EDP_EO_2

MMII_L3_c2: Dominios de dependencia y de influencia.
Problema no homogéneo: Principio de Duhamel.
Guión de la clase 2: Esta lección es una continuación de la primera, seguimos
con el Problema de Cauchy de la ecuación de ondas. La parte mas novedosa es el
Principio de Duhamel (PD) para resolver el problema no homogéneo (existencia de
fuerzas externas), que es de aplicación no solo para el problema anterior, sino que lo
generalizaremos para ecuaciones definidas por operadores regulares de Sturm-Lioville.
La referencia de consulta para esta parte es el libro “Partial Differential Equations” de
Erich Zauderer.
La clase se inicia tratando de generalizar la propiedad de que la solución permanece
constante a lo largo de la PCC, propia del caso f diferente de cero y g = 0, al caso con g
diferente de cero y f = 0.
Sigue con los importantes conceptos de dominio de dependencia y de influencia, la
clase finaliza con el PD y su concreción al caso de la ecuación de ondas que nos ocupa.
Libros de consulta de esta clase, aparte del ya mencionado, son los de “Ecuaciones
Diferenciales en Derivadas Parciales” de H.F. Weinberger, y el libro “Ecuaciones en
Derivadas Parciales” de Richard Habermann.
utt
c 2u xx
F
u ( x, 0) f
Ejercicio recomendado: ut ( x, 0) g
c 1, F 1, f
0
x
0,1
1
x
0,1
;g
1
x
0,1
0
x
0,1
_______________
1
Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a
clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran
posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.
Notas de la clase MMII_L3_c2
Un ejemplo con g
utt
Ej1-L3_c2:
0 para completar la clase anterior,
c 2 uxx
c 1, f
0, x
, t
0
0, x 0
1, x 0
0, g
Utilizando el concepto de función integral podemos pasar a un problema donde
la solución permanezca constante a lo largo de la PCC, similar al caso con anterior,
0,
0
1
G( )
g ( s)ds
1
1
,
0
2c M
20
2
, donde M es un número suficiente grande, dependiente de la ecuación. Con esta
función, la solución del PCH de arriba es:
u G( x t ) G( x t )
La interpretación es similar al caso anterior, salvo que ahora una de las ondas está
desfasada y tiene un signo menos delante.
u
u
la solución en t = t1
G(x + t1)
G(x + t)
G(x + t)G(
x+t
)
x= t1
x
x
x=-t1
- G(x – t1)
- G(x – t)
- G(x - t)
- G(x - t)
Por lo que representando la solución u(x, t1) es:
u
x
Otra forma de calcular la solución es directamente utilizando la FD’A:
x t
u
1
g ( s )ds
2x t
t
u2
u1
0
x
t
2
u3
t
x
Dominio de dependencia de la solución
La solución en el punto M de coordenadas (xM,tM)
x
+
dependerá como veremos de
t
los puntos P, Q: (xM-ctM,0) P, (xM+ctM,0) Q.
M
x+ct=cte
x-ct=cte
x
P
Q
Los puntos P y Q se pueden interpretar como los puntos causa y el punto M el
punto efecto. Se pueden estudiar tres casos:
f 0, g=0: la solución es u = f(x+ct) + f(x-ct), el dominio de dependencia es
(DD(PCH)) = {P,Q}. De forma didáctica diremos que la solución en M
f ( P)
2
sólo depende de los valores f(P) y f(Q): u ( M )
f (Q)
2
x ct
f=0, g 0: la solución es u
1
2c x
g ( s )ds , el DD(PCH) = int PQ , el
ct
interior del segmento PQ. La solución en M se puede expresar de la forma
Q
siguiente: u ( M )
1
g ( s )ds
2c P
f 0, g 0: la solución incluye los dos términos anteriores, y el
DD(PCH)= PQ , el segmento PQ, incluidos los dos puntos extremos, y
u(M) se puede expresar: u ( M )
f ( P)
2
f (Q)
2
Q
1
g ( s)ds
2c P
Dominio de influencia: Toma el punto de vista opuesto al caso anterior, ahora nos
centramos en el punto causa de coordenadas (xo,0); y buscamos los puntos efecto, donde
llega su influencia, pudiéndose presentar los mismos tres casos que en el apartado
t
anterior.
x+ct=x0
x-ct=x0
xo
x
f 0, g=0 : el dominio de influencia DI((xo,O))={x ct =xo }, que son las dos
semirrectas de la figura.
f=0, g 0: DI((xo,0)) = cono abierto de vértice el punto (xo,0) y generatrices las
dos semirrectas x ct =xo.
f 0, g 0: DI((xo,0)) = cono cerrado de vértice el punto (xo,0) y generatrices las
dos semirrectas x ct =xo , incluidas las dos semirrectas.
Ecuación de ondas no homogénea
Nos ocuparemos del estudio del PCH(EO1D) no homogéneo, definido por la
ecuación no homogénea con condiciones iniciales homogéneas:
utt c 2uxx
F ( x, t ), x
, t
B1u u ( x, 0) 0, B2u ut ( x, o) 0
Principio de Duhamel (PD).
