Sobre la distribución Normal y pruebas de diferencias

La distribución “t de student”
O lo que es lo mismo:
La relación entre la cerveza y los estudios de estadística
La distribución t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.
Gosset era un estadístico empleado por la compañía de cerveza Guinness con
quien tenía un contrato que estipulaba que no podía usar su nombre en sus
publicaciones. Él recurrió al sobrenombre de “Student” que es como ahora
conocemos el tipo de estadística que desarrolló.
Lo interesante del caso es que su trabajo estaba enfocado al control de calidad
de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compañía Guinness habían
publicado artículos en los que se divulgaban secretos o información confidencial
sobre el proceso de la cerveza y por eso se obligó a Gosset a aceptar la cláusula.
De acuerdo al Teorema del Límite Central, la distribución muestral de una
estadística (como la media de la muestra) seguirá una distribución normal,
siempre y cuando el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.
grande
Entonces cuando conocemos la desviación estándar de la población
podemos calcular un valor o calificación z y emplear la distribución normal
para evaluar probabilidades sobre la media de la muestra.
Sin embargo, muchas veces los tamaños de las muestras son muy pequeños,
y frecuentemente no conocemos la desviación estándar de la población.
Cuando estos problemas ocurren, en estadística se recurre a una
distribución conocida como la “t de student” cuyos valores están dados
por:
t=
x−μ
s
n
Diferencia a probar
Desviación estándar de
la diferencia o Error
Estándar
Podemos ver que la ecuación es prácticamente igual a la utilizada para la
distribución muestral de medias, pero reemplazando la desviación
estándar de la población por la desviación estándar de la muestra.
muestra
De manera similar al caso de la distribución muestral de medias para el
caso de que n > 30, en donde usamos la distribución normal, podemos
encontrar la distribución de los valores t de student para aquellos casos
cuando n < 30.
30
T de Student
df
2
5
10
15
20
25
30
50
100
0.4
0.3
Densidad
Sin embargo, otra
diferencia en su uso
es el empleo de una o
más tablas de valores
t en lugar de la tabla
para valor Z.
Curva de Distribución
0.2
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supuso que las
muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería
una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no
normales que poseen distribuciones en forma casi de campana también
proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a esta
distribución.
La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t no es igual a 1
como en la de Z,
Z sino que depende del tamaño de la muestra y siempre es
mayor a uno. Unicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito
las dos distribuciones serán las mismas.
Curva de Distribución
T de Student
df
2
5
10
15
20
25
30
50
100
0.4
Densidad
0.3
0.2
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
Otra diferencia con la distribución normal, es que la forma de la distribución t
de student depende de un parámetro llamado el número de grados de libertad.
libertad
El número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra (número de
observaciones independientes) menos 1.
gl = df= n – 1
Nota: cuando usemos software es posible que el número de grados de libertad
se denomine como df o DF (“degrees of freedom”).
Distribución Normal
Curva de Distribución
Normal, Media=0, DesvEst=1
T de Student
Densidad
0.3
0.2
0.1
0.0
0.4
0.3
Densidad
df
2
5
10
15
20
25
30
50
100
0.4
0.2
0.1
-6
-4
-2
0
X
2
4
6
0.0
-6
-4
-2
0
X
2
4
6
Las curvas muestran la forma que puede tomar la distribución t de student la
cual depende del número de grados de libertad.
libertad Como se puede apreciar se
parece mucho a la distribución normal. Incluso, para un número grande de
grados de libertad (es decir de número de datos en la muestra) las dos
distribuciones son iguales.
iguales
Curva de Distribución
T de Student
df
2
5
10
15
20
25
30
50
100
0.4
Densidad
0.3
0.2
100 grados de libertad
2 grados de libertad
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
X
1
2
3
Aunque parece una distribución normal, la distribución t tiene un poco más de
área en los extremos y menos en el centro cuando los grados de libertad son
pocos.
Otro punto a notar es que la distribución t es más bien una colección de
distribuciones, una para cada número de grados de libertad.
libertad
El concepto de grados de libertad se puede visualizar haciendo referencia a la
varianza muestral que es igual a:
s
2
∑
=
n
( xi − x ) 2
n −1
Esta fórmula puede verse como un promedio de las distancias a la media sobre
n-1 datos .
La terminología de grados de libertad resulta del hecho de que si bien s2
considera n cantidades, sólo n – 1 de ellas pueden determinarse libremente.
Por ejemplo, si tenemos 4 datos (n = 4) entonces tenemos cuatro diferencias:
xi − x
Pero sabemos que la suma de ellas es = 0, por lo que si conocemos, por ejemplo:
x1 − x = 4, x2 − x = −2, x4 − x = 3
4-2+ 3 = 5
entonces, la última diferencia queda definida porque
5−5 = 0
por lo tanto x3 − x = −5
Lo que indica que sólo 3 de las diferencias (n – 1= 4 – 1 = 3) son “libres” y la
otra queda definida por las demás.
La distribución t de student tiene las siguientes propiedades:
•La media de la distribución es igual a 0
df
•La varianza es igual a
donde df (se usa también ν) es el número
df − 2
de grados de libertad
•La varianza es siempre mayor que 1, aunque es muy cercana a 1 cuando se
tiene un número de grados de libertad grande.
•Con infinitos grados de libertad la distribución t es igual a la normal.
