La medición de la velocidad de la luz por Röemer

La medición de la velocidad de la luz por Röemer.
Carlos S. Chinea
La medición de la velocidad de la luz
por Röemer. Observación de la luna
Io de Júpiter
En 1676 Ole Christensen Röemer (25 de septiembre de 1644, Århus - 19 de
septiembre de 1710, Copenhague) realizó la primera estimación cuantitativa
de la velocidad de la luz como resultado de sus detalladas observaciones
mediante telescopio del movimiento del satélite Ío de Júpiter. Aunque su
cálculo dio un valor inferior al real, ello fue debido a que el valor de la
unidad astronómica que se manejaba en la época era erróneo (140 millones
de kilómetros), ya que el método que empleó fue muy preciso.
Comprendió la posibilidad de medir el tiempo de la revolución de Ío debido
a sus movimientos de entrada y salida en la sombra de Júpiter a intervalos
regulares. Röemer observó que Ío gira alrededor de Júpiter cada 42,5 h
(1,769 días) aproximadamente, cuando la Tierra esta más cerca de Júpiter
(situación de oposición). También observó que, cuando la Tierra y Júpiter se
mueven separándose, la salida de Ío fuera de la proyección de la sombra
comenzaría progresivamente más tarde de lo predicho. Las observaciones
detalladas mostraban que estas señales de salida necesitaban más tiempo
en llegar a la Tierra, ya que la Tierra y Júpiter se separaban cada vez más.
Pensó, por consiguiente, que esta diferencia de tiempo utilizada por la luz
para llegar a la Tierra podría ser utilizada para establecer su velocidad. Notó
Röemer también que 6 meses después, las entradas de Ío en la proyección
de la sombra de Júpiter ocurrían con mayor frecuencia ya que la Tierra y
Júpiter se acercaban uno a otro. Con base a estas observaciones, Rømer
estimó que la luz tardaría unos 22 min en cruzar el diámetro de la órbita de
la Tierra (es decir, el doble de la unidad astronómica); ahora sabemos que la
medida correcta es de unos 16 min y 40 s.
El trabajo de Röemer tiene la trascendencia de haber sido la primera vez que
se midió matemáticamente la velocidad de la luz.
El paso de Io por la sombra de Júpiter
De los cuatro satélites galileanos, Io, Ganímedes, Europa y Calisto, es el primero el
que orbita más próximo al gigante gaseoso, con un radio medio orbital dado por
rio = 4,216.108 m , y un movimiento que se desarrolla en el mismo plano en el que
se mueve Júpiter en su órbita alrededor del Sol.
El planeta Júpiter, tiene, en su orbita alrededor del Sol, un radio orbital aproximado
dado por rj = 5,203 UA , y un periodo PJ = 11,86 años . El radio del planeta es de
Rj=71398 km. Su masa es M = 1,901.1027 kg
Nuestro planeta, la Tierra, tiene asimismo un radio orbital de 1 UA y un periodo de
365,2 días ( rT = 1 UA, PT = 365,2 días ).
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Con estos datos podemos determinar la velocidad, periodo, etc. de Io en su
movimiento alrededor de Júpiter:
Si es M la masa de Júpiter, la velocidad de Io se obtiene de forma inmediata:
m
v2
M .m
GM
, y esto nos permite obtener su periodo orbital:
=G 2 →v=
rio
rio
rio
v=
2πrio
2πrio
rio3
(4,216.108 )3
→ Pio =
= 2π
= 2π
= 152748,4 segs = 1,769dias
Pio
v
GM
6,67.10 −11
La luz incidente del Sol sobre la esfera del planeta Júpiter proyecta una sombra que
es atravesada por Io en su órbita alrededor del planeta. El ancho de esta sombra
coincide con el diámetro del planeta y el ángulo 2ϕ que abarca puede calcularse
fácilmente:
 Rj 
 7,1398.107 


= 0,1678
tgϕ =
→ ϕ = arctg   = arctg 
8 
rio
 4,216.10 
 rio 
Podemos determinar el tiempo t que tarda Io en atravesar la sombra, mediante una
Rj
proporción con el periodo orbital de Io:
t
2ϕ
P
1,769.24.60.60
=
→ t = io 2ϕ =
.2.0,1678 = 8164 s = 136,07 min = 2,27horas
Pio 2π
2π
2π
Distancia entre la Tierra y Júpiter:
Puesto que nuestro planeta dista del Sol una unidad astronómica, mientras que
Júpiter dista del Sol 5,203 unidades astronómicas, resulta que la menor distancia
