Probabilidad y estadística - Servidor de Apoyo al Sistema

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
UNIDAD I. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
1.1 Conjuntos, sus operaciones, leyes y su representación
Definición de conjunto
Por Extensión y por Comprensión
Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los
elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos
sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique.
Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una
letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto
específico de elementos.
Existen dos maneras de definir un conjunto dado:
a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del
conjunto.
Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al
conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin
nombrar a ninguno en particular).
Por comprensión
A = {Números dígitos}
B = {Números pares]
C = {Múltiplos de 5}
Por extensión
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}
Diagrama de Venn y entre llaves.
Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de
Venn.
En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada
por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción
del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.
El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3.
El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d.
Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves.
En estos ejemplos se escribe:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c, d}
Otro ejemplo:
Por diagrama
Entre llaves
S = {a, e, i, o, u}
Se escribe una coma para separar los
elementos.
Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto
1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en
común.
Por ejemplo:
El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene
como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los
conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al
conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.
En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.
Tomando otro ejemplo:
Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)
F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)
G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala,
lápiz)
E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al
conjunto G.
E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F.
F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y
niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.
2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los
elementos de un conjunto también pertenecen al otro.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
P = { a, e, i, o, u }
y
R = { a, i }
R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.
En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se
pone entre ellos el símbolo
. En este ejemplo se escribe:
R
P
Se lee “ R es subconjunto de P”
no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece
al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es
.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
C = { 3, 5, 7, 9 }
y
H = { 3, 5, 8 }
H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se
escribe:
H
C
Se lee “ H no es subconjunto de C”
También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de
Venn.
Ejemplo:
S
C
Propiedades de la relación subconjunto
1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T
T
2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es
aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø
Si se tiene el conjunto B se puede
que Ø
T
Relaciones entre conjuntos
Sean los conjuntos
A = { 5, 7 }
B = { 3, 5, 7, 9 }
Los elementos 5 y 7 forman parte del conjunto A.
establecer
En otras palabras, los elementos 5 y 7 pertenecen (
5
A
y
) al conjunto A.
7
A
Los elementos 3, 5, 7, 9 forman parte del conjunto B, es decir, pertenecen al
conjunto B
3
B
5
B
7
B
9
B
Se puede observar, además, en el diagrama, que los elementos del conjunto A
están incluidos dentro del conjunto B; por lo tanto, dichos elementos también
pertenecen al conjunto B.
En otras palabras, A es subconjunto de B.
A
B
Operaciones entre conjuntos
Intersección de conjuntos (
) La intersección entre dos o más conjuntos es
otro conjunto formado por los elementos comunes a ellos; es decir, a los
elementos comunes o repetidos de ambos conjuntos A y B.
La intersección se simboliza con el signo
representan a cada conjunto.
Conjunto A = {3, 8, 24}
Conjunto B = {13, 7, 8, 12}
y se coloca entre las letras que
Los elementos que se repiten entre A y B son: 3 y 8. Estos elementos se anotan
en la parte de color amarillo pues representa el lugar común entre ambos
conjuntos.
Otro ejemplo:
B = { a, b, c, d, e, f }
C = { a, d, f, g, h }
B
C = { a, d, f }
En el diagrama de Venn la parte ennegrecida representa la intersección de B y C.
Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos es otro conjunto formado
por los elementos que pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos. La unión se
representa por el símbolo
Si un elemento está repetido, se coloca una sola
vez.
Cuando no hay elementos comunes o repetidos (esquema 1) se anotan todos los
elementos en un solo conjunto (una sola figura cerrada):
A
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Si hay elementos repetidos, éstos se anotan en la
zona común a ambos conjuntos (esquema 2), donde se juntan ambas figuras
cerradas:
W
Z = {9, 6, 8, 5, 7}.
La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al
número de elementos que tiene el conjunto.
Ejemplos:
W = { $, %, &, /, ª }
El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo
tanto, su cardinalidad es 5 ( # = 5 )
Q
=
El conjunto Q está formado
por 3 elementos
#Q= 3
K=
El conjunto K tiene un elemento
# K= 1
Conjuntos equivalentes
Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual número de elementos.
T=
{
}
,
,
P=
{ a, b, c }
# T = 3
# P = 3
Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen la misma cardinalidad.
Conjuntos iguales
Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un
conjunto también pertenecen al mismo conjunto.
Ejemplo:
D
F
D = F
Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces
pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal caso,
debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los
elementos.
Conjunto universo
En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede observar que el conjunto U
contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto
que contiene a todos los conjuntos.
Otro ejemplo:
Sea Y = { enero, febrero } ;
El conjunto universo será:
Ñ = { marzo, junio, agosto }
U = { meses del año }
1.2 Probabilidad de eventos aleatorios
Probabilidad de eventos
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de
una maner más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad
estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en
que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones
prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento
tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar
en cuenta los siguientes criterios:
1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace
el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el
tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con
validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se
utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos
previos, y no en resultados estadísticos.
2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden
las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la
regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona
probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no
valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita
realizar el experimento para poder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click
aquí.)
3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se
define como el número de eventos elementales que componen al evento E,
entre el número de eventos elementales que componen el espacio
muestral:
Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita
como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad de ocurrir.
Axiomas de la probabilidad
Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución tenían las
siguientes propiedades:
1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren
simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de
las frecuencias relativas de cada uno.
Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, de acuerdo a la definición
ya expuesta, es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño de la muestra,
se tienen lo siguiente.
Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E,
entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad:
1. 0
P(E)
1.
2. P(S) = 1.
3. Si E1, E2, ... , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces
Con estos axiomas podremos tratar algunas de las propiedades de la probabilidad
de eventos.
Posibilidades y probabilidades
Se habla muy comúnmente en sitios de apuestas, como en las autódromos o
hipódromos, de que "las apuestas a tal o cual participante es de x a y", es decir,
que las posibilidades de que gane es de x a y. Esta manera de expresarse se
refiere al uso de razones.
En términos generales, la posibilidad de que ocurra un evento se determina
mediante la razón de la probabilidad de que ocurra a la probabilidad de que no
ocurra.
Esto quiere decir que si la probabilidad de que un evento ocurra es p, entonces las
posibilidades de que ocurra son x a y, es decir
Tales que x y y son enteros positivos.
Por ejemplo: Si se tiran dos monedas normales (no trucadas), la probabilidad de
que las dos monedas caigan cara es de ¼. Esto quiere decir si alguien apuesta a
que las dos monedas no caen simultáneamente en cara, la posibilidad de ganar la
apuesta es de
es decir, 3 a 1.
Hemos de considerar que si es mayor la probabilidad de que no ocurra un evento,
entonces se acostumbra mencionar las posibilidades en contra del evento.
Por ejemplo: Si se tira un dado no trucado, sabemos que la probabilidad de
obtener un cuatro es 1/6, es decir que la posibilidad de obtener un cuatro es de 1 a
6; pero se acostumbra decir que las posibilidades en contra, esto es, de no
obtener un cuatro es de 6 a 1.
Inversamente, en el caso de tener las posibilidades de un evento, entonces es fácil
obtener su probabilidad, pues si la posibilidad de un evento es de x a y, entonces
la probabilidad p de que ocurra tal evento es
Por ejemplo: En la Copa Mundial de Futbol Francia 1998 se decía que el equipo mexicano tenía
una posibilidad de 1 a 75 de llegar a ser el campeón del torneo.
Si se desea encontrar la probabilidad de que el equipo mexicano llegase a ser
campeón, entonces se tiene que
es la probabilidad de que ocurriese el evento.
Esto tiene la ventaja de que permite, en combinación con el tercer axioma de la
probabilidad, medir la confiabilidad que tienen las opiniones de las personas sobre
las posibilidades que le asignan a algunos eventos. Esto quiere decir que el
cálculo de las probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes a partir de
las posibilidades otorgadas de manera subjetiva resulta como un criterio de
consistencia.
Por ejemplo: Un criminólogo piensa que las posibilidades de que en la próxima
semana la cantidad de delitos en una ciudad aumente con respecto a la anterior
es de 5 a 2, de que sea la misma cantidad de delitos es de 1 a 3 y las
posibilidades de que aumente la cantidad o sea la misma es de 7 a 4.
Si se desea saber si son consistentes las probabilidades correspondientes habría
que hacer los cálculos.
Las probabilidades de aumente la cantidad de delitos, sea igual la cantidad de
delitos, y de que aumente o sea igual la cantidad de delitos es, respectivamente,
de
y dado que
(como son eventos mutuamente excluyentes) no es
lo mismo que 7/11, entonces los criterios del criminólogo pueden ser cuestionados.
Propiedades de la probabilidad de eventos no elementales
Cuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el sentido
del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o el uso
directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no elementales, que
son los compuestos por más de un evento elemental, el proceder de manera
análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad
de cálculo existente. Sin embargo, utilizando los axiomas de la probabilidad y las
siguientes propiedades, se podrán expresar las probabilidades de estos eventos
en términos de los eventos elementales que lo componen, siempre y cuando se
conozcan las probabilidades de éstos.
Veamos la probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos calcular
de la siguiente manera:
Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es
igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la
probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Ahora, si el caso es que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene:
Propiedad 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la
probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de
ocurrencia de A y de B. Es decir
P(A B) = P(A) + P(B)
Otra propiedad que se deriva de las anteriores es cuando se busca la probabilidad
del complemento de un evento E, que denotaremos como ~E:
Propiedad 3. Si E es un evento y ~E su complemento, entonces
P(~E) = 1 - P(E)
Retomando los conceptos de eventos dependientes o condicionales, se va a
definir la probabilidad condicional como sigue:
Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el
evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:
Hay que notar que esta propiedad no es conmutativa, situación que sí ocurre con
la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no hay que
confundir P(A|B) y P(B|A).
Finalmente, el criterio para la independencia de eventos queda como sigue:
Propiedad 5. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si
P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)
o, que es lo mismo:
P(A B) = P(A) · P(B)
1.3 Espacio muestral y eventos
Modelos:
Modelo determinista: designamos así al modelo que estipula que las condiciones
en las que se verifica un experimento determinan el resultado del mismo. El
modelo señala que las condiciones en las cuales se verifican ciertos fenómenos
determinan el valor de ciertas variables observables: la magnitud de la velocidad,
el área recurrida durante un cierto tiempo, etc.
Modelo no determinista (o probabilístico o estocástico): en este modelo las
condiciones experimentales solo determinan el comportamiento probabilístico (la
distribución probabilística) de los resultados observables. Usamos consideraciones
específicas para especificar una distribución de probabilidades.
Características de un experimento aleatorio:
esencialmente las condiciones.
particular,
podemos describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
gran número de veces, aparece un patrón
definido o regularidad. Esta regularidad hace posible la construcción de un modelo
preciso con el cual podemos analizar el experimento.
Espacio muestral:
Para cada experimento E definimos el espacio muestral como el conjunto de todos
los resultados posibles de E. Usualmente se designa este conjunto como S.
El espacio muestral, de acuerdo con el número de resultados posibles, puede ser:
finito, infinito numerable, infinito no numerable.
Eventos:
Un evento A (respecto a un espacio muestral particular S asociado a un
experimento E) es simplemente un conjuno de resultados posibles. En
terminología de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral S.
Esto implica que S tambien es un evento asi como lo es el conjunto vacio.
Cualquier resultado individual tambien puede considerarse como un evento.
Se dice que dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes si no pueden
ocurrir juntos. Expresamos esto escribiendo IMAGEN; es decir, la intersección de
A y B es el conjunto vacío.
Frecuencia relativa:
Supongamos que repetimos n veces el experimento E, y sean A y B dos eventos
asociados con E. Sean nA y nB el número de veces que el evento A y el B
(respectivamente) ocurrieron en las n repeticiones. Entonces, definimos fA = nA / n
como la frecuencia relativa del evento A en las n repeticiones de E.
La frecuencia relativa fA tiene las siguientes propiedades:
fA 1
A = 1 si y sólo si A ocurre cada vez en las n repeticiones.
A = 0 si y sólo si A nunca ocurre en las n repeticiones.
(A U B)
es la frecuencia
relativa asociada al evento A U B, entonces f(A U B) = fA + fB.
A, basada en la n repeticiones del experimento y considerada para una función
de n, "converge" en cierto sentido probabilístico a P(A) cuando n-->+oo. (Esto NO
es lo mismo que el concepto corriente de convergencia que se encuentra en otra
parte en matematicas. En realidad, ésta no es una conclusión matemática, sino
simplemente un hecho empírico.) Lo importante de esta propiedad es que si un
experimento se realiza un gran número de veces, la frecuencia relativa con que
ocurre un evento A tiende a variar cada vez menos a medida que el número de
repeticiones aumenta. A esta característica se la conoce como regularidad
estadística.
Nociones básicas de probabilidad:
Sea E un experimento y S un espacio muestral asociado con E. Con cada evento
A asociamos un número real, designado con P(A) y llamado probabilidad de A, el
cual satisface las siguientes propiedades:
0 P(A) 1
P(S) = 1
i A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, P(A U B) = P(A) + P(B)
C
es el evento complementario de A, entonces P(A) = 1 - P(AC)
A) + P(B) - P(A
IMAGEN C)
B, entonces P(A) P(B)
1.4 Definición clásica de la probabilidad
El concepto de Probabilidad ha evolucionado en el transcurso del tiempo. La
probabilidad nació en el juego y es jugando como mejor se aprende la
probabilidad. A los aljebristas del siglo XVI, Pacioli, Cardano, Tartaglia, se deben
las primeras consideraciones matemáticas profundas a propósito de los juegos de
azar. Los fundamentos del cálculo de probabilidades surgen alrededor del año
1650, cuando sugerido por los juegos de dados, de cartas, del lanzamiento de una
moneda, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar la partida.
Fermat y Pascal, esquematizado el tema propuesto (ver primer problema), dieron
en 1654 la primera definición de probabilidad. Se aceptaba como intuitivo el
concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un
acontecimiento fuese igual al cociente entre el número de casos favorables y el de
casos posibles. El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la
base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de
Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado
por De Moivre, del teorema central del límite. En 1809 Gauss inició el estudio de la
teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el
tema, completó el desarrollo de esta teoría.
