Diagrama Bode asintótico

Universidad Carlos III de Madrid
Señales y Sistemas
ANÁLISIS FRECUENCIAL
Diagrama de Bode asintótico.
1. Diagrama asintótico de Bode de términos constantes.
2. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros en el
origen.
3. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros reales
negativos.
4. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros reales
positivos.
5. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros complejos
negativos.
6. Diagrama asintótico de Bode de polos/ceros
imaginarios.
7. Diagrama asintótico de Bode de sistemas complejos.
8. Interpretación de un Diagrama de Bode.
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
Universidad Carlos III de Madrid
Señales y Sistemas
Bibliografía
Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed.
Prentice-Hall.
Capítulo 8
Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed.
Addison-Wesley.
Capítulo
Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed.
Prentice Hall.
Capítulo 9
F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Sección
de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid
Capítulo 9
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
Universidad Carlos III de Madrid
Señales y Sistemas
DIAGRAMA DE BODE
El diagrama de Bode se puede obtener como suma de
los diagramas de Bode de cada uno de los factores de la
función de transferencia
(s − z )
∏
G (s) = k
∏ (s − p )
∏ ( jω − z ) ⇒
G ( jω ) = k
∏ ( jω − p )

| jω − z |
∏
 G ( jω ) = | k |
⇒ 
∏ | jω − p |
 a rg ( G ( j ω ) ) = a rg ( k ) +
∑ a rg ( j ω − z ) − ∑ a rg ( j ω −

 lo g G ( j ω ) = lo g | k | + ∑ lo g | j ω − z | − ∑ lo g | j ω − p |
⇒ 
 a rg ( G ( j ω ) ) = a rg ( k ) + ∑ a rg ( j ω − z ) − ∑ a rg ( j ω −
i
i
i
i
i
⇒
i
i
i
pi )
i
i
pi )
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Señales y Sistemas
DIAGRAMA DE BODE
Una vez factorizada la F.T., el diagrama de Bode total es la
suma de losdiagramas de Bode sencillos.
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TÉRMINOS CONSTANTES
k
| | = | k | = 20 log| k | dB

0

0
k >0
k = 
ϕ
=

0

180
k <0


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TÉRMINOS CONSTANTES
Ganancia
20log |k| dB
ω (log)
E j : G ( s ) = 1 0 → G ( jω ) = 1 0 ⇒
G ( jω ) = 1 0 = 1 0
2 0 l o g G ( j ω ) = 2 0 l o g (1 0 ) = 2 0 d B
Desfase
180 º ( k < 0 )
0º(k>0)
ω (log)
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POLOS/CEROS EN EL ORIGEN
1
s
1
( jω ) n
n
1

| | =
n = − 2 0 n lo g ( ω ) d B
= 
ω
 ϕ = − n 9 0 0

1
1
−n
20
log
20
log
20
log
=
=
ω
= −20 n log(ω ) dB
1

n
n
=
ω
( jω )
n
( jω )
ϕ = − n900

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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS EN EL ORIGEN
Ganancia
-20 dB/dec
0 dB
n=1
-40 dB/dec
ω (log)
1
n=2
Desfase
-90 º
-180 º
n=1
n=2
ω (log)
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
1
(1 + T s )
n
1
=
(1 + T j ω ) n

ω → 0

= 
ω → ∞


| | = 0 d B
1= 
0
ϕ = 0
1

= − 2 0 n lo g ( T ω ) d B
1
| | =
= 
(Tω ) n
n
( T jω )
 ϕ = − n 9 0 0
(1 + T j ω ) n =

ω → 0

= 
ω → ∞


 | |= 0 d B
1 = 
0
ϕ = 0
( T jω )
n
 | |= ( T ω ) n = 2 0 n l o g ( T ω ) d B
= 
0
ϕ = + n 9 0
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
Frecuencia de corte
Corte de las dos asíntotas
0 d b = − 2 0 lo g (ω c T )
lo g (ω c T ) = 0 ⇒ ω c T = 1
ω
c
=
1
T
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
G
(s )
=
1
1 + T s
,
T
= 0 .1
ω
c
=
1
T
=
1
= 1 0 ra d
0 .1
/ s
-20 dB/dec
1 0
1
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
Diagrama de Fase
ϕ = 0 − a r c tg (1 + j ω T
)=
− a r c t g (ω T )
1
1
⇒ ϕ = − a r c t g ( ⋅ T ) = − a r c tg (1) = − 4 5 T
T
−1
10
1 0 −1
ω = 1 0 −1ω c =
⇒ ϕ = − a rctg (
⋅ T ) = − a r c tg ( 0 .1) = − 6 ≈ 0 T
T
1
1
10
10
ω = 1 01ω c =
⇒ ϕ = − a r c tg (
⋅ T ) = − a r c tg (1 0 ) = − 8 4 ≈ 9 0 T
T
ω = ωc =
0
-45
-90
0.1/T
1/T
10/T
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES NEGATIVOS
0 dB
0º
-45 º/dec
-20 dB/dec
-90 º
n=1
-40 dB/dec
-90 º/dec
n=1
-180 º
n=2
n=2
1/T
ω (log)
0,1/T
ω (log)
10/T
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Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de polos reales negativos
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Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de ceros reales negativos
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES
1
S + 1
1
T
1
ωc = = 1 rad / s = 100 rad / s
1
ωc =
Para la fase:
- Empieza en 0
- Comienza a caer una década antes de ωc ⇒ ω = 10−1 rad
- En ω=ωc , ha caído -45º
1
- Termina la caída ( en -90º ) una década después de ω c ⇒ ω = 1 0 ra d
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Diagrama de Bode
Polos/ceros reales
Señales y Sistemas
1
S +1
20 ⋅ log
ωc =

