Discrete breathers in Josephson

NL 8.- Bifurcaciones
11.0.- Fractales
• Inspirados en el atractor de Lorenz, podemos decir que los fractales son formas
geométricas complejas con estructura fina a todas las escalas. También,
normalmente presentan algún grado de auto-similaridad, que algunas veces es
exacta aunque habitualmente es sólo aproximada (o estadística).
11.1.- Conjuntos contables e incontables
11.2.- Conjunto de Cantor
• Es un sistema fractal simple y pedagógicamente interesante pero su interés va mucho
más allá ya que está estrechamente relacionado con la geometría de los atractores
extraños.
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NL 11.- Fractales
• Propiedades fractales del conjunto de Cantor:
1.- C tiene estructura a escalas arbitrariamente pequeñas
2.- C es auto-similar. La auto-similaridad estricta que presenta el conjunto de Cantor se encuentra
sólo en los fractales más simples. Los fractales más generales son sólo aproximadamente autosimilares.
3.- La dimensión de C no es entera. Veremos que es ln2/ln3=0.63...
Otras dos propiedades (no fractales) del conjunto de Cantor
son: C tiene medida nula y consiste de un conjunto incontable
de puntos:
n
La medida del conjunto de Cantor es:
 2
lim  = 0
n→ ∞ 3
 
Una manera de ver que el conjunto es incontable es escribirlo
en base 3.
11.3.- Dimensión de fractales
auto-similares
• Curva de Koch: es un conjunto cuya
dimensión parece estar entre 1 y 2
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NL 11.- Fractales
• “similarity dimension”:
Ejemplo: cuadros o cubos.... La idea es que cuando un conjunto es escalado por un factor r, el
número de copias que produce, m, escala como m=rd. Así la dimensión de similaridad d, está
definida por: d = (lnm/ lnr).
Con esta definición es fácil calcular la dimensión fractal del conjunto de Cantor (m=2 cuando r=3,
así que d=ln2/ln3=0.63..) o de la curva de Koch (m=4 cuando r=3, así que d=ln4/ln3).
Es posible definir muchos conjuntos de Cantor, tantos que podemos hablar de que un conjunto S es
topologicamente un conjunto de Cantor si:
1.- S es totalmente disconexo. S no contiene subconjuntos conectados (más que puntos). En este
sentido todos los puntos de S están separados entre sí. más que puntos aislados.
2.- Por otro lado, S no contiene puntos aislados. Así cada punto tiene algún otro arbitrariamente
cercano.
Es importante ver que estas propiedades son topológicas, no geométricas (como la de autosimilaridad). Las propiedades topológicas de los conjuntos son más robustas que las geométricas.
Cuando estudiemos atractores extraños veremos que muchas de las propiedades son topológicas.
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NL 11.- Fractales
11.4.- “Box Dimension”
Pero también queremos calcular la dimensión de objetos
fractales que no son auto-similares.... Para ello se introdujo la
llamada “box dimension” del atractor. La idea es cubrir el
conjunto con cajas de tamaño ε y en general el número de cajas
necesarias para hacerlo escala con el tamaño de éstas según la
ley potencial N(ε) ~ 1/ εd con d la dimensión del conjunto.
ln N (ε )
d = lim
ε →0 ln(1 / ε )
Ejemplos: Conjunto de Cantor.
Conjunto no auto-similar.
Este modo de contar no es muy práctico en la realidad y rara vez se usa. Además en algunos casos
especiales no da la dimensión correcta.
Otra definición es la dimensión de Hausdorff. Es más sutil puesto que usa un recubrimiento en base a
pequeños conjuntos de tamaño variable. Matemáticamente es una definición más adecuada pero
también es más difícil de calcular numéricamente.
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NL 11.- Fractales
11.4.- Dimensiones puntual y de correlación
Estas definiciones tienen que ver con propiedades dinámicas de un sistema. Sea un sistema caótico con
un atractor extraño en el espacio de fases. Si este atractor tiene una microestructura fractal, ¿cómo
podemos calcular la dimensión fractal del atractor?
Podríamos pensar en generar el conjunto y calcular la “box dimension” del mismo. Pero esta
aproximación es impracticable.
Un método más eficiente que se ha convertido en estándar es
(Grassberger y Procaccia, 1983): fijar un punto x del atractor A.
Sea Nx(ε) el número de puntos de A dentro de una bola de radio ε
en torno a x. Nx(ε) mide la frecuencia con que una trayectoria
típica visita un entorno próximo a x. Al variar ε, Nx(ε)~εd donde d
es la dimensión puntual de x. Esta dimensión puede depender de
manera importante de x, entonces debemos promediar Nx(ε) sobre
muchos x. La cantidad resultante C(ε)~εd, donde d es la dimensión
de correlación del conjunto.
Puede verse que esta definición tiene en cuenta la densidad de
puntos en distintas zonas del atractor. En general dcorrelation ≤ dbox
aunque sus valores son generalmente muy cercanos. Otro punto a
tener en cuenta es que en general la relación es válida sólo para
cierto rango de tamaños ε (si las bolas son muy grandes engullen
al atractor y si son muy pequeñas contienen sólo al punto x),
definida por: “separación mínima de puntos de A << ε << diámetro
de A”.
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NL 11.- Fractales
Ejemplo: estimar la dimensión de
correlación del atractor de Lorenz
(para r=28, σ=10, b=8/3).
Ejemplo: mostrar que el map logístico para r∞ es como
un conjunto de Cantor, aunque no sea estrictamente
auto-similar y calcular numéricamente su dimensión de
correlación.
Multifractalidad: Algunos conjuntos fractales no pueden ser caracterizados por
una única dimensión sino más bien una función de distribución que nos dice como
varía la dimensión a lo largo del atractor. Este tipo de conjuntos son llamados
multifractales. f(α) es el espectro multifractal de A, mide el peso relativo de los
subconjuntos de dimensión fractal α en el atractor. Para sistemas al borde del caos
la multifractalidad conduce a una versión más poderosa de la teoría de
universalidad, ahora la cantidad universal es la función f(α) y no un único número.
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