A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el
estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el
cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la
Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de
probabilidad a las ciencias naturales.
1.5 Definición en base a la frecuencia relativa
Probabilidad de eventos
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de
una maner más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad
estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en
que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones
prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento
tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar
en cuenta los siguientes criterios:
1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace
el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el
tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con
validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se
utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos
previos, y no en resultados estadísticos.
2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden
las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la
regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona
probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no
valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita
realizar el experimento para poder obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click
aquí.)
3. La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se
define como el número de eventos elementales que componen al evento E,
entre el número de eventos elementales que componen el espacio
muestral:
Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita
como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad de ocurrir.
1.6 Definición axiomatica de la probabilidad
Axiomas de la probabilidad
Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución tenían las
siguientes propiedades:
1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren
simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de
las frecuencias relativas de cada uno.
Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, de acuerdo a la definición
ya expuesta, es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño de la muestra,
se tienen lo siguiente.
Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E,
entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad:
1. 0
P(E)
1.
2. P(S) = 1.
3. Si E1, E2, ... , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces
Con estos axiomas podremos tratar algunas de las propiedades de la probabilidad
de eventos.
Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas
leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente
estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos
parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de
probabilidad:

La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no
puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del
ni del
;



La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el
;
La probabilidad del suceso imposible debe ser 0.
La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual
que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,

La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno
de los sucesos por separado:
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) debe ocurrir que

La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer
Esto en realidad puede deducirse del siguiente razonamiento:
.
En las últimas líneas hemos esbozado ciertas propiedades que debería cumplir
una función que queramos llamar probabilidad. Hemos de tener en cuenta
entonces que siguiendo esos puntos:
1.
La función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E. No es
estrictamente necesario que sean todos, pero si es necesario que si se
puede calcular sobre un conjunto, lo pueda ser también sobre su
complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, que
también se pueda calcular sobre su unión y su intersección. Para ello
introduciremos el concepto de -álgebra de sucesos, que será una clase
de subconjuntos de Esobre los que podamos aplicar las reglas de la
probabilidad.
2.
Entre las leyes que debe cumplir una función de probabilidad y que hemos
escrito antes, hemos observado que algunas son redundantes, ya que se
pueden deducir de las demás. Con la definición axiomática de la
probabilidad pretendemos dar el menor conjunto posible de estas reglas,
para que las demás se deduzcan como una simple consecuencia de ellas.
Precisemos entonces los conceptos de
1.7
-álgebra de sucesos y de probabilidad.
Diagramas de árbol
Tablas de contingencia y diagramas de árbol.
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad
condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla
de
contingencia
o
en
un
diagrama
de
árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente
relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos
del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos
construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

Conversión de una tabla en diagrama de árbol
Las tablas de contingencia están referidas a dos características que
presentan cada una dos o
más sucesos.
A
B
TOTAL
P( A
B ) P(
P( A
) P(
B ) P( B )
En el caso de los sucesos
A,
,By
, expresados
en frecuencias absolutas,
relativas o probabilidades
la tabla, adopta la forma adjunta.
TOTAL P( A )
P(
) P(
)
)
1
Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a
cada uno de los sucesos A y
se les ha asociado los sucesos B y
.
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades
condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:

Conversión de un diagrama en tabla de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla
de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión
P( B
A ) = P( B/A ) · P( A ),
para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que
forman la tabla.
1.8
permutaciones y combinaciones
Análisis combinatorio
En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren en una
situación dada se convierte en algo difícil de lograr o, simplemente, tedioso. El
análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar tales casos o
sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.
En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el
número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar,
para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:
Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2
formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden
presentarse en ese orden es de n1·n2.
En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden
presentar cada uno de los sucesos a observar.
Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número natural, que
se puede pensar como una función con dominio los números naturales junto con el
cero y codominio los números naturales. El factorial de un número n, denotado n!,
se define como:
Ahora, n es muy grande el proceso de cálculo se vuelve tedioso y muy cargado,
incluso para una computadora, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a
n!:
donde
2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.
En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número entero no
negativo n.
En el análisis combinatorio se definen las permutaciones, con o sin repetición, y
las combinaciones.
Permutaciones (u ordenaciones) con repetición
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho
toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este
curso las representaremos como ORnr ó nORr.
Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden
obtener?
Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras
es 4. En este caso r=2 y n=4.
Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db,
dc, dd. En total son 16.
En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u
ordenaciones con repetición obtenidas son:
ORnr = nORr = n r
Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n
dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su
representación será Pnr ó nPr.
Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin
repetición se pueden obtener?
Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Pnr = nPr =
El Excel cuenta con la función PERMUTACIONES(n,r) que realiza el cálculo.
Combinaciones
Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los
mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno, a
partir de un conjunto inicial de n elementos. La denotaremos con Cnr, nCr ó
.
Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos subconjuntos
de 2 elementos cada uno se pueden obtener?
Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los
subconjuntos.
En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una,
el número de combinaciones obtenidas son:
Cnr = nCr =
o, que es lo mismo,
Cnr = nCr =
En Excel la función COMBINAT(n,r) calcula las combinaciones de n objetos
tomando r de ellos.
1.9
Probabilidad condicional e independencia
Posibilidades y probabilidades
Se habla muy comúnmente en sitios de apuestas, como en las autódromos o
hipódromos, de que "las apuestas a tal o cual participante es de x a y", es decir,
que las posibilidades de que gane es de x a y. Esta manera de expresarse se
refiere al uso de razones.
En términos generales, la posibilidad de que ocurra un evento se determina
mediante la razón de la probabilidad de que ocurra a la probabilidad de que no
ocurra.
Esto quiere decir que si la probabilidad de que un evento ocurra es p, entonces las
posibilidades de que ocurra son x a y, es decir
Tales que x y y son enteros positivos.
Por ejemplo: Si se tiran dos monedas normales (no trucadas), la probabilidad de
que las dos monedas caigan cara es de ¼. Esto quiere decir si alguien apuesta a
que las dos monedas no caen simultáneamente en cara, la posibilidad de ganar la
apuesta es de
es decir, 3 a 1.
Hemos de considerar que si es mayor la probabilidad de que no ocurra un evento,
entonces se acostumbra mencionar las posibilidades en contra del evento.
Por ejemplo: Si se tira un dado no trucado, sabemos que la probabilidad de
obtener un cuatro es 1/6, es decir que la posibilidad de obtener un cuatro es de 1 a
6; pero se acostumbra decir que las posibilidades en contra, esto es, de no
obtener un cuatro es de 6 a 1.
Inversamente, en el caso de tener las posibilidades de un evento, entonces es fácil
obtener su probabilidad, pues si la posibilidad de un evento es de x a y, entonces
la probabilidad p de que ocurra tal evento es
Por ejemplo: En la Copa Mundial de Futbol Francia 1998 se decía que el equipo
mexicano tenía una posibilidad de 1 a 75 de llegar a ser el campeón del torneo.
Si se desea encontrar la probabilidad de que el equipo mexicano llegase a ser
campeón, entonces se tiene que
es la probabilidad de que ocurriese el evento.
Esto tiene la ventaja de que permite, en combinación con el tercer axioma de la
probabilidad, medir la confiabilidad que tienen las opiniones de las personas sobre
las posibilidades que le asignan a algunos eventos. Esto quiere decir que el
cálculo de las probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes a partir de
las posibilidades otorgadas de manera subjetiva resulta como un criterio de
consistencia.
Por ejemplo: Un criminólogo piensa que las posibilidades de que en la próxima
semana la cantidad de delitos en una ciudad aumente con respecto a la anterior
es de 5 a 2, de que sea la misma cantidad de delitos es de 1 a 3 y las
posibilidades de que aumente la cantidad o sea la misma es de 7 a 4.
Si se desea saber si son consistentes las probabilidades correspondientes habría
que hacer los cálculos.
Las probabilidades de aumente la cantidad de delitos, sea igual la cantidad de
delitos, y de que aumente o sea igual la cantidad de delitos es, respectivamente,
de
y dado que
(como son eventos mutuamente excluyentes) no es
7
lo mismo que /11, entonces los criterios del criminólogo pueden ser cuestionados.
Propiedades de la probabilidad de eventos no elementales
Cuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el sentido
del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o el uso
directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no elementales, que
son los compuestos por más de un evento elemental, el proceder de manera
análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad
de cálculo existente. Sin embargo, utilizando los axiomas de la probabilidad y las
siguientes propiedades, se podrán expresar las probabilidades de estos eventos
en términos de los eventos elementales que lo componen, siempre y cuando se
conozcan las probabilidades de éstos.
Veamos la probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos calcular
de la siguiente manera:
Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es
igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la
probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Ahora, si el caso es que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene:
Propiedad 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la
probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de
ocurrencia de A y de B. Es decir
P(A B) = P(A) + P(B)
Otra propiedad que se deriva de las anteriores es cuando se busca la probabilidad
del complemento de un evento E, que denotaremos como ~E:
Propiedad 3. Si E es un evento y ~E su complemento, entonces
P(~E) = 1 - P(E)
Retomando los conceptos de eventos dependientes o condicionales, se va a
definir la probabilidad condicional como sigue:
Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el
evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:
Hay que notar que esta propiedad no es conmutativa, situación que sí ocurre con
la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no hay que
confundir P(A|B) y P(B|A).
Finalmente, el criterio para la independencia de eventos queda como sigue:
Propiedad 5. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si
P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)
o, que es lo mismo:
P(A B) = P(A) · P(B)
1.10
Teorema de bayes
Teorema de Bayes
Si los sucesos Ai son una partición
Demostración
Aplicaciones
Diagnóstico médico (en general clasificaciones no biunívocas): El diagnóstico
consiste en establecer la enfermedad de un paciente, a partir de una serie de
síntomas. Pero los síntomas y las enfermedades no están ligados de un modo
biunívoco.
Llamemos
Ei
al
conjunto
de
enfermedades
E1: tuberculosis pulmonar; E2 :cáncer de pulmón; E3: bronquitis obstructiva; etc.
y Si a los síntomas y síndromes asociados con las mismas.
S1:
tos;
S2:
estado
febril;
S3:
hemotisis;
etc.
La información accesible en los libros de patología, o en un archivo de historias
clínicas
es
del
tipo.
Para E1: algunos (digamos el 20%) tienen hemotisis; muchos (80%) tienen tos;
etc.
y lo mismo para las demás enfermedades.
En
términos
de
probabilidad
condicionada,
esta
información
es
p(S3|E1)
=
0,2;
p(S1|E1)
=
0,8
etc.
para diagnosticar la tuberculosis se ha de evaluar, para los síntomas que presenta
el paciente p(E1|Si) para lo que se puede usar el teorema de Bayes si las
enfermedades forman una partición (son mutuamente excluyentes y se consideran
todas las enfermedades compatibles con el síntoma) y se conocen sus
prevalencias.
Nótese que un mismo conjunto de síntomas podría dar lugar a un diagnóstico
diferente en poblaciones en las que las prevalencias fueran diferentes.
Pruebas diagnósticas: Supóngase una prueba diagnóstica, por ejemplo nivel de
glucosa en sangre, en ayunas, para diagnosticar la diabetes. Se considera que la
prueba es positiva si se encuentra un nivel por encima de un cierto valor, digamos
120 mg/l.
Para evaluar la prueba, (habrá que hacerlo para distintos valores de corte) se
somete a la misma a una serie de individuos diabéticos diagnosticados por otro
procedimiento (el patrón de oro o "gold standar") y a una serie de individuos no
diabéticos. Los resultados se pueden representar en una tabla de doble entrada
Patrón de oro
NE
E
-
a
b
r
+
c
d
s
t
u
Prueba
Si la prueba fuera perfecta b=c=0, desgraciadamente nunca ocurre. Se denomina
coeficiente falso-positivo (CFP) al cociente c/t, y es una estimación de la
probabilidad condicionada p(+|NE), se denomina coeficiente falso-negativo (CFN)
al cociente b/u, y es una estimación de la probabilidad condicionada p(-|E). Estos
dos coeficientes cuantifican los dos errores que la prueba puede cometer y
caracterizan a la misma. Simétricamente, los coeficientes que cuantifican los
aciertos son la sensibilidad, p(+|E), y la especificidad p(-|NE).
Cuando la prueba se usa con fines diagnósticos (o de "screening") interesa
calcular
p(E|+)
y/o
p(NE|-).
Como E y NE son una partición, usando el Teorema de Bayes
y
Nótese que ambas dependen de la prevalencia de la enfermedad: una prueba
diagnóstica que funciona muy bien en la clínica Mayo, puede ser inútil en el
Hospital Ramón y Cajal.
Ejemplo
9:
una prueba diagnóstica para la diabetes tiene un CFP de 4% y un CFN del 5%. Si
la prevalencia de la diabetes en la población donde se usa es del 7% ¿cuál es la
probabilidad de que sea diabético un individuo en el que la prueba dé positiva? y
¿de que no lo sea uno en el que dé negativo?
p(+|NE)
p(-
=
0,04
-|NE)
=
0,96
y
Pruebas en serie: Cuando se aplican pruebas en serie, para cada prueba p(E) y
p(NE), serán la p(E|+) y p(NE|+) de la prueba anterior (si dio positiva) o p(E|-) y
p(NE|-) si dio negativa.
Teorema de Bayes.
En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761),
se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la
probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados.
El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de
cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se
conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B)
viene dada por la expresión:
En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la
probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de
Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, construyas una tabla
de contingencia o un diagrama de árbol.
El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las
probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.
A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información,
porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que
haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos
indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.
Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea
diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.
Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero
supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son
superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2%
de las personas sanas.
¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?
La respuesta que nos dá el teorema de bayes es que esa información adicional
hace
que
la
probabilidad
sea
ahora
0,595.
Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar,
la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.
Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta
información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la
probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.
Es una consecuencia del teorema de las probabilidades totales.
Sea el conjunto total Ω formado por una partición (colección de sucesos con
intersección vacía dos a dos).
Ahora el interés se centrará en la obtención de la probabilidad de cualquier suceso
de la partición condicionada a un suceso A cualquiera.