1
1
= 20 log 
2 2
1 + ωT
 1+ ω T
1
, − 20 log
T

 = −20 log

( 1 + ω T ) = −20 log
2
c
2
(
1 + ω 2T 2
)
2 (dB ) ≈ −3dB
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS COMPLEJOS CON
PARTE REAL NEGATIVA
ω n2
=
2
s 2 + 2ζ ω n s + ω n

1
 s  
2ζ
1 +
s+ 
 

ωn
 ωn  

1


 
 1 + 2ζ j ω +  jω  

ω n
 ω n  

2

ω → 0


= 
ω → ∞


n
2
n
=
| | = 0 d B
1 = 
0
ϕ = 0
−2 n

−2 n
 ω 
ω
 jω 
| | = 
) dB
= − 4 0 n lo g (

= 


ω n
ω n
ω n 
ϕ = − 2 n 9 0 0 = − n1 8 0 0

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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS COMPLEJOS CON
PARTE REAL NEGATIVA
Frecuencia de corte
Corte de las dos asíntotas
ω
0 db = −40n log( ) dB
ωn
ω
ω
log( ) = 0 ⇒
=1
ωn
ωn
ωc = ωn
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS COMPLEJOS CON
PARTE REAL NEGATIVA
2
S 2 + 2S + 2
ωn = 2
(ζ
= 0.707 )
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Señales y Sistemas
POLOS COMPLEJOS CON PARTE
REAL NEGATIVA
0º
0 dB
-90 º/dec
-180 º
-40 dB/dec
n=1
-180 º/dec
n=1
-80 dB/dec
ωn
-360 º
n=2
n=2
ω (log)
0.1ωn
10ωn
ω (log)
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Señales y Sistemas
CEROS COMPLEJOS CON PARTE REAL
NEGATIVA
Ganancia
Desfase
n=2
80 dB/dec
n=1
360 º
180 º/dec
40 dB/dec
180 º
0 dB
0º
ωn
ω (log)
n=2
n=1
90 º/dec
0.1ωn
10ωn
ω (log)
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS COMPLEJOS CON
PARTE REAL NEGATIVA
Frecuencia de resonancia wr
ω
r
= ω
2
(0
< ξ < 0 .7 0 7
)
Wr existe cuando:
1 − 2ξ
n
1 − 2ξ
2
> 0
1
ξ <
⇒
= 0 .7 0 7
2
Pico de resonancia en función de ξ
G ( jω )
m ax
= G ( jω r ) = M
r
=
1
2ξ 1 − ξ
2
(0 < ξ
< 0, 7 0 7 )
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS COMPLEJOS CON
PARTE REAL NEGATIVA
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
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Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de polos/ceros positivos
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Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de polos/ceros positivos
• En general el diagrama en amplitudes es el mismo que con signo
negativo y la pendiente en fase es la misa pero de signo contrario.

| = 0dB
→
=
0
1
ω


0
=
0
ϕ


1
=
1

|
=
= −20n log(Tω )dB
(1 − Tjω ) n 
1

n
=
ω →∞
 (Tω )

(−Tjω ) n 
0

ϕ = n90
1
(1 − Ts) n
0 dB
Ganancia
Desfase
90 º/dec
90 º
-20 dB/dec
-40 dB/dec
n=1
0º
180 º
n=2
n=1
45 º/dec
n=2
1/T
ω (log)
0,1/T
10/T
ω (log)
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS REALES POSITIVOS
G ( s ) =
1
s − 1
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
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Señales y Sistemas
POLOS/CEROS COMPLEJOS CON
PARTE REAL POSITIVA
1
S 2 + 2S + 2
1
S 2 − 2S + 2
1
S + 2S + 2
2
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Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de polos imaginarios
1
  s
1 + 
  ω n




2




n
1
  jω  2 
1 + 
 

  ωn  


Ganancia
n

| = 0dB
ω → 0 1 = 
0
ϕ = 0


  ω  −2 n
−2n
ω
 jω 

| =   = −40n log( )dB
ωn
= ω → ∞  ω  =   ωn 
n 


0
0

ϕ = −2n90 = − n180

ω → ωn −

ϕ = 00
ω → ωn 
ω → ωn +
ϕ = −2n90 0 = −n1800

Desfase
0º
0 dB
-90 º/dec
-40 dB/dec
-180 º
n=1
n=1
ωn
ω (log)
0.1ωn
ωn
10ωn
ω (log)
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Universidad Carlos III de Madrid
DIAGRAMA DE BODE DE UN
SISTEMA COMPLEJO
Señales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
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DIAGRAMA DE BODE DE UN
SISTEMA COMPLEJO
Señales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
Universidad Carlos III de Madrid
Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de un sistema: conjunto de polos y ceros
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Señales y Sistemas
Diagrama de Bode de un sistema: conjunto de polos y ceros
Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs