Exponentes y modelos exponenciales

SPAlgebra06.Chap06.qxd 6/2/06 11:43 AM Page 27
C APÍTULO
6
Exponentes y modelos
exponenciales
Resumen del contenido
Los estudiantes entienden un concepto no sólo al ver ejemplos del concepto sino
también al ver ejemplos falsos o contraejemplos de ese concepto. Por ejemplo, si intenta
enseñarle a un bebé el concepto del color azul señalando solamente a una variedad de
objetos azules y diciendo “azul”, el niño puede pensar que “azul” describe todo. Usted
necesitaría señalar a algunos objetos que no son azules y decir sus colores también.
Similarmente, hay muchas clases de crecimientos que no son lineales. El entendimiento
de los estudiantes del crecimiento lineal se volverá más profundo a medida que estudian
otras clases de crecimientos. Ellos comienzan a estudiar el crecimiento no lineal en el
Capítulo 6, donde aprenden acerca del crecimiento exponencial. Luego de comparar el
crecimiento lineal y el exponencial en el Capítulo 7, se encontrarán con otros tipos de
crecimientos no lineales en los Capítulos 8 y 9. Aún aquellas personas que consideran
que el corazón del álgebra elemental son las ecuaciones lineales admiten la importancia
de estos temas.
Crecimiento exponencial
Para hallar valores que crecen linealmente, se suma la misma cantidad
repetidamente. En contraste, para hallar muchos valores de reales, se multiplican por
la misma cantidad repetidamente. Por ejemplo, para hallar el precio de pan a través
de varios años, se multiplica 1.02 por cada año para representar una tasa de inflación
del 2%. O para hallar la altura de una pelota de un rebote a otro, puede multiplicarse
por 0.85 para representar la pérdida de altura de rebote a rebote. Este tipo de
crecimiento se llama crecimiento (o decaimiento) exponencial.
Para hallar la altura de la pelota después de 9 rebotes, dada una altura inicial de 2
metros, puede multiplicar 2 por 0.85 repetidamente.
(2)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85)(0.85) ⬇ 0.4632
Este método usa recursión, el cual los estudiantes vieron por primera vez en el
Capítulo 0. En contraste, si usa el método rápido para hallar el valor sustituyendo 9
por x en y 2(0.85)x, está usando una ecuación exponencial. La variable x es el
número de veces que usa 0.85 como factor.
y
4
y 2(0.85)x
1
1
10
x
Exponentes
El trabajar con ecuaciones exponenciales requiere entender las reglas de los
exponentes. Si la pelota rebota dos veces más después de los nueve rebotes, puede
hallar su altura evaluando 2(0.85)11 ó 2(0.85)9 (0.85)2. El hecho que estos dos valores
(continuado)
©2007 Key Curriculum Press
Discovering Algebra: Una guía para padres
27
SPAlgebra06.Chap06.qxd 6/2/06 11:43 AM Page 28
Capítulo 6 • Exponentes y modelos exponenciales (continuado)
son iguales ilustra la propiedad multiplicativa de los exponentes: (0.85)m ⭈ (0.85)n (0.85)mn. Más generalmente, si b es cualquier base, b m ⭈ bn b mn.
También puede hallar la altura de la pelota tres rebotes antes del noveno rebote
en
2(0.85)9
6
ᎏᎏ
dos maneras. Puede simplemente evaluar 2(0.85) , o puede evaluar
(0.85)3 . La
bm
propiedad de la división de los exponentes correspondiente es ᎏbᎏn b mn.
Si m n, en el lado izquierdo de la ecuación anterior, está dividiendo un número
por sí mismo para obtener 1. En el lado derecho obtiene b 0. Por eso cualquier
número (excepto 0) a la potencia 0 se define como 1. Si m ⬍ n, el exponente en el
lado derecho es un número negativo, y en el lado izquierdo, después de cancelar,
quedaría una potencia positiva en el denominador. Estas ideas se exploran en la
Investigación Más Exponentes en la Lección 6.6.
Estas propiedades de exponentes son la razón por la cual la notación científica es tan
útil al trabajar con números muy grandes y muy pequeños.
Problema de resumen
Usted y su estudiante pueden discutir este problema, expandido del Ejercicio 13 de la
Lección 6.2.
Tu amigo acaba de comprar un auto antiguo por $5000. ¿Cuál puede ser el valor del
auto dentro de 10 años?
Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen:
●
●
●
●
●
¿Cuál será el valor del auto para las varias tasas en las cuales el valor puede
apreciar (aumentar exponencialmente)?
¿Cuál será el valor del auto para las varias tasas en las cuales el valor puede
depreciar (disminuir exponencialmente)?
Para hallar el valor del auto dentro de 12 años con una de estas tasas de
crecimiento, ¿puedes usar la propiedad multiplicativa de los exponentes?
Para hallar el valor del auto dentro de 20 años con una de estas tasas de
crecimiento, ¿puedes usar la propiedad de potencias de los exponentes?
Para hallar el valor del auto dentro de 8 años con una de estas tasas de
crecimiento, ¿puedes usar la propiedad de la división de los exponentes?
Respuestas ejemplares
Si se asume un aumento de 6%, la ecuación y 5000(1 0.06)x muestra el valor
dentro de 10 años de y 5000(1 0.06)10, ó $8954. Puedes tomar esta respuesta y
multiplicarla por la tasa de crecimiento (1 0.06)2 para obtener el valor después de
12 años, usando la propiedad multiplicativa de los exponentes. O puede dividirlo
por (1 0.06)2 para obtener el valor después de 8 años, usando la propiedad de la
división de los exponentes. La propiedad de potencias de los exponentes indicaría
que el multiplicador para 20 años es el cuadrado del multiplicador para 10 años, así
que 5000[(1 0.06)10]2 5000(1 0.06)20.
