Sistemas numéricos

CAPITULO Nº1
SISTEMAS NUMÉRICOS
1. Introducción.
La necesidad del hombre de representar cantidades lo ha llevado a inventar
símbolos que las representen. Se entiende por número a una expresión formada por un
símbolo o una secuencia de símbolos que representan una cantidad.
Se entiende por sistema numérico a los símbolos y al conjunto de reglas que se
aplican sobre ellos para realizar la representación de una cantidad.
El sistema numérico más simple que se puede pensar es el que asocia la cantidad
unitaria con un símbolo. La regla de generación de otras cantidades es un símbolo por
elemento a contar.
El sistema anterior tiene evidentes problemas cuando se desea representar
cantidades grandes. Por ello, se comenzó a utilizarse un conjunto finito de símbolos que
equivalen a una cantidad determinada, y a través de la combinación de ellos, siguiendo una
regla específica, se representan las otras cantidades.
Los egipcios utilizaban para representar cantidades un sistema similar al decimal,
donde asignaban un símbolo gráfico a las potencias de 10 desde el 1 al 1.000.000. Los siete
símbolos empleados eran los siguientes:
1
10
100
1.000
10.000 100.000
1.000.000
Una característica del sistema egipcio de numeración es ser de base 10 y además
ser aditivo. De esta forma, el número 42 se escribía usando cuatro diez y dos unos.
El anterior es el método más básico, que resulta cómodo para expresar cantidades
pequeñas. En el caso de cantidades grandes, los símbolos iguales se juntaban de la
siguiente forma:
Uno de los sistemas numéricos más conocidos en occidente es el sistema romano,
en el cual existen ciertas cantidades que se representan por símbolos preestablecidos, a
saber:
Decimal
Romano
1
I
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
1000
M
Las restantes cantidades se forman mediante una combinación de los anteriores
siguiendo las siguientes reglas:
•
Si una letra va seguida de otra de igual o menor valor se suman sus valores:
II = 1 + 1 = 2
III = 1 + 1 + 1
VIII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8
XVI = 10 + 5 + 1 = 16
LXXVII = 50 + 10 + 10 + 5 + 1 +1 = 77
•
Las letras V, L y D no se repiten.
•
Las letras I, X , C y M se repiten máximo hasta tres veces seguidas.
•
Si una letra va precedida inmediatamente de otra de menor valor, se le esta ese
valor:
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 –10 = 40
CD = 1000-100 = 900
•
Las letras V, L y D no se anteponen a otra de mayor valor. La letra I solo debe
anteponerse a V y X. La letra X solo se antepone a L y C.
•
Si una letra está colocada después de una de mayor valor y antes de otra también
de mayor valor que ella, se resta de esta última.
MXC = 1000 + (100-10)
Una característica importante de este sistema es que los símbolos o dígitos tienen un
valor fijo, independiente de la posición que tengan en el número.
2. Sistemas con notación posicional.
Al contrario del sistema griego y romano, en que el dígito o símbolo siempre tiene
el mismo valor, independiente de la posición que ocupe en el número, en los sistemas con
notación posicional la ubicación si tiene relevancia. Es decir, el símbolo adquiere un valor
distinto dependiendo de la posición en que este se encuentre.
En estos sistemas, el número se construye mediante una sumatoria de los dígitos
ponderados por una potencia de la base.
Nb = an-1*bn-1+ an-2*bn-2+ ... + a0*b0+a-1*b-1+ a-2*b-2+ ... + a-m*b-m
Nb =
n -1
∑a
k = -m
k
* bk
Donde:
Nb
b
ai
n
m
: Número en sistema numérico de base b.
: Base del sistema numérico.
: Coeficiente de la potencia de la base (0 ≤ ai ≤ b –1)
: Número de dígitos enteros.
