7. Funciones aritméticas.

TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 7.
FUNCIONES ARITMÉTICAS.
1. Definición. Para cada n ∈ N, denotaremos
τ (n) = número de divisores positivos de n =
X
1, y
d|n
σ(n) =
X
d,
d|n
la suma de dichos divisores. En general, si f : N → R es una función cualquiera,
X
f (d)
d|n
denotará la suma de los valores de f sobre todos los divisores poitivos de n.
2. Teorema. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n, los divisores
positivos de n son todos los números d de la forma
d = pα1 1 · · · pαr r ,
con 0 ≤ αi ≤ ki , 1 ≤ i ≤ r.
3. Teorema. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n > 1, entonces
Q
1. τ (n) = ri=1 (ki + 1), y
Q pki +1 −1
2. σ(n) = ri=1 ipi −1 .
Indicación: para la segunda parte, observar que σ(n) =
Qr
i=1
1 + pi + p2i + · · · + pki i , y aplicar la fórmula
de la suma de una progresión geométrica finita.
4. Calcular τ (180) y σ(180).
Q
Q
5. Probar que nτ (n) = d|n d · d0 |n d0 , y deducir que
Y
nτ (n)/2 =
d
d|n
(y en particular nτ (n)/2 ∈ N).
6. Definición. Se dice que una función f : N → R es multiplicativa si
mcd(n, m) = 1 =⇒ f (nm) = f (n)f (m).
7. Sea f, g funciones multiplicativas tales que f (pk ) = g(pk ) para todo p primo y todo k ≥ 0.
Probar que f = g.
Indicación: Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n, entonces f (n) = f (pk11 ) · · · f (pkr r ).
8. Probar que si f 6= 0 es multiplicativa, entonces f (1) = 1.
9. Probar que si mcd(n, m) = 1, entonces el conjunto de los divisores positivos de nm está
formado por todos los productos dd0 , donde d | n, d0 | m, y mcd(d, d0 ) = 1. Además todos estos
productos son distintos dos a dos.
10. Teorema. Si f es multiplicativa y F se define por
X
F (n) =
f (d),
d|n
entonces F también es multiplicativa.
Indicación: Usae el ejercicio anterior.
11. Corolario. Las funciones τ y σ son multiplicativas.
12. Probar que τ (n) es impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto.
13. Probar que σ(n) es impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto o el doble de un cuadrado
perfecto.
P
14. Probar que d|n d1 = σ(n)
.
n
15. Probar que si n está libre de cuadrados entonces τ (n) = 2r , donde r es el número de
divisores primos de n.
16. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n, entonces
1
n
1
1
> 1−
1>
1−
··· 1 −
.
σ(n)
p1
p2
pr
17. Probar que
1 1
1
σ(n!)
≥ 1 + + + ... + .
n!
2 3
n
18. Dado k > 1, probar que hay infinitos números n para los que τ (n) = k, pero sólo una
cantidad finita para los que σ(n) = k.
19. Probar que si f, g son funciones aritméticas multiplicativas, también lo son f g y f /g
(cuando esté bien definida).
P
P
P
P
20. Probar que d|n σ(d) = d|n (n/d)τ (d), y que d|n (n/d)σ(d) = d|n dτ (d).
21. Definición. Para cada n ∈ N, se define la función µ de Möbius por


si n = 1,

1
µ(n) = 0
si p2 | n para algún primo p,



(−1)r si n = p1 p2 · · · pr , donde los pi son primos distintos;
es decir µ(n) = 0 si n no está libre de cuadrados, y µ(n) = (−1)r si está libre de cuadrados y
tiene r factores primos.
22. Proposición. La función µ es multiplicativa.
23. Proposición. Para cada n ≥ 1 se tiene que

1
X
µ(d) =
0
si n = 1,
si n ≥ 2.
d|n
24. Teorema (fórmula de inversión de Möbius). Sean F, f dos funciones aritméticas
relacionadas por la fórmula
X
F (n) =
f (d).
d|n
Entonces se tiene que
f (n) =
X
µ(d)F
d|n
n
d
X n
µ
F (d).
d
=
d|n
Indicación: Comprobar que

X
µ(d)F
n
d|n
d
=
X

X

d|n

µ(d)f (c) =
c|(n/d)
X
f (c)
c|n

X
µ(d) ,
d|(n/c)
y aplicar la proposición anterior.
25. Corolario. Si F es multiplicativa y F (n) =
tiva.
P
d|n
f (d), entonces f también es multiplica-
Indicación: Recordar el ejercicio 9 y aplicar la fórmula de inversión de Möbius.
26. Sea f una función multiplicativa, f 6= 0. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto
de primos de n > 1, probar que
X
r
Y
µ(d)f (d) =
(1 − f (pi )).
d|n
i=1
27. Usando el ejercicio anterior, probar que si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de
primos de n > 1, entonces
P
1. d|n µ(d)τ (d) = (−1)r .
P
2. d|n µ(d)σ(d) = (−1)r p1 · · · pr .
P
3. d|n µ(d)/d = (1 − 1/p1 ) · · · (1 − 1/pr ).
P
4. d|n dµ(d) = (1 − p1 ) · · · (1 − pr ).