Integral de Línea de un Campo Vectorial Gradiente

1.6. Integral de línea de un Campo Vectorial Gradiente.
Definición. Sea la función escalar f definida
por f : D ⊆ ℜn → ℜ , una función
continuamente diferenciable, y sea la curva C, una curva parcialmente suave definida
paramétricamente por h : [ a, b ] → ℜn / h ( t ) = ( h1 ( t ) , h2 ( t ) ," , hn ( t ) ) , cuyos extremos
son h ( a ) = X 1 y h ( b ) = X 2 , entonces se cumple que
∫
C
∇f ⋅ dr = f ( X 2 ) − f ( X 1 ) = f ( h ( b ) ) − f ( h ( a ) )
Se observa en esta definición que la integral de línea de un campo gradiente, no va a
depender de la trayectoria recorrida, sino exclusivamente de los extremos de la misma.
Demostración. Sea la curva suave o parcialemente suave C definida paramétricamente
por h : [ a, b ] → ℜn / h ( t ) = ( h1 ( t ) , h2 ( t ) ," , hn ( t ) ) , la integral de línea para el campo
vectorial gradiente ∇f , viene dado por
∫
C
d
( h ( t ) ) dt
dt
b  ∂f ∂f ∂f   dx dy dz 
= ∫  , ,  ⋅  , ,  dt
a ∂x ∂y ∂z

  dt dt dt 
b
∇f ⋅ dr = ∫ ∇f ⋅
a
b  ∂f dx
∂f dy ∂f dz 
=∫ 
+
+
 dt
a ∂x dt
∂y dt ∂z dt 

