LA LUZ. ELEMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA

FÍSICA 2º BACHILLERATO
BLOQUE TEMÁTICO: OPTICA. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
LA LUZ. ELEMENTOS DE FÍSICA CUÁNTICA
1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX).
2.- Ondas electromagnéticas.
3.- Espectro electromagnético.
4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas
5.- Hipótesis de Planck.
6.- Efecto fotoeléctrico.
7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos.
8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda.
9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.
“Los físicos emplean la teoría ondulatoria los lunes, miércoles y viernes,
y la corpuscular, los martes, jueves y sábados”
Sir. William Henry Bragg (1862-1942)
1.- Naturaleza de la luz (hasta finales siglo XIX)
Ch. Huygens, en 1690 propuso en su obra Tratado de la luz:
La luz consiste en la propagación de una perturbación ondulatoria del medio
Para Huygens se trataba de ondas longitudinales similares a las ondas sonoras.
Mediante esta hipótesis se explica fácilmente fenómenos como la reflexión, la refracción de
la luz y la doble refracción (que se verá más adelante). Las dificultades de la teoría
ondulatoria residían en que no se habían observado por entonces en la luz otros fenómenos
típicamente ondulatorios como la difracción. Hoy día sí se han observado dichos fenómenos
de difracción cuya dificultad de observación reside en la pequeña longitud de onda de las
ondas luminosas.
En su obra Óptica, publicada en 1704, Newton propuso que:
La luz tiene naturaleza corpuscular: los focos luminosos emiten partículas
que se propagan en línea recta en todas las direcciones y, al chocar con
nuestros ojos, producen la sensación luminosa
Los corpúsculos son distintos según el color de la luz. Son capaces de atravesar los
medios trasparentes y son reflejados por los cuerpos opacos. Mediante esta hipótesis se
explica fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la reflexión, pero encuentra
dificultades en otros fenómenos como la refracción y, sobre todo, en explicar porqué una
misma superficie de separación de dos medios es capaz tanto de reflejar como de refractar.
[1]
A principios de siglo XIX las experiencias de T. Young sobre interferencias luminosas,
el descubrimiento de la polarización de la luz o las experiencias de A. J. Fresnel sobre la
difracción, revalorizaron la hipótesis ondulatoria ya que todos estos fenómenos son típicos
de ondas. No obstante las ondas luminosas pasaron a ser transversales para poder explicar
la polarización.
En 1864 J. C. Maxwell estableció la teoría electromagnética de la luz, adelantándose a
la comprobación experimental de la existencia de las ondas electromagnéticas efectuada en
1887 por el físico alemán H. Hertz. Maxwel propuso que:
La luz no es una onda mecánica sino una forma de onda electromagnética de
alta frecuencia. Las ondas luminosas consisten en la propagación, sin
necesidad de soporte material alguno, de un campo eléctrico y de un campo
magnético. Dichos campos son perpendiculares entre sí y a la dirección de
propagación
La teoría electromagnética fue comúnmente aceptada a finales de siglo XIX.
2.- Ondas electromagnéticas.
J. C. Maxwell desarrolló su teoría del campo electromagnético entre 1861 y 1864, y
predijo la existencia y características de las ondas electromagnéticas.
Tal como se ha dicho en el apartado anterior la luz es una onda electromagnética.
Podemos decir que son dos ondas en una, transversales las dos respecto de la dirección de
propagación. Una de las dos ondas consiste en la propagación de un campo eléctrico
variable que genera, por tanto, un campo magnético también variable que se propaga
perpendicularmente al campo eléctrico. A su vez, un campo magnético variable genera un
campo eléctrico variable perpendicular.
Se puede decir que una onda electromagnética es auto-sostenida, que no precisa de
un medio material de propagación y, por tanto, se puede propagar por el vacío.
Los dos campos son funciones periódicas (función de onda) tanto de la coordenada en
la dirección de propagación como del tiempo. Concretamente, se puede considerar que
[2]
varían sinusoidalmente con el tiempo y la posición, por lo que les son aplicables las
ecuaciones dadas para las ondas armónicas:
  t x

E(x, t)  Eo sen 2  -      Eo sen( t - k x)
 T 

  t x

B(x, t)  Bo sen 2  -      Bo sen( t - k x)
 T  

Donde
Módulo del campo eléctrico (N/C) en el instante t y a una distancia x del foco
emisor. La variación de E se puede dar, por ejemplo, en el eje Y.
Campo eléctrico máximo o amplitud máxima del campo eléctrico (N/C).
Módulo del campo magnético (T) en el instante t y a una distancia x del foco
emisor. La variación de B se puede da en el eje Z si la de E se da en el eje Y.
Campo magnético máximo o amplitud máxima del campo magnético (T),
Periodo (s) de variación del campo eléctrico y del campo magnético.
Longitud de onda (m).
Pulsación (rad/s), también frecuencia angular.
Número de onda (m-1)
Fase de la onda (rad). En este caso se desplaza en el sentido positivo del eje x.
Frecuencia de la onda (Hz)
Fase inicial, en radianes.
E
Eo
B
Bo
T
λ
ω = 2π/T
k = 2π/λ
ωt–kx
f = 1/T
φ
Además, las ondas electromagnéticas también cumplen las relaciones entre
velocidad, longitud de onda y frecuencia. La velocidad de una onda electromagnética se
suele representar con la letra “c” si se refiere al vacío (o al aire donde prácticamente tiene
el mismo valor).
λ = c·T
λ·f = c
La velocidad de las ondas electromagnéticas depende del medio de propagación. Su
valor en el vacío es una constante que vale c = 3 x 108 m · s-1.
Por último, los módulos de los vectores campo eléctrico y campo magnético, en una
posición y en un tiempo determinado cumplen
c
E
B
Problema 1
Una onda electromagnética armónica de 20 MHz se propaga en el vacío, en el sentido positivo del eje
-3
-1
OX. El campo eléctrico de dicha onda tiene la dirección del eje OY y su amplitud es de 3 · 10 N C
a) Escriba la expresión del campo eléctrico E(x, t), sabiendo que en x = 0 su módulo es máximo
cuando t = 0.
b) Represente en una gráfica los campos E(t) y B(t) y la dirección de propagación de la onda.
8
Dato: c = 3 · 10 m s
–1
[3]
a) Empezaremos por determinar las características de la onda electromagnética a partir de los
datos del problema.
La frecuencia es de 20·106 Hz, por tanto, el periodo y la pulsación son:
f
2
d
La velocidad de la onda y la frecuencia permiten conocer la longitud de onda y, entonces, el número
de onda:
=
=
=
2
La expresión del campo eléctrico será:
2
2
Para conocer la fase inicial se nos dice que en el instante inicial el módulo del campo eléctrico es
máximo. Por tanto,
de donde φ = π/2 rad. En definitiva:
2
2
b) La expresión del campo magnético en esta onda es
2
2
donde
=
Por tanto,
2
2
La figura adjunta representa simultáneamente las
variaciones de los campos eléctrico y magnético de
esta onda electromagnética en función del tiempo. La
dirección de propagación es el eje x en sentido
positivo. Si se elije como dirección de vibración del
campo eléctrico, por ejemplo, el eje y, entonces la
dirección de vibración del campo magnético será
perpendicular a dicho eje, es decir, el eje z.