: Número de dígitos decimales
Ejemplos :
3485610 es: 3 *104 + 4 * 103 + 8 *102 + 5 * 101 + 6 *100
34856,2410 es: 3 *104 + 4 *103 + 8 * 102 + 5 * 101 + 6 *100 + 2 * 10 –1 + 4 *10 -2
La cifra más significativa o dígito más significativo (MSD) es el que tiene la
ponderación más alta (MSD) y se encuentra más a la izquierda.
El dígito menos significativo (LSD) es la que tiene es la tiene la ponderación más
baja y se encuentra más a la derecha.
Ejemplo de distintos sistemas de notación posicional
Base 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Base 2
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
11010
11011
Base 3
0
1
2
10
11
12
20
21
22
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
1000
Base 4
0
1
2
3
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
100
101
102
103
110
111
112
113
120
121
122
123
Base 8
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
24
25
26
27
30
31
32
33
Base 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
Base 17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
G
10
11
12
12
14
15
16
17
18
19
1A
Observaciones
•
•
•
•
•
Un sistema en base b necesita una cantidad de b símbolos básicos diferentes.
Los símbolos de un sistema de base b se encuentran entre 0,1, ... , b-1.
La base de un sistema siempre se representa con 10
Las potencias de la base son potencias de 10, es decir: 10, 100, 1000, etc.
En sistemas de base mayor a 10 se utilizan como símbolos las letras A, B, C, ... ,Z.
3. Transformaciones entre sistemas.
3.1 Conversión de base X a base 10.
Método evaluación del polinomio.
Para convertir un número de base cualquiera a base 10 se evalúa el polinomio que
genera el número, realizando las operaciones en base 10. Si el sistema tiene base mayor a
10, previo a la evaluación del polinomio se convierten los símbolos en su equivalente a
base 10.
•
Ejemplos:
334 = 3 * 41+3 * 40 = 1510
1B17 = 1 * 171 + B * 170 = 1 * 171 + 11 * 170 = 2810
Método de los productos sucesivos.
Este método se deriva de una forma distinta de evaluar el polinomio y es aplicable
sólo a números enteros.
n -1
Nb = ∑ a i * bi = a n -1b n -1 + a n - 2 b n - 2 + a n - 3b n - 3 + ... + a 2 b 2 + a1b1 + a 0 b0
i =0
= (a n -1b n - 2 + a n - 2 b n - 3 + a n - 3b n - 4 + ... + a 2 b + a1 )b + a 0
= ((a n -1b n - 3 + a n - 2 b n - 4 + a n - 3b n -5 + ... + a 2 )b + a1 )b + a 0
= ((...((( a n -1b + a n - 2 )b + a n - 3 )b + a n - 4 )b + ... + a 2 )b + a1 )b + a 0
•
Ejemplo: Transformar 2103 a base 10
2*3 + 1 = 7
7*3 + 0 = 21
2103 = 2110
3.2 Conversión de base 10 a base X.
Método para números enteros: Divisiones sucesivas.
1.
2.
3.
4.
Se realizan divisiones enteras sucesivas en las cuales el divisor es la base.
Primer dividendo es el número en base 10.
Siguientes dividendos son los cuocientes de las divisiones enteras.
Los dígitos del número en base X están formados por los restos de las divisiones
enteras.
5. Dígito menos significativo del número en base X corresponde al primer resto.
6. Dígito más significativo corresponde al último cuociente.
7. Termina la división hasta que el cuociente sea menor que la base.
•
Algoritmo
1:
2:
3:
4:
.
.
i:
N10
: base = cuociente(1), resto(1)
cuociente(1): base = cuociente(2), resto(2)
cuociente(3): base = cuociente(3), resto(3)
cuociente(i) : base = cuociente(i), resto(i)
Condición de Termino del ciclo: cuociente(i) < base
Número en base X: cuociente(i) resto(i) resto(i-1) ... resto(2) resto(1)
•
Ejemplo: 2610 a base 2
26 : 2 = 13 , 0
13 : 2 = 6 , 1
6 :2=3 ,0
3 :2=1 ,1
2610 = 110102
•
Ejemplo: 4710 a base 5
47 : 5 = 9, 2
9 : 5 = 1, 4
4710 = 1425
Método para números fraccionarios.