b df
=∫
dt
a dt
=  f ( h ( t ) ) 
b
a
Que es lo que se quería demostrar.
Además, si se cumplen las hipótesis enunciadas en esta propiedad, entonces se cumple
que la integral de línea de una trayectoria cerrada es igual a cero, esto es
v∫ ∇f ⋅ dr = 0
C
EJEMPLO 36. Sea la trayectoria definida por h : ℜ → ℜ3 / h ( t ) = ( t 3 , cos (π t ) , 0 ) ,
calcule
∫
C
2 yxdx + x 2 dy .
Solución. Se observa que el campo vectorial f ( x, y, z ) = ( 2 xy, x 2 , 0 ) , es el gradiente de
la función F ( x, y, z ) = x 2 y , es decir, f ( x, y, z ) = ∇F ( x, y, z ) de manera que
I = ∫ 2 xydx + x 2 dy
C
= ∫ f ( x, y, z ) ⋅ dr
C
= ∫ ∇F ( x, y, z ) ⋅ dr
C
= F ( h (1) ) − F ( h ( 0 ) )
= (1) cos (π ) − ( 0 ) cos ( 0 )
= −1
1.6.1. Campo vectorial conservativo y sus propiedades.
Definición. Sea F un campo vectorial, se dice que F es un campo vectorial conservativo
si es el gradiente de una función escalar f, es decir si
F ( x, y , z ) = ∇f ( x, y , z )
Si F es un campo vectorial conservativo, entonces la función f, es una función
potencial del campo F.
Propiedades.
1) Si F es una campo vectorial conservativo, entonces para cualquier curva orientada
cerrada y simple C,
v∫ F ⋅ dr = 0 .
C
2) Si F es una campo vectorial conservativo, entonces para dos curvas orientadas
simples cualesquiera, C1 y C2, que tengan los mismos extremos
∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr .
C1
3) Si F es un campo vectorial conservativo, entonces ∇ × F = 0 .
C2
EJEMPLO 37. Determine si el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 3x 2 y + 2, x 3 + 4 y 3 ) , es o
no conservativo.
Solución. Si el campo F ( x, y, z ) es un campo vectorial conservativo, implica que es te
campo el gradiente de una función potencial escalar
f ( x, y, z ) , es decir,
∇f ( x, y, z ) = F ( x, y, z ) , de manera que se pueden plantear las siguiente ecuaciones
∂f
= 3x 2 y + 2
∂x
∂f
= x3 + 4 y 3
∂y
( Ec.1)
( Ec. 2 )
Al integrar la primera de estas ecuaciones con respecto a la variable x, y considerando la
variable y como una constante, se obtiene la siguiente expresión
f ( x, y ) = ∫ ( 3 x 2 y + 2 ) dx = x3 y + 2 x + h ( y )
( Ec. 3)
En donde, en el resultado de la integral indefinida se tiene una función arbitraria h ( y ) ,
en vez de una constante de integración arbitraria C. Ahora derivando la expresión de
f ( x, y ) con respecto a la variable y, se obtiene la siguiente expresión
∂f
= x3 + h ' ( y )
∂y
Al igualar esta ecuación con (Ec. 2), se tiene que 4 y 3 = h ' ( y ) , de tal manera que la
integrara a h ' ( y ) con respecto a y, se obtienen
h ( y ) = ∫ 4 y 3 dy = y 4 + C
Y al sustituir en (Ec. 3) esta ecuación, se obtiene la función potencial f que viene dada
por
f ( x, y ) = x 3 y + 2 x + y 4 + C
( Ec. 3)
Si se desea determinar una función potencial f, cuyo campo vectorial gradiente esta
definido por F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) , se plantean las siguientes
ecuaciones
∂f
= F1 ( x, y, z )
∂x
∂f
= F2 ( x, y, z )
∂y
∂f
= F3 ( x, y, z )
∂x
Al aplicar la integración indefinida a la primera de estas ecuaciones, se obtiene la
expresión
f ( x, y, z ) = ∫ F1 ( x, y, z ) dx + p ( y, z )
En donde, en el resultado de la integral indefinida se tiene una función arbitraria
p ( y, z ) . De manera análoga se integran las otras ecuaciones y se obtiene las siguientes
igualdades
f ( x, y, z ) = ∫ F2 ( x, y, z ) dy + q ( x, z )
f ( x, y, z ) = ∫ F3 ( x, y, z ) dz + r ( x, y )
En las que igualmente las funciones q ( x, z ) y r ( x, y ) , son funciones arbitrarias que
deben ser determinadas. Para calcular la función potencial f , se deben encontrar las
funciones arbitrarias p ( y, z ) , q ( x, z ) y r ( x, y ) , de tal manera que las tres ecuaciones
que fueron obtenidas para la función f ( x, y, z ) sean coincidentes en sus segundos
miembros.
EJEMPLO 38. Determine la función potencial cuyo campo vectorial gradiente viene
dado por F ( x, y, z ) = ( y 2 cos ( x ) + z 3 , 4 + 2 ysen ( x ) ,3 xz 2 + 2 ) .
Solución. Para determinar la función potencial f, cuyo campo vectorial gradiente esta
dado por F ( x, y, z ) = ( y 2 cos ( x ) + z 3 , 4 − 2 ysen ( x ) ,3 xz 2 + 2 ) , se plantean las siguientes
ecuaciones
∂f
= y 2 cos ( x ) + z 3
∂x
∂f
= 4 + 2 ysen ( x )
∂y
∂f
= 3 xz 2 + 2
∂x
Al aplicar la integración indefinida a la primera de estas ecuaciones, se obtiene la
siguiente expresión
f ( x, y, z ) = ∫ ( y 2 cos ( x ) + z 3 ) dx = y 2 sen ( x ) + z 3 x + p ( y, z )
En donde, en el resultado de la integral indefinida se tiene una función arbitraria
p ( y, z ) , en vez de una constante de integración C. De manera análoga se integran las
otras ecuaciones y se obtiene las siguientes igualdades
f ( x, y, z ) = ∫ ( 4 + 2 ysen ( x ) ) dy = 4 y + y 2 sen ( x ) + q ( x, z )
f ( x, y, z ) = ∫ ( 3xz 2 + 2 ) dz = xz 3 + 2 z + r ( x, y )
En don de se puede identificar por observación que p ( y, z ) = 4 y + 2 z , q ( x, z ) = xz 3 , y
r ( x, y ) = y 2 sen ( x ) , De tal manera que las tres ecuaciones que fueron obtenidas para la
función f ( x, y, z ) son coincidentes en sus segundos miembros, y está definida por la
expresión
f ( x, y, z ) = 4 y + y 2 sen ( x ) + xz 3 + 2 z
EJEMPLO 39. Sea la trayectoria definida por f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( t , t 2 , t 3 ) , t ∈ [ 0, 2] ,
calcule
∫
C
zdx + zdy + ( x + y ) dz .
Solución. Como se puede observar el campo vectorial H ( x, y, z ) = ( z , z , x + y ) es el
gradiente del campo escalar h ( x, y, z ) = z ( x + y ) , por lo que el campo H es un campo
conservativo, la integral de línea se puede calcular de la siguiente manera
h ( x , y , z ) = ∇H ( x , y , z )
∫
C
H ⋅ dr = ∫ ∇h ⋅ dr
C
= h ( f (b )) − h ( f ( a ))
= t 3 ( t + t 2 ) 
2
0
= 48
Como H es un campo vectorial gradiente, la integral no depende de la trayectoria
recorrida sino de la ubicación de los puntos extremos de la curva C.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.6.
1) Determine si el campo vectorial H ( x, y, z ) = ( y 2 + 2 xy, x 2 + 2 xy ) , es o no
conservativo.
2) Sea la trayectoria definida por
calcule
∫
C
f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( 4t , cos (π t ) , t 2 ) , t ∈ [ −1,1] ,
e − z dx + 2 ydy + xe− z dz .
3) Sea la trayectoria definida por f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( t ,1 − t ,3 − t ) , t ∈ [ 0,3] , calcule
∫ ( z + y ) dx + ( x + z ) dy + ( x + y ) dz .
C
 π
4) Sea la trayectoria definida por f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( cos t , sent , t ) , t ∈  0,  , calcule
 3
∫ ( yz + 1) dx + ( xz + 1) dy + ( xy + 1) dz .
C
5) Evaluar la integral de línea
∫ 2 xyzdx + x zdy + x
2
2
ydz donde C es una curva simple
C
orientada positivamente que conecta al punto (1,1,1) con el punto (1, 2, 4 ) .
1.6.2. Independencia de la Trayectoria.
Si existen dos curvas C1 y C2 , suaves o parcialmente suaves, que tienen en común el
inicio y fin de sus trayectorias, se establece, en general, que
∫ F ⋅ dr ≠ ∫ F ⋅ dr , pero si
C1
C2
la función F es un campo vectorial conservativo, entonces se cumple que
∫ ∇f ⋅ dr = ∫ ∇f ⋅ dr , siempre que
C1
∇f sea un campo continuo en el dominio D al cual
C2
pertenece la curva C. Esto significa que el valor de la integral de línea de un campo
vectorial conservativo depende solamente del punto inicial y del punto final de una
curva, y no de la trayectoria recorrida por ésta.
Definición. Si F es un campo vectorial continuo en un dominio D, donde la curva C
esta incluida, se dice que la integral de línea
∫ F ⋅ dr
es independiente de la trayectoria,
C
si se cumple que
∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr ,
C1
para cualesquiera dos trayectorias C1 y C1
C2
contenidas en D que tengan los mismos puntos inicial y final.