[4]
Problema 2
Obtén la frecuencia y la longitud de onda de la onda electromagnética definida por la expresión de su
-3
10
campo eléctrico E(x,t) = 10 cos(5 · 10 t – 200 x) (S.I.). ¿Se transmite en el vacío?
De la ecuación de la onda podemos conocer las características de la onda:
=
=
/
=2
/
=
=
2
2
=
=
Toda onda electromagnética que se propaga en el vacío lo hace a una velocidad de 3·10 8 m/s. La
velocidad de esta onda es:
Por tanto, la onda no se está transmitiendo por el vacío.
3.- Espectro electromagnético.
Hoy día se conocen muchas clases de ondas electromagnéticas. La luz visible no es
más que un tipo de estas ondas. Las longitudes de onda mayores en las ondas
electromagnéticas pueden llegar a ser de kilómetros y las menores longitudes de onda de
10-14 m.
La secuencia ordenada según su longitud de onda o su frecuencia de las ondas
electromagnéticas conocidas recibe el nombre de espectro electromagnético:
[5]
4.- Propiedades de las ondas electromagnéticas.
Las propiedades de las ondas electromagnéticas, como ondas que son, ya fueron
analizadas en el estudio del movimiento ondulatorio: propagación de una onda,
difracción, reflexión, refracción, polarización, interferencias, etc. En este apartado sólo se
analizarán algunas peculiaridades en la reflexión y refracción de la luz.
4.1.- Índice de refracción.
La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en los medios materiales. En el vacío
la velocidad de las radiaciones luminosas (de las ondas electromagnéticas) es constante y
se simboliza por la letra “c”; su valor es de 300 millones de metros por segundo. El índice
de refracción absoluto de un medio es la razón entre la velocidad de la luz en el vacío y la
velocidad de la luz en dicho medio:
n
c
v
Como c es siempre mayor que v, entonces el índice de refracción absoluto será
siempre mayor que la unidad. El índice de refracción relativo de un medio 2 respecto de
otro medio 1 (n21) será:
c
n
v
v
n21  2  2  1 ;
c v2
n1
v1
n21 
v1
v2
Dado que la frecuencia de la onda no cambia al cambiar de medio, pues dicha
frecuencia depende de la frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, entonces:
n
c o f o


v f

Como n > la longitud de onda de una radiación en el medio (λ) es menor que su longitud
de onda en el vacío (λo).
4.2.- Refracción y reflexión. Ley de Snell
Como sabemos la ley de Snell viene dada por la expresión
donde v1 es la velocidad de la luz en el medio 1, î es el
ángulo de incidencia, v2 es la velocidad de la luz en el
medio 2 y r es el ángulo refractado. Si multiplicamos los
dos miembros por la velocidad de la luz en el vacío
obtendremos:
[6]
Consideraciones:
1) Si
, es decir,
, se está produciendo un paso a un medio menos denso a
otro más denso (por ejemplo de aire a agua). Además, la velocidad de la luz en el medio 1
será mayor que en el medio 2, es decir n2 > n1.
2) Si
, es decir,
, se está produciendo un paso a un medio más denso a
otro menos denso (por ejemplo de agua a aire). La velocidad de la luz en el medio 1 es
mayor que en el medio 2, es decir, esta circunstancia no ha cambiado respecto del caso
anterior.
3) La reflexión de la luz puede considerarse como un caso particular de refracción en el
que n1 = n2.
4) En la refracción desde un medio más denso a otro menos denso (agua-aire) se pueden
dar varias situaciones según sea el ángulo de incidencia, como se muestra en la siguiente
figura:
Podemos observar que cuando el ángulo de incidencia es inferior o igual a un ángulo,
llamado ángulo límite (θc en la figura) parte del rayo es reflejado y parte es refractado.
Cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo límite, rayo refractado forma un ángulo
de 90 grados con la normal. En este caso podemos escribir
como en el paso del agua al aire n2 < n1, el cociente es menor de 1 y esta situación es
posible. La situación contraria (el paso del aire al agua) no se puede dar pues n2 > n1, el
cociente anterior no puede ser mayor de 1 (hay que recordar que los subíndices indican 1
el medio del rayo incidente y 2 el medio del rayo refractado).
[7]
5) Los ángulos de incidencia superiores al ángulo límite producirán sólo reflexión
(reflexión total), es decir, no sería posible ver el objeto sumergido.
6) Interesante es analizar la doble refracción que ocurre cuando la luz atraviesa una
lámina de caras planas y paralelas (cuando atraviesa el cristal de una ventana, por
ejemplo). La doble refracción viene representada en la siguiente figura:
En la primera refracción
Entonces
En la segunda refracción
Como
=
podemos poner en la segunda refracción que
Si sustituimos el valor del
obtenido de la primera refracción nos queda,
Es decir, el ángulo de incidencia inicial permanece pero se ha desplazado el rayo una
distancia d que, si el espesor del vidrio (L) es conocido, se puede determinar.
[8]
4.3.- Dispersión
Según se ha comentado, el índice de refracción de una sustancia es función de la
longitud de onda incidente. Cada longitud de onda tiene un índice de refracción de manera
que si la longitud de onda disminuye el índice de refracción aumenta. En efecto,
n
c o f o


v f

si disminuye, como
no cambia, n debe de aumentar. Como consecuencia de esto,
cuando un haz de luz blanca (rayos de luz de distintas longitudes de onda) incide sobre un
material refractante cada radiación de la luz blanca (cada longitud de onda) se desviará un
ángulo diferente. Este fenómeno recibe el nombre de dispersión de la luz.
La dispersión de la luz se pone de
manifiesto cuando la luz blanca incide sobre un
prisma óptico (sistema formado por dos
superficies planas refractantes, las caras del
prisma, que forman un ángulo diedro1 llamado
ángulo refringente del prisma). Las distintas
radiaciones que componen la luz blanca se
refractan (dos veces, una en cada cara del
prisma) con ángulos diferentes pues sus índices
de refracción son diferentes y emergen
separadas. Al salir del prisma forman una
sucesión continua de colores denominada
espectro de la luz blanca. Esta experiencia fue
realizada por Newton en 1666.
Si observamos la figura veremos que la luz roja es la que menos se desvía, seguida
del naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Por tanto, a menor longitud de onda,
mayor desviación. Por tanto el prisma da lugar a un ángulo de desviación característico δ
para cada radiación simple o radiación monocromática, es decir, de una sola longitud de
onda.
1
Un ángulo diedro es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de
una arista común.
[9]
¿Por qué el cielo es azul?
Las manifestaciones de color del cielo se deben fundamentalmente a la interacción de la
luz del sol con la atmósfera. La luz del sol es blanca y la atmósfera contiene una cierta
cantidad de humedad, normalmente pequeña, así como partículas de polvo y ceniza.
Cuando un rayo de luz atraviesa un material, su dirección de propagación se desvía un
cierto ángulo, que depende del tipo de material atravesado. Así, al atravesar un material,
cada color contenido en un haz de luz blanca se desviará un ángulo diferente, dando lugar
a la conocida separación de la luz en varios colores detrás de un prisma.
