LA CARTA DE SMITH - Pensada para resolver ecuaciones muy

LA CARTA DE SMITH
- Pensada para resolver ecuaciones muy repetidas en microondas:
- Representación de plano de impedancias y del c. de reflexión
- Líneas r=cte. -> círculos centro [r/(r+1)+j0], radio 1/(r+1)
- Líneas x=cte -> círculos centro [1+j1/x], radio 1/x
- z=1 (Z=50Ω), Γ =0
- z=jx ->
Γ =1 0<ϕ<180o (x>0), 180<ϕ<360o (x<0)
- z=1+jx -> Γ=jx/(jx+2) círculo superior,
z=1-jx -> Γ=-jx/(-jx+2) círculo inferior
- z=r+j1 -> si r->0+ => Γ->radio unidad,
si r<0 => Γ sobrepasa circulo unidad
- z=-1 -> Γ=∞
- z real, z<1 => Γ se aproxima a círculo unidad
- Re(z)<0 => Γ sigue en círculo de radio ∞
- Región externa al círculo unidad: impedancias con Re(z)<0
2.1
r centro radio
+∞ 1
0
+2 2/3 1/3
+1 1/2 1/2
+1/2 1/3 2/3
0
0
1
Circunferencias de
resistencia constante
Líneas r=cte ⇒
círcunferencias
Centro: r/(r+1)+j0.
Radio 1/(r+1)
r centro
-1/2 -1
-1 -∞
-3/2 3
-2 2
-5 5/4
radio
2
∞
2
1
1/4
+j1
1
-1
-j1
19
Circunferencias de reactancia constante
r+j1
1+j1
r+j2
r+j0
Líneas x=cte
⇒ circunferencias
centro [1+j1/x],
radio 1/x
r-j2
r-j1
20
1
APLICACIONES DE LA CARTA DE SMITH
Conversión impedancia-admitancia
2.2
Impedancias con parte real negativa
2.3
Respuesta en frecuencia de redes
Medida de la Q de una cavidad
En las frecuencias (f1, f2) de potencia mitad r=x (z=r+jx)
si r=1 => centro en ±j1 y radio 21/2
Q=f0/(f2-f1)
2.4
Q cargada de un circuito resonante:
QL =
f0
BW
Q de un nodo de un circuito:
Qn =
XS
RS
Donde ZS=RS+jXS es la impedancia equivalente vista desde dicho nudo
Qn =
BS
GS
Donde YS=GS+jBS es la admitancia equivalente vista desde dicho nudo
21
Contornos de Qn constante.
Γ = U + jV
1+ Γ 1−U 2 −V 2
2U
z = r + jx =
j
=
+
1 − Γ (1 − U 2 ) + V 2
(1 − U 2 ) + V 2
Qn =
x
r
=
2U
1−U 2 −V 2
2

1 
1
U 2 + V ±  = 1 + 2
Qn 
Qn

Centro (0, -1/Qn) x>0
Centro (0, 1/Qn) x<0
Radio (1+1/Qn2)1/2
22
2
Adaptación de impedancias con la carta de Smith.
Uso de topologías específicas.
impedancia
admitancia
Puntos
r
x
R(Ω)
X (Ω)
g
b
G (Ω -1)
B (Ω -1)
inicial (i)
1
0
50
0
1
0
0.02
0
(A’)
1
-1
50
-50
0.5
0.5
0.01
0.01
final (f)
1
1
50
50
0.5
-0.5
0.01
-0.01
(a)
(b)
1.0
0.5
Zi=50Ω
2.0
A
Zf=ZA=50+j50Ω
XC
1.0
50+j50 Ω
50 Ω
(b)
BL
(a)
A’
(a)
-0.5
XC = −
-2.0
1
ωC
= X A − X i = −50 − 0 Ω = −50 Ω
1
= B f − BA = −0.01 − 0.01 Ω −1 = −0.02 Ω −1; ω L = 50 Ω
(b) BL = −
ωL
-1.0
23
Adaptación de impedancias con la carta de Smith.