El resultado será :
que es conocido como teorema o regla de Bayes.
Unidad II. Variables aleatorias y distribuciones
2.1 variable aleatoria y funciones de distribución
FUNCION DE DISTRIBUCION
Definición: Dado un espacio de probabilidad
oe ,
y una variable
aleatoria X definida sobre él, la función de distribución de X, que será
denotada por FX, está definida por
para cada número real a.
Ejemplo: Sean las funciones X, Y, Z definidas sobre el campo de
probabilidad asociado al experimento aleatorio que se considere:
1) Sea X el número de mujeres en una comisión conformada por tres
personas, seleccionadas al azar de un grupo de 5 personas, entre las
cuales hay dos mujeres.
2) Sea Y el número de caras obtenidas al tirar dos veces sucesivas una
moneda.
3) Sea Z el número de una ficha que se seleccione al azar de un grupo de
tres fichas numeradas 0,1, 2.
Sean las variables X, Y, Z de acuerdo a la definición de función de
distribución, que
a) Si a < 0 no hay eventos elementales que por X se apliquen sobre
números negativos con lo cual es
b) Si 0 £ a < 1, entonces tenemos en [ X £ a ] todas las comisiones de tres
personas entre las cuales haya cero mujeres, con probabilidad 1/10, ésto es
FX (a) = 1/10 para 0 £ a < 1
c) Si 1 £ a < 2, entonces tenemos que considerar todas las comisiones con
una o ninguna mujer, las cuales se dan con probabilidad 7/10, es decir
FX (a) = 7/10 para 1 £ a < 2
d) Siendo a un número real cualquiera puede, finalmente, satisfacer la
desigualdad a £ 2 y entonces debemos considerar comisiones conformadas
por cualquier número de mujeres en el experimento en cuestión,
obteniéndose
FX (a) = 1 para a £ 2
Resumiendo los resultados obtenidos, tenemos que la función de
distribución de X está dada por
En forma similar tendremos para las variables aleatorias Y, Z
Las funciones de distribución de nuestras variables aleatorias X, Y, Z, las
determinan completamente pues describen su comportamiento, con
relación a sus valores, en términos de probabilidad y, en este ejemplo
comprobamos que a pesar de tener el mismo recorrido, el comportamiento
de estas variables es diferente. Sin embargo, puede ocurrir que dos o más
variables aleatorias diferentes tengan no sólo el mismo recorrido, sino
también la misma función de distribución.
2.2 Valor esperado y momentos
Valor esperado o esperanza matemática
Sea X una v.a. discreta. Se denomina esperanza matemática de X o valor
esperado, y se denota bien
donde
o bien
, a la cantidad que se expresa como:
es el conjunto numerable de índices de los valores que puede tomar la
variable (por ejemplo
para un número finito de valores de la v.a. o
bien
para una cantidad infinita numerable de los mismos.
Si X es una v.a. continua, se define su esperanza a partir de la función de
densidad como sigue:
Observación
Recordamos que si
y por tanto tiene sentido calcular su esperanza matemática:
Por las analogías existente entre la definición de media aritmética y esperanza
matemática, las propiedades de linealidad de la primera se trasladan a la segunda,
como es inmediato comprobar:
2.3 Distribuciones discretas
Propiedades de la Función de Distribución
La función de distribución de una variable aleatoria además de estar bien
definida, pues está definida en términos de la función probabilidad la cual
es una función definida axiomáticamente, tiene las propiedades que se dan
a través de los siguientes teoremas.
Teorema: La función de distribución es no decreciente.
Teorema: Para toda función de distribución FX se cumple
Teorema: Toda función de distribución es continua por la derecha.
Teorema: Toda función de distribución es continua por la derecha.
Ejemplo: Para la función h (x) definida por
se tiene
a) h (x) toma valores sobre una recta con pendiente ½ o toma valores sobre
el eje x, o sobre una recta paralela al eje x, por lo que podemos afirmar que
es una función no decreciente.
b)
c)
y dado que
para
se tiene
lo que implica
d) En cada punto, interior a un intervalo de definición, h(x) toma valores
sobre una recta, es decir es una función lineal y, por lo tanto, es contínua.
En los puntos "críticos" se tiene, considerando un número k > 0 que
de lo que podemos afirmar que h (x) no sólo es continua por la derecha,
sino que es continua en cada punto real.
Como h (x) satisface las condiciones de una función de distribución, ella es
una función de distribución y podría ser asignada como tal a cualquier
variable aleatoria X cuyo recorrido sea el intervalo
.
Como consecuencia de su definición y de sus propiedades, para la función
de distribución FX se satisfacen además las propiedades establecidas en el
siguiente teorema.
Teorema: Dada una variable aleatoria X con función de distribución FX,
entonces
a)
para todo par de números reales a < b.
b) Para todo número real a es
donde
Ejemplo: Si consideramos la variable aleatoria X del 3.8, para la cual es
vemos que FX es continua en todo punto real que no pertenezca al
conjunto {0, 1, 2}, por lo que será
para todo a real tal que
Además es
puesto que si Î > 0 entonces FX (- Î ) = 0. Por otro lado, si Î > 0 entonces es
1 - Î < 1, 2 - Î < 2, con lo cual se obtiene
Si lo que nos interesa es que la variable aleatoria X tome valores en un
cierto intervalo, entonces se tiene, por ejemplo
2.4 Variables aleatorias y distribuciones continuas
Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria
Consideremos las variables aleatorias X y Y definidas de la manera
siguiente
X = Número de puntos obtenidos al tirar un dado correcto.
Y = Distancia al origen de un punto elegido al azar sobre el segmento [0,1].
cuyas funciones de distribución están dadas por :
Observamos que mientras el recorrido de X está constituido por un conjunto
finito, el recorrido de Y es un conjunto infinito no numerable y, que la
función de distribución de X tiene saltos, lo que no ocurre para la función de
distribución de Y. Luego, podemos afirmar que la naturaleza de estas dos
variable aleatorias es diferente.
Estas dos variables aleatorias constituyen ejemplos de dos de las
categorías de variables aleatorias, las cuales se determinan, como
veremos, tomando en cuenta su recorrido y/o su función de distribución. De
acuerdo a ésto, las variables aleatorias se clasifican en Discretas,
Absolutamente Continuas y Mixtas. Consideraremos en primer lugar las
discretas.
2.5 Variables Aleatorias Discretas
Definición: Una variable aleatoria X se dice discreta si su recorrido es un
conjunto contable (finito o infinito numerable) de números reales.
Esta definición implica que los posibles valores de X, su recorrido RX,
pueden ser listados como x1, x2,...., xn, ..... donde sin pérdida de
generalidad, podemos suponer una ordenación como x1, < x2 < .... < xn <
xn+1 < .... Además, considerando los eventos de la forma [X = xn] se tiene
que se cumple
y
donde la unión se extiende para todos los valores de n. En consecuencia se
cumple
y para cualquier número real a
Por otro lado, por las propiedades de la función de distribución se tiene en
este caso
En conclusión, se tiene que si X es una variable aleatoria discreta con
función de distribución FX, existe otra función px a la cual se le denomina
Función de Cuantía o Función de Densidad Discreta de X, definida por
para lo cual se cumplen las siguientes condiciones
1)
R
2)
3)
Las dos primeras condiciones deben ser satisfechas por cualquier función
real valorada, cuyo dominio sea un conjunto contable de números reales
para ser una función de cuantía, mientras que la satisfacción de las tres
condiciones determina la función de cuantía de una variable aleatoria X
específica.
El conjunto de pares de la forma (xn, px (xn)) recibe el nombre de
Distribución de Probabilidad de la Variable Aleatoria Discreta X, y
contiene toda la información necesaria para estudiar a esta variable
aleatoria.
Ejemplo: Un fabricante de motores sabe que en un lote de 10 motores, hay
2 motores defectuosos. Cada motor le cuesta 7,500 nuevos soles y lo
puede vender en 10,000 nuevos soles. Al ofrecer el lote a una tienda le
dicen que lo someterán a una prueba que consistirá en seleccionar, al azar,
dos motores y probar su funcionamiento. Si no se obtienen motores
defectuosos le compran el lote. En caso contrario, se lo rechazan.
Si X es la ganancia neta que deja el lote al fabricante, se tendrá que
X = 10 (10,000 - 7,500) = 25,000 si se vende el lote, y
X = 10 (0 - 7,500) = - 75,000 si le rechazan el loteç
luego X es variable aleatoria discreta con
y con dominio
donde d y
significa motor defectuoso y motor no defectuoso,
respectivamente.
La función de cuantía de X está dada por
puesto que no vende si se encuentra por lo menos un motor defectuoso,
que es el evento contrario de no encontrar defectuosos.
Con los resultados obtenidos, la distribución de probabilidad de X se
presenta en la siguiente tabla.
X
- 75,000
25,000
PX
La definición de una variable aleatoria absolutamente continua, las
propiedades de la función de distribución de algunas propiedades del
análisis, llevan a los siguientes resultados:
1) fx es no negativa.
Condición necesaria para que FX sea una función no decreciente.
2)
Resultado que deriva del hecho de que sea
de la integral impropia.
y de la definición
3) FX (x) es continua en todo X real y si f x es continua en x0, entonces FX es
derivable en x0 y se cumple
Resultado justificado por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que
dice "si una función real valorada h es integrable en el sentido de Riemann
sobre el intervalo [a, b], entonces la función
para todo x [a, b] es continua sobre [a, b] y si h es continua en x0
entonces H(x) es derivable en x0 y se cumple
4) P[x = a] = 0 para cualquier número real a.
Como sabemos, en general, se cumple
y, como la continuidad de FX implica la igualdad de FX (a) y el límite
considerado en esta expresión, se tiene entonces que una variable aleatoria
absolutamente continua toma cada uno de los valores reales, aún los de su
recorrido, con probabilidad cero. Teniendo en cuenta el axioma de
aditividad de la función probabilidad, se sigue que la probabilidad asignada
a un conjunto contable de puntos en RX es nula.
5) Si a y b son dos números reales tales que a < b, entonces
independientemente de si se incluye o no a la igualdad en los extremos.
Este resultado se sigue de la consideración de la propiedad de F X que
establece
y del resultado 4 anterior.
Geométricamente este resultado se interpreta de la siguiente manera: La
probabilidad de que una variable aleatoria absolutamente continua tome
valores en el intervalo de extremos a, b, abierto o cerrado, es el área bajo la
curva de fX comprendida entre las rectas x= a y x = b.
Observaciones
1) La función fX no es en sí una probabilidad, pero sí es la densidad de
probabilidad en cada punto y para un intervalo infinitesimal de amplitud dx
se tiene
2) Los resultados 1 y 2 constituyen condición necesaria y suficiente para
que una función real valorada cualquiera sea una función de densidad de
probabilidad.
3) Una variable aleatoria X es, entonces, absolutamente continua si su
función de distribución es continua y derivable con primera derivada
continua en todo punto del eje real, salvo un conjunto a lo más infinito
numerable de puntos. Esta primera derivada es la función de densidad de
probabilidad de X.
4) De la observación anterior se sigue que la función de densidad de
probabilidad fX puede ser discontinua en algunos puntos y, eventualmente,
podría hacerse infinita en algún punto. Dado la validez del resultado 2, se
tiene que:
- Si RX es un intervalo de longitud infinita, f X tiende a cero cuando x crece y
definidamente sobre RX.
- Si fX (x0) es infinita, la integral
tiende a cero cuando a y b tienden independientemente a cero.
Ejemplo: Dada la variable aleatoria X cuya función de distribución está dada
por
se quiere saber si X tiene una distribución absolutamente continua.
En primer lugar debemos estudiar la continuidad de FX, para lo cual bastará
con estudiar los puntos donde FX cambia su expresión funcional, pues en
los intervalos comprendidos entre dos de estos puntos la función es lineal y,
por ende, continua en cada punto.
Así tenemos que
de donde podemos afirmar que FX tiene un punto de discontinuidad en a = 2 y ésto es suficiente para afirmar que X no es una variable aleatoria
absolutamente continua.
2.6 Distribuciones especiales de probabilidad para una variable
aleatoria continua: Distribución uniforme, exponencial, normal y
normal estandar
Variables Aleatorias Mixtas
Definición: Una variable aleatoria X es mixta si su función de distribución
es de la forma
donde F1 es la función de distribución de una variable aleatoria discreta y F 2
es la función de distribución de una variable aleatoria absolutamente
continua y es un número comprendido entre 0 y 1.
Si R1 es el recorrido para la variable aleatoria con F1 y R2 es el recorrido
para la variable aleatoria correspondiente a F2, entonces se tiene RX = R1
R2, y como la probabilidad de cada uno de los puntos de R 2 es nula, se
tiene:
Como ilustraremos a continuación, en el ejemplo tenemos un caso de
variable mixta.
Ejemplo: Para la variable aleatoria X cuya función de distribución es
se cumple
para todo número real a, si se define
Como ya sabemos, la función de distribución de una variable aleatoria
cualquiera, contiene toda la información con respecto a la variable aleatoria
y, por lo tanto, las variables aleatorias mixtas serán estudiadas en términos
de su función de distribución. Sin embargo, es muy útil expresar a ésta,
como una combinación lineal convexa de una función de distribución
discreta y una función de distribución absolutamente continua.
Unidad 3 Estadística descriptiva y Teoría de muestreo
3.1 Distribuciones de frecuencia, de frecuencia relativa y frecuencia
acumulada
Distribución de Frecuencias
Cuando la información que se tiene es un gran volumen, resulta muy conveniente
ordenar y agrupar los datos para manejarlos de acuerdo a la distribución de
frecuencias la cual consiste en agrupar los datos en clases o categorías que
estarán definidas por un límite mínimo y uno máximo de variación, mostrando en
cada clase el número de elementos que contiene o sea la frecuencia.
Otra forma común para estudiar la disposición espacial de los individuos de una
población consiste en comparar la distribución de frecuencias observadas en un
muestreo basado en cuadrículas, con las frecuencias esperadas dada una
distribución teórica (e.g. la de Poisson). Las frecuencias están referidas al número
de oportunidades en las cuales se obtiene un número determinado de individuos
en una cuadrícula. Si en un estudio observamos los siguientes resultados:
454671522443
donde cada número representa el número de individuos contados en una
cuadrícula, tendremos que la frecuencia con la cual se obtiene 1 individuo es 1/12
(siendo n = 12 el total de cuadrículas), la frecuencia de 2 individuos es 2/12, la de 3
= 1/12, la de 4 = 4/12, la de 5 = 2/12, la de 6 = 1/12, la de 7 = 1/12, mientras que la
de 8 individuos en adelante es 0/12. Una frecuencia es así una proporción con la
cual ocurre un determinado evento. El conjunto de estas proporciones permite
gráficamente formar una distribución de frecuencias. La distribución de las
frecuencias obtenidas anteriormente se observa en la siguiente figura:
Para analizar si los individuos de la población bajo estudio se distribuyen de
acuerdo a un determinado patrón hipotético, se estima un valor conocido como la
bondad del ajuste de la distribución observada a la distribución teórica. La bondad
de un ajuste está referida a cuán próximas se encuentran las dos distribuciones a
ser comparadas, entendiendo como proximidad las diferencias numéricas
existentes en cada uno de los eventos posibles (eje X de la figura anterior). Cuanto
mayor sea la suma de estas diferencias, menor será la bondad del ajuste. El
estadístico de prueba más corrientemente empleado para estimar la bondad de un
ajuste es:
2
(chi- cuadrada), con (n - número de parámetros
obtenidos de los datos) grados de libertad, con n = número de eventos (clases de
frecuencia). Si este estadístico es mayor que el valor tabulado un nivel de
igual a la distribución teórica.
¿Cómo se utiliza este procedimiento para estimar la disposición espacial de un
conjunto de individuos? Partiendo del hecho de que tenemos un conjunto de
cuentas de ocurrencias en n cuadrículas, el trabajo consiste en hallar las
distribuciones teóricas que mejor parezcan corresponder a nuestros datos. Luego,
se estudia la bondad del ajuste de los valores predichos por tales distribuciones a
los observados, y la que mejor se ajuste (aquella que resulte en un mínimo de
diferencias no significativas) es la que mejor representa la disposición espacial de
la población (Fig. 3).
Figura 3: Representación gráfica de la distribución de frecuencias del ejemplo
al ser comparada con una distribución de Poisson para verificar la bondad del
ajuste.
El resultado de aplicar este procedimiento es la obtención de un modelo que
explica la disposición espacial de los individuos de la población. El mejor modelo,
como hemos insistido, es aquel que representa la ubicación exacta de cada
individuo sobre el espacio (deja de ser un modelo para convertirse en un mapa).
Sin embargo, la obtención del mismo tiene inconvenientes metodológicos
importantes en la mayoría de los casos. De esta manera, la bondad de ajuste
consiste en explorar un universo de infinitas posibles distribuciones estadísticas
para encontrar la que mejor se adapta a los resultados.
¿Cómo llevar a cabo esta búsqueda? En la aplicación tradicional de las técnicas
para el estudio de la disposición espacial, la búsqueda no es demasiado intensiva,
y comprende generalmente sólo dos distribuciones teóricas: la Poisson y la
binomial negativa. La primera, como hemos visto, representa un conjunto de
frecuencias de eventos que ocurren al azar, mientras que la segunda es
representativa de un patrón de disposición espacial agregado. Las disposiciones
uniformes son tan frecuentes en la literatura como en la naturaleza, habiendo
recibido muy poca atención. De esta manera, un procedimiento conveniente al
ajustar distribuciones a datos consiste en: (1) probar si las observaciones se
desvían significativamente de un patrón aleatorio, mediante cualquiera de las
técnicas vistas hasta el momento, y (2) en caso negativo, ajustar la distribución de
frecuencias observadas a una distribución binomial negativa. Veamos, paso a paso:
1. Ajuste de datos a una distribución de Poisson:
Consideremos los siguientes datos, tomados de Krebs (1989):
0;0;0;0;0;0;1;1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;3;3;3;3;3;3;4;4;4;4;4;4;5;5;7;7;7;8;9;9;9;9
En el conjunto, n = 50, y la media muestral = 3,46. La siguiente tabla muestra las
frecuencias observadas para cada evento. La división de cada frecuencia entre n
resulta en las frecuencias relativas de cada uno de los eventos, sobre el total.
Número
de
individuos en
una
cuadrícula, x
Número
de
cuadrículas
con
x
individuos
0
6
1
8
2
9
3
6
4
6
5
2
6
5
7
3
8
1
9
4
Aplicando la ecuación de Poisson (ver página anterior), podemos calcular las
frecuencias esperadas:
P0 = proporción de cuadrículas con 0 individuos (equivalente a la probabilidad de
que una cuadrícula tenga 0 individuos) = e-3,46(3,460/0!)=0,0314
P1 = proporción de cuadrículas con 1 individuo = e-3,46(3,461/1!)=0,1087
P2 = e-3,46(3,462/2!)=0,1881
P3 = e-3,46(3,463/3!)=0,2170
P4 = e-3,46(3,464/4!)=0,1877
P5 = 0,1299
P6 = 0,0749
P7 = 0,0370
P8 = 0,0160
P9 = 0,0062
Para obtener las frecuencias esperadas según la distribución de Poisson, sólo hace
falta multiplicar cada proporción por el número total de cuadrículas muestreadas,
n=50. La siguiente tabla muestra los cálculos de frecuencias observadas,
2para cada x.
x
Frec. Obs.
Frec. Esp.
(Frec. Obs. - Frec. Esp.)2
Frec. Esp.
0
6
1,57
12,50
1
8
5,44
1,20
2
9
9,41
0,019
3
6
10,85
2,18
4
6
9,39
1,22
5
2
6,50
3,12
6
5
3,75
0,42
7
3
1,85
0,72
8
1
0,80
0,050
9
4
0,31
43,92
>9
0
0,155
0,155
En este punto, cabe hacer mención de dos consideraciones adicionales. En primer
lugar, puede notarse que fue añadida una clase de frecuencia adicional, para el
caso en el que el número de cuentas en cuadrículas es mayor que 9. Esto se debe
a que las frecuencias esperadas deben sumar 1, en forma de proporciones, o 50, el
número total de cuadrículas. La frecuencia esperada en este caso fue calculada
restando las frecuencias restantes a la unidad, resultando en 0,0031. La otra
consideración es que suele recomendarse para la prueba chi-cuadrada que el
número de cuentas en una clase no sea inferior a 3 (o a 5, según el autor). Aunque
en este espacio se han incluido las frecuencias tal y como fueron obtenidas para
fines ilustrativos, es preferible en la práctica que las clases de frecuencia sean
agrupadas con el fin de que se cumpla esta regla. Se han desarrollado pruebas
más potentes que la chi- cuadrada para resolver este problema, las cuales pueden
ser consultadas por el lector en la literatura disponible.
El número de grados de libertad para esta prueba es
-2=9, ya que sólo se
hipótesis nula de que la población se dispone espacialmente según una Poisson.
Dado que la varianza de los datos es 7,356 y la media 3,46, el cociente entre estas
dos variables (2,13) indica que la población presenta algún grado de agregación.
Por lo tanto pasamos a evaluar el ajuste de los datos a una distribución binomial
negativa.
2. Ajuste de datos a una distribución binomial negativa:
La binomial negativa (Fig. 4) es la distribución estadística de uso más generalizado
para el modelaje de poblaciones agregadas, llegándose incluso en ocasiones a
tratar a ambas distribuciones (espacial y estadística) como sinónimos. Al igual que
la de Poisson, la binomial negativa es una distribución de frecuencias discretas,
siendo su forma matemática:
donde Px la probabilidad de observar una cuadrícula con x individuos,
Figura 4: Representación gráfica de la distribución de frecuencias de una
La binomial negativa está determinada por dos parámetros, k y p, relacionados a la
agregación, considerándose que mientras menor su valor, mayor la agregación. De
esta manera, el enfoque tradicional plantea que ajustar una distribución binomial a
un patrón de disposición espacial consiste en encontrar un valor de k que, dada
una media muestral, permita modelar cualquier patrón de agregación como una de
las infinitas formas de la binomial negativa.
Para facilitar los cálculos de frecuencias esperadas según la binomial negativa, se
tiene la siguiente serie de fórmulas:
Para la estimación de k, se emplean ciertas reglas que el lector puede consultar en
la bibliografía recomendada. Los procedimientos varían según el número de
cuadrículas con ningún individuo y la media muestral, y en muchos casos están
basados en procedimientos iterativos por ensayo y error, partiendo de un k
2/k):
aproximado, obtenido a partir de la varianza de la distribución: 2
Para el ejemplo que venimos desarrollando, esta primera aproximación de k es
3,07, la cual se transforma en 2,65 tras la aplicación de uno de los procedimientos
de ensayo y error disponibles. La utilización de este valor de k en las fórmulas para
el cálculo de las frecuencias esperadas origina los resultados presentados en la
tabla a continuación:
x
Frec. Obs.
Frec. Esp.
(Frec. Obs. - Frec. Esp.)2
Frec. Esp.
0
6
5,47
0,051
1
8
8,20
0,0049
2
9
8,47
0,033
3
6
7,44
0,28
4
6
5,95
0,00042
5
2
4,48
1,37
6
5
3,23
0,97
7
3
2,26
0,24
8
1
1,54
0,19
9
4
1,04
8,42
>9
0
1,91
1,91
Los grados de libertad para la prueba chi-cuadrada son, al igual que en el caso
anterior igual al número de clases de frecuencia utilizadas menos el número de
parámetros estimados a partir de los datos. En este caso se estimaron tres
parámetros, correspondientes a la media, el número de muestras y k. Por lo tanto,
buscamos el valor crítico para la distribución con 8 grados de libertad, para un valor
distribuye según una binomial negativa. Empleando la relación convencional entre
distribuciones, concluimos que el patrón de disposición es agregado.
3.2 Medidas de tendencia central: media, mediana, moda, promedio
(ponderado, móvil) media geométrica, armónica, cuantiles (cuartiles,
deciles y percentiles)
Los fenómenos biológicos no suelen ser constantes, por lo que será necesario que
junto a una medida que indique el valor alrededor del cual se agrupan los datos,
se asocie una medida que haga referencia a la variabilidad que refleje dicha
fluctuación.
En este sentido pueden examinarse varias características, siendo las más
comunes:
La tendencia central de los datos;
La dispersión o variación con respecto a este centro;
Los datos que ocupan ciertas posiciones.
La simetría de los datos.
La forma en la que los datos se agrupan.
Figura: Medidas representativas de un conjunto de datos
estadísticos
A lo largo de este capítulo,
estadísticos que nos van a
información: valores alrededor
menor fluctuación alrededor de
y siguiendo este orden, iremos estudiando los
orientar sobre cada uno de estos niveles de
de los cuales se agrupa la muestra, la mayor o
esos valores, nos interesaremos en ciertos valores
que marcan posiciones características de una distribución de frecuencias así como
su simetría y su forma.
1.4.1 MEDIA, MEDIA PONDERADA
La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles
valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de
valores de una variable X es
X
ni
fi
x1
n1
f1
...
...
...
xk
nk
fk
la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:
Si los datos no están ordenados en una tabla, entonces
La media tiene las siguientes características:
Es el centro de gravedad de la distribución y es única para cada
distribución.
Cuando aparecen valores extremos y poco significativos (demasiado
grandes o demasiado pequeños), la media puede dejar de ser representativa.
No tiene sentido en el caso de una variable cualitativa ni cuando existen
datos agrupados con algún intervalo no acotado.
Para variables agrupadas, los xi serán las marcas declase de cada
intervalo.
Además, la media cumple las siguientes propiedades:
Si se suma una constante a todos los valores, la media aumenta en dicha
constante.
Si se multiplican todos los valores de la variable por una constante, la
media queda multiplicada por dicha constante.
Observación
Hemos supuesto implícitamente en la definición de media que tratábamos con una
variable X discreta. Si la variable es continua tendremos que cambiar los valores
de xi por las marcas de clase correspondientes. En general, la media aritmética
obtenida a partir de las marcas de clase ci, diferirá de la media obtenida con los
valores reales, xi. Es decir, habrá una perdida de precisión que será tanto mayor
cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o
sea, cuanto mayores sean las longitudes ai, de los intervalos.
Proposición
La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es
decir,
Demostración
Basta desarrollar la sumatoria para obtener
Este resultado nos indica que el error cometido al aproximar un valor cualquiera de
la variable, por ejemplo x1, mediante el valor central , es compensado por los
demás errores:
Si los errores se consideran con signo positivo, en este caso no pueden
compensarse. Esto ocurre si tomamos como medida de error alguna de las
siguientes:
que son cantidades estrictamente positivas si algún
.
Ejemplo
Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y
comprobar que su suma es cero.
li-1 - li
ni
0 - 10
1
10 - 20 2
20 - 30 4
30 - 40 3
Solución:
li-1 - li
ni
xi
xi ni
0 - 10
1
5
5
-19
-19
10 - 20 2
15 30
-9
-18
20 - 30 4
25 100
+1
+4
30 - 40 3
35 105
+11
+33
n=10
La media aritmética es:
Como se puede comprobar sumando los elementos de la última columna,
Medias generalizadas
En función del tipo de problema varias generalizaciones de la media pueden ser
consideradas. He aquí algunas de ellas aplicadas a unas observaciones x1, ..., xn:
La media geométrica
, es la media de los logaritmos de los valores de la variable:
Luego
Si los datos están agrupados en una tabla, entonces se tiene:
La media armónica
, se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos, es
decir,
Por tanto,
La media cuadrática
, es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados:
MEDIANA
Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla
estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, Medal
primer valor de la variable que deja por debajo de sí al
de las observaciones.
Por tanto, si n es el número de observaciones, la mediana corresponderá a la
observación [n/2]+1, donde representamos por
la parte entera de un número.
Figura: Cálculo geométrico de la mediana
En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la
fórmula de la mediana se complica un poco más (pero no demasiado): Sea (li-1,li]
el intervalo donde hemos encontrado que por debajo están el
de las
observaciones. Entonces se obtiene la mediana a partir de las frecuencias
absolutas acumuladas, mediante interpolación lineal (teorema de Thales).
Observación
La relación Corresponde a definir para cada posible observación,
, su
frecuencia relativa acumulada, F(x), por interpolación lineal entre los valores F(lj-1)
= Fj-1 y F(lj) = Fj de forma que
De este modo, Med es el punto donde
. Esto equivale a decir que la
mediana divide al histograma en dos partes de áreas iguales a
.
Observación
Entre las propiedades de la mediana, vamos a destacar las siguientes:
Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las
observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la
variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en
distribuciones asimétricas.
Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla.
A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es siempre un
valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de
hijos toma siempre valores enteros).
Si una población está formada por 2 subpoblaciones de medianas Med1 y
Med2, sólo se puede afirmar que la mediana, Med, de la población está
comprendida entre Med1 y Med2
El mayor defecto de la mediana es que tiene unas propiedades
matemáticas complicadas, lo que hace que sea muy difícil de utilizar en
inferencia estadística.
Es función de los intervalos escogidos.
Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no tenga
límites.
La suma de las diferencias de los valores absolutos de n puntuaciones
respecto a su mediana es menor o igual que cualquier otro valor. Este es el
equivalente al teorema de König (proposición 2.1) con respecto a la media,
pero donde se considera como medida de dispersión a:
Ejemplo
Sea X una variable discreta que ha presentado sobre una muestra las
modalidades
Si cambiamos la última observación por otra anormalmente grande, esto no afecta
a la mediana, pero si a la media:
En este caso la media no es un posible valor de la variable (discreta), y se ha visto
muy afectada por la observación extrema. Este no ha sido el caso para la
mediana.
Ejemplo
Obtener la media aritmética y la mediana en la distribución adjunta. Determinar
gráficamente cuál de los dos promedios es más significativo.
li-1 - li
ni
0 - 10
60
10 - 20
80
20 - 30
30
30 - 100
20
100 - 500 10
Solución:
li-1 - li
ni
ai
xi
xi ni
Ni
0 - 10
60
10
5
300
60
10 - 20
80
10
15
1.200
140 80
20 - 30
30
10
25
750
170 30
30 - 100
20
70
65
1.300
190 2,9
100 - 500 10
n=200
La media aritmética es:
400 300 3.000
60
200 0,25
La primera frecuencia absoluta acumulada que supera el valor n/2=100 es Ni=140.
Por ello el intervalo mediano es [10;20). Así:
Para ver la representatividad de ambos promedios, realizamos el histograma de la
figura 2.3, y observamos que dada la forma de la distribución, la mediana es más
representativa que la media.
Figura: Para esta distribución de frecuencias es más
representativo usar como estadístico de tendencia central la
mediana que la media.
MODA
La moda se suele definir como el valor más frecuente. En el caso de una variable
no agrupada, es el valor de la variable que más se repite. En el caso de una
variable agrupada por intervalos de igual amplitud se busca el intervalo de mayor
frecuencia (intervalo o clase modal) y se aproxima la moda por el valor obtenido al
aplicar la fórmula
donde:
Li-1 es el límite inferior del intervalo modal.
ni es la frecuencia absoluta del intervalo modal.
ni-1 es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal.
ni+1 es la frecuencia absoluta del intervalo posterior al intervalo modal.
ci es la amplitud del intervalo.
La moda cumple que
Puede ser que exista más de una moda. En dicho caso, se dice que la
distribución es bimodal, trimodal, ..., según el número de valores que presentan
la mayor frecuencia absoluta.
La moda es menos representativa que la media, a excepción de las
distribuciones con datos cualitativos.
Si los intervalos no tienen la misma amplitud, se busca el intervalo de
mayor densidad de frecuencia (que es el cociente entre la frecuencia absoluta
y la amplitud del intervalo:
) y se calcula con la fórmula anterior.
Llamaremos moda a cualquier máximo relativo de la distribución de frecuencias,
es decir, cualquier valor de la variable que posea una frecuencia mayor que su
anterior y su posterior.
Figura: Cálculo geométrico de la moda
En el caso de variables continuas es más correcto hablar de intervalos modales.
Una vez que este intervalo, (li-1, li], se ha obtenido, se utiliza la siguiente fórmula
para calcular la moda, que está motivada en la figura 2.4:
Observación
De la moda destacamos las siguientes propiedades:




Es muy fácil de calcular.
Puede no ser única.
Es función de los intervalos elegidos a través de su amplitud, número y
límites de los mismos.
Aunque el primero o el último de los intervalos no posean extremos inferior
o superior respectivamente, la moda puede ser calculada.
3.3 Medidas de dispersión: Rango o amplitud de variación, desviación
media, varianza y desviación estandar, momentos y courtosis.
Imagina que tenemos 3 conjuntos de personas y nos dicen que en todos los
casos, la media del peso es 55. ¿Significa esto que los tres conjuntos de datos
son iguales o similares? Conseguimos los datos originales y nos encontramos con
que las observaciones son las siguientes:
Grupo 1: 55 55 55 55 55 55 55
Grupo 2: 47 51 54 55 56 59 63
Grupo 3: 39 47 53 55 57 63 71
vemos que, aunque la media es la misma, los conjuntos de datos son muy
diferentes. Fíjate si hacemos el diagrama de tallo y hojas lo que obtenemos
5
5
5
9
5
6
5
5
7
5
4
5
5
7 1 3
9 7 1 3 1
3 4 5 6 7
3 4 5 6 7
3 4 5 6 7
Entonces ¿cómo podemos detectar esas diferencias entre los conjuntos de datos?
Parece que las medidas de centralización no nos proporcionan información
suficiente en muchas situaciones, así que debemos encontrar alguna otra cantidad
que nos diga cómo de lejos están los datos entre ellos y de la media, es decir, nos
surje la necesidad de medir la dispersión de los datos. Lo primero que vemos es
que en el primer caso todos los datos son iguales, en el segundo hay más
diferencia entre el mayor y el menor, y en el tercero más aún que en el segundo.
Exactamente tenemos que
55-55=0
63-47=16
71-39=32
A esta cantidad la llamamos rango de los datos. Sin embargo, aunque es muy fácil
de calcular, no se usa demasiado, porque si hay un sólo valor muy grande o muy
pequeño, el rango varía mucho, así que no siempre es una medida útil. ¿Cómo
podríamos encontrar un número que nos dé una aproximación de la distancia de
los datos a la media? Pues podemos calcular todas las diferencias (en valor
absoluto) entre las observaciones y la media y luego calcular la media de esas
diferencias. A esta cantidad la llamamos desviación media. Calculemos la
desviación media del grupo 2 de datos, tenemos
Sin embargo, habitualmente se usa otra medida de la variabilidad, que responde a
la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a la media,
así conseguimos que las desviaciones mayores influyan más que las pequeñas.
Pero vamos a ver la definición rigurosa de todos estos conceptos.
RANGO
Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia
entre el valor más elevado y el valor más bajo.
VARIANZA
Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se
calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media,
multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio
obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más
concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario,
mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON
Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su
media aritmética coincidan. Claramente las distribuciones de los ejemplos de los
niveles de colinesterasa y del n° de hijos no son por tanto, simétricas.
Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias
(absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la
izquierda.
Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha
diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.
Existen varias medidas de la asimetría de una distribución de frecuencias. Aquí
estudiaremos dos de ellas.
a. Coeficiente de Asimetría de Pearson
Se define como:
siendo cero cuando la distribución es simétrica, positivo cuando existe
asimetría a la derecha y negativo cuando existe asimetría a la izquierda.
En el ejemplo del número de hijos Ap es igual a
indicando una ligera asimetría a la izquierda en la distribución de
frecuencias correspondiente.
De la misma manera, para el ejemplo de los niveles de colinesterasa
también se observa una ligera asimetría a la izquierda, al ser
De la definición se observa que este coeficiente solo se podrá utilizar
cuando la distribución sea unimodal. La otra medida de asimetría que
veremos no presenta este inconveniente
3.4 Muestreo aleatorio:
conglomerados
simple,
sistemático,
estratificado,
por
Introducción al muestreo.
a.
Concepto
e
importancia
Es la actividad por la cual se toman ciertas muestras de una población de
elementos de los cuales vamos a tomar ciertos criterios de decisión, el muestreo
es importante porque a través de él podemos hacer análisis de situaciones de una
empresa o de algún campo de la sociedad.
b.
Terminología
básica
para
el
muestreo
Los nuevos términos, los cuales son frecuentemente usados en inferencia
estadística son:
Estadístico:
Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de una
muestra , tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar
de una muestra.
Parámetro:
Una parámetro es una medida usada para describir alguna característica de una
población, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar
de
una
población.
Cuando los dos nuevos términos de arriba son usados, por ejemplo, el proceso de
estimación en inferencia estadística puede ser descrito como le proceso de
estimar un parámetro a partir del estadístico correspondiente, tal como usar una
media muestral ( un estadístico para estimar la media de la población (un
parámetro).
Los símbolos usados para representar los estadísticos y los parámetros, en éste y
los siguientes capítulos, son resumidos en la tabla siguiente:
Tabla
Símbolos
para
Medida Símbolo
(muestra)
Media
Desviación
Número
Proporción p P
1
estadísticos
y
parámetros
correspondientes
para el estadístico Símbolo para el parámetro
(Población)
X
µ
estándar
s
de
elementos
n
N
Distribución
en
el
muestreo:
Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño de la
población (N), dos o más muestras pueden ser extraídas de la misma población.
Un cierto estadístico puede ser calculado para cada una de las muestras posibles
extraídas de la población. Una distribución del estadístico obtenida de las
muestras es llamada la distribución en el muestreo del estadístico.
Por ejemplo, si la muestra es de tamaño 2 y la población de tamaño 3 (elementos
A, B, C), es posible extraer 3 muestras ( AB, BC Y AC) de la población. Podemos
calcular la media para cada muestra. Por lo tanto, tenemos 3 medias muéstrales
para las 3 muestras. Las 3 medias muéstrales forman una distribución. La
distribución de las medias es llamada la distribución de las medias muéstrales, o la
distribución en el muestreo de la media. De la misma manera, la distribución de las
proporciones (o porcentajes) obtenida de todas las muestras posibles del mismo
tamaño, extraídas de una población, es llamada la distribución en el muestreo de
la proporción.
Error Estándar:
La desviación estándar de una distribución, en el muestreo de un estadístico, es
frecuentemente llamada el error estándar del estadístico. Por ejemplo, la
desviación estándar de las medias de todas la muestras posibles del mismo
tamaño, extraídas de una población, es llamada el error estándar de la media. De
la misma manera, la desviación estándar de las proporciones de todas las
muestras posibles del mismo tamaño, extraídas de una población, es llamada el
error estándar de la proporción. La diferencia entre los términos "desviación
estándar" y "error de estándar" es que la primera se refiere a los valores
originales, mientras que la última está relacionada con valores calculados. Un
estadístico es un valor calculado, obtenido con los elementos incluidos en una
muestra.
Error muestral o error de muestreo
La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra (un estadístico) y el
resultado el cual deberíamos haber obtenido de la población (el parámetro
correspondiente) se llama el error muestral o error de muestreo. Un error de
muestreo usualmente ocurre cuando no se lleva a cabo la encuesta completa de la
población, sino que se toma una muestra para estimar las características de la
población. El error muestral es medido por el error estadístico, en términos de
probabilidad, bajo la curva normal. El resultado de la media indica la precisión de
la estimación de la población basada en el estudio de la muestra. Mientras más
pequeño el error muestras, mayor es la precisión de la estimación. Deberá
hacerse notar que los errores cometidos en una encuesta por muestreo, tales
como respuestas inconsistentes, incompletas o no determinadas, no son
considerados como errores muéstrales. Los errores no muéstrales pueden
también ocurrir en una encuesta completa de la población.
Métodos de selección de muestras.
Una muestra debe ser representativa si va a ser usada para estimar las
características de la población. Los métodos para seleccionar una muestra
representativa son numerosos, dependiendo del tiempo, dinero y habilidad
disponibles para tomar una muestra y la naturaleza de los elementos individuales
de la población. Por lo tanto, se requiere una gran volumen para incluir todos los
tipos
de
métodos
de
muestreo.
Los métodos de selección de muestras pueden ser clasificados de acuerdo a:
1. El número de muestras tomadas de una población dada para un estudio y
1. La manera usada en seleccionar los elementos incluidos en la muestra. Los
métodos de muestreo basados en los dos tipos de clasificaciones son
expuestos en seguida.
Métodos de muestreo clasificados de acuerdo con el número de muestras
tomadas
de
una
población.
Bajo esta clasificación, hay tres tipos comunes de métodos de muestreo. Estos
son, muestreo simple, doble y múltiple.
Muestreo simple
Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una población dada para el
propósito de inferencia estadística. Puesto que solamente una muestra es tomada,
el tamaño de muestra debe ser los suficientemente grande para extraer una
conclusión. Una muestra grande muchas veces cuesta demasiado dinero y
tiempo.
Muestreo doble
Bajo este tipo de muestreo, cuando el resultado dele estudio de la primera
muestra no es decisivo, una segunda muestra es extraída de la misma población.
Las dos muestras son combinadas para analizar los resultados. Este método
permite a una persona principiar con una muestra relativamente pequeña para
ahorrar costos y tiempo. Si la primera muestra arroja una resultado definitivo, la
segunda
muestra
puede
no
necesitarse.
Por ejemplo, al probar la calidad de un lote de productos manufacturados, si la
primera muestra arroja una calidad muy alta, el lote es aceptado; si arroja una
calidad muy pobre, el lote es rechazado. Solamente si la primera muestra arroja
una calidad intermedia, será requerirá la segunda muestra. Un plan típico de
muestreo doble puede ser obtenido de la Military Standard Sampling Procedures
and Tables for Inspection by Attributes, publicada por el Departamento de Defensa
y también usado por muchas industrias privadas. Al probar la calidad de un lote
consistente de 3,000 unidades manufacturadas, cuando el número de defectos
encontrados en la primera muestra de 80 unidades es de 5 o menos, el lote es
considerado bueno y es aceptado; si el número de defectos es 9 o más, el lote es
considerado pobre y es rechazado; si el número está entre 5 y 9, no puede
llegarse a una decisión y una segunda muestra de 80 unidades es extraída del
lote. Si el número de defectos en las dos muestras combinadas (incluyendo 80 +
80 = 160 unidades) es 12 o menos, el lote es aceptado si el número combinado es
13 o más, el lote es rechazado.
