2.7 Combinación de funciones

214
CAPÍTULO 2 Funciones
2.7
Combinación de funciones
En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir
nuevas.
Sumas, diferencias, productos y cocientes
La suma de f y g se define mediante
1f
g2 1x2 5 f 1x2
Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f g, f ! g,
fg y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y divide
números reales. Por ejemplo, se define la función f g por
g1x 2
El nombre de la nueva función es
“f g.” Por lo tanto, este signo
representa la operación de adición de
funciones. El signo del lado derecho,
sin embargo, representa la suma de los
números f 1x 2 y g1x2 .
1f
g2 1x2 5 f 1x2
g1x2
La nueva función f
g se llama suma de las funciones f y g; su valor en x es
f 1x2
g1x 2 . Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si f1x2 y g1x2
están definidas, es decir, si x pertenece al dominio de f y también al dominio de g.
Así, si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f g es
la intersección de estos dominios, es decir, A B. De manera similar, se puede definir la diferencia f ! g, el producto fg, y el cociente f/g de las funciones f y g.
Sus dominios son A B, pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir
entre cero.
Álgebra de funciones
Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones f
f ! g, fg y f/g se definen como sigue.
1f
g2 1x2 5 f 1x 2
g1x 2
1f ! g2 1x 2 5 f 1x 2 ! g1x2
1fg2 1x2 5 f1x2 g1x 2
f1x 2
f
a b 1x2 5
g
g1x2
Ejemplo 1
Dominio A
B
Dominio A
B
Dominio A
B
g,
Dominio 5x ! A " B 0 g1x2 " 06
Combinaciones de funciones y sus dominios
Sean f 1x2 5
1
y g1x2 5 1x.
x!2
a) Encuentre las funciones f g, f ! g, fg y f/g y sus dominios.
b) Encuentre 1f
g2 142 , 1f ! g2 142 , 1fg2 142 y 1f/g2 142 .
Solución
a) El dominio de f es 5x 0 x " 26 y el dominio de g es 5x 0 x # 06. La intersección
de los dominios de f y g es
5x 0 x # 0 and
y x " 26 5 3 0, 22 # 12, q 2
SECCIÓN 2.7 Combinación de funciones
215
Así, se tiene
1f
1/1x ! 22
1x
5
g2 1x2 5 f1x 2
y x # 26
Dominio 5 x 0 x $ 0 and
1
1x
x!2
1
1f ! g2 1x2 5 f1x 2 ! g1x2 5
! 1x
x!2
1x
1fg2 1x2 5 f1x 2g1x2 5
x!2
f1x 2
f
1
a b 1x2 5
5
g
g1x 2
1x ! 22 1x
Para dividir fracciones, invierta el
denominador y multiplique:
1/1x ! 2 2
1x/1
1 # 1
5
x ! 2 1x
1
5
1x ! 2 2 1x
g1x2 5
y x # 26
Dominio 5 x 0 x $ 0 and
y x # 26
Dominio 5 x 0 x $ 0 and
y x # 26
Dominio 5 x 0 x " 0 and
Hay que observar que en el dominio de f/g se excluye 0 porque g10 2 5 0.
b) Cada uno de estos valores existe porque x 5 4 está en el dominio de cada función.
1f
g 2 142 5 f142
g142 5
1f ! g2 142 5 f142 ! g142 5
1fg2 142 5 f142 g142 5 a
1
4!2
14 5
5
2
1
3
! 14 5 !
4!2
2
1
b 14 5 1
4!2
f 142
f
1
1
5
a b 142 5
5
g
g142
4
14 ! 2 2 14
■
La gráfica de la función f g se puede obtener de las gráficas de f y g mediante
adición gráfica. Esto significa que se suman las coordenadas y correspondientes,
como se ilustra en el ejemplo siguiente.
y
y=˝
Ejemplo 2
Uso de la adición gráfica
Las gráficas de f y g se muestran en la figura 1. Use la suma gráfica para trazar la
función f g.
y=Ï
x
Solución Se obtiene la gráfica de f g al “sumar gráficamente” el valor de
f 1x2 a g1x 2 como se muestra en la figura 2. Esto se pone en práctica al copiar el
segmento de recta PQ en la parte superior PR para obtener el punto S sobre la
gráfica de f g.