Como hemos visto, la desviación de los colores de la luz es máxima para los azules
(con longitud de onda menor), es decir, son los colores que más cambian su dirección con
respecto al rayo blanco inicial, y es mínima para los amarillos y los rojos (con longitud de
onda mayor), que casi no son desviados. Los rayos azules, una vez desviados, vuelven a
chocar con otras partículas del aire, variando de nuevo su trayectoria. Realizan por tanto
un recorrido en zigzag a través de la atmósfera, hasta llegar a nosotros. Es por eso que
cuando llegan a nuestros ojos parece que llegan de todos los lugares del cielo. Los rayos
amarillos no aparecen casi desviados y ésta es la razón de que el sol nos parezca amarillo.
Cuando el sol está muy bajo en el cielo sus rayos pasan a través de un gran espesor
de aire y los rayos de luz interactuarán más veces con las partículas de la atmósfera. Los
azules y los violetas son esparcidos hacia los lados con mayor fuerza que lo son los
amarillos y los rojos, que continúan propagándose en la línea de visión del sol, formando
esas magníficas puestas de sol en la Tierra.
Problema 3.
Un foco luminoso puntual está situado bajo la superficie de un estanque de agua.
a) Un rayo de luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 30 grados. Dibuje en un esquema
los rayos incidente y refractado y calcule el ángulo de refracción.
b) Determine el valor del ángulo límite en este caso.
naire = 1; nagua = 1,33
a) Ley de Snell para la refracción:
sen =
donde:
=
2
sen
=
=
2
=
=
por tanto,
sen
sen =
=
sen
= arcosen
=
[10]
b) El ángulo límite es el ángulo de incidencia tal que el ángulo refractado sea de 90 grados.
Aplicando estas condiciones a la ley de Snell,
sen
donde
=
2
sen
es el ángulo límite,
sen
=
2
sen
arcosen
Problema 4.
El láser de un reproductor de CD genera luz con una longitud de onda de 780 nm medida en el aire.
a) Explique qué características de la luz cambian al penetrar en el plástico del CD y calcule la velocidad
de la luz en él.
b) Si la luz láser incide en el plástico con un ángulo de 30 grados, determine el ángulo de refracción.
8
-1
c= 3·10 m·s ; naire = 1; nplástico = 1,55
a) Las características de la luz que cambian al penetrar desde el aire en el plástico son la dirección
del rayo y la velocidad de la luz. Si el índice de refracción es
=
al cambiar el índice de refracción, cambia la velocidad. Por otra parte, la velocidad de una onda es
=
por tanto, según la expresión, puede cambiar la longitud de onda y/o la frecuencia. Sin embargo, la
frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro ya que esta depende de la frecuencia de
vibración del foco emisor. Por tanto, si la velocidad cambia porque la luz ha pasado de un medio a
otro con índice de refracción diferente, también cambia la longitud de onda de dicha onda luminosa.
Para conocer la velocidad de la luz en el plástico,
b) Para conocer el ángulo de refracción utilizaremos la ley de Snell,
sen =
donde:
=
=
2 =
2
sen
=
=
por tanto,
n
sen =
=
sen
= arcosen
=
como vemos, el rayo refractado disminuye su ángulo respecto a la normal, como corresponde a un
rayo de luz que pasa de un medio menos denso a otro más denso.
[11]
Problema 5.
Una lámina de vidrio, de índice de refracción 1,5, de caras
paralelas y espesor 10 cm, está colocada en el aire. Sobre una de
sus caras incide un rayo de luz, como se muestra en la figura.
Calcule:
a) la altura y la distancia marcadas en la figura.
b) El tiempo que tarda la luz en atravesar la lámina.
a) Empezaremos por calcular la altura h. El rayo de luz que se refleja forma un ángulo de 60 grados
con la normal.
Según se observa en la figura, el ángulo a es
=
=
entonces,
Para calcular la distancia d debemos conocer el ángulo de refracción, que calcularemos de la
aplicación de la ley de Snell:
sen =
donde:
=
2
sen
=
=
=
2 =
por tanto,
n
=
sen =
sen
= arcosen
=
Conocido este ángulo podemos resolver el triángulo,
b) Calcularemos en primer lugar la velocidad de la luz en el vidrio. A partir del dato de índice de
refracción,
En la figura adjunta, como conocemos d, podemos saber la
distancia que recorre el rayo dentro del vidrio, la hipotenusa
del triángulo es
La velocidad de una onda en un medio es constante, el tiempo
que tarda en atravesar la lámina es,
=
[12]
Problema 6.
Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y
paralelas, con un ángulo de incidencia de 30 grados. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5
cm y su índice de refracción 1,5.
a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina
con la normal.
b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina.
a) La situación viene representada en la figura, teniendo en cuenta que según los datos,
L = 5 cm
î1 = 30º
n1 = 1
n2 = 1,5
Tal como se ha visto en la teoría (pág. 8)
=
2
por tanto, el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal es 30º.
b) Para conocer la distancia que recorre el rayo dentro de la lámina, es necesario conocer el ángulo
refractado en la primera refracción. Aplicando la ley de Snell a dicha refracción,
sen
donde:
=
=
2
sen
=
=
=
2 =
por tanto,
sen
sen
=
=
sen
= arcosen
=
Conocido este ángulo podemos resolver el triángulo,
tan
=
=
tan
=
En la figura adjunta, como conocemos d, podemos saber la
distancia que recorre el rayo dentro del vidrio (e), la
hipotenusa del triángulo es
[13]
5.- Hipótesis de Planck
A finales de siglo XIX la teoría electromagnética de la luz parecía que podía explicar
satisfactoriamente los diferentes fenómenos conocidos en los que participaba ésta. Sin
embargo, a finales de ese siglo se descubrieron otros fenómenos físicos experimentales
que ponían en duda las leyes clásicas aplicadas a la interacción entre la radiación
electromagnética (en general, incluida la parte visible del espectro) y la materia. Tres de
estos fenómenos fueron claves para el desarrollo de la denominada revolución cuántica: la
radiación térmica del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos . En
estos apuntes se describirán los dos últimos fenómenos pero previamente es necesario
conocer la hipótesis de Planck.
El 16 de octubre de 1900, Max Planck (1858-1947) anunció que había encontrado la
función matemática que se ajustaba a las curvas de emisión de un cuerpo negro. Para
llegar a este resultado tuvo que dejar de lado una idea básica del electromagnetismo
clásico:
“U
p
í ul
l
l
i
i ió
o i u ”
En contraposición, emitió su hipótesis:
“L
gí
ii
o
po u u po o
po u o
po u
gí
o
u
o i u
i
i
i o i o i u
”
La energía de un cuanto de radiación (comúnmente cuanto de luz) viene dada por la
expresión:
E = hf
Donde f es la frecuencia (en Hz, es decir, s-1) de la radiación y h es la llamada
constante de Planck (en Julios·segundo para que E venga en unidades del S.I.). El valor2 de
h
’
x -34 J·s, se trata de una constante universal (por lo menos del universo que
conocemos).
Planck supuso que cada uno de los átomos del cuerpo emisor de radiación se
comporta como un oscilador que vibra con una frecuencia f determinada que es la que
emite. En definitiva, la energía no se emite (o se absorbe como veremos al analizar los
espectros atómicos) de forma continua sino en forma de cuantos de energía.
La ecuación de Planck nos permite observar ahora que a mayor frecuencia de la
radiación, más energética es ésta (ver el espectro electromagnético). Permite relacionar
energía y frecuencia.
