+ 2x2 − 1)x1 = 0

1


(2x1 + 4x2 )x2 = 0
2
Tenemos que:
2x1 + 4x2
=
2(x1 + x2 ) + 2x2
1
≥ 2 + 2x2
2
≥ 1 + 2x2
> 1
Luego x2 = 0 y x1 > 0. Finalmente 2x1 − 1 = 0 y x1 = 1/2.
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