Para convertir un número fraccionario de base 10 a base X se debe utilizar el
siguiente método.
•
•
•
•
Se multiplica el número fraccionario decimal por la base X.
La parte entera del número resultante corresponde a la primera cifra decimal del
número en la base X.
Se realizan sucesivas multiplicaciones por la base X considerando las partes decimales
de las multiplicaciones.
Los enteros de los productos obtenidos corresponden a los decimales del número en
base X.
Ejemplo: 0,47610 a base 3
0,476 * 3 = 1,428
0,428 * 3 = 1,284
0,284 * 3 = 0,852
0,852 * 3 = 2,556
0,556 * 3 = 1,668
0,668 * 3 = 2,004
0,004 * 3 = 0,012
a-1 = 1
a-2 = 1
a-3 = 0
a-4 = 2
a-5 = 1
a-6 = 2
a-7 = 0
0,1
0,11
0,110
0,1102
0,11021
0,110212
0,1102120
Respecto del número de decimales que debe tener el número en la nueva base se
debe considerar la siguiente expresión:
10-nd10 = b-ndx
donde
nd10 : Número de decimales del número en base 10.
b
: Nueva base del número.
ndx : Número de decimales del número en base b.
4. Algebra en distintos sistemas.
4.1 Algebra en sistema binario.
a) Suma binaria.
La suma se realiza tomando consideración la siguiente tabla:
+
0
1
0
0
1
1
1
10
Ejemplo:
1
1
1100100 1
+1 0 1 0 1 0 1 0
10111001 1
b) Resta binaria.
0
1
0
R
0
1
1
P
0
0
R
1
0
P
1
0
R: Resultado.
P: Préstamo.
Ejemplo
0 10
0 10
1 0 1 1 1 0 0 1 1
- 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0 0 1
c) Multiplicación binaria.
Se realiza de la misma forma que la multiplicación decimal pero considerando la
siguiente tabla de multiplicar binaria.
*
0
1
•
0
0
0
Ejemplo de multiplicación decimal
2
4
0 0
+ 2 1 5
2 1 9
•
1
0
1
1
3
0
3
5*1 0 2
0
0
=> 215 * (100 + 00 + 2)
Ejemplo de multiplicación binaria
1
1
0 0
+ 1 0 1
1 1 1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1*1 0 1
1
1
d) División Binaria.
Se realiza de la misma forma que la división decimal pero tomando en cuenta las
tablas de multiplicar en binario.
•
Ejemplo de división decimal
3
- 3
0
-
•
8` 1`
0
8 1
7 5
0 6
- 6
0
0` : 1 5 = 2 5 4
0
0
0
Ejemplo de división en binario
Dec
Bin
-
0
0
1
1
1 1 1` 0`
1 0 1
0 1 0 0
1 0
0 0 1
1
0
-
2
10
3
11
4
100
5
101
0` 1` 1` : 1 0 1 = 1 0 1 1 1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0 1
0 1
0 0
6
110
7
111
8
1000
9
1001
10
1010
1.4.2 Algebra en sistema octal.
Tabla de números en sistema octal.
Dec
Oct
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 20 21
a) Suma en octal.
Se realiza de la misma forma que la suma decimal, tomando en cuenta la siguiente tabla
de sumas en octal.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
•
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16
Ejemplo de suma en octal
1
1
1
2 3 4 7
+ 3 5 7 7
6 1 4 6
b) Resta en octal.
La resta en octal se realiza de la misma forma que la resta decimal, teniendo en cuenta
que cuando el minuendo es mayor que el sustraendo se debe pedir un prestamo.
•
Ejemplo de resta en octal.
5
0
3
6 1 4 6
- 3 5 7 7
2 3 4 7
c) Multiplicación en octal.
Para realizar las multiplicaciones en el sistema octal se deben considerar las tablas
de multiplicar en octal.