2
En ocasiones la podremos ver en ergios x segundo. Si 1 ergio = 10-7 Julios h = ’ 2
-27
erg · s.
[14]
Problema 7
-26
14
Un átomo de masa 1’99 · 10 kg oscila linealmente con una frecuencia propia de 4’84 · 10 Hz.
a) ¿Cuánto es el valor de un cuanto de energía del oscilador, en Julios y en electrón-voltios?
b) ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía?
a) La energía de un cuanto del oscilador viene dada por la ecuación de Planck:
E = h·f
Sustituyendo valores:
’
’
’
Para pasar a electrón-voltios (eV), debemos saber que 1 eV es la energía que posee un electrón
sometido a una diferencia de potencial de un voltio. Si la carga del electrón es 1,6·10 -19 C, entonces,
En definitiva,
’
b) La energía calculada en el apartado anterior es para un cuanto. Para 20 cuantos la energía sería:
’
-19
’
-18
J
En cuanto a la frecuencia angular del oscilador,
’
’
La energía máxima de un oscilador linear (movimiento armónico simple) viene dada por la
expresión:
donde m es la masa de la partícula que vibra (el átomo) y A es la amplitud máxima de vibración. Si
sustituimos y despejamos A obtendremos
A
’
-12
’
p .
6.- Efecto fotoeléctrico
Este efecto fue observado en 1887 por Hertz:
La descarga entre dos electrodos aumenta si éstos se iluminan con luz ultravioleta
Vamos a hacer un estudio cualitativo de este efecto según las observaciones de 1888
debidas a Hallwachs quien completó la observación de este efecto un año después.
Supongamos un electroscopio con sus láminas de oro juntas tal como el de la figura A.
Cuando se ilumina la plaza metálica con luz ultravioleta (procedente de un arco eléctrico,
[15]
por ejemplo) se observa que las láminas de oro se repelen consecuencia de que se cargan
eléctricamente (figura B).
Otras observaciones en este experimento:
1.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las láminas se
separan, pero se produce una pérdida rápida de la carga (y de la separación) si, a
continuación, se ilumina la placa con luz ultravioleta.
2.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado negativamente las láminas se
separan, pero no se produce una pérdida rápida de carga si se interpone una lámina de
vidrio entre la luz ultravioleta y la placa de zinc.
3.- Si tocamos la placa de zinc con un cuerpo cargado positivamente las láminas se
separan. Al iluminar posteriormente con luz ultravioleta, no se observa una descarga
rápida del electroscopio aunque se aumente la intensidad de la luz ultravioleta.
4.- En la experiencia representada en la figura anterior las láminas se separan al
cargarse positivamente éstas por la iluminación de la placa de zinc con luz ultravioleta.
5.- La luz visible (menos energética que la ultravioleta) no produce estos efectos en
cualquier caso.
Un modelo que explica estas observaciones es el siguiente:
El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por las superficies
metálicas cuando se iluminan con luz (radiación electromagnética) de frecuencia
adecuada. Con frecuencias altas (ultravioleta) el efecto sí se produce; con frecuencias bajas
(luz visible) el efecto a veces no se produce. Si el efecto fotoeléctrico no se produce con
una luz de frecuencia determinada, tampoco se produce al aumentar la intensidad del haz
luminoso de esa frecuencia.
También se observa que cada metal necesita de una frecuencia mínima
característica para producir el efecto. Las frecuencias menores (radiación menos
[16]
energética) corresponden a los metales alcalinos que presentan este efecto incluso con luz
visible.
6.1.- Dispositivo experimental para el estudio cuantitativo del efecto fotoeléctrico.
El siguiente esquema representa dos placas de metal colocadas en un tubo de cuarzo
estanco en el que se ha hecho un buen vacío. Las dos placas forman parte de un circuito
eléctrico en el que una batería desarrolla una diferencia de potencial variable entre las
placas (medida con el voltímetro V). Las placas son del metal objeto de estudio.
Cuestiones que hay que responder:
1ª) ¿Cuántos electrones (fotoelectrones) son emitidos por el metal?
2ª) ¿Cuál es la energía cinética de los fotoelectrones?
3ª) ¿La energía cinética máxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia de
la radiación incidente?
1ª) Número de fotoelectrones por unidad de superficie de la placa o por unidad de
tiempo. El dispositivo de la figura anterior permite contar los electrones emitidos por la
placa negativa pues al saltar hacia la placa positiva cierran el circuito y el amperímetro los
puede “contar”. Se observa que el número de fotoelectrones es proporcional a la
intensidad de corriente eléctrica. Además, se observa que si la intensidad de la luz
incidente aumenta, aumenta también la intensidad de corriente, es decir, aumenta el
número de fotoelectrones arrancados del metal.
2ª) Energía cinética de los fotoelectrones. Al ser arrancados los fotoelectrones
son acelerados hacia la placa positiva, por tanto adquieren velocidad y por ende energía
cinética.
El dispositivo experimental anterior no es el adecuado para determinar la energía
cinética de los fotoelectrones ya que al ser éstos arrancados son acelerados hacia la placa
positiva y, por tanto incrementan aún más su velocidad respecto a la que tendrían si no
[17]
hubiera una diferencia de potencial entre las placas. El dispositivo anterior se denomina
de potencial acelerador. Para determinar la energía cinética de los fotoelectrones
invertimos la polaridad de la batería, pasándose a un dispositivo de potencial retardador,
como se muestra en la siguiente figura:
Veamos el funcionamiento del dispositivo de potencial retardador. En primer lugar
la luz ultravioleta arranca electrones con una velocidad v. A continuación estos electrones
tienden a ir hacia la placa negativa pero son repelidos por la misma. No obstante algunos
fotoelectrones van tan rápidos que llegan a la placa negativa cerrando el circuito (el
amperímetro registra esta circunstancia). De esta afirmación podemos sacar una
conclusión importante: no tienen la misma velocidad todos los fotoelectrones arrancados,
unos tienen poca velocidad y otros tienen mucha, siendo éstos últimos los que llegan a cerrar
el circuito.
Como el potencial de la batería se puede regular, podemos hacer que la diferencia de
potencial entre las dos placas sea tal que ningún electrón logre llegar a la placa negativa,
será cuando el amperímetro no registre paso alguno de corriente. A este potencial se le
denomina potencial de detención (Vo). En esta situación podemos igualar la energía cinética
de los electrones con velocidad máxima y la energía eléctrica establecida entre las placas,
Se observa una contradicción con la teoría clásica del electromagnetismo: desde un
punto de vista clásico si la intensidad de la luz aumenta entonces la velocidad de los
electrones debería aumentar y, por tanto, su energía cinética ser mayor. Un ejemplo
ilustrativo de esta afirmación podría ser el hecho de que cuando la fuerza de las olas del
mar es mayor, mayor número de piedras se arrastran y a más velocidad. Sin embargo este
fenómeno no se observa, es decir: la energía cinética máxima de los fotoelectrones no es
función de la intensidad de la luz incidente para una determinada frecuencia.
[18]
3ª) Dependencia de la energía de los fotoelectrones y la frecuencia de la
radiación incidente. Las experiencias demuestran que la energía cinética máxima de los
fotoelectrones aumenta si aumenta la frecuencia de la radiación. No se establece una
simple proporcionalidad. Cada metal tiene una frecuencia, llamada frecuencia umbral, fo,
por debajo de la cual no se arrancan electrones del metal.