Curva de Distribución
T de Student
df
2
5
10
15
20
25
30
50
100
0.4
Densidad
0.3
s=
df
df − 2
0.2
0.1
0.0
-2
-1
0
X
1
2
La distribución t de student se puede usar cuando cualquiera de las siguientes
condiciones se cumplen:
•La distribución de la población es normal
•La distribución de la muestra es simétrica, unimodal, sin puntos dispersos y
alejados (outliers) y el tamaño de la muestra es de 15 o menos
•La distribución de la muestra es moderadamente asimétrica, unimodal, sin
puntos dispersos (outliers) y el tamaño de la muestra está entre 16 y 30
•El tamaño de la muestra es mayor de 30, sin puntos dispersos (aunque en este
caso también se puede usar la distribución normal).
Cuando se extrae una muestra de una población con distribución normal (o casi
normal), la media de la muestra puede compararse con la media de la
población usando una valor t calculado por medio de la ecuación anterior. El
valor t puede entonces asociarse con una probabilidad acumulada única que
representa la posibilidad de que, dada una muestra aleatoriamente extraída de
la población de tamaño n, la media de la muestra sea IGUAL, MENOR o MAYOR a
la media de la población,
La probabilidad acumulada para una calificación t se puede calcular en la siguiente liga:
http://stattrek.com/Tables/T.aspx
Ejemplo 1
La compañía USALUZ produce focos. El presidente de la Cía. dice que sus focos duran
300 días. Entonces la competencia va a varios (nótese) supermercados y compra 15
focos para probar esa afirmación. Los focos de la muestra duran en promedio 290 días
con una desviación estándar de 50 días. Entonces, si quieren desmentir al presidente
de USALUZ necesita saber cúál es la probabilidad de que 15 focos seleccionados al
azar tengan una vida promedio no mayor de 290 días.
as
La solución de este tipo de problemas requiere calcular el valor t basado en los datos
y después usar una tabla de distribución t para encontrar la probabilidad de forma
similar a lo que hicimos con la distribución normal. Existe sin embargo software con
el que podemos evitar el uso de tablas.
Solución
Primero necesitamos calcular el valor t usando nuestra fórmula
290 − 300 − 10
=
= −0.7746
50
12.91
15
Donde x es la media de la muestra, μ la media de la población, s es la desviación
t=
estándar de la muestra y
n el tamaño de la muestra.
OK ¿qué nos dice este valor?
Ahora podemos usar una tabla o software como la T Distribution Calculator
(http://stattrek.com/Tables/T.aspx) o minitab.
Usando ésta última seleccionamos "T score" del menú de “random variable” e
introducimos los datos:
* Grados de libertad (ν):
15 - 1 = 14.
* El valor t que obtuvimos = - 0.7745966.
El resultado nos da: 0.2257. Esto significa que si la verdadera vida de un foco es de
300 días, hay una probabilidad de 22.6% de que la vida promedio de 15 focos
seleccionados al azar sea menor o igual a 290 días y nosotros ha sabríamos a qué
atenernos si queremos poner en ridículo al Presidente o Jefe.
Nota: ¿Piensas que 22% de probabilidades de que
pase algo es mucho o poco?
Veamos el resultado gráficamente
Distribución t
14 grados de libertad
0.4
Densidad
0.3
0.2
0.1
0.226
0.0
-0.7746
0
X
Ejemplo 2
Supongamos que las calificaciones de una prueba están distribuídos normalmente
con una media de 100. Ahora supongamos que seleccionamos 20 estudiantes y les
hacemos un exámen. La desviación estándar de la muestra es de 15. ¿Cuál es la
probabilidad de que el promedio en el grupo de muestra sea cuando más 110?
¿Cuál es la probabilidad de que el promedio en el grupo de muestra sea más 110?
Solución:
Primero calculamos el valor t como en el caso anterior ya sea en tablas o con ayuda
de herramientas tipo Minitab, Excel, etc. Nuestros datos son:
Número de grados de libertad: n-1 = 20 -1 = 19
La media de la población es igual a 100
La media de la muestra es igual a 110
La desviación estándar de la muestra es igual a 15
El valor t es
t=
110 − 100
= 2.9814
15
20
Usando estos valores nos da un resultado de probabilidad acumulada de 0.00496.
Esto implica que hay una probabilidad de 0.45% de que el promedio en una muestra
sea mayor de 110.
Veamos el resultado gráficamente
Distribución t
14 grados de libertad
0.4
Densidad
0.3
0.2
0.1
0.0
0.00496
0
X
2.9814
Ejemplo 3:
Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de cierto proceso en lotes es
500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una
muestra de 25 lotes cada mes.
Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, aceptaría su afirmación (con 90% de
confianza). ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518
gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la
distribución de rendimientos es aproximadamente normal.
Solución:
De la tabla encontramos que t±0.05 para 24 grados de libertad es ±1.711. Por tanto, el
fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un
valor t entre –1.711 y 1.711.
518 − 500
Se procede a calcular el valor de t:
t=
= 2.25
40
25
Este es un valor muy por arriba de 1.711, por lo que el fabricante diría que no es cierta
la afirmación. Sin embargo, si se encuentra la probabilidad de obtener un valor de t
con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es
aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el
proceso produce un mejor rendimiento de producto que el que suponía.
Distribución de probabilidad para t de student
90% del área
-1.711
1.711
El valor de
t = 2.25 cae
en esta zona
de la
distribución