Muestreo múltiple
El procedimiento bajo este método es similar al expuesto en el muestreo doble,
excepto que el número de muestras sucesivas requerido para llegar a una
decisión
es
más
de
dos
muestras.
Métodos de muestreo clasificados de acuerdo con las maneras usadas en
seleccionar
los
elementos
de
una
muestra.
Los elementos de una muestra pueden ser seleccionados de dos maneras
diferentes:
a.
Basados
en
el
juicio
de
una
persona.
b. Selección aleatoria (al azar)
Muestreo de juicio
Una muestra es llamada muestra de juicio cuando sus elementos son
seleccionados mediante juicio personal. La persona que selecciona los elementos
de la muestra, usualmente es un experto en la medida dada. Una muestra de
juicio es llamada una muestra probabilística, puesto que este método está basado
en los puntos de vista subjetivos de una persona y la teoría de la probabilidad no
puede ser empleada para medir el error de muestreo, Las principales ventajas de
una muestra de juicio son la facilidad de obtenerla y que el costo usualmente es
bajo.
Muestreo Aleatorio
Una muestra se dice que es extraída al azar cuando la manera de selección es tal,
que cada elemento de la población tiene igual oportunidad de ser seleccionado.
Una muestra aleatoria es también llamada una muestra probabilística son
generalmente preferidas por los estadísticos porque la selección de las muestras
es objetiva y el error muestral puede ser medido en términos de probabilidad bajo
la curva normal. Los tipos comunes de muestreo aleatorio son el muestreo
aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y muestreo de
conglomerados.
A. Muestreo aleatorio simple
Una muestra aleatoria simple es seleccionada de tal manera que cada muestra
posible del mismo tamaño tiene igual probabilidad de ser seleccionada de la
población. Para obtener una muestra aleatoria simple, cada elemento en la
población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado, el plan de muestreo
puede no conducir a una muestra aleatoria simple. Por conveniencia, este método
pude ser reemplazado por una tabla de números aleatorios. Cuando una población
es infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es
infinita, es obvio que la tarea de numerar cada elemento de la población es
imposible. Por lo tanto, ciertas modificaciones del muestreo aleatorio simple son
necesarias. Los tipos más comunes de muestreo aleatorio modificado son
sistemático, estratificado y de conglomerados.
B. Muestreo sistemático.
Una muestra sistemática es obtenida cuando los elementos son seleccionados en
una manera ordenada. La manera de la selección depende del número de
elementos incluidos en la población y el tamaño de la muestra. El número de
elementos en la población es, primero, dividido por el número deseado en la
muestra. El cociente indicará si cada décimo, cada onceavo, o cada centésimo
elemento
en
la
población
va
a
ser
seleccionado.
El primer elemento de la muestra es seleccionado al azar. Por lo tanto, una
muestra sistemática puede dar la misma precisión de estimación acerca de la
población, que una muestra aleatoria simple cuando los elementos en la población
están ordenados al azar.
C. Muestreo Estratificado
Para obtener una muestra aleatoria estratificada, primero se divide la población en
grupos, llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un
todo. Los elementos de la muestra son entonces seleccionados al azar o por un
método sistemático de cada estrato. Las estimaciones de la población, basadas en
la muestra estratificada, usualmente tienen mayor precisión (o menor error
muestral) que si la población entera muestreada mediante muestreo aleatorio
simple. El número de elementos seleccionado de cada estrato puede ser
proporcional o desproporcional al tamaño del estrato en relación con la población.
D. Muestreo de conglomerados.
Para obtener una muestra de conglomerados, primero dividir la población en
grupos que son convenientes para el muestreo. En seguida, seleccionar una
porción de los grupos al azar o por un método sistemático. Finalmente, tomar
todos los elementos o parte de ellos al azar o por un método sistemático de los
grupos seleccionados para obtener una muestra. Bajo este método, aunque no
todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual probabilidad de ser
seleccionado.
Por
lo
tanto
la
muestra
es
aleatoria.
Una muestra de conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral
(por lo tanto, da menor precisión de las estimaciones acerca de la población) que
una muestra aleatoria simple del mismo tamaño. Los elementos individuales
dentro de cada "conglomerado" tienden usualmente a ser iguales. Por ejemplo la
gente rica puede vivir en el mismo barrio, mientras que la gente pobre puede vivir
en otra área. No todas las áreas son muestreadas en un muestreo de áreas. La
variación entre los elementos obtenidos de las áreas seleccionadas es, por lo
tanto, frecuentemente mayor que la obtenida si la población entera es muestreada
mediante muestreo aleatorio simple. Esta debilidad puede reducida cuando se
incrementa
el
tamaño
de
la
muestra
de
área.
El incremento del tamaño de la muestra puede fácilmente ser hecho en muestra
muestra de área. Los entrevistadores no tienen que caminar demasiado lejos en
una pequeña área para entrevistar más familias. Por lo tanto, una muestra grande
de área puede ser obtenida dentro de un corto período de tiempo y a bajo costo.
Por otra parte, una muestra de conglomerados puede producir la misma precisión
en la estimación que una muestra aleatoria simple, si la variación de los elementos
individuales dentro de cada conglomerado es tan grande como la de la población.
3.5 Muestreo no aleatorio: dirigido, por cuotas, deliberado
Muestreos no aleatorios
El muestreo no aleatorio, llamado «opinático puro», consiste en la elección de una muestra según el
juicio del equipo investigador. Naturalmente, la calidad del muestreo no puede valorarse ni a priori ni
objetivamente, pues depende de los criterios utilizados para escoger a los componentes de la muestra.
A veces, razones de economía y rapidez lo hacen aconsejable. En ocasiones se completa el muestreo
con el denominado «sistema de cuotas», que consiste en realizar cierto número de encuestas entre
cada uno de los distintos grupos en que se divide el universo. Así, se puede exigir que haya «X»
entrevistas a familias que tengan dos hijos, «Y» entrevistas a familias que vivan los padres con ellos...
Esas especificaciones se determinan teniendo en cuenta las características conocidas del universo.
Dentro de este apartado, tenemos el muestreo denominado «semialeatorio», consistente en la obtención
al azar de ciertos grupos del colectivo para dejar, a criterio del entrevistador, la elección del elemento
que se va a elegir.
Un muestreo, bastante utilizado en las entrevistas y que según algunos autores puede resultar
prácticamente aleatorio, es el denominado «muestreo por rutas», en el que partiendo de unos puntos
determinados (calle, número...), los agentes van siguiendo su itinerario y efectúan las entrevistas de
acuerdo con un ritmo (por ejemplo, cada 10 edificios) y unas normas (para la elección de viviendas).
Una variante de muestreo no aleatorio, que suele utilizarse frecuentemente en determinados casos, son
las «reuniones de grupo» o «grupos de discusión». Su importancia en determinados estudios es tal que
hemos considerado oportuno incluirlo como tema independiente al final del capítulo.
Tamaño de la muestra
La muestra es el número de elementos, elegidos o no al azar, que hay que tomar de un universo para
que los resultados puedan extrapolarse al mismo, y con la condición de que sean representativos de la
población. El tamaño de la muestra depende de tres aspectos:
• Del error permitido.
• Del nivel de confianza con el que se desea el error.
• Del carácter finito o infinito de la población.
Las fórmulas generales que permiten determinar el tamaño de la muestra son las siguientes:
• Para poblaciones infinitas (más de 100.000 habitantes):
• Para poblaciones finitas (menos de 100.000 habitantes):
Leyenda:
n = Número de elementos de la muestra.
N = Número de elementos del universo.
P/Q = Probabilidades con las que se presenta el fenómeno.
Z2 = Valor crítico correspondiente al nivel de confianza elegido; siempre se opera con valor
sigma 2, luego Z = 2.
E = Margen de error permitido (a determinar por el director del estudio).
Cuando el valor de P y de Q no se conozca, o cuando la encuesta se realice sobre diferentes aspectos
en los que estos valores pueden ser diferentes, es conveniente tomar el caso más favorable, es decir,
aquel que necesite el máximo tamaño de la muestra, lo cual ocurre para P = Q = 50, luego, P = 50 y
Q = 50. En mi larga trayectoria profesional siempre he visto los valores P x Q como 50 x 50.
Para facilitar el cálculo del tamaño de la muestra pueden utilizarse unas tablas especiales,
incorporadas en el anexo I y II, cuyo uso viene dado por el fácil método del eje de coordenadas.
En ambos casos si hubiésemos ido a las tablas de los anexos I y II hubiésemos obtenido el mismo
resultado.
Unidad IV Inferencia estadística.
4.1
Estimación puntual y por intervalos de confianza
ESTIMACION
El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que
mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las
conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los
estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muéstrales, y mientras
menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros
sus valores.
Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por intervalo. Una
estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un
parámetro. El estadístico usado se denomina estimador.
Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se
espera que contenga el parámetro.
Estimación Puntual
La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de
conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para
hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de
las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en
los valores calculados de varias cantidades muestrales . Po ejemplo,
representamos con
(parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la
ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de
semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para
determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la
resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del
valor de . De forma similar, si
es la varianza de la distribución de resistencia
a la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar pra inferir algo
acerca de
.
Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente
tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega
para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un
número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable
de .
Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones
observadas en horas de x1=5.0, x2=6.4 y x3=5.9. El valor calculado de la duración
media muestral es = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más
adecuado de .
Una estimación puntual de un parámetro es un sólo número que se puede
considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al
seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la
muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de .
El símbolo
(theta sombrero) suele utilizarse para representar el estimador de
y
la estimación puntual resultante de una muestra dada. Entonces
se lee como
"el estimador puntual de es la media muestral ". El enunciado "la estimación
puntual de
es 5.77" se puede escribir en forma abreviada
.
Ejemplo:
En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo
costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar
con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas
aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad
obtenidos de un proceso de fundición a presión:
44.2 43.9 44.7 44.2 44.0 43.8 44.6 43.1
Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. Se
desea estimar la varianza poblacional
muestral:
. Un estimador natural es la varianza
En el mejor de los casos, se encontrará un estimador
para el cual
siempre.
Sin embargo, es una función de las Xi muestrales, por lo que en sí misma una
variable aleatoria.
Entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias
de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero.
Propiedades de un Buen Estimador
Insesgado.- Se dice que un estimador puntual
es un estimador insesgado de
si
, para todo valor posible de . En otras palabras, un estimador
insesgado es aquel para el cual la media de la distribución muestral
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4.3 ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ
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ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿsuficientemente
amplia, ésta será representativa. Además, es necesario atender al método
mediante el cual se elige físicamente la muestra:
• Muestreo aleatorio o probabilístico.
• Muestreo no aleatorio u opinático.
4.2
Prueba de hipótesis y planteamiento de las hipótesis
Las secciones anteriores han mostrado cómo puede estimarse un parámetro a
partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo
número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de
confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y
administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una
proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de
hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística,
puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o
experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas
de prueba de hipótesis.
Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros
de una o más poblaciones.
Suponga que se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor
sólido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de
aeronaves. El interés se centra sobre la rapidez de combustión promedio. De
manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de combustión promedio
es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como
La proposición Ho;
Ho;
= 50 cm/s
H1;
50 cm/s
= 50 cm/s, se conoce como hipótesis nula, mientras que la
proposición H1;
50 cm/s, recibe el nombre de hipótesis alternativa. Puesto
que la hipótesis alternativa especifica valores de que pueden ser mayores o
menores que 50 cm/s, también se conoce como hipótesis alternativa bilateral.
En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hipótesis alternativa
unilateral, como en
Ho;
= 50 cm/s Ho;
= 50 cm/s
ó
H1;
< 50 cm/s H1;
> 50 cm/s
Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la
población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo
general, el valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis nula se
determina en una de tres maneras diferentes:
1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del
proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es
determinar si ha cambiado el valor del parámetro.
2. Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el
proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es
verificar la teoría o modelo.
3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas, tales
como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones
contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis
es probar el cumplimiento de las especificaciones.
Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una hipótesis en particular
recibe el nombre de prueba de hipótesis. Los procedimientos de prueba de
hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria
de la población de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, se
concluye que ésta es verdadera; sin embargo si esta información es inconsistente
con la hipótesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapié en que la
verdad o falsedad de una hipótesis en particular nunca puede conocerse con
certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la población. Usualmente
esto es imposible en muchas situaciones prácticas. Por tanto, es necesario
desarrollar un procedimiento de prueba de hipótesis teniendo en cuenta la
probabilidad de llegar a una conclusión equivocada.
La hipótesis nula, representada por Ho, es la afirmación sobre una o más
características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia
a priori").
La hipótesis alternativa, representada por H1, es la afirmación contradictoria a
Ho, y ésta es la hipótesis del investigador.
La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la
evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice
decididamente a Ho, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula.
Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis
son rechazar Ho o no rechazar Ho.
Prueba de una Hipótesis Estadística
Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez de
combustión del agente propulsor presentado con anterioridad. La hipótesis nula es
que la rapidez promedio de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis
alternativa es que ésta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar:
Ho;
= 50 cm/s
H1;
50 cm/s
Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especímenes, y
que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestral. La media
muestral es un estimador de la media verdadera de la población. Un valor de la
media muestral que este próximo al valor hipotético = 50 cm/s es una
evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es,
tal evidencia apoya la hipótesis nula Ho. Por otra parte, una media muestral muy
diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hipótesis alternativa
H1. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadístico de prueba.
La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supóngase que si
48.5
51.5, entonces no se rechaza la hipótesis nula Ho; = 50 cm/s, y que si
<48.5 ó
>51.5, entonces se acepta la hipótesis alternativa H1;
50 cm/s.
Los valores de que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la
región crítica de la prueba, mientras que todos los valores que están en el
intervalo 48.5
51.5 forman la región de aceptación. Las fronteras entre las
regiones crítica y de aceptación reciben el nombre de valores críticos. La
costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hipótesis nula Ho. Por
tanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadístico de prueba cae en la región
crítica, de lo contrario, no se rechaza Ho.
Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones
erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio
de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos
los especímenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadístico de
prueba que cae en la región crítica. En este caso, la hipótesis nula Ho será
rechazada en favor de la alternativa H1cuando, de hecho, Ho en realidad es
verdadera. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I.
El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula Ho cuando ésta es
verdadera. También es conocido como
ó nivel de significancia.
Si tuviéramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significancia
sería del 5%. Análogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el
nivel de significancia sería del 10%.
Ahora supóngase que la verdadera rapidez promedio de combustión es diferente
de 50 cm/s, aunque la media muestral caiga dentro de la región de aceptación.
En este caso se acepta Ho cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el
nombre de error tipo II.
El error tipo II ó error
ésta es falsa.
se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando
Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones
diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea.
Decisión
Ho es verdadera
Aceptar Ho
No hay error
Rechazar Ho
Ho es falsa
Error tipo II ó
Error tipo I ó
No hay error
1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Una disminución en la
probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la
probabilidad del otro.
2. El tamaño de la región crítica, y por tanto la probabilidad de cometer un
error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos.
3. Un aumento en el tamaño muestral n reducirá
y
de forma simultánea.
4. Si la hipótesis nula es falsa, es un máximo cuando el valor real del
parámetro se aproxima al hipotético. Entre más grande sea la distancia
entre el valor real y el valor hipotético, será menor
4.5 Pruebas unilaterales y bilaterales
4.6 Prueba de hipótesis para una distribución muestral de diferencias de
medias
PASOS PARA ESTABLECER UN ENSAYO DE HIPOTESIS
INDEPENDIENTEMENTE DE LA DISTRIBUCION QUE SE ESTE TRATANDO
1. Interpretar correctamente hacia que distribución muestral se ajustan los
datos del enunciado.
2. Interpretar correctamente los datos del enunciado diferenciando los
parámetros de los estadísticos. Así mismo se debe determinar en este
punto información implícita como el tipo de muestreo y si la población es
finita o infinita.
3. Establecer simultáneamente el ensayo de hipótesis y el planteamiento
gráfico del problema. El ensayo de hipótesis está en función de parámetros
ya que se quiere evaluar el universo de donde proviene la muestra. En este
punto se determina el tipo de ensayo (unilateral o bilateral).
4. Establecer la regla de decisión. Esta se puede establecer en función del
valor crítico, el cual se obtiene dependiendo del valor de
(Error tipo I o
nivel de significancia) o en función del estadístico límite de la distribución
muestral. Cada una de las hipótesis deberá ser argumentada correctamente
para tomar la decisión, la cual estará en función de la hipótesis nula o H o.
5. Calcular el estadístico real, y situarlo para tomar la decisión.
6. Justificar la toma de decisión y concluir.
7.
4.9 Muestreo pequeño: Distribución de ji-cuadrada. Cuadros de
contingencia, limitaciones de la prueba de ji-cuadrada
Distribución muestral de Proporciones
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la
muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la
proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de
proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta
distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a
excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico
proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés
y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadísitico media.
Una población binomial está estrechamente relacionada con la distribución
muestral de proporciones; una población binomial es una colección de éxitos y
fracasos, mientras que una distribución muestral de proporciones contiene las
posibilidades o proporciones de todos los números posibles de éxitos en un
experimento binomial, y como consecuencia de esta relación, las afirmaciones
probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la
aproximación
normal
a
la
binomial,
siempre
que
np 5
y
n(1-p) 5. Cualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el
número obtenido entre el número de intentos.
Generación de la Distribución Muestral de Proporciones
Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos
defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo.
Genere la distribución muestral de proporciones para el número de piezas
defectuosas.
Como se puede observar en este ejercicio la Proporción de artículos defectuosos
de esta población es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas
de este lote están defectuosas.
El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12
elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:
Número
de
maneras en las
que se puede
obtener
la
muestra
Artículos
Buenos
Artículos
Malos
Proporción
de artículos
defectuoso
1
4
4/5=0.8
8C1*4C4=8
2
3
3/5=0.6
8C2*4C3=112
3
2
2/5=0.4
8C3*4C2=336
4
1
1/5=0.2
8C4*4C1=280
5
0
0/5=0
8C5*4C0=56
Total
792
Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que
hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla
entre el número total de muestras.
Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es
igual a la Proporción de la población.
p
=P
También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de
proporciones:
2= npq, por lo que la varianza de la
La varianza de la distribución binomial es
2
distribución muestral de proporciones es
p =(Pq)/n. Si se sustituten los valores
en esta fórmula tenemos que , este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos
falta agregar el factor de corrección para una población finita y un muestreo sin
reemplazo:
La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución
muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución normal
a la binomial . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del
comportamiento de la proporción en la muestra.
Ejemplo:
Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman
cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la
probabilidad de que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos
sea menor que 0.55.
Solución:
Este ejercicio se puede solucionar por dos métodos. El primero puede ser con la
aproximación de la distribución normal a la binomial y el segundo utilizando la
fórmula de la distribución muestral de proporciones.
Aproximación de la distribución normal a la binomial:
Datos:
n=800 estudiantes
p=0.60
x= (.55)(800) = 440 estudiantes
Media= np= (800)(0.60)= 480
que al extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos.
Distribución Muestral de Proporciones
Datos:
n=800 estudiantes
P=0.60
p= 0.55
p(p
0.55) = ?
Unidad V Análisis de regresión y correlación.
5.1
Regresión lineal simple, curvilínea y múltiple
Regresión lineal simple
En un problema de regresión, los carácteres no son
considerados de la misma forma. Uno de ellos es el carácter
''a explicar'', los otros son ''explicativos''. Vamos primero a
considerar el caso de dos carácteres, (explicativo) e (a
explicar). ''Explicar'' significa aquí expresar una dependencia
funcional de
valor de
como función de
conociendo el de
, de manera tal de prever el
. Si para todo individuo ,
, y si se observa un valor
nuevo individuo, daremos
carácter
del carácter
en un
como predicción del
en este nuevo individuo. La situación ideal donde
no se encuentra nunca en la práctica. Más bien se
buscará, en una familia fija de funciones, aquella para la que
los se encuentran más cerca de los
. La cercanía se
mide en general por el error cuadrático medio:
(3.2)
Hablamos entonces de regresión en el sentido de los
mínimos cuadrados. Las diferencias entre los valores
observados y los valores que predice el modelo
, se
llaman los residuos. Si el modelo se ajusta de manera tal
que la serie de los residuos sea centrada (de media nula),
entonces el error cuadrático
es la varianza de los
residuos. La regresión lineal consiste en buscar entre las
funciones afines. La solución se expresa de manera simple a
partir de las carácterísticas de
e
.
Proposición 3.5 Sean e dos muestras observadas
sobre una misma población de tamaño . Denotemos por
la función de
en
definida por:
Si
(el carácter no es constante), la función
admite un mínimo en:
y
El valor de este mínimo es:
Definición 3.6 Llamamos recta de regresión lineal de
sobre
a la recta de ecuación
.
Demostración: Si fijamos
,
es un polinomio de
grado en . El alcanza su mínimo para un
la derivada se anule. Calculando:
Obtenemos por tanto
en
tal que
. Substituimos este valor
:
Esta función es un polinomio de grado en , que alcanza
su mínimo en el punto donde se anula su derivada.
Obtenemos:
sea:
Pongamos:
y
Tenemos entonces para todo par
El valor del mínimo es:
:
Como se esperaba, el error cuadrático minimal es menor
cuando la correlación es más fuerte.
Es importante observar la diferencia de los roles que
desempeñan
lineal de
e
. Geométricamente, la recta de regresión
con respecto a
minimiza la suma de las
distancias verticales de los puntos
a la recta. La recta
de regresión lineal de con respecto a minimiza las
distancias horizontales. Las dos rectas se cortan en el centro
de gravedad,
, de la nube de puntos. La separación
entre las dos rectas es mayor cuando la correlación es más
débil.
La predicción es la primera aplicación de la regresión lineal.
A continuación tenemos las estaturas en centímetros
(muestra
años.
Niño
) y el peso en kilogramos ( ) de
1
2
3
4
5
6
niños de
7
8
9
10
Estatura 121 123 108 118 111 109 114 103 110 115
Peso
25 22 19 24 19 18 20 15 20 21
Las carácterísticas numéricas toman los siguientes valores:
Gráfico 14: Estatura y peso de niños de 6 años:
recta de regresión.
Hacer una regresión lineal quiere decir que se piensa que el
peso debe crecer, en general, proporcionalmente a la
estatura. La recta de regresión lineal constituye un modelo
de predicción. Por ejemplo diremos que el peso promedio de
un niño de 6 años que mide 120 centímetros será de
kg. Evidentemente esta predicción no es
infalible. Ella sólo da un orden de magnitud. El valor
observado será probablemente distinto y el error previsible
será del orden de
kg.
Como segunda aplicación se puede extender el ajuste por
cuantiles a familias de leyes invariantes por
transformaciones afines, como las leyes normales . Sea
una muestra continua de tamaño para la cual queremos
verificar si ella podría haber salido de una ley normal
, con parámetros
y
desconocidos. Para
, denotemos como siempre por
los
estadígrafos de orden. Si la hipótesis de normalidad es
pertinente, entonces
debe estar cerca del cuantil
de la ley
variable aleatoria
. Recordemos que si una
sigue la ley
sigue la ley
decir que para todo
. Esto es lo mismo que
:
Denotemos por
cuantil de la ley
, entonces
los valores de la función
en los puntos
. Si la hipótesis de
normalidad se verifica, los puntos de coordenadas
deberían estar cercanos de la recta de ecuación
Una regresión lineal de las
con respecto a las
.
nos da a
la vez una estimación de los valores de y , y una
indicación sobre la calidad del ajuste (figura 15). Antes de
que existieran los programas de cálculo, se vendía papel
''gausso-aritmético'', graduado en las abscisas según los
cuantiles de la ley
. Bastaba poner en las ordenadas
los valores de las
para trazar a mano la recta de
regresión lineal, que lleva el nombre de ''recta de Henry'', por
el nombre del coronel que inventó este método en el siglo
XIX para estudiar el alcance de los cañones.
Gráfico 15: Estaturas de niños de 6 años. Cuantiles
de la ley normal
y estadígrafos de orden.
Superposición de la recta de Henry.
El problema de la regresión es determinar en una familia de
funciones dada, cual es la función que minimiza el error
cuadrático (3.2). Pero es frecuente que no haya una solución
explícita. Para ciertas familias de funciones, se transforma el
problema de manera tal de llevarlo a una regresión lineal.
Presentamos aquí algunos casos frecuentes.
Familia
Funciones
Transformación
Forma afín
exponencial
potencia
inversa
logística
Como ejemplo de aplicación, vamos a tomar el problema del
ajuste por los cuantiles para la familia de leyes de Weibull,
las cuales se emplean frecuentemente para modelar tiempos
de sobrevida en medicina o tiempos de funcionamiento en
fiabilidad. La función cuantil de la ley de Weibull
Sea
una muestra que queremos ajustar por una ley de
Weibull de parámetros
, el estadígrafo de orden
.
o sea:
y
desconocidos. Para
debe estar cerca del cuantil
es:
Pongamos
puntos
y
. Los
deberían estar cerca de la recta de ecuación
. Una regresión lineal nos dará no
solamente los valores para y , sino también una
indicación sobre la calidad del ajuste. Antes de los
programas de cálculo, existía también un ''papel Weibull'',
graduado de manera tal que se podía automatizar este caso
particular de regresión no lineal.
5.2
Correlación
Otra forma de análisis bivariado es la correlación y regresión de variables numéricas y discretas. El
concepto de correlación y regresión se basa en el grado de relación que poseen dos variables
numéricas entre si.
El coeficiente de correlación permite predecir si entre dos variables existe o no una relación o
dependencia matemática.
Supongamos que queremos estudiar la correlación existente entre peso y altura de un grupo de
personas tomadas al azar. Sometemos los datos recogidos de peso y altura al análisis de
correlación y encontramos el coeficiente de correlación entre ambas, que se representa con la letra
r. El r = 0.78. Esto significa que a mayor altura correspondería mayor peso.
Los coeficientes de correlación r siempre oscilan entre valores de 1 y –1. El valor cero 0 significa
que no existe correlación entre ambas variables. Un valor positivo indica que a incrementos en la
variable A se producen incrementos proporcionales en B y un valor negativo indica lo contrario.
Podemos graficar la correlación entre las dos variables a través de una gráfica de dos ejes
(abscisas y ordenadas) cartesianos.
En el siguiente gráfico observamos la correlación entre potencia de motor de un automóvil y
consumo en Litros por cada 100 Km. El r = 0.87 (correlación positiva). (SPSS). Evidentemente a
mayor potencia se observa mayor consumo de combustible. El valor de significación para ese r es
de una p < 0.01. Esto quiere decir que la correlación entre potencia y consumo no es aleatoria.
En el siguiente gráfico encontramos la relación existente entre peso del automóvil en kg. y
aceleración 0 a 100 Km. / hora en segundos. El r = - 0.56 con una p < 0.05. Esto significa que
existe una correlación negativa significativa, entre peso del auto y respuesta de la aceleración.
Automóviles más pesados presentan una respuesta más tardía y viceversa. (SPSS)
Para interpretar el coeficiente de correlación, Colton a dado los siguientes lineamientos generales:





Valor de r de 0 a 0.25 implica que no existe correlación entre ambas variables.
Valor de r de 0.25 a 0.50 implica una correlación baja a moderada.
Valor de r de 0.50 a 0.75 implica correlación moderada a buena.
Valor de r de 0.75 o mayor, implica una muy buena a excelente correlación.
Estos rangos de valores se pueden extrapolar a correlaciones negativas también.
Se debe tener cuidado al analizar la correlación entre dos variables, de que ambas varíen juntas
permanentemente. Esto parece redundante, pero es importante. Por ejemplo, si correlacionamos
edad y altura. La altura irá aumentando con la edad hasta un determinado punto en donde ya no
aumentará más.