14 Hz, frecuencia que se
Por ejemplo para el zinc la frecuencia umbral está en ’
encuentra en la zona del ultravioleta. Para el sodio la frecuencia umbral está en 5·1014 Hz,
frecuencia que se encuentra en la zona visible del espectro.
Esta dependencia de la energía cinética con la frecuencia de la radiación incidente
tampoco es explicada satisfactoriamente por la teoría electromagnética clásica.
6.2.- Teoría de Einstein para el efecto fotoeléctrico.
Recapitulando algunas contradicciones entre las observaciones experimentales y las
predicciones de la teoría electromagnética clásica (mencionadas unas anteriormente,
otras no):
- La energía cinética de los fotoelectrones debe crecer con la intensidad de las ondas.
Este fenómeno no se observa.
- A cada electrón le corresponde, por unidad de tiempo, una cantidad de energía tal
que deberá transcurrir un tiempo grande para que se inicie la emisión electrones. Sin
embargo, se observa que el efecto fotoeléctrico es instantáneo.
- No debería existir una frecuencia umbral sino que, aunque fuese poca, el cuerpo va
absorbiendo la energía de la radiación hasta que la acumulación de ésta sea tal que se
produzca el efecto fotoeléctrico. Este hecho tampoco se observa sino que, de hecho, existe
la frecuencia umbral para cada metal.
En 1905 Albert Einstein explicó el efecto fotoeléctrico (trabajo por el que recibió el
premio Nobel) tomando las ideas de Planck afirmando que:
La luz se propaga en forma de cuantos de energía, llamados fotones, cuya
energía viene dada por la expresión de Planck, E = h·f
Partiendo de esta idea, la explicación del efecto fotoeléctrico sería (véase la figura de
la página siguiente):
I) En un átomo los electrones se encuentran distribuidos en diferentes niveles definidos.
Hace falta una energía determinada para arrancar un electrón del átomo, se llama en
general potencial de ionización, aunque en el efecto fotoeléctrico se le llama
preferentemente trabajo de extracción (We).
[19]
II) En la figura adjunta se han
representado diferentes situaciones en
las que un fotón de energía h·f incide
(y es absorbido) sobre un electrón de
un átomo.
III) Los efectos de estos fotones
dependen del electrón sobre el que
incidan. Algunos electrones adquieren
la energía necesaria sólo para subir a
niveles superiores (caso 5) y otros
adquieren la energía necesaria como
para ser arrancados del átomo (resto
de los casos representados). Los
electrones representados en los casos 2
y 3 son más fáciles de arrancar que los
electrones de los casos 1 y 4, por tanto,
los electrones 2 y 3 salen más veloces
que los electrones 1 y 4.
IV) La energía adquirida por cada
electrón es la que le aporta el fotón incidente, que a su vez depende de la frecuencia de la
radiación incidente, su valor es
E = h f.
Se denomina el trabajo de extracción, We, (también función del trabajo) de un electrón a la
mínima energía que debe tener un fotón para poder arrancar el electrón del metal,
donde fo es la frecuencia umbral, es decir, la frecuencia mínima para que se produzca el
efecto fotoeléctrico.
Si llamamos Ec a la energía cinética de un fotoelectrón, es evidente que
La frecuencia umbral es distinta para cada metal pues en cada sustancia los
diferentes electrones son retenidos al átomo de diferente manera.
Por otra parte, al aumentar la intensidad de la radiación lo que se aumenta es la
cantidad de fotones que absorbe el metal. Como consecuencia de esto aumenta el número
de fotoelectrones arrancados pero no la rapidez de estos ya que aunque aumente el
número de fotones incidentes, no aumenta la energía de éstos que sólo depende de la
frecuencia de la radiación.
En definitiva, si unimos las dos ecuaciones deducidas a lo largo de esta explicación,
tendremos las ecuaciones del efecto fotoeléctrico:
[20]
En estas ecuaciones, según hemos ido viendo,
Carga del electrón, en culombios (1,6·10-19C)
Potencial de detención, en voltios. También se puede denominar
simplemente diferencia de potencial entre las placas.
Energía cinética máxima de los fotoelectrones, en julios.
Masa del electrón, en kilogramos (9,11·10-31 kg en reposo).
Velocidad máxima que alcanzan los fotoelectrones, en metros/segundo.
Energía de la radiación que incide sobre el metal, en julios. También se
puede denominar energía del fotón absorbido.
=
Constante de Planck,
Frecuencia de la radiación que incide sobre el metal, en hertzios. También
se puede denominar frecuencia del fotón absorbido.
Trabajo de extracción del metal, en julios. También se puede denominar
energía de extracción o función de trabajo del metal.
Frecuencia umbral del metal, en hertzios. También se puede denominar
frecuencia de extracción o frecuencia de corte.
La explicación de A. Einstein del efecto
fotoeléctrico vuelve a considerar la luz de naturaleza
corpuscular: la luz está formada por partículas llamadas
fotones, de masa despreciable y que tienen frecuencia
(¿?). La aplicación más conocida del efecto fotoeléctrico
son las células fotoeléctricas. En la figura adjunta se
muestra un esquema simple de una célula fotoeléctrica.
[21]
Problema 8 (Selectividad, junio 2010).
-10
Al iluminar potasio con luz amarilla de sodio de λ=5890·10 m se liberan electrones con una energía
-19
cinética máxima de 0,577·10 J y al iluminarlo con luz ultravioleta de una lámpara de mercurio de
-10
-19
λ=2537·10 m, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,036·10 J.
a) Explique el fenómeno descrito en términos energéticos y determine el valor de la constante de
Planck.
b) Calcule el valor del trabajo de extracción del potasio.
a) Mientras se procede a calcular la constante de Planck se va explicando el fenómeno en términos
energéticos. En primer lugar determinaremos las frecuencias de los fotones de la luz amarilla y luz
ultravioleta:
=
=
=
=
2
=
2
=
Las energías de los fotones de luz amarilla y ultravioleta que inciden sobre el metal (potasio),
vienen dadas por la ecuación de Planck,
=
=
donde h es la constante de Planck que debemos determinar. Como
ultravioleta tienen mayor energía que los fotones de luz amarilla (
>
>
, los fotones de luz
).
Cada uno de estos fotones puede ser absorbido por alguno de los electrones de los átomos
de potasio. Como consecuencia de ello algunos electrones pueden subir a niveles energéticos
superiores a los que se encuentran si la diferencia de energía entre dichos niveles corresponde
precisamente a las energías de los fotones absorbidos. Pero también ocurre que la energía
absorbida por algunos electrones es suficiente para arrancarlos de sus átomos. Estos electrones
arrancados, llamados fotoelectrones, tienen una energía cinética (correspondiente a la velocidad
que lleven) cuyo valor máximo es la diferencia siguiente:
=
=
=
=
donde We es el trabajo de extracción del potasio, es decir, mínima energía necesaria para arrancar
un electrón al potasio. Se puede observar que los fotoelectrones arrancados por la luz ultravioleta
tienen mayor energía cinética máxima que los fotoelectrones arrancados por la luz amarilla. Esto es
debido a que, como se ha dicho, a que
>
.