y
y=( f+g)(x)
Figura 1
y=˝
S
f (x)
R
g(x)
y=Ï
Q
Figura 2
Suma gráfica
f (x)
P
x
■
216
CAPÍTULO 2 Funciones
Composición de funciones
Ahora, considérese una forma muy importante de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Suponga que f1x2 5 1x y g1x 2 5 x 2 1. Se puede definir
una función h como
h1x2 5 f 1g1x 22 5 f 1x 2
1 2 5 2x 2
1
La función h está compuesta de las funciones f y g de una manera interesante: dado
un número x, se aplica primero a la función g, luego se aplica f al resultado. En este
caso, f es la regla “sacar la raíz cuadrada”, g es la regla “elevar al cuadrado” después
sumar 1”, y h es la regla “elevar al cuadrado, a continuación sumar 1, luego sacar la
raíz cuadrada”. En otras palabras, se obtiene la regla h al aplicar la regla g y luego
la regla f. En la figura 3 se muestra un diagrama de máquina para h.
g
x
Entrada
x+1
f
œ +
Salida
Figura 3
La máquina h está compuesta de la máquina g (primero) y después la máquina f.
En general, dadas dos funciones cualesquiera f y g, comience con un número x
en el dominio de g y encuentre su imagen g1x 2 . Si este número g1x2 está en el dominio de f, se puede calcular entonces el valor de f 1g1x22 . El resultado es una nueva
función h1x2 5 f 1g1x22 obtenida al sustituir g en f. Se llama la composición (o compuesta) de f y g y se denota mediante f g (“f compuesta con g”).
Composición de funciones
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f g (denominada también
la composición de f y g) está definida por
1f g2 1x 2 5 f1g1x22
El dominio de f g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g1x2
está en el dominio de f. En otras palabras 1f g2 1x2 se define siempre que g1x2 y
f1g1x 22 estén definidas. Se puede ilustrar f g por medio de un diagrama de flecha
(figura 4).
f$g
g
x
f
g(x)
Figura 4
Diagrama de flechas para f g
fÓ˝Ô
SECCIÓN 2.7 Composición de funciones
Ejemplo 3
217
Determine la composición de funciones
Sea f1x 2 5 x and
y g1x2 5 x ! 3.
a) Encuentre las funciones f g y g f y sus dominios.
b) Halle 1f g2 15 2 y 1g f2 172 .
2
Solución
En el ejemplo 3, f es la regla “elevar
al cuadrado” y g es la regla “restar 3”.
La función f g primero resta 3 y
después eleva al cuadrado; la función
g f primero eleva al cuadrado y luego
resta 3.
a) Se tiene
1f g2 1x2 5 f1g1x22
Definición de f g
5 f1x ! 32
Definición de g
5 1x ! 32 2
Definición de f
1g f 2 1x2 5 g1f1x 22
y
Definición de g f
5 g1x 2 2
Definición de f
5 x2 ! 3
Definición de g
Los dominios de f g y g f son !.
b) Se tiene
1f g2 15 2 5 f1g15 22 5 f122 5 22 5 4
1g f2 17 2 5 g1f 17 22 5 g1492 5 49 ! 3 5 46
■
Del ejemplo 3 se puede ver que, en general, f g g f. Recuerde que la notación f g significa que la función g se aplica primero y después f.
Ejemplo 4
Determine la composición de funciones
Si f 1x2 5 1x y g1x2 5 12 ! x, encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
a) f g
b) g f
c) f f
d) g g
Solución
a)
1f g2 1x2 5 f1g1x22
Definición de f g
5 f 1 12 ! x2
Definición de g
5 312 ! x
Definición de f
4
51
2!x
El dominio de f g es 5x 0 2 ! x " 06 5 5x 0 x # 26 5 1!q, 2 4 .
b)
1g f 2 1x 2 5 g1f1x22
Definición de g f
5 g1 1x2
Definición de f
5 32 ! 1x
Definición de g
SECCIÓN 2.7 Composición de funciones
219
Entonces
1f g2 1x2 5 f 1g1x 22
5 f 1x
5 1x
4
Definición de f g
92
Definición de g
9
Definición de f
5 F1x2
Ejemplo 7
■
Una aplicación de la composición
de funciones
Un barco está viajando a 20 millas/h paralela a una ribera recta. El barco está a
5 millas de la orilla. Pasa un faro a mediodía.
tiempo 5 mediodía
5 mi
a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la
distancia que ha recorrido el barco desde mediodía; es decir, encuentre f de
modo que s 5 f1d2 .
d
s
b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde mediodía; es
decir, encuentre g tal que d 5 g1t2 .
c) Encuentre f g. ¿Qué representa esta función?