5.3
Regresión y correlación para datos agrupados
Recta de regresión
Supongamos que en una variable bidimensional queremos precisar la relación que
existe entre las dos variables que la forman. En concreto queremos expresar
mediante una relación cómo depende una de ellas (variable dependiente) de la
otra (variable independiente). Normalmente se elige como y la variable
dependiente y como x la independiente.
Si esa relación se expresa mediente una función lineal del tipo y = ax + b, su
gráfica correspondería a una recta.
En el caso que nos ocupa nos interesa la recta que mejor "se ajuste" a los puntos
de la nube de puntos de la variable. Dicha recta se denomina: recta de regresión.
Por un método que se denomina de "mínimos cuadrados" y cuya concrección no
corresponde a este nivel de estudio, se deduce que la recta de regresión debe
pasar por el punto correspondiente a las medias de ambas variables y que debe
tener por pendiente la covarianza dividida por la varianza de la variable x.
Con ello la expresión de la recta de regresión será:
Esta es la llamada "Recta de regresión de y sobre x". Si se deseara estudiar la
dependencia de x respecto a y sólo habría que cambiar en la expresión de la recta
x por y, obteniéndose la recta regresión de x sobre y.
En la imagen siguiente se muestra la recta de regresión de y (peso) sobre x (talla)
del ejemplo 1 de este tema. En este caso se supone que represente cómo
depende el peso de una persona de su talla.
Si recordamos que entre la talla y el peso decíamos que existía una dependencia
directa, la recta de regresión lo confirma ya que su pendiente es positiva: a medida
que aumenta la talla aumenta el peso. Por tanto:
Dependencia directa - Pendiente de la recta positiva - Función creciente.
Pero ¿qué utilidad tiene la recta de regresión?
En la tabla de valores de la variable talla - peso, solamente nos dan los valores de
un determinado número de personas (10 en este caso): las personas de las que
se conocen dichos valores. Mediante la recta de regresión podríamos obtener de
manera aproximada el peso de una persona de la que conociéramos la talla, en
una población semejante a aquella de la que se ha obtenido la muestra.
Si observamos la gráfica anterior, podríamos suponer por ejemplo que una
persona de 185 cm pesaría algo más de 80 kg.
De manera más precisa, si conocemos la expresión de la recta de regresión, se
pueden calcular valores para la variable y, conocidos los de x, como si se tratara
de una función.
Ejemplo 4.- La recta de regresión de la variable y (talla) sobre x (peso) será la
recta:
- que pasa por el punto (172,6 ; 66,3)
- tiene de pendiente: 55,32 / 50,71 = 1,0909
Recta: y - 66,3 = 1,0909 ( x - 172,6) que operando y simplificando queda:
y = 1,0909x - 121,9
El valor del peso que suponíamos aproximado para una talla de 185 cm sería:
Peso= 1.0909 · 185 - 121,9 = 79.9
Este valor obtenido es algo menor al esperado. Eso quiere decir que las
predicciones hechas con la recta de regresión no son exactas. En el apartado
siguiente precisaremos la "fiabilidad" de las mismas.
Por tanto la recta de regresión se puede utilizar para realizar
predicciones para la variable y a partir de valores conocidos de la
variable x.
Ejercicio 4.- Observar la tabla de valores siguiente y la escena donde dichos
valores están representados. En la escena a los pares de valores le llamamos
(a,a1) ; (b,b1); etc.
x 2 4 6 8 10 12
y 8 7 7 6 6
4
- Calcular la recta de regresión de y sobre x.
Se debe obtener los valores siguientes:
Media de x: 7 ; Media de y: 6,33 ; covarianza: -3,99 ; varianza de x: 11,66 y con
ello:
recta de regresión: y = -0,342 x + 8,72
- ¿Cómo es la pendiente ? ¿qué tipo de dependencia existe entre las variables?
- Dar algunos valores a x y obtener los correspondientes a y según la recta de
regresión. Comprobar en la escena si los valores obtenidos son correctos.
- Cambiar los valores iniciales de la tabla en la escena viendo cómo varía la recta
de regresión y calcularla en los casos que se desee (por ejemplo un caso en que
la pendiente de la recta sea positiva).
Coeficiente de correlación
Una vez observado que en una variable bidimensional existe una cierta
dependencia entre las dos características o variables que la forman (nube de
puntos y covarianza), podemos precisar el grado de dicha dependencia.
- Si los puntos de la nube estuvieran todos sobre la recta de regresión se diría que
existe una dependencia funcional. De su estudio se encargan las funciones.
- Si los puntos no están todos sobre la recta de regresión se dice que entre las
variables hay una cierta correlación lineal. Este es el caso que nos ocupa. Para
cuantificar el grado de dicha correlación se usa el:
Coeficiente de correlación de Pearson. Si le llamamos r, su valor es:
Puede observarse que el signo del coeficiente de correlación es el mismo que
el de la covarianza y puede deducirse que el valor del mismo esta
comprendico entre -1 y 1.
En la escena siguiente se puede observar la escena del ejercicio 4, donde se ha
añadido el valor del coeficiente de correlación.
Se pueden deducir las siguientes conclusiones relativas al coeficiente de
correlación (r):
- Su signo es el mismo de la covarianza, luego si r es positivo la
dependencia es directa y si es negativo inversa.
- Si r se acerca a -1 o a +1, la dependencia es fuerte y por tanto las
predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán bastante
fiables.
- Si r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones
que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables.
Ejercicio 5.- Calcular el coeficiente de correlación para la variable talla - peso y
deducir del valor del mismo el tipo de dependencia y la fiabilidad de las
predicciones. (Sol: r = 0,90)
5.4
Correlación por rangos
Correlación por rangos
Hay varios modos de determinar la magnitud de un coeficiente de correlación. El
más sencillo es el coeficiente de correlación por rangos, cuyo símbolo es p, (la
letra griega rho).
El primer paso para obtener p es ordenar a los sujetos por sus rendimientos en
cada uno de los tests analizados. Luego se comparan los rangos y de esta
comparación se deriva el valor de p.
Si hubiese correlación positiva perfecta, no habrá diferencia entre los dos
conjuntos de rangos.
En cambio si la correlación fuese algo menos que perfecta, las diferencias entre
los rangos no sería 0, en modo alguno. Cuanto mayores sean las disparidades de
los rangos, menor será la relación positiva entre los dos conjuntos de
puntuaciones. Por lo tanto, la medida de las diferencias del rango proporciona,
evidentemente un modo de medir el coeficiente de correlación. Cuanto mayor sea
la medida, menor será la correlación positiva.
Siendo + 100 la correlación positiva mayor posible, para obtener el coeficiente de
correlación restaremos de cien la media de las diferencias entre los rangos.
Cuánto más elevada sea la media de las diferencias entre los rangos, menor será
el coeficiente de correlación.
Fórmula: la cuantía de la correlación es I menos la media de las diferencias entre
los rangos, o
P = I - sumatoria D2
___________
N
Fórmula derivada por lógica, que es de estructura muy semejante a la obtenida
matemáticamente.
Por diversas razones matemáticas, la verdadera fórmula es:
P = I -6sumatoriad2
________________
N(N2 - I)
El mismo razonamiento sirve para la correlación negativa por rangos.
5.5
Coeficiente de correlación para datos nominales
Correlación de producto-momento
El coeficiente de correlación más frecuentemente usado es el coeficiente de
correlación producto-momento.
La fórmula es: r =sumatoria xy
__________
Noxoy
X e y son las desviaciones de las puntuaciones individuales de las medias del
grupo, ox es la desviación standard de las puntuaciones en el test x y oy la
desviación standard de las puntuaciones en el test y.
Por regla general, se prefiere el coeficiente de correlación por rangos cuando el
número de casos es pequeño (15 ó 20) y cuando hay poca ligazón entre los
rangos. En otros casos, el coeficiente de correlación de p-m resulta más
conveniente.
Un error lógico que frecuentemente se comete en la interpretación del coeficiente
de correlación es el argumento de causa y efecto. Se admite a menudo que si dos
variables están muy correlacionadas, una es la causa de la otra. No obstante, la
correlación elevada entre dos fenómenos indica simplemente que ambos son
causados por un tercer factor y no que un fenómeno cause o influencie el otro. En
estadística se usa, a menudo el coeficiente de correlación en problemas de los
que se sabe que no hay relación causal entre los dos conjuntos de medida que se
correlacionan.
Errores de medida
El error se debe a un instrumento de medida inexacto, a un método imperfecto de
aplicar el instrumento, a nuestra manera inadecuada de leerlo o registrarlo o a
cualquier otro factor.
En la ciencia, por depender en gran parte del raciocinio de las mediciones, se
tiene mucho cuidado con los errores de medida y se ha aprendido mucho acerca
de su naturaleza, origen y control. En los casos que se ha sido incapaz de
eliminarlos, se han desarrollado técnicas que permiten estimar el grado de error.
Sabiendo la magnitud del error se puede enunciar el grado de confianza en las
conclusiones basadas en las medidas. El estudio de los errores de medida es uno
de los básicos de la estadística.
Fiabilidad
No existe un instrumento de medida absolutamente perfecto. Hasta el instrumento
de medida más simple, la regla, no está libre de error. Algunos instrumentos de
medida nos dan errores mayores que otros.
La fiabilidad de un aparato de medida(incluido su método de aplicación) puede
definirse como el grado en que medidas repetidas de la misma cantidad, con el
mismo instrumento de medida, dan las mismas lecturas.
La fiabilidad medida por correlación: el coeficiente de correlación nos da un índice
numérico que expresa el grado de fiabilidad de una prueba. Cuando se usa con
este fin, el coeficiente de correlación recibe el nombre de coeficiente de fiabilidad.
Veracidad de las formas comparables: La mayoría de las pruebas psicológicas
constan de gran número de elementos, problemas y preguntas. La correlación de
las dos formas comparables nos daría la fiabilidad de una y otra forma.
El método de las formas comparables evita el problema de la memoria y quizás el
de fastidio, pero deja intacto el del tiempo. Las dos formas se aplican en tiempos
diferentes, y durante el intervalo pueden suceder muchas cosas que dificultan la
interpretación de la correlación entre las dos formas comparables.
Fiabilidad compartida: la base del método de fiabilidad bipartida es idéntica a la del
de formas comparables. Este método suele llamarse del “ coeficiente de paresimpares” y cuenta con dos ventajas: primera, las dos subpruebas(pares y nones)
se hacen a la vez, en las mismas condiciones de motivación, idénticas condiciones
de examen y con el mismo grado de atención. Segunda, por haber divido la
prueba de pares-impares, hemos garantizado la comparabilidad de formas, no
sólo en cuanto al contenido, sino también en cuanto al contenido, sino también en
cuanto al modo de administración.
Estos y otros métodos pueden proporcionarnos una valiosa información sobre la
utilidad de una prueba como instrumento de medida. Sin embargo, saber que una
prueba es fiable no basta para permitirnos apreciar su valor como instrumento de
medición Puede ser muy fiable y por el contrario, constituir un mal instrumento de
medida, por carecer de validez.
Validez
Los términos de “fiabilidad” y “validez” se usan indistintamente en el lenguaje
vulgar. No obstante, en la teoría de la medición, tienen un significado distinto. El
estadístico preocupado por el problema de la fiabilidad e un instrumento con lo
que mide. Cuando le interesa la cuestión de la validez, pregunta si el instrumento
mide lo que él quiere medir. Un instrumento puede hacer medidas acordes(puede
tener fiabilidad), pero acaso no mide lo que se quiere medir(acaso tiene poca
validez). Pero a la mayoría de los tests que tratan de medir fenómenos más
complejos no se les adscribe la validez con tanta facilidad. En primer lugar, la
validez, lo mismo que la fiabilidad, no es asunto de todo nada. Una prueba tiene
grados de validez. El grado de validez de las preguntas de clase sólo estaría
influido por la comprensión por parte del alumno de los principios psicológicos. En
este caso diríamos que las preguntas tienen validez perfecta como medida de la
comprensión de principios psicológicos; pero, más probablemente, la puntuación
en las preguntas es la resultante de la comprensión psicológica, más la aptitud
memorista. La prueba tiene alguna validez para la comprensión psicológica y
alguna otra para la capacidad memorista, pero no es una prueba “pura” de
ninguna de las dos. Como en la fiabilidad, necesitamos algún medio para expresar
el grado de validez de un instrumento de medida de un instrumento de medida y,
de nuevo como en aquella, el coeficiente de correlación nos facilita ese medio.
La validez medida por correlación: Es evidente que una prueba es válida en el
grado en que sus medidas se correlacionan con lo que mide. Cuando se usa de
este modo el coeficiente de correlación se llama coeficiente de validez.
El principio general para determinar la validez de una prueba es bastante simple,
correlacionamos sus puntuaciones con su criterio. La dificultad consiste en que,
frecuentemente, no podemos hallar un criterio con el que compararlas. Por
ejemplo se quiere medir la validez de una prueba de inteligencia. Se pude obtener
las puntuaciones del test con mucha facilidad, pero qué servirá de criterio de
“inteligencia” ¿Las calificaciones escolares? ¿El dinero ganado en la vida real?
¿La originalidad y creatividad? ¿La primacía en cuestiones sociales? Personas
diferentes sugerirían distintos criterios y algunos de ellos plantearían, por sí
mismos, problemas e medida.
Se han hecho muchos intentos de resolver el problema del criterio. Entre las
técnicas más corrientes está el llamado método del “grupo conocido”.
Grupos conocidos y validez: No hay puntuaciones-criterio de originalidad y
creatividad fácilmente disponibles.
Una prueba puede tener gran fiabilidad y poca validez, en el sentido que no mida
lo que intentábamos que midiese. En cambio, una prueba de mucha validez no
puede tener poca fiabilidad. Las pruebas poco fiables no pueden compararse
consecuentemente con n conjunto de puntuaciones-criterio, porque sus medidas
son, en gran parte, erróneas y por consiguiente deben tener poca validez.
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap02.html
http://prof.usb.ve/ejmarque/cursos/ea2181/core/desp05.html
http://ftp.medprev.uma.es/libro/node61.htm
http://coqui.lce.org/mdejesus/CLAS4/index.htm
http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosRelaciones.htm