Sustituyendo las energía de los fotones en las ecuaciones anteriores,
=
=
=
=
Si restamos las dos ecuaciones eliminamos el trabajo de extracción,
= (
)
La constante de Planck será:
=
=
2
=
2
[22]
b) Una vez conocida la constante de Planck, el trabajo de extracción se puede determinar sin más
que sustituir su valor en una de las ecuaciones que establecen la energía cinética máxima de los
fotoelectrones, establecidas en el apartado anterior. Por ejemplo,
=
=
2
2
de donde
2
2
Problema 9 (Selectividad, septiembre 2009)
Sobre un metal, cuyo trabajo de extracción es 3 eV, se hace incidir radiación de longitud de onda
-7
2·10 m.
a) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos, analizando los cambios energéticos que
tienen lugar.
b) Determine la frecuencia umbral de fotoemisión del metal.
a) Para el análisis de los cambios energéticos que tienen lugar véase el problema anterior o los
apuntes de teoría.
Determinaremos el trabajo de extracción (We) en unidades del S.I. Un electronvoltio (eV) es
la energía que posee un electrón cuando está sometido a una diferencia de potencial de un voltio, en
consecuencia,
Determinaremos ahora la frecuencia de los fotones que inciden sobre el metal:
Estos fotones tienen una energía, cada uno, que viene dada por la ecuación de Planck:
Como vemos, la energía de los fotones es superior al trabajo de extracción del metal. Por
tanto, es posible el efecto fotoeléctrico pues la radiación tiene suficiente energía como para
arrancar electrones del metal. Los fotoelectrones emitidos tendrán una energía cinética máxima
cuyo valor es,
La velocidad máxima de estos fotoelectrones es,
b) La frecuencia umbral se puede determinar a partir del valor del trabajo de extracción del metal,
[23]
Problema 10
Al estudiar experimentalmente el efecto fotoeléctrico en un metal se observa quela mínima frecuencia a
15
la que se produce dicho efecto es de 1,03·10 Hz.
a) Calcule el trabajo de extracción del metal y el potencial de frenado de los electrones emitidos si índice
15
en la superficie del metal una radiación de frecuencia 1,8·10 Hz.
b) ¿Se producirá efecto fotoeléctrico si la intensidad de la radiación incidente fuera el doble y su
frecuencia la mitad que en el apartado anterior. Razone la respuesta.
a) La frecuencia mínima a que se produce el efecto fotoeléctrico también recibe el nombre de
frecuencia umbral. Su valor es
El trabajo de extracción (We) del metal es la mínima energía que debe tener un fotón de la radiación
incidente para poder producir efecto fotoeléctrico en dicho metal. Este trabajo está relacionado con
la frecuencia umbral a través de la ecuación de Planck
donde h es la constante de Planck. Por tanto, el trabajo de extracción será:
En cuanto al potencial de frenado, es la diferencia de potencial que debe existir entre los
electrodos para que incluso los fotoelectrones emitidos con velocidad máxima no cierren el circuito.
Por tanto,
donde e es la carga del electrón, Vo es el potencial de frenado y Ecmáx es la energía cinética máxima
de un fotoelectrón emitido. Por otra parte, la energía cinética máxima de un fotoelectrón es la
diferencia entre la energía del fotón que absorbe y el trabajo de extracción de dicho fotoelectrón,
donde f es la frecuencia de la radiación que índice en el metal. Como todos los parámetros son
conocidos, podemos determinar el potencial de frenado,
=
=
=
=
b) El hecho de que la intensidad de la radiación incidente aumente al doble no afecta al hecho de
que se produzca efecto fotoeléctrico. En efecto, si se produjera efecto fotoeléctrico, el aumento de la
intensidad implicaría un aumento en el número de fotones que inciden sobre la superficie del metal
y, por tanto, conllevaría un aumento del número de fotoelectrones emitidos.
El parámetro que sí que afecta a que se produzca o no efecto fotoeléctrico es la frecuencia
de la radiación incidente. En este caso, si la frecuencia disminuye a la mitad,
es un valor que es inferior al de la frecuencia umbral del metal ( fo = 1,03·1015 Hz) y, por tanto, los
fotones de la radiación incidente no tendrían la energía necesaria (trabajo de extracción) para
producir efecto fotoeléctrico.
[24]
7.- Cuantización de la energía en los átomos. Espectros atómicos.
Desde el punto de vista de la interacción de la radiación con la materia, un espectro
es una representación gráfica o fotográfica de la distribución de la intensidad de la
radiación electromagnética, emitida o absorbida, por una muestra de una sustancia en
función de la longitud de onda (o de la frecuencia de la radiación).
En el caso de que la muestra de la sustancia esté en forma atómica, el espectro
obtenido se llama atómico. El instrumento que permite estudiar los espectros se denomina
espectroscopio o espectrómetro si simplemente dispersa mediante un prisma las distintas
radiaciones. Si además el instrumento es capaz de registrar el espectro obtenido
(mediante una fotografía, por ejemplo) se denomina espectrógrafo. La estructura básica de
un espectrógrafo difiere si éste es de emisión o de absorción.
7.1.- Estructura básica de un espectrógrafo de emisión.
En el tubo de descarga se encuentra, a
baja presión, el gas del que se desea obtener
el espectro de emisión. Al crear una
diferencia de potencial entre los dos
electrodos se produce la descarga del gas en
forma de luz que posteriormente es
dispersada por el prisma en su espectro
característico.
7.2.- Estructura básica de un espectrógrafo de absorción.
[25]
La fuente luminosa genera un haz de luz blanca policromática (todas las longitudes
de onda posibles). Este haz se hace pasar a través de la muestra de la que se quiere
obtener su espectro de absorción. La muestra está encerada en estado gaseoso dentro de
un recipiente adecuado. Al pasar la luz policromática a través de la muestra ésta absorbe
parte de la luz y la no absorbida es posteriormente dispersada por el prisma en su
espectro característico.
7.3.- Tipos de espectros.
Los espectros pueden ser continuos o discontinuos. Los primeros se obtienen
cuando se dispersa la luz de un foco luminoso formado por un sólido incandescente. Estos
espectros comprenden todos los colores (si hablamos del visible) desde el rojo al azul.
Los espectros discontinuos se obtienen de gases o vapores a baja presión (tal como
se ha descrito en los apartados anteriores). Podremos distinguir espectros discontinuos de
emisión y de absorción.
En el espectrógrafo de emisión los elementos encerrados en el tubo de descarga
emiten energía en forma de radiación electromagnética pero únicamente de algunas
frecuencias determinadas. El espectro obtenido es una serie de líneas de colores (si
hablamos del visible) sobre un fondo oscuro.
Espectro de emisión del hidrógeno
[26]
En el espectrógrafo de absorción los elementos encerrados a baja presión en la
“botella” absorben algunas frecuencias específicas. Las radiaciones no absorbidas son
dispersadas por el prisma y la forma del espectro obtenido estará formado por todos los
colores (si hablamos del visible) excepto aquellas frecuencias absorbidas que aparecerán
como líneas negras.
Los espectros no sólo aparecen en la región del visible sino también en infrarrojo,
microondas, ultravioleta, etc. El ojo no es sensible a estas zonas y se utilizan placas
fotográficas especiales sensibles a esas frecuencias del espectro.
Los espectros de emisión y de absorción de una misma sustancia son
complementarios, es decir, las líneas de emisión o de absorción aparecen a la misma
longitud de onda.