*
0
1
2
3
4
5
6
7
•
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
6
0
6
14
22
30
36
44
52
Ejemplo de multiplicación en sistema octal
2
0
+4 2
4 2
1*2 0
0
0
c) División en octal.
Ejemplo de división
-
5
0
5
12
17
24
31
36
43
2 4` 3`
2 4
0 0 3
- 2
0
-
1` 5`: 1 2 = 2 0 2 4
1
4
5 5
5 0
0 5
7
0
7
16
25
34
43
52
61
1.4.3 Algebra en sistema Hexadecimal.
Tabla de números en sistema hexadecimal
Dec
Hex
0
0
Dec
Hex
16
10
Dec
Hex
Dec
Hex
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
17
11
18
12
19
13
20
14
21
15
22
16
23
17
24
18
25
19
26
1A
27
1B
28
1C
29
1D
30
1E
31
1F
32
20
33
21
34
22
35
23
36
24
37
25
38
26
39
27
40
28
41
29
42
2A
43
2B
44
2C
45
2D
46
2E
47
2F
48
30
49
31
50
32
51
33
52
34
53
35
54
36
55
37
56
38
57
39
58
3A
59
3B
60
3C
61
3D
62
3E
63
3F
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
a) Suma en sistema hexadecimal.
Se debe considerar para efectuar la suma la siguiente tabla:
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
•
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
Ejemplo de suma
1
C A B 2
+ A 1 0 F
1 6 B C 1
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
b) Resta en hexadecimal
0
16
B
11
1 6 B C 1
A 1 0 F
0 C A B 2
b) Multiplicación en Hexadecimal.
Para la realización de la multiplicación en hexadecimal es necesario considerar las
tablas de multiplicar en el sistema hexadecimal.
*
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
8
A
C
3
0
3
6
9
C
F
12
1 3
2
A
+2 1
3 0
1
6
3
9
4
0
4
8
C
10
14
18
5
0
5
A
F
14
19
1E
3
3 A
2 5
AC
D 1
C 2*15
CA
2
E A
6
0
6
C
12
18
1E
24
7
0
7
E
15
1C
23
2A
8
0
8
10
18
20
28
30
9
0
9
12
1B
24
2D
36
A
0
A
14
1E
28
32
3C
B
0
B
16
21
2C
37
42
C
0
C
18
24
30
3C
48
D
0
D
1A
27
34
41
4E
E
0
E
1C
2A
38
46
54
F
0
F
1E
2D
3C
4B
5A
1.5 Multiplicación y división por la base.
a) Multiplicación por la base.
Para multiplicar por la base se multiplica el polinomio generador del número Nb por
b de la siguiente forma:
n -1
Nb
= ∑ a i * bi = a n -1bn -1 + a n - 2 bn - 2 + a n - 3b n - 3 + ... + a 2 b2 + a1b1 + a 0 b0
i =0
Nb * b = (a n -1b n -1 + a n - 2 b n - 2 + a n -3b n - 3 + ... + a 2 b2 + a1b1 + a 0 b0 ) * b
= a n -1b n + a n - 2 b n -1 + a n -3b n - 2 + ... + a 2 b3 + a1b2 + a 0 b1
= a n -1b n + a n - 2 b n -1 + a n -3b n - 2 + ... + a 2 b3 + a1b2 + a 0 b1 + 0 * b0
Luego el número Nb*b se escribe en términos de los coeficientes del polinomio de
la siguiente forma:
Nb * b = a n -1 a n - 2 a n - 3 ... a 2 a1 a 0 0
Lo anterior significa que para números enteros multiplicar por la base implica
agregar como dígito menos significativo un cero.
En forma similar a lo anterior, la multiplicación de un número con decimales por la
base implica correr la coma a la derecha un dígito.
b) División por la base.
