Unidad 4. Continuidad Continuidad Uniforme Solución PD 1

Unidad 4. Continuidad
Denición de Continuidad
Continuidad Uniforme
Denición 1. Sea
f : A ⊆ R → R se dice que f es uniformemente continua en A si, dado ε > 0
arbitrario ∃ δ > 0 tal que cualquiera que sean x, y ∈ A que cumplan |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε
Ejemplo Considere la función
continua en [0, 1]
Solución P.D.
f : [0, 1] → R dada por f (x) = 3x. Muestre que f es uniformemente
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si x, y ∈ [0, 1] cumplen |x − y| < δ
Tenemos que |f (x) − f (y)| = |3x − 3y| = 3|x − y| < 3δ , propongo δ =
ε
entonces |x − y| < δ
3
ε ⇒ |f (x) − f (y)| < ε
Si δ =
⇒
|x − y| <
ε
3
⇒
⇒
|f (x) − f (y)| < ε
ε
3
3|x − y| < ε
⇒
|3x − 3y| <
∴ f (x) = 3x es uniformemente continua en [0, 1]
Ejemplo Considere la función
continua en [0, 1]
f : [0, 1] → R dada por f (x) = x2 . Muestre que f es uniformemente
Solución En este caso tenemos que
|f (x) − f (y)| = |x2 − y 2 | = |(x + y)(x − y)| = |x − y||x + y| < |x − y||1 + 1| = |x − 2| · 2
por lo que
2
|x − 2| · 2 < ⇒ |x − 2| <
Elegimos entonces δ =
con esta δ se tiene
2
|x − y| < δ ⇒ |x − y| <
2
⇒ 2|x − y| < 2
⇒ |x − y 2 | < 2|x − y| < ⇒ |x2 − y 2 | < por lo tanto f (x) = x2 es uniformemente continua en [0, 1]
Denición 2. Negación de la denición de continuidad uniforme
Sea f : A ⊆ R → R se dice que f ,
NO es uniformemente continua en A si:
∃ ε > 0  ∀ δ > 0, ∃ x, y ∈ A, con |x − y| < δ
pero
|f (x) − f (y)| ≥ ε
Ejemplo Considere la función f
: [0, 1] → R dada por f (x) = x2 . Muestre que f no es uniformemente
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral 1
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
continua en R
1
Unidad 4. Continuidad
Denición de Continuidad
δ
δ2
y =n+ , y =
entonces
2
4
δ δ δ
−
=
= <δ
|x − y| = n − n +
2 2 2
Solución En este caso elegimos x = n,
pero
δ 2 δ 2 δ2
δ2
−nδ
−
|f (x) − f (y)| = n2 − n2 + nδ +
=
= nδ +
>
=
4
4
4
4
por lo tanto f no es uniformemente continua en R
Ejemplo Muestre que la función f (x) = ln(x) para x ∈ (0, 1) no es uniformemente continua
1
de esta manera
2
1
1
1 e − 1 e 1 −n
−(n+1)
|xn − yn | = |e − e
| = n − n+1 = n < n = n <
e
e
e e
e e
e
n
Solución Denimos xn = e−n , yn = e−(n+1) y =
y sabemos que
∀ δ > 0, ∃ n ∈ N tal que
por lo tanto
pero
1
<δ
n
1
< 1 <δ
en n
1
−n
f (e ) − f (e−(n+1) ) = ln(e−n ) − ln(e−(n+1) ) = |−n + n + 1| = 1 > = 2
por tanto f no es uniformemente continua.
Ejemplo Muestre que la función f (x) = ex para x ∈ [0, ∞) no es uniformemente continua
1
2
Solución denimos xn = ln(n), yn = ln(n + 1) y = de esta manera
n
|xn − yn | = | ln(n) − ln(n + 1)| = ln
n+1 ahora bien
n
< 1 ⇒ ln
n+1
n
n+1
n
n
= − ln
< ln 1 = 0 ⇒ ln
n+1 n+1
por lo tanto
− ln
n
n+1
≤
n
1
1
1
1
1
n+1
⇔ e− ln( n+1 ) ≤ e n ⇔
≤ en
≤ en ⇔
n
ln( n+1
)
n
n
e
y para n sucientemente grande
n+1
1
=1+
→ 1 y
n
n
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1
en → 1
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2
Unidad 4. Continuidad
por lo tanto
Denición de Continuidad
n
ln
→ 0< 1 <δ
n+1 n
y sabemos que
∀ δ > 0, ∃ n ∈ N tal que
por lo tanto
pero
1
<δ
n
n
ln
≤ 1 <δ
n+1 n
1
|f (ln(n)) − f (ln(n + 1))| = eln(n) − eln(n+1) = |n − n − 1| = 1 > = 2
por tanto f no es uniformemente continua en R.
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