entre la Tierra y Júpiter corresponde a la situación en la que Júpiter se encuentra
en oposición, ya que en este caso tal distancia será dTJ = 5,203 − 1 = 4,203 UA . La
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mayor distancia corresponde al caso en el que Júpiter esté en conjunción, situación
en la que tal distancia sería dTJ = 5,203 + 1 = 6,203 UA
La distancia, d, entre ambos astros, es, por consiguiente, 4,203 UA ≤ d ≤ 6,203 UA
Situación de los planetas Tierra y Júpiter medio año después de la
situación de oposición:
Medio año después de la situación en la que la distancia es mínima (oposición) la
Tierra ha recorrido la mitad de su periodo orbital, esto es, se ha desplazado
recorriendo un ángulo de 180º, mientras que Júpiter, cuyo periodo es mucho más
largo, habrá recorrido un ángulo φ , menor, que podemos determinar de manera
sencilla, como la proporción entre 0,5 años y 11,86 años que es el periodo de
tiempo en el que el planeta gaseoso recorre 360º:
0,5
360.0,5
φ
=
→φ =
= 15,18º
11,86 360
11,86
Durante todo este tiempo, que emplea Júpiter en moverse dentro de su órbita un
ángulo de 15,18º y la Tierra un ángulo de 180º, un observador situado en nuestro
planeta vería a Io surgir desde la sombra de Júpiter, aunque no le vería en el
momento de su entrada en la zona de sombra, pues se lo impide la posición
intermedia de Júpiter.
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Si bien en la situación inicial de oposición el periodo de Io observado es de
152748,4 segundos, a medida que la Tierra se va alejando de Júpiter el observador
que mide los instantes en que Io surge desde la sombra de Júpiter en sus sucesivas
órbitas alrededor del planeta observa que la diferencia de tiempos va aumentando,
esto es, que cada vez tarda más dicha luna en surgir de la sombra proyectada por
el planeta, de modo que cuando ha pasado el medio año en el que la Tierra ha
recorrido los 180º y Júpiter los 15,8º, se llega a constatar un retraso global con
respecto al periodo inicial de Io en la situación de oposición, de unos 990 segundos.
Si esos 990 segundos de retraso se deben a que al alejarse cada vez más la Tierra
la luz tarda más en llegar, bastará encontrar la distancia entre la Tierra y Júpiter en
este momento para poder calcular la velocidad de la luz, pues si encontramos que
la distancia entre ambos planetas en la fase de oposición era la mínima, 4,203 UA,
y ahora encontramos que la distancia es d, la velocidad de la luz se calcularía como
el cociente de dividir la variación de distancia por la variación de tiempo:
c=
d − 4,203
990
Veamos, por consiguiente, cómo calcular la distancia entre ambos planetas cuando
ha pasado medio año desde la situación de oposición.
Distancia Tierra-Júpiter medio año después de la situación de oposición:
En el triángulo Tierra-Sol-Júpiter se conocen dos lados y el ángulo comprendido
entre ambos lados: lado Tierra-Sol, TS=1 UA, lado Sol-Júpiter, SJ=5,203 UA,
ángulo δ comprendido = suplementario de φ .
Aplicando a dicho triángulo el teorema del coseno, podemos hallar la distancia d
entre la Tierra y Júpiter:
d 2 = TS 2 + SJ 2 − 2TS .SJ . cos δ
y obtenemos:
d 2 = 12 + 5,2032 − 2.5,203. cos(164,82) = 28,0712 + 10,406.0,965290 = 38,1160
resultando que es
d = 6,174 UA
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El cálculo de la velocidad de la luz:
Será, como hemos indicado antes:
d − 4,203 6,174 − 4,203 1,971
1,971.15.107
c=
=
=
UA / s =
km / s = 2,98636.105 km / s
990
990
990
990
(se ha redondeado el valor de la unidad astronómica en 150 millones de kilómetros
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–1 UA=15.10 kms)
Documentación recomendada:
-
Medida de la velocidad de la luz. Procedimiento de Röemer
(http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/roemer/roemer.htm
-
Wikipedia, velocidad de la luz
(http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_de_la_luz)
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