Optimización de Funciones con restricciones.

Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas
Apunte Nº 172
CENTRO DE CAPACITACION
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES CON RESTRICCIONES
DE IGUALDAD
(El tema está aplicado al caso particular de una
función de 4 variables y dos restricciones).
Si se desea optimizar
f ( x , y , z , w) sujeta a dos restricciones g 1 ( x , y , z , w) = 0 ; g 2 ( x , y , z , w) = 0
Primer paso: armar el lagrangeano
L( x , y , z , w,λ1λ 2 ) = f ( x , y , z , w) + λ1 .g 1 ( x , y , z , w) + λ 2 .g 2 ( x , y , z , w )
Condición de primer orden (condición necesaria)
∂L
=0
∂x
∂L
=0
∂y
∂L
=0
∂z
∂L
=0
∂w
∂L
=0
∂λ1
∂L
=0
∂λ2
Condición de segundo orden (condición suficiente).
•
Primer método (Hessiano, forma libre)
H1
H2
H3
H4
H1
H2
H3
H4
•
Lxx
Lxy
Lxz
Lxw
Lxy
L yy
Lyz
Lyw
Lxz
Lyz
Lzz
Lzw
Lxw
L yw
Lzw
Lww
Se calculan
todos estos
determinantes
Definida
Positiva
Semi-definida
Positiva
Definida
Negativa
>0
>0
>0
>0
>0
>0
>0
=0
<0
>0
<0
>0
Semidefinida
Negativa
<0
>0
<0
=0
Indefinida
Otras
opciones
Segundo méodo (diferencial de segundo orden)
Se realiza el planteo matricial del diferencial de segundo orden. Y a la matriz resultante se la
aplica el mismo análisis de signos de determinantes que en el primer método.
Av. Santa Fe 2206 – Piso 2º - Capital Federal C1123AAR - Argentina
Horario de atención: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sábado de 9:00 a 21:00 hs.
Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Líneas Rotativas)
Web: www.delfosweb.com.ar
E-mail: [email protected]
Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas
Apunte Nº 172
CENTRO DE CAPACITACION
 Lxx

L
(dx dy dz dw). xy
L
 xz
L
 xw
Lxy
Lyy
Lyz
Lyw
Lxz
Lyz
Lzz
Lzw
Lxw   dx 
 
Lyw   dy 
.
Lzw   dz 
 
Lww   dw 
Es necesario establecer qué relaciones cumplen los diferenciales entre sí. Las mismas se
obtienen calculando los diferenciales totales de las restricciones. Es decir
dg = g 'x .dx + g ' y .dy + g 'z .dz + g 'w .dw = 0 ; tanto para g1 como para g2.
Para ser mas claros veamos un ejemplo. Supongamos que de calcular ambos diferenciales
queda que:
4.dx + 2.dy − dz = 0  dz = 4.dx + 2.dy
⇒
2.dx + 6.dy + dw = 0 dw = −2.dx − 2.dy
Podemos entonces expresar un vector genérico de los diferenciales en cuestión:
(dx
dy dz dw) = (dx dy 4.dx + 2.dy − 2.dx − 2.dy )
= dx.(1 0 4 − 2) + dy.(0 1 2 − 2)
Con lo cual se arma la siguiente matriz de coeficientes:
1 0 4 − 2


0 1 2 − 2
Y finalmente ingresamos estas condiciones a la expresión matricial del diferencial de segundo
orden planteado al inicio.
 Lxx