Zi=50Ω Zf=ZA=50+j50Ω
impedancia
admitancia
Puntos
r
x
R(Ω)
X (Ω)
Inicial (i)
1
0
50
0
(B’)
1
-0.5
50
-25
(B)
1
0.5
50
25
Punto final (f)
1
1
50
50
0.5
(a)
(c)
g
b
G (Ω -1)
B (Ω-1)
1
0
0.02
0
0.8
0.4
0.016
0.008
0.8
-0.4
0.016
-0.008
0.5
0.5
0.01
-0.01
XC
1.0
(b)
XL2
2.0
50+j50 Ω
A
50 Ω
(c)
1.0
B
(b)
(a)
(a)
B’
-0.5
BL1
-2.0
-1.0
XC = −
1
ωC
= X B ' − X i = −25 − 0 Ω = −25 Ω
1
(b) BL1 = −
= BB − BB ' = −0.008 − 0.008 Ω −1 = −0.016 Ω −1; ω L = 62.5 Ω
ω L1
(c )
X L 2 = ω L2 = X f − X B = −50 − 25 Ω = 25 Ω
24
1
Uso de topologías específicas. Restricción de impedancias.
25
Adaptación de impedancias con líneas de transmisión
• Parámetros S de líneas de transmisión
• Línea terminada en carga ΓL:
S11=S22=0
S12=S21=e-jΘ
Θ=ωl/c=2πl/λ
⎧b1 = S11a1 + S12 a2 ⎫
b1
⎪
⎪
S 12 S 21Γ L = -j2θ =
e Γ L ρ L θ L - 2θ
⎨b2 = S21a1 + S22 a2 ⎬ ⇒ S '11 = = S 11 +
a
1S
Γ
22 L
1
⎪Γ = a / b
⎪
⎩ L
⎭
2
2
•ΓL=1 circuito abierto
open stub: reactancia capacitiva
• ΓL=-1 cortocircuito
shorted stub: reactancia inductiva
a1
S ′11 = e -j2θ Γ L = 1 -2θ
z=
1+ Γ
= -j cot θ ;
1- Γ
b2
ΓL
a2
b1
y = j tan θ
S '11 = - e -j2θ Γ L = 1 180 - 2θ
z = j tan θ ;
y = − j cot θ
• Dada reactancia Y longitud eléctrica:
-1 R 0
) θ sc = tg -1( X L )
θ oc = tg (
open stub:
Xc
R0
empieza en 0o y rota en sentido horario 2θ
shorted stub:
empieza en 180o y rota en sentido horario 2θ
f=1GHz
f=1GHz
• Cada λ/4 la reactancia cambia de signo
- útil cuando no se pueden hacer cortocircuitos. f=1.2GHz
shorted stub 45o = open stub (90-45)o
f=1.2GHz
- secciones λ/2 para separar componentes
- a mayor longitud más selectivos
s.s. 45o
o.s. 135º
z=jtg45o=1j
-jcot135o=1j
θ=45·1.2=54º
θ=162o
z=1.35j
z=3.08j
26
q=135
o
0.375=3l/8
l
0.500l=l/2
0.250l=l/4
q=90
o
Z0, q
q=180
o
Circuito abierto
G=1
G inG= oe
G
-2jq
o
Sentido: alejarse de la carga.
Criterio: hacia el generador
0.125l=l/8
o
q=45
=45q
0.125l=l/8
o
Sentido: alejarse de la carga.
Criterio: hacia el generador
0.500l=l/2
q=180
l
Z0, q
0.250l=l/4
q=90
o
Cortocircuito
G=-1
o
G inG= oe-2jq
0.375=3l/8
q=135
Sentido: alejarse de la carga.
Criterio: hacia el generador
G
G
o
o
l
in
2q
G
Z0, q
ZL
o
G inG= oe-2jq
G
o
Topologías de elementos distribuidos
- Conexión serie de open-stub y shorted stub difícil con microstrip
- Para conseguir la tierra para polarización y el elemento serie para corregir
inductancias parásitas de transistores y cables:
Shorted stub paralelo TLs + línea de transmisión TL
- Origen → A': círculo de conductancia cte. =20 mmho ⇒ BL=-20mmho
longitud shorted stub = desde 180o hasta encontrar el circulo de susceptancia
normalizada -1 =(180-90)/2=45o
- Línea de transmisión: Γ→Γ' rotando en sentido horario
A': θ1=116.6o, A: θ2=63.4o ⇒
longitud eléctrica=-(63.4-116.6)/2=26.6o
- condensador de desacoplo si es necesario
- "Bypass" en el shorted stub: condensadores u open stub λ/4 (buena tierra RF a
frecuencia determinada)
2.7
Impedancia característica de líneas … Impedancia de referencia.