Si en cambio el auto deprecia a 1% por año por 10 años, su valor de y sería
5000(1 0.01)10, o alrededor de $4522.
28
Discovering Algebra: Una guía para padres
©2007 Key Curriculum Press
SPAlgebra06.Chap06.qxd 6/2/06 11:43 AM Page 29
Capítulo 6 • Ejercicios de repaso
Nombre
Periodo
Fecha
1. (Lecciones 6.1, 6.2) Yossi comenzó un nuevo empleo. Su salario inicial es
$34,500 y tiene garantizado un aumento de 5% cada año que su trabajo
permanece satisfactorio.
a.
Determina el multiplicador usado para calcular el salario de Yossi cada
año.
b.
Escribe una rutina recursiva y úsala para hallar el salario de Yossi
después de cinco años.
c.
¿Cuándo Yossi estará ganando más de $50,000 por año?
d.
Escribe una ecuación exponencial para modelar el salario de Yossi.
2. (Lección 6.2) Para la siguiente tabla, halla los valores de las constantes a y
b tal que y a ⭈ b x.
x
y
1
12.5
2
2.5
4
0.1
5
0.02
8
0.00016
3. (Lecciones 6.3, 6.5) Usa las propiedades de los exponentes para reescribir
cada expresión.
a. 2冢3x 3冣2冢x 5冣
冢3x 2冣4
b. 3
c. 冢2x 4y 2冣3冢3x 5y冣
27x
4. (Lecciones 6.4, 6.6) Reescribe cada número en notación científica.
a. 12,300,000
c. 314 104
b. 0.00004
5. (Lecciones 6.6, 6.7) Sandra monitoreó cada hora
la cantidad que tenía de cierto isótopo
radiactivo y registró los datos en la tabla
mostrada a la derecha.
a. Estima el porcentaje de disminución en la
cantidad del isótopo por hora.
b. Escribe una ecuación exponencial para
modelar la cantidad del isótopo. Grafica la
ecuación junto con una gráfica de dispersión
de los datos.
Tiempo transcurrido (h)
Cantidad (g)
0
68.3
1
57.7
2
52.1
3
43.2
4
38.1
5
31.4
6
26.9
c. Usa tu modelo de 5b para estimar la cantidad
del isótopo 7 horas antes de que Sandra comenzara a registrar sus datos.
©2007 Key Curriculum Press
Discovering Algebra: Una guía para padres
29
SPAlgebra06.Chap06.qxd 6/2/06 11:43 AM Page 30
S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 6
1. a. (1 0.05), ó 1.05.
b. {0, 34500} ENTER
Ans(1) 1, Ans(2) ⭈ (1 0.05)} ENTER
ENTER , ENTER , . . .
Después de cinco años, el salario de Yossi será $44,031.71.
c. 冢2x 4y 2冣3冢3x 5y冣
冢8x12y 6冣冢3x 5y冣
24x 17y 7
Expresión original.
Usa las propiedades de las
potencias de los exponentes.
Multiplica los coeficientes y usa
la propiedad multiplicativa de los
exponentes.
12,300,000 1.23 107
0.00004 4.0 105
314 104 3.14 102 104 3.14 106
Halla las razones de cada valor de y al próximo
y halla su media. La media de las razones es
aproximadamente 0.86, lo cual es 1 0.14.
Esto significa que la cantidad de la sustancia
se redujo aproximadamente 14% cada hora.
b. y 68.3(1 0.14)x, donde y es el número de
gramos del isótopo x horas después que Sandra
comenzó a registrar los datos.
4. a.
b.
c.
5. a.
c. Después de ocho años su salario excederá $50,000.
d. y 34,500(1 0.05)x, donde y es el salario de
Yossi después de x años. En la ecuación exponencial
y A(1 r)x, el valor r es la tasa de crecimiento,
y A es el valor inicial, o el valor de y cuando
x 0.
2. y 62.5 ⭈ 0.2x. Usa el valor de y correspondiente a
valores de x consecutivos para hallar el multiplicador:
2.5
0.02
0.2 y 0.2, así que b 0.2. El valor de a es
12.5
0.1
el valor de y cuando x 0. Para hallar esto, divide
12.5
12.5 por el multiplicador: 0.2 62.5, así que
a 62.5.
3. a. 2冢3x 3冣2冢x 5冣
Expresión original.
2 ⭈ 32x 3⭈2 ⭈ x 5
Usa las propiedades de las
potencias de los exponentes.
2⭈
⭈
65
18x
9x 6
18x11
冢3x 2冣4
b. 27x 3
34x 2 • 4
3
3 x3
30
x5
Multiplica.
[0, 10, 1, 0, 75, 10]
c. Usa el modelo de 5b con x 7.
y 68.3(1 0.14)7 ⬇ 196.3. Había aproximadamente 196.3 gramos del isótopo 7 horas antes que
Sandra comenzara a registrar sus datos.
Usa la propiedad multiplicativa
de los exponentes.
Suma.
Expresión original.
Usa las propiedades de las potencias de los exponentes.
3x 83
Usa la propiedad de la división
de los exponentes.
3x 5
Resta.
Discovering Algebra: Una guía para padres
©2007 Key Curriculum Press