El PD lo consideraremos en un contexto más general que el problema no
homogéneo de la ecuación de ondas. Veamos su aplicación para las ecuaciones
hiperbólicas definidas mediante el operador L, que utiliza en su parte espacial el
denominado operador regular de Sturm-Liouville (SL):
PCH(PD): Lu
siendo LSLu
( x) utt
LSLu
n
F ( x, t ) x D
, t
0,
( p( x) u ) q( x)u .
La condición de regularidad de LSL es:
,q
C0 , p
C1 , p
0,
0, q
0;
mientras que las condiciones iniciales del PCH(PD) son las ya indicadas en PCH(EO1D).
( x) 1, p
En el caso particular que los datos verifiquen:
cte=c 2 , q
0 y n 1 , la
ecuación resultante, es la ecuación de ondas unidimensional, que nos ocupa:
utt
x
( p ( x)
u
) q( x)u
x
0
utt
d 2 du
(c
)
dx
dx
0
El PD se basa en la definición de un modelo auxiliar (MA) homogéneo, que se
puede resolver por la FD’A, su solución conducirá a la solución del PCH(PD).
Este MA se obtiene mediante un cambio de origen de la variable temporal,
consideremos el cambio de variable independiente (CVI) t
vendrá definido por la variable dependiente: v( x, t
vtt
LSL v
0,
x
0, x D
F ( x, )
vt ( x, 0; )
, x
( x)
D, t
v( x, 0; )
D
,
; )
t
0 . Este MA
, que es un PCH homogéneo con condiciones iniciales como las indicadas.
Conocida su solución, podremos conocer la solución del PCH(PD) mediante la
t
expresión: u
v ( x, t
; )d .
0
Comprobaremos que dicha expresión cumple las condiciones del PCH(PD):
t
ut
v( x, 0, )
t
vt ( x, t
; )d
utt
vt ( x, t t ; )
0
vtt d
,
por
la
0
t
linealidad de los operadores: LSL u
t
LSL v
0
LSL vd , sustituyendo este resultado en la
0
ecuación original, se obtendrá:
t
F ( x, )
t
vtt d
0
t
LSL v d
F
(
0
vtt
LSL v)d
0
, siendo este último término nulo por ser “v” solución del MA.
Falta por comprobar que cumple las condiciones iniciales:
0
u ( x, 0)
0
v
0 ;
ut ( x, 0)
v( x, 0, )
vt
0
0
0
La solución del PCH(PD) no homogéneo se reduce a resolver el PCH(MA) que es
un problema homogéneo; en el caso particular de la EO1D, el MA para aplicar el PD es,
vtt c 2 vxx
0,
x D, t
,
v( x, t t; ) 0, x D
vt ( x, t t; ) F ( x, ), x D
La FD’A da como solución:
v
x c (t
)
c (t
)
1
2c x
F ( s, )ds
La solución del PCH(EO1D) no homogéneo es:
t x c (t
u ( x, t )
1
2c 0
)
F ( s, ) ds d
x c (t
)
De esta forma, el PCH(EO1D) completo definido por:
Lu F
B1u f
B2u
g
Aplicando el principio de superposición, tiene como solución:
1
( f ( x ct )
2
u ( x, t )
x ct
1
2c
f ( x ct ))
t x c (t
)
x c (t
)
1
2c 0
g ( s )ds
x ct
F (s, ) ds d
La solución se puede interpretar:
t
M(x,t)
t=
P
x1
x2
x
Q
El Teorema de Fubini entiende la solución u1 como el área rayada de la gráfica;
los puntos P y Q son la causa, y el punto M el efecto: u ( M )
1
2c
F.
PMQ
Véase que x1 y x2 vienen definidos por: x1 ( x2 )
utt
Ej2_L3_c2:
ex
uxx
B1u
B2 u
x ( )c(t
).
t
0
1. Aplicando el PD:
t x (t
1
20x
u
)
t
e s dsd
(t
)
1
(e x
20
t
ex
t 2
1
t ex
2
)d
t
1 x
e
2
1 x
e
2
t
t
2. Otra forma sería aplicando los métodos operacionales:
L
Dt 2
F
ex
1
1
Dx 2
t
L( 1 ,
1
)
2
1
2
1
1
Probaremos soluciones de la forma
tenemos problemas pues L( 1 ,
1
)
e x t , pero como
0 , es decir, ex
En este caso, probamos soluciones de la forma:
up
1
x e x t , siendo L
2
2 D ya que L
D2
t
x ex
1
L( 1 ,
1
)
Ker L .
t
D2 .
1
L ( 1,
1
)
1
2
,
Otro tipo de solución sería
t ex
t
1
L ( 1,
1
)
1
2
u3
1
t e x t , en este
2
caso, se está viendo que la solución no es única, pero el teorema de existencia y
unicidad afirma que, si existe solución, ésta es única, pensar en la explicación.