Z 0 = - jZ c cot θ 0 , Z s = jZ cot θ s
• Línea terminada en cortocircuito o circuito abierto:
• Γ para línea terminada: expresión compleja
- renormalizar carta, rotar y volver a normalizar
Z in = Z c
Z L + j Z c tan θ
Z c + j Z L tan θ
2
θ = 90 ⇒ Z in = Z c , Z c = Z in Z L
ZL
o
• Caso simple especial: línea λ/4 Zc…Z0
Si Zin, ZL
∈ ú Y Zc ∈ ú y se puede trasladar ZL6 Zin con línea λ/4
Ej.: 50Ω 6 20Ω con λ/4 de impedancia Zc=(50·20)1/2=31.62Ω
o
63
1.0
0.5
2.0
A
0.2
0.5
1.0
Zc=31.6 Ω
θ=90o
Zc=50 Ω
θ=58.3o
50 Ω
Zi n=50+j50 Ω
20Ω en círculo que pasa por A Y añadir línea de longitud
-(63.4-180)/2=58.3o
27
PARÁMETROS S DE TRANSFERENCIA
Útil para combinar redes en cascada
Ondas de salida como variables dependientes:
(problema con redes unilaterales)
2.9
DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL
1) Cada variable a1, a2, b1, b2 se
designa como un nudo
2) Cada parámetro S es una rama
3)
Rama
de
nudo
de
variable
independiente a dependiente
4) b1, b2: variables dependientes, a1, a2:
v. independientes.
5) Nudo= suma de variables que
convergen en él
Aplicaciones
1) Generador de tensión
(ver apéndice)
2) Carga
3) Carga conectada al generador
4) Red entre generador y carga.
2.10
REGLA DE MASON O DE LAZOS NO TOCANTES
Lazo de 1er orden: producto de ramas en un bucle siguiendo flechas
Lazo de 2º orden: producto de 2 lazos de 1er orden no tocantes
Lazo de n orden: producto de n lazos de 1er orden no tocantes
Cálculo de un nudo de la red (Ej: b1):
1) Identificar variables independientes (bs)
2) Identificar caminos entre bs y b1 siguiendo flechas (S11, S21ΓLS21)
3) Encontrar lazos no tocantes respecto a los caminos encontrados (S22ΓL no toca
con camino S11)
4) Regla de lazos no tocantes:
Pi: camino i
ΣL(k)i: suma de lazos de orden k que no tocan con camino i
ΣL(k): suma de lazos de orden k
Regla útil para encontrar expresiones de ganancia y potencia:
2.11
Potencia entregada a la carga: Pdel= Pincidente- Preflejada= a' 2- b'
2
Potencia disponible en la fuente: potencia
entregada a una carga adaptada conjugada
Pavs=[ a' 2- b' 2]=[ b 2- a 2]
Ganancia en tensión: cociente entre tensiones
totales
Ganancia de transducción: potencia entregada a la carga entre potencia disponible
en la fuente Gt=Pdel/Pavs
Objetivo fundamental: maximizar ganancia de transducción.
2.12
DEFINICIONES DE GANANCIA
Ganancia de transducción Gt=PL/Pavs (reorganizando el denominador)
Ganancia de potencia Gp: cociente entre potencia entregada a la carga y potencia
de entrada a la red Pin
Ganancia de potencia disponible PA: cociente entre potencia disponible en la red
Pavn y la potencia disponible en la fuente Pavs.
¡Cuidado con el factor 1/2!
2.13
ESTABILIDAD
Maximizar Gt => adaptar de forma conjugada salida y entrada.
Inconvenientes: puede oscilar el amplificador con ciertas impedancias.
- Red condicionalmente estable: Re(Zin), Re(Zout) > 0 para algunas impedancias
positivas de fuente y carga a una frecuencia específica.
- Red incondicionalmente estable: Re(Zin), Re(Zout) > 0 para cualquier impedancia
real positiva de carga y fuente ( Γs ≤1, ΓL ≤1)
Γin =1 : límite de separación de regiones estable y no estable.
Ecuación de circunferencia de radio y centro:
Para ZL=50Ω (ΓL=0) Γin = S11
Si S11 <1 región estable.
No situarse próximo al borde por
problema
de
alteraciones
por
temperatura, envejecimiento,
sustitución de transistores.
2.14
Estabilidad incondicional
Estabilidad en un rango de frecuencias: se construye círculos donde pueda existir
problema. Proceso tedioso. Mejor experiencia:
- Región plana de S12
S21 la más preocupante
- Inductores con comportamiento capacitivo a altas frecuencias.
- Diodos túnel: investigar estabilidad fuera de rango de trabajo
2.15
Apéndice: Representación de un generador de tensión mediante el diagrama de
flujo
bs
Zs
Vs
Ig
+
a
Vg
-
b
b
a
Potencia cedida a carga Z0
Se demuestra de esta manera que la variable bs tiene el mismo carácter que las
variables a y b, es decir, su módulo al cuadrado nos da idea de potencia (con el
factor 1/2)
2.16