Obtener la matriz de scattering de una susceptancia jB en paralelo

Obtener la matriz de scattering de una susceptancia jB en
paralelo, respecto a impedancias de las líneas de acceso Z0
ohmios.
Puerta 1
Z0
V1
jB
V2
Z0
Puerta 2
Solución: Los planos de referencia (z=0) se toman sobre la propia susceptancia. El
parámetro S11 es el coeficiente de reflexión en la puerta 1 con la puerta 2
adaptada, lo que significa colocar una impedancia igual a la impedancia
característica de la línea de acceso. Es decir,
Z0
jB
Z0
Trabajando con admitancias,
S11 =
donde Y0 = 1
S11 =
V1−
V1+
v2+ = 0
Z0
V1−
V1+
=
v2+ = 0
Y0 − Yin Y0 − ( jB + Y0 )
− jB
=
=
= S22
Y0 + Yin
jB + 2Y0
jB + 2Y0
. También se puede hacer con impedancias,
−1
Z0
Z0 − Z0 − jBZ0 2
⎛ 1 + jB ⎞ − Z
−
Z
0
⎟
0
Z − Z0 ⎜⎝ Z0
1 + jBZ0
1 + jBZ0
⎠
= in
=
=
=
−1
Z0
Z0 + Z0 + jBZ0 2
Zin + Z0 ⎛ 1
⎞
+
Z
0
⎜ Z + jB ⎟ + Z0 1 + jBZ
1 + jBZ0
0
⎝
⎠
0
− jBZ0
=
= S 22
2 + jBZ0
El parámetro S21 es S 21 =
V2−
V1+
. Se cumple que V1 = V1+ + V1− y V2 = V2+ + V1− = V1− ,
V2+ = 0
y como V1 = V2 (pues es un elemento en paralelo) entonces V1+ + V1− = V2− . Por tanto
V2−
S 21 = +
V1
V2+ = 0
V1−
= 1+ +
V1
= 1 + S11 =
V2+ = 0
2Y0
2
=
2Y0 + jB 2 + jBZ 0
Hemos calculado los parámetros de scattering respecto a tensiones reales. Como
las impedancias de referencia de las líneas de las líneas de acceso son iguales, los
parámetros obtenidos coinciden con los que se obtendrían respecto a tensiones
normalizadas. Por lo tanto, al ser el sistema recíproco se tendrá que S 21 = S12 , como
puede fácilmente comprobarse. Además, como el circuito no tiene pérdidas
podemos comprobar que
S11 + S 21 = 1
2
2