= an-1*bn-1+ an-2*bn-2+ ... + a0*b0+a-1*b-1+ a-2*b-2+ ... + a-m*b-m
Nb
Nb / b = (an-1*bn-1+ an-2*bn-2+ ... + a0*b0+a-1*b-1+ a-2*b-2+ ... + a-m*b-m ) / b
= an-1*bn-2+ an-2*bn-3+ ... + a1*b0 + a0*b-1+a-1*b-2+ a-2*b-3+ ... + a-m*b-m-1
Se observa que el primer dígito decimal (que tiene la ponderación b-1) es ahora a0.
Lo anterior equivale a correr la coma a la izquierda un dígito.
1.6 Sistemas complementarios.
Se utilizan los sistemas complementarios para transformar la operación de resta en
una suma como sigue:
A – B = A + (-B)
1.6.1 Complemento a la base.
[N]b = bn – (N)b
Con:
b
n
[N]b
(N)b
: Base del número.
: Número de dígitos del número.
: Complemento a la base b del número N.
: Número en base b.
Ejemplos:
[13]10 = 102 – 13 = 100 – 13 = 87
[20]10 = 102 – 20 = 100 – 20 = 80
2
1
2
+ 8
1 0
-
0
3
0
7
7
1
- 2
1
+ 8
9
3
0
3
0
3
[ 9 3]10 = 102 – 13 = 100 – 93 = 7
•
•
•
Si se resta con complemento a la base, se obtiene el resultado con signo.
Método de resta ampliamente usado en computadoras, pues un solo módulo puede
hacer restas y sumas.
Las operaciones de multiplicación y división se hace más fácil realizarlas, pues estas
operaciones están basadas en sumas y restas.
1.6.2 Complemento a la base con números binarios.
Ejemplo: Complemento a dos de 101.
[101]2=103 –101= 1000 - 101
1
-
0 0 0
1 0 1
0 0 1 1
Métodos específicos para el caso binario.
1.- Se cambia el valor de cada bit, y al número resultante se le suma 1.
[101]2 = (101)* + 1 = 010 + 1 = 0 1 1
2.- Partiendo del dígito menos significativo se copia el número original hasta copiar el
primer número 1, luego se cambia el valor de los bits restantes.
[1 0 0 0 1 0 0] 2 = x x x x 1 0 0 = 0 1 1 1 1 0 0
1.6.3 Complemento a la base de números fraccionarios.
Se define como:
[N]b = 1 – (N)b
Ejemplo: Complemento a 10 de 0,1279
[0,1279]10 = 1 – 0,1279
1, 0 0 0 0
- 0, 1 2 7 9
0, 8 7 2 1
1.6.4 Resta binaria complementaria.
Para realizar la operación: (A)2 – (B)2 se realizan los siguientes pasos:
1.-
Se obtiene el complemento a 2 del sustraendo: [B]2
2.-
Se suma el minuendo con el complemento a dos del sustraendo.
3.-
Si el resultado en la posición (n+1) produce un acarreo (1), el número es positivo.
Si el resultado en la posición (n+1) no produce acarreo (0), el número es negativo.
1.6.5 Complemento a la base disminuida.
El complemento a la base disminuida se define como:
[N]b-1= bn - b-m – (N)b
Con:
b = base del número.
N = número en base b.
n = número de dígitos enteros.
m = número de dígitos decimales
Para números enteros se tiene que m = 0, luego
[N]b-1= bn - b-m – (N)b = [N]b – 1
Ejemplos:
•
Complemento a (10 – 1) de 12,79.
n=2
m=2
[12,79]10-1 = 102 - 10-2 - 12,79 = 100 – 0.001 –12.79 = 87.2
•
Complemento a (2-1) de 1100
n=4
m= 0
[1100]2-1 = 104 – 100 – 1100 = 10000 – 1 – 1100
-
1 0 0 0 0
1
1 1 1 1
1 1 0 0
0 0 1 1
Existe un método particular para calcular el complemento a la base disminuida para
números en base 2 y consiste en cambiar el valor de dígitos.
Ejemplo: Calcular el complemento (2-1) de 1100.
[1 1 0 0]2-1= (1 1 0 0)* = 0 0 1 1