Solución Primero se traza un diagrama como en la figura 5.
a) Se pueden relacionar las distancias s y d mediante el teorema de Pitágoras. Así, s
puede ser expresada como una función de d por
tiempo 5 t
Figura 5
s 5 f1d2 5 225
distancia 5 velocidad " tiempo
d2
b) Puesto que la nave está viajando a 20 millas/h, la distancia d que ha recorrido
es una función de t como sigue:
d 5 g1t2 5 20t
c) Se tiene
1f g2 1t 2 5 f 1g1t 22
5 f 120t 2
Definición de f g
Definición de g
120t 2
5 225
2
Definición de f
La función f g da la distancia del barco desde el faro como una función del
tiempo.
2.7
1–6
■
Ejercicios
Encuentre f
1. f 1x 2 5 x ! 3,
2. f 1x 2 5 x 2
g, f ! g, fg y f/g y sus dominios.
g1x2 5 x 2
2x,
3. f 1x 2 5 24 ! x 2,
g1x 2 5 3x 2 ! 1
4. f 1x 2 5 29 ! x 2,
2
5. f 1x 2 5 ,
x
g1x2 5
g1x2 5 11
7–10
x
g1x2 5 2x 2 ! 4
4
x
4
6. f 1x 2 5
■
2
x
1
,
g1x 2 5
x
x
1
Encuentre el dominio de la función.
7. f 1x 2 5 1x
11 ! x
9. h1x 2 5 1x ! 3 2 !1/4
8. g1x 2 5 1x
10. k1x2 5
1!
1x 3
x!1
1
x
■
CAPÍTULO 2 Funciones
220
11–12
f g.
■
11.
y
Use la adición gráfica para bosquejar la gráfica de
23. f 1g1222
24. g1f 1022
25. 1g f2 14 2
26. 1f g2 10 2
27. 1g g2 1!2 2
28. 1f f 2 14 2
g
29–40 ■ Encuentre las funciones, f g, g f, f f y g g y sus
dominios.
f
0
x
29. f 1x 2 5 2x
30. f 1x 2 5 6x ! 5,
12.
g1x2 5 4x ! 1
x
2
g1x 2 5
y
f
g
0
x
13. f 1x2 5 11
14. f 1x2 5 x 2,
15. f 1x2 5 x 2,
x,
g en una pantalla
g1x2 5 11 ! x
g1x 2 5 13 x 3
x
g1x 2 5 1 !
B
9
2
17–22 ■ Use f 1x 2 5 3x ! 5 y g1x2 5 2 ! x 2 para evaluar la
expresión.
17. a) f 1g10 22
b) g1f 10 22
18. a) f 1f 14 22
b) g1g13 22
19. a) 1f g2 1!22
b) 1g f 2 1!2 2
20. a) 1f f2 1!1 2
21. a) 1f g2 1x 2
■
32. f 1x 2 5 x 3
2,
34. f 1x 2 5 x 2,
g1x2 5 0 x
37. f 1x 2 5
x
g1x2 5 2x ! 1
38. f 1x 2 5
1
,
1x
x
3
39. f 1x 2 5 1
x,
2
40. f 1x 2 5 ,
x
■
1
,
40
g1x 2 5 x 2 ! 4x
4
x
g1x 2 5 1
g1x2 5
x
2
x
Encuentre f g h.
1
42. f 1x 2 5 ,
x
43. f 1x 2 5 x 4
44. f 1x 2 5 1x,
f
3
36. f 1x 2 5 x ! 4,
41. f 1x2 5 x ! 1,
g
4
g1x 2 5 2x
b) 1g g 2 1x 2
y
3
g1x 2 5 1x
g1x 2 5 1x ! 3
41–44
Use las gráficas de f y g para evaluar la expresión.
1
g1x2 5 2x
b) 1g g 2 12 2
b) 1g f 2 1x2
22. a) 1f f 2 1x 2
g1x2 5 x
35. f 1x 2 5 0 x 0 ,
g1x 2 5 1x
4
16. f 1x2 5 11 ! x,
31. f 1x2 5 x 2,
1
33. f 1x 2 5 ,
x
13–16 ■ Dibuje las gráficas de f, g y f
común para ilustrar la suma gráfica.
23–28
3,
g1x2 5 1x, h1x2 5 x ! 1
g1x2 5 x 3, h1x2 5 x 2
1,
2
g1x 2 5 x ! 5, h1x2 5 1x
g1x 2 5
x
3
, h1x2 5 1
x
x!1
2
45–50
0
2
x
■
Exprese la función en la forma f g.
45. F1x 2 5 1x ! 92 5
46. F1x 2 5 1x
1