 1 0 4 − 2   Lxy

.
0
1
2
−
2

  Lxz
L
 xw
Lxy
Lyy
Lyz
Lyw
Lxz
Lyz
Lzz
Lzw
Lxw   1
0 


Lyw   0
1 
.
Lzw   4
2 


Lww   − 2 − 2 
De aquí surge una matriz de 2x2 a la cual se le aplica el mismo criterio de signos que en el
primer método.
• Tercer método ( Hessiano Orlado)
Se definen dos parámetros:
n= cantidad de variables de la función f(x,y,z,w)
m=cantidad de restricciones
Se calcularán “n-m” determinantes del Hessiano Orlado; en este caso el valor de n es
4, y el valor de m es 2. De esta forma se deberán calcular (4-2=2) determinantes.
Av. Santa Fe 2206 – Piso 2º - Capital Federal C1123AAR - Argentina
Horario de atención: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sábado de 9:00 a 21:00 hs.
Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Líneas Rotativas)
Web: www.delfosweb.com.ar
E-mail: [email protected]
Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas
Apunte Nº 172
H5
H6
0
0
g1x
g1x
g1x
g1x
CENTRO DE CAPACITACION
0
0
g 2x
g 2x
g 2x
g 2x
g1x
g 2x
Lxx
Lxy
Lxz
Lxw
g1x
g2x
Lxy
Lyy
L yz
Lyw
g1x
g2x
Lxz
Lyz
Lzz
Lzw
g1x
g 2x
Lxw
Lyw
Lzw
Lww
Se calculan
todos estos dos
determinantes
Para que sea Definida Positva:
Se debe verificar que el primer determinante calculado tenga el signo correspondiente a la
m
siguiente operación: (-1) .
Y también se pide que los restantes determinantes (en este caso H6 únicamente) mantengan el
mismo signo.
Ojo: si alguno vale cero, será Semi Definida Positiva.
Para que sea Definida Negativa:
Se debe verificar que el primer determinante calculado tenga el signo correspondiente a la
m+1
siguiente operación: (-1) .
Y también se pide que los restantes determinantes (en este caso H6 únicamente) vayan
cambiando de signo alternativamente.
Ojo: si alguno vale cero, será Semi Definida Negativa.
Entonces, para este caso, teniendo en cuenta que n=2:
m
Signo de(-1) : +
H5
H6
Definida
Positiva
>0
>0
Signo de (-1)
m+1
Semi-definida
Positiva
>0
=0
=0
>0
:Definida
Negativa
<0
>0
Semi-definida
Negativa
<0
=0
=0
>0
Para toda otra opción será Indefinida.
• Tercer método ( Similar al cálculo de autovalores)
0
0
g1x
g1x
g1x
g1x
0
0
g 2x
g 2x
g 2x
g 2x
g1x
g 2x
(Lxx − µ )
Lxy
Lxz
Lxw
g1x
g 2x
Lxy
(Lyy − µ )
L yz
Lyw
g1x
g 2x
Lxz
Lyz
(Lzz − µ )
Lzw
g1x
g 2x
Lxw
L yw
Lzw
(Lww − µ )
Av. Santa Fe 2206 – Piso 2º - Capital Federal C1123AAR - Argentina
Horario de atención: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sábado de 9:00 a 21:00 hs.
Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Líneas Rotativas)
Web: www.delfosweb.com.ar
E-mail: [email protected]
Secundarios - CBC - Universitarios - Informática - Idiomas
Apunte Nº 172
CENTRO DE CAPACITACION
Se calcula el determinante de esta matriz (quedará en función de
característico” al cual se le calculan las raices.
µ ). Quedará un “polinomio
El criterio a emplear es el siguiente:
Y se aplica el siguiente criterio para
determinar la concavidad. Aplicado
todos los valores de µ i .
para
µi > 0
Definida Positiva
µi ≥ 0
Semidefinida Positiva
µi < 0
Definida Negativa
µi ≤ 0
Semidefinida Negativa
µi = 0
Indefinida
Av. Santa Fe 2206 – Piso 2º - Capital Federal C1123AAR - Argentina
Horario de atención: Lunes a Viernes de 8:30 a 23:00 hs. / Sábado de 9:00 a 21:00 hs.
Tel/Fax.: 4823-9334 / 4821-3353 (Líneas Rotativas)
Web: www.delfosweb.com.ar
E-mail: [email protected]