7.4.- Estudio experimental del espectro del átomo de hidrógeno.
Los espectros discontinuos de un elemento son como la “huella dactilar” de ese
elemento ya que siempre se emiten o absorben las misma longitudes de onda. Por
ejemplo: del estudio detenido del espectro de absorción del Sol se pudieron identificar la
mayor parte de las líneas oscuras como frecuencias de absorción de los diferentes
elementos que en estado gaseoso se encuentran en el Sol; sin embargo una serie de líneas
de absorción no se pudieron identificar en su momento y se pronosticó como un elemento
nuevo que no se había encontrado aún en la Tierra: el helio3.
Los espectros atómicos con muy complejos ya que contienen un número muy
elevado de líneas. En el caso del espectro del hidrógeno está formado por 5 series de líneas
que reciben el nombre de sus descubridores (Lyman, Balmer, Parchen, Brackett y Pfund).
La serie de Balmer es la que corresponde al visible.
3
El helio fue descubierto de forma independiente por el francés Pierre Janssen y el inglés Norman Lockyer, en 1868 al
analizar el espectro de la luz solar durante un eclipse solar ocurrido aquel año, y encontrar una línea de emisión de un
elemento desconocido. Eduard Frankland confirmó los resultados de Janssen y propuso el nombre helium para el nuevo
elemento, en honor al dios griego del sol (Helios).
[27]
De una forma experimental se conocía o se podía predecir la posición (λ) de cada
una de las líneas de cada serie a través de la siguiente expresión (fórmula de Rydberg4)
1
1
 R 2  2 

 n1 n2 
1
donde n1 y n2 son dos números enteros y R es la constante de Rydberg cuyo valor es
7 m-1.
’
La serie de Lyman corresponde a n1 = 1 y n2 = 2
…
La serie de Balmer corresponde a n1 = 2 y n2 =
…
La serie de Parchen corresponde a n1 = 3 y n2 =
…
La serie de Brackett corresponde a n1 = 4 y n2 =
La serie de Pfund corresponde a n1 = 5 y n2 =
…
…
7.5.- Modelo atómico de Bohr.
Las ideas clásicas eran incapaces de explicar los espectros atómicos discontinuos. En
1913 Niels Bohr propuso un modelo del átomo de hidrógeno que fue capaz de predecir la
posición de cada una de las líneas del espectro, es decir, fue capaz de deducir la fórmula
experimental anterior.
Para establecer su modelo atómico Bohr aplicó las ideas cuánticas al átomo. El
modelo se basa en:
-
El electrón del átomo de hidrógeno gira alrededor del núcleo (protón) en una
órbita circular.
-
De todas las órbitas posibles sólo son válidas aquellas en las que el momento
cinético del electrón es múltiplo entero de h/2π es decir:
mvr  n
h
2
n  1,2,3,4,5.....(n  número cuántico principal)
r es el radio de la órbita. Cuando n = 1 tenemos la primera órbita o estado
fundamental.
4
Debida al físico sueco Johannes R. Rydberg (1854-1919).
[28]
-
Cuando un electrón gira en una de estas órbitas no radia energía5, sólo lo hace
cuando cambia de órbita de forma que si
o
Sube a una órbita superior absorbe una energía equivalente a la
diferencia entre las energías de dichas órbitas.
Este ejemplo permite explicar los espectros de absorción. Al absorber el
átomo la radiación de frecuencia ν el electrón ha subido desde el nivel 1 al 2
(excitación) ya que la diferencia entre las energías de los dos niveles es hv.
Por tanto, esa frecuencia no aparece en el espectro de absorción, aparecerá
una línea negra en su posición.
o
Si baja a una órbita inferior emite una energía equivalente a la diferencia
entre las energías de dichas órbitas (ver figura en página siguiente).
Este ejemplo permite explicar los espectros de emisión. Cuando un electrón
en un estado superior (excitado) baja a una órbita inferior (decaimiento) se
emite un fotón de frecuencia ν y cuya energía es hν correspondiente a la
diferencia entre las energías de las dos órbitas. En el espectro de emisión
aparecerá una línea a esa frecuencia.
El modelo atómico de Bohr permitió deducir la expresión experimental de Rydberg
significando un éxito para el mismo. Además permitió explicar el porqué de cada una de
las series de líneas del espectro del hidrógeno.
5
Según la física clásica, toda partícula cargada y acelerada (el electrón en su órbita) pierde energía que emite en forma
de energía radiante.
[29]
8.- Hipótesis de De Broglie. Dualidad partícula-onda.
A lo largo de este tema se ha visto que la luz tiene naturaleza ondulatoria (permite
explicar la reflexión, refracción, dispersión, superposición, difracción, etc.) y naturaleza
corpuscular (como fotón se pueden explicar propiedades como el efecto fotoeléctrico y los
espectros discontinuos vistos aquí, además de la emisión de radiación de un cuerpo negro
y el efecto Compton).
Podemos hacer frente al problema desde el siguiente punto de vista: ¿es posible que
otras partículas como los protones, los electrones, etc, tengan también naturaleza
ondulatoria?
En 1924 Luis De Broglie basándose en consideraciones relativistas y en la teoría
cuántica pensó que si la luz (la radiación) se comportaba como onda y como partícula,
también la materia debería tener ese carácter dual (los protones, los electrones, los
neutrones, los átomos, las moléculas, etc.).
Según De Broglie, para la luz la energía de un cuanto (fotón) sería:
=
En esta expresión va implícito el carácter ondulatorio de la luz pues la frecuencia es una
magnitud característica de las ondas. Por otra parte, si la luz está formada por partículas la
energía asociada a estas según la teoría de la relatividad de Einstein es
=
Ambas expresiones representan la misma energía, podemos igualar
=
[30]
La expresión anterior nos da la longitud asociada al fotón pues en el denominador
aparece la velocidad de la luz. Para una partícula diferente debemos poner la velocidad, v,
a la que se mueva:
Esta expresión nos da la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que
se mueve con una velocidad v. El momento lineal (cantidad de movimiento) de la partícula
es, en módulo,
=
La hipótesis de De Broglie se puede redactar de la siguiente manera:
Toda la materia presenta características tanto ondulatorias como
corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del
experimento específico
Esta propuesta fue considerada inicialmente como
carente de realidad física por su falta de evidencias
experimentales. Sin embargo, en 1927, los físicos
norteamericanos C. Davisson (1881-1958) y L. A. Germer
(1896-1971) la comprobaron experimentalmente
después de haber observado la difracción de electrones
de forma casual. Ese mismo año, el físico inglés G. P.
Thomson (1892-1975) confirmó la relación obtenida
teóricamente por De Broglie mediante la difracción de
haces de electrones a través de hojas metálicas delgadas.
En la expresión de la longitud de onda asociada a
una partícula observamos que ésta depende de la masa
de la partícula y de la velocidad de ésta. Si la velocidad
aumenta la longitud de onda disminuye. En cuanto a la
masa podríamos pensar que para una partícula
determinada ésta no cambia (es una idea clásica), sin
embargo, según la teoría de la relatividad masa de una
partícula cambia según la expresión:
=
Donde mo es la masa de la partícula en reposo y m es la masa de la partícula a la
velocidad v. Esta expresión se deberá utilizar cuando la velocidad de la partícula sea
próxima a la velocidad de la luz.
[31]
Según la hipótesis de De Broglie, una partícula como el electrón se puede comportar
como una onda. Este fenómeno no se observa en el mundo macroscópico debido a las
pequeñas velocidades que se desarrollan y, sobre todo, al pequeñísimo valor de la
constante de Planck en nuestro universo. Como ejemplo se puede comprobar que la onda
asociada a una bola de billar de 600 g que se mueve a una velocidad de 1 m/s tiene una
-33 m (dos cuatrillones de veces más pequeña que la
longitud de onda asociada de ’
asociada al electrón del problema anterior). Este valor es casi un trillón de veces más
pequeño que un núcleo atómico (10-15 m), imposible de medir. Los efectos cuánticos no
son observables en objetos macroscópicos.
Problema 11
5
-1
Un haz de electrones se acelera bajo la acción de un campo eléctrico hasta una velocidad de 6·10 m·s .
Haciendo uso de la hipótesis de De Broglie calcule la longitud de onda asociada a los electrones. Dato:
-31
masa del electrón = 9,1·10 kg.
La hipótesis de De Broglie dice: “toda la materia presenta características tanto ondulatorias como
corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del experimento específico”.
La longitud de onda asociada a una partícula viene dada por la expresión,
donde m es, en este caso, la masa del electrón y v es su velocidad. Por tanto, la longitud de onda
asociada a este electrón es:
Problema 12
La masa del protón es aproximadamente 1800 veces la del electrón. Calcule la relación entre las
longitudes de onda de De Broglie de protones y electrones suponiendo que se mueven con la misma
energía cinética.
La longitud de onda asociada a una partícula viene dada por la expresión
donde m es la masa de la partícula y v es su velocidad. En el caso del electrón
[32]
En el caso del protón
La relación entre ambas longitudes de onda es
=
=
El problema nos indica que:
- La masa del protón es 1800 veces la masa del electrón:
- La energía cinética del protón y del electrón es la misma:
Teniendo en cuenta estas expresiones que relacionan la masa del protón y del electrón y la
velocidad de dichas partículas (al tener la misma energía cinética), la relación entre las longitudes
de onda asociadas al protón y al electrón queda,
=
)2
=
)2
(
(
=
2
=
=
2
Problema 13
Un haz de electrones se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial. Tras ese proceso,
-11
la longitud de onda asociada a los electrones es 8·10 m. Determine la diferencia de potencial aplicada.
Son datos para este problema la constante de Planck, la velocidad de la luz en el vacío, la carga del
electrón y la masa del electrón.
Si los electrones parten del reposo es claro que la diferencia de potencial a la que son sometidos se
traduce en un aumento de la energía cinética de los mismos desde cero hasta el valor
correspondiente a la velocidad que adquieran. Por tanto, la energía eléctrica se está transformando
en energía cinética:
=
2
2
donde e es la carga del electrón que adquiere una velocidad v entre dos puntos donde la diferencia
de potencial es
. De esta ecuación necesitamos conocer la velocidad del electrón. Para ello
sabemos que su longitud de onda asociada obedece la expresión,
=
[33]
por tanto,
así,
Problema 14
¿Cuál es la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve a un 10 % de la velocidad de la luz?
El 10% de la velocidad de la luz son 30.000.000 m/s.
En primer lugar veremos cómo cambia la masa del electrón respecto al reposo ( ’
por ir a dicha velocidad. Sustituyendo en la expresión que encabeza esta página vemos que
-31
kg)
m  1'005mo
Por tanto, podemos considerar que a esa velocidad la masa del electrón no ha cambiado. Si
sustituimos ahora en la expresión que nos da la longitud de onda asociada al electrón obtendremos

h
6'6·1034

 2'4·109 m
mv 9'1·1031·3·107
A esta longitud de onda le corresponde una frecuencia de ’2
radiación correspondería a la zona de los rayos X.
17
Hz. En el caso de la
9.- Principio de incertidumbre de Heisenberg.
Para medir una magnitud en un cuerpo hay que “verla” para verla hay que
iluminarla y al iluminarla los fotones chocan contra ese cuerpo. Si el cuerpo sobre el que
medimos es grande (mundo macroscópico), el choque de esos fotones no le afecta en
demasía, pero si el cuerpo en el que medimos es pequeño, como un electrón, el choque de
los fotones sí que le afecta de tal manera que realmente no sabemos dónde está (lo que sí
que podemos saber es una zona de máxima probabilidad de encontrarlo). Esta limitación,
explicada aquí toscamente se conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg,
también principio de indeterminación de Heisenberg y dice:
“No e po ible dete min , de un modo p eci o, l po ición y l c ntid d de movimiento de
una partícul ”
[34]
Los valores de las indeterminaciones en la posición y en la cantidad de movimiento
cumplen
Donde Δx es la indeterminación o incertidumbre en la posición espacial (en metros)
y Δp es la indeterminación o incertidumbre en el momento lineal (p = m·v, en kg · m · s-1).
Según esta expresión, si podemos determinar con gran precisión la posición entonces la
incertidumbre en la cantidad de movimiento (y por tanto en su velocidad) será grande y
viceversa.
El principio de incertidumbre es un principio fundamental de la naturaleza, es decir,
todos los cuerpos están afectados por este principio, pero el pequeño valor de h en
nuestro universo hace que sólo se note su influencia en el mundo atómico.
El principio de incertidumbre se aplica de forma más general a dos magnitudes
complementarias y debería decir en realidad:
“Re ult impo ible dete min
imultáne mente, de un modo p eci o, do m gnitude
complement i del e t do de un i tem ”
Dos magnitudes complementarias son aquellas cuyo producto tiene dimensiones de
una acción, es decir, las dimensiones de h:
m
m
J ·s  N ·m·s  kg· 2 ·m·s  kg. ·m
s
s
El resultado como vemos son las unidades del momento lineal por las unidades de la
posición y, por tanto, podremos escribir el principio de incertidumbre como lo hemos
hecho:
Pero Julios por segundo (J·s) son también las unidades de la energía y del tiempo,
por tanto estas dos magnitudes son complementarias del estado de un sistema y podemos
decir que no es posible determinar simultáneamente el valor medio de la energía E de un
objeto y el intervalo de tiempo necesario para efectuar la medida, es decir:
Donde ΔE es la indeterminación en la energía y Δt es la indeterminación en el
tiempo6.
6
  
El momento cinético ( L  pxr ) y el ángulo de giro (α) también son dos magnitudes que
cumplen el principio de incertidumbre.
[35]
Problema 15
Un electrón se mueve con una velocidad de 4000 km/s. Si la incertidumbre en el conocimiento de su
velocidad es del 3%, ¿Cuál es la incertidumbre en la posición del electrón?
La incertidumbre en la velocidad es del 3%, es decir,
=
=
2
/
Según el principio de incertidumbre
2
como
=
2
Sustituyendo
2
2
de donde
Problema 16
Un grano de arena de 1 mg de masa se mueve con una velocidad de 20 m/s. Si la incertidumbre en su
-3
posición es de 10 m, ¿cuál es la incertidumbre en su velocidad?
Este problema es idéntico al anterior, por tanto, si cambiamos las cantidades correspondientes
(unidades en el S.I.), la incertidumbre en la velocidad es,
2
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Estos apuntes se finalizaron